高二数学上学期第三次月考01（人教A版，举一反三）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册内容：第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（5分）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（   ） A． B．1 C． D． 7．（5分）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 10．（6分）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 11．（6分）抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．三点共线 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若直线与直线平行，则实数 . 13．（5分）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 14．（5分）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线． (1)若直线与垂直，求的值； (2)若直线与平行，求，之间的距离． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若直线与有且只有一个公共点，求的值． 17．（15分）已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 18．（17分）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出向量的坐标判断得解. 【解答过程】由点，点，得. 故选：C. 2．（5分）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】根据倾斜角得到斜率，由两点斜率公式得到方程，求出答案. 【解答过程】由题意得，解得. 故选：A. 3．（5分）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 4．（5分）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【解答过程】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 5．（5分）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【解答过程】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 6．（5分）已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【解答过程】若与互相平行，则需满足，解得， 故直线：与：， 故两直线间距离为， 故选：C. 7．（5分）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意计算出，，然后两次应用余弦定理求得的关系式，从而求得离心率． 【解答过程】由题意，，且， 在中，由余弦定理得， 同理在中由余弦定理得， 所以，可得，所以离心率为， 故选：C． 8．（5分）在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【解答过程】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，可得，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，可得， 所以， 设直线与平面所成角的为， 则. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解题思路】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【解答过程】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10．（6分）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【解答过程】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD. 11．（6分）抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．三点共线 D． 【答案】AC 【解题思路】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【解答过程】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若直线与直线平行，则实数 . 【答案】 【解题思路】由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【解答过程】由 ， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为：. 13．（5分）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 【答案】 【解题思路】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【解答过程】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 14．（5分）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【解题思路】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【解答过程】    因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线． (1)若直线与垂直，求的值； (2)若直线与平行，求，之间的距离． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）先求出和的斜率，再由，可知在斜率存在的情况下，得到，建立的等式计算求解； （2）先求出和的斜率，再由，可知在斜率存在的情况下，得到，建立的等式计算求出，再利用两平行线间的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，的斜率为． 所以直线的斜率存在且不为0，     由题意知的斜率为，所以，解得． （2）直线的斜率为2． 因为，所以，，     所以直线，的方程分别为，， 所以直线，之间的距离为． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若直线与有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用椭圆上的点和离心率，列方程组求出，可得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆的方程，利用方程有唯一解的条件即可求得的值. 【解答过程】（1）椭圆的离心率为，且过点， 可得解得，， 故的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，∴． 17．（15分）已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【解答过程】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得，    此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 18．（17分）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 19．（17分）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【解答过程】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $