高二数学上学期第三次月考02（人教A版，举一反三）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册内容：第一章~第三章+选择性必修第二册：第四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线经过点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（5分）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（5分）已知空间向量，，共面，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．（5分）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 6．（5分）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 7．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（6分）已知双曲线，，分别为左右焦点，O为坐标原点，点，P为C右支上的一点，则（   ） A． B．过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点 C．若，斜率存在，则 D．的最小值为 11．（6分）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与是异面直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知数列满足，，则数列的通项公式是 . 13．（5分）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 14．（5分）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知两点，直线. (1)求线段AB的垂直平分线方程； (2)若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 16．（15分）已知数列的前n项和为，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 19．（17分）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线经过点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助斜率公式计算即可可得. 【解答过程】直线的斜率为. 故选：D. 2．（5分）在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】因为数列是等差数列，所以. 故选：D. 3．（5分）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【解答过程】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C. 4．（5分）已知空间向量，，共面，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由共面可知，存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A. 5．（5分）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【解题思路】根据等比数列前项和的性质，求出的值，进而求出结果. 【解答过程】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则. 故选：D. 6．（5分）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 7．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【解答过程】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 8．（5分）在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，，并以这三个向量为基底向量，然后设平面的法向量为，由空间向量垂直求得其中一个法向量，然后由空间向量求出线面角的正弦值，从而得到线面角的余弦值. 【解答过程】 设，，，则，，，， 故可作为一个基底. 设平面的法向量为，， 由，， 得，则，令，则， 所以其中一个法向量， 设与平面所成的角为， ， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解题思路】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【解答过程】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC. 10．（6分）已知双曲线，，分别为左右焦点，O为坐标原点，点，P为C右支上的一点，则（   ） A． B．过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点 C．若，斜率存在，则 D．的最小值为 【答案】AD 【解题思路】选项A离心率的定义即可判断，选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C、D利用双曲线的定义即可解决. 【解答过程】 ，，可得：，所以，故A正确； 对于B，双曲线的一条渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为， 联立，消去得：，只有一个交点，故B错误； 对于C，设，则，，故C错误； 对于D，由双曲线的定义可知，当且仅当三点共线时取得等号，故D正确， 故选：AD. 11．（6分）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与是异面直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BD 【解题思路】建立空间直角坐标系，用向量法计算判断选项A、B、C，判断截面为梯形，根据梯形面积公式计算D. 【解答过程】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A：，由正方体性质可知平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则，A错误； 对于B：， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 则点到平面的距离，B正确； 对于C：因为，， 所以，即共面， 所以与不是异面直线，C错误； 对于D：由选项C的判断可知四边形是平面截正方体所得截面， 因为，，所以四边形是等腰梯形， 由已知可知，如图，过点作于， 因为，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知数列满足，，则数列的通项公式是 . 【答案】 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解答过程】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 13．（5分）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 【答案】 【解题思路】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在椭圆中，，，， 由椭圆的定义可得，， 在中，， 由余弦定理得 ，解得， 因此，. 故答案为：. 14．（5分）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】2 【解题思路】根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可求解. 【解答过程】因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中， ， 要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心， 则的最小值即为点到直线的距离， 即，， 故答案为：2.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知两点，直线. (1)求线段AB的垂直平分线方程； (2)若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据条件先求出线段AB的中点坐标和斜率，利用垂直求出其中垂线的斜率，利用点斜式即可求得其方程； （2）设圆心坐标为，利用（1）的结论和圆心在直线上，联立成方程组，求解即得圆心坐标，求出圆的半径，即得圆的方程. 【解答过程】（1）因线段的斜率为，中点为，即， 则线段AB的垂直平分线的斜率，故其方程为，即； （2）设圆心坐标为，因为圆心在直线上，则① ， 又圆过两点，则线段AB的垂直平分线必过圆心，由（1）可得②， 将①与②联立，解得，则圆心为，圆的半径为， 故圆的标准方程为. 16．（15分）已知数列的前n项和为，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三项成等比列式计算得出，再结合计算求出通项公式； （2）结合（1）应用裂项相消法计算求解. 【解答过程】（1）由成等比数列，得，所以． 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是． （2）由（1）知， 则 则. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【解答过程】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面PAD，∴平面PAD， 又平面PAD，∴， ∵，且E为中点，∴， 又，平面， ∴平面． （2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，，∴平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴， ∴． 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解答过程】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 19．（17分）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. 【解答过程】（1）由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由①知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是.      2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $