4.1.1＆4.1.2条件概率＆乘法公式与全概率公式（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.1.1＆4.1.2条件概率＆乘法公式与全概率公式 题型一 条件概率的计算 1．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 2．（25-26高二上·全国·单元测试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）一周的天气情况如下表所示． 星期 日 一 二 三 四 五 六 预报 晴 阴 雨 雨 雨 晴 雨 实际 晴 雨 阴 雨 雨 晴 晴 求：在预报有雨的条件下，实际也下雨的概率． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 题型二 条件概率性质及其应用 1．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 5．（多选）（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 乘法公式及其应用 1.（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则 ． 4．（2025高二·全国·专题练习）设箱子内有个白球和个黑球，在其中连续取三次，每次取出一个球，取球后不放回，求取出来的三个都是白球的概率． 题型四 全概率公式及其应用 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）设随机事件A，B满足，，则（    ） A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·福建三明·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 题型五 贝叶斯公式及其应用 1．（2025高二下·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 5．（24-25高二下·河南郑州·期末）某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 题型一 事件与条件概率的综合问题 1．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　） A．0.035 B．0.15 C．0.105 D．0.07 2．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北黄冈·二模）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为 ． 题型二 概率计算公式的综合应用 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·四川广安·阶段练习）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则的值为 5．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 3．（25-26高二上·全国·单元测试）贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下·河北承德·期末）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 6．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 9．（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 10．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求： (1)首先应该搜索哪个区域？ (2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.1＆4.1.2条件概率＆乘法公式与全概率公式 题型一 条件概率的计算 1．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 3．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率定义即可求得. 【详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 4．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）一周的天气情况如下表所示． 星期 日 一 二 三 四 五 六 预报 晴 阴 雨 雨 雨 晴 雨 实际 晴 雨 阴 雨 雨 晴 晴 求：在预报有雨的条件下，实际也下雨的概率． 【答案】 【分析】设事件表示“预报有雨”，事件表示“实际下雨”， 解法一：计算，利用即可求解； 解法二：计算，利用条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“预报有雨”，事件表示“实际下雨”， 解法一：． 解法二：，所以． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 【答案】 【分析】解法一：记从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； 解法二：记从只一等品、只二等品中取只所有取法，事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】解法一：样本空间改变法： 从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，所以； 解法二：从只一等品、只二等品中取只所有取法， 所以中所含的基本事件数为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”， 所以中所含的基本事件为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取2只，第一次取只一等品，第二次任取”， 所以中所含的基本事件为，故. 题型二 条件概率性质及其应用 1．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 4．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误可得答案. 【详解】对于A，由，当，则，故A错误； 对于B，当事件A包含事件时，， 则此时，故B正确； 对于C，，如：当A或B为不可能事件时，，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 5．（多选）（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率公式结合对立事件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，，所以，所以，B选项正确； ，C选项错误； ，A选项正确； ，D选项正确； 故选：ABD. 6．（多选）（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的概率公式以及概率的性质结合条件概率公式的变形，分别判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 题型三 乘法公式及其应用 1.（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 2．（多选）（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式，以及概率的性质，即可判断选项. 【详解】由乘法公式可知选项A正确，则选项B不正确， 因为，，所以，所以C正确； 因为，，所以，所以D正确． 故选：ACD 3．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 4．（2025高二·全国·专题练习）设箱子内有个白球和个黑球，在其中连续取三次，每次取出一个球，取球后不放回，求取出来的三个都是白球的概率． 【答案】 【分析】利用条件概率公式和概率的乘法公式求解即可 【详解】记事件为“第i次取得白球”，，2，3． 显然． 若第一次取得白球，箱内只剩下个白球和b个黑球，则． 若第一、二次取得白球，箱内只剩下个白球和b个黑球，． 由概率的乘法公式得． 故答案为： 题型四 全概率公式及其应用 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）设随机事件A，B满足，，则（    ） A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1 【答案】D 【分析】利用全概率公式及对立事件概率公式计算求解. 【详解】根据题意可得，， 故由互斥事件概率的加法公式得：， 故，易得， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 3．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式计算可得． 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 4．（多选）（24-25高二下·福建三明·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 题型五 贝叶斯公式及其应用 1．（2025高二下·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，再利用贝叶斯公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，， 则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 ． 故答案为：. 5．（24-25高二下·河南郑州·期末）某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 【答案】 / 【分析】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，有，，，，由全概率公式和贝叶斯定理求解. 【详解】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作， 根据题意，有，，，， 由全概率公式 . 所以. 故答案为：；. 题型一 事件与条件概率的综合问题 1．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　） A．0.035 B．0.15 C．0.105 D．0.07 【答案】B 【分析】根据全概率公式列式求值. 【详解】抛掷两颗骰子，基本事件有个， 其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个. 所以学生回答第一、第二个问题的概率均为. 第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为. 设该地区中学生吸烟人数的比例约为， 由题意：，解得. 结合选项，最接近的是. 故选：B 2．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，共5个基本事件， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，共5个基本事件， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 5．（2025·湖北黄冈·二模）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为 ． 【答案】 【分析】计算出，根据条件得到，，，故，其中，，则或2，当时，，，，分，和，，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案. 【详解】事件，事件，故， 又，故，即， 因为，， 所以，故，即， 又，， 故，所以， 即，所以，故， 其中，，则或2， 若，则， 又，故， ，故， 若，，可令或或或； 若，，可令或或或， 事件，事件 若，则，此时， 此时，故，不合要求，舍去， 综上，满足条件的事件的个数为8. 故答案为：8 题型二 概率计算公式的综合应用 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为， 市民开私家车出行迟到的概率为， 市民骑行或步行出行迟到的概率为， 则这名市民迟到的概率为， 故所求的概率为. 故选：C. 2．（多选）（24-25高二下·四川广安·阶段练习）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：AD． 3．（多选）（24-25高二下·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 4．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则的值为 【答案】/ 【分析】设，根据条件概率公式与互斥事件、对立事件的关系列方程组，即可得的值. 【详解】设， 由，， 可得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 2．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 3．（25-26高二上·全国·单元测试）贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，由条件求得，然后由条件概率的公式求得答案． 【详解】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，则， 则“喜欢吃肠旺面或丝娃娃”为事件，“既喜欢吃肠旺面又喜欢吃丝娃娃”为事件， 由题意知，， 从而， 因此由条件概率的公式得． 故选：B． 4．（多选）（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率公式计算即可判断A，B，C，再结合概率性质判断D. 【详解】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确； 对于B：，应为互斥事件，故不正确； 对于C：正确； 对于D：，故不正确． 故选：ABD. 5．（多选）（24-25高二下·河北承德·期末）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【分析】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 6．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对立事件的定义可判断A；计算出可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A：从甲袋中摸球，结果只能是红球或者绿球，即​与​互斥且必有一个发生， 所以​与是对立事件，故A正确； 对于B：当​发生时，即从甲袋中摸出1个绿球放入乙袋 ，则乙袋中有红球3个，绿球6个， 根据条件概率的含义得， 故B正确； 对于C：由题得，计算得.  由全概率公式可知： ，即，故C错误； 对于D：由前面的计算可知，，根据贝叶斯公式 ，则，故D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 8．（24-25高二下·全国·课后作业）某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【答案】(1)0.26 (2) 【分析】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”， 则， 所以． （2）所以． 9．（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】(1)； (2)2. 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 10．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求： (1)首先应该搜索哪个区域？ (2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 【答案】(1)丙区域 (2)飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为 【分析】（1）由条件概率计算公式逐个计算概率即可求解； （2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，由全概率公式及贝叶斯公式逐个计算即可. 【详解】（1）应首先搜索丙区域. 理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为. 故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大. （2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”， 则，，，， ，，，， 所以 ， 所以. 同理， ， . 所以搜索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $