4.7相似三角形的性质（第2课时）（教学课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及推广至相似多边形的性质。通过校园绿化花坛实际问题导入，结合上节课对应高、中线等比的知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过严谨推导发展推理意识，例题练习结合几何直观强化模型意识。采用探究式教学与讲练结合，小结清晰，助力学生理解应用性质，也为教师提供高效备课支持。

北师大版·九年级上册 4.7相似三角形的性质 （第2课时） 第四章 图形的相似 学 习 目 标 1.相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方的推导过程与核心性质的掌握；（重点） 2.面积之比为相似比的平方的理解与应用，以及在复杂图形中灵活运用多个相似性质进行综合推理与计算.（难点） 知识回顾 1.上一节课我们学习了相似三角形的哪些性质？ 2.如何计算三角形的面积？ 通过公式S=×底×高 3.相似三角形有什么基本性质 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比 对应角相等，对应边成比例 情境引入 学校近期要对校园西侧的两个三角形绿化花坛进行维护升级，这两个花坛有个特别的关系 —— 它们是相似的！已知施工师傅测量出它们的相似比是 2，也就是说，大花坛对应边的长度是小花坛的 2 倍. 现在有两个实际问题需要大家帮忙解决：第一，维护时要给两个花坛围上一圈木质栅栏，用来保护花草，那围大花坛需要的栅栏长度，是围小花坛的几倍呢？ 第二，栅栏围好后，要给花坛重新铺种植土，种植土的用量取决于花坛的面积。那铺大花坛需要的种植土体积（可简化为面积比），又是小花坛的几倍呢？ 下面，让我们通过本节课的学习，尝试解决以上问题！ 新知探究 探究一：相似三角形周长比与面积比的性质推导 想一想 若，相似比为，则： （1）与的周长比是多少？ （2）面积比是多少？ （1）由于相似三角形对应边成比例，可初步猜想周长的比为2 （2）面积由于涉及到边长与高相乘，结合相似三角形的性质1，对应边的高之比页与相似比一致，猜想此时面积比为4 新知探究 任务一：探究周长比与相似比的关系 若，相似比为k，则：与的周长比是多少？ 设，， 的周长 的周长   结论：相似三角形的周长比等于相似比 新知探究 任务二：探究面积比与相似比的关系 若，相似比为k，则：与的面积比是多少？ 设，， 相似三角形对应高的比等于相似比，即 S△ABC​=​⋅AB⋅CD . 结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方 新知探究 相似三角形的性质（2）： 知识归纳 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 新知探究 2:3 4：9 2:1 4：1 （1）若，相似比为，则它们的周长比为______，面积比为____________ （2）若两个相似三角形的面积比为，则相似比为______，周长比为______ （3）已知，且，，则与的周长比为______，面积比为______ 新知探究 探究二：相似多边形周长比与面积比的性质推广 任务一：探究相似四边形的周长比与面积比 （1）探究相似四边形的周长比 设四边形 ，相似比为 四边形周长为各边之和，因此： 由等比性质，可得 结论：相似四边形的周长比等于相似比 新知探究 （2）探究相似四边形的面积比 连接 和 ，将相似四边形分割为两组相似三角形相似比均为 根据相似三角形面积比的性质，， 结论：相似四边形的面积比等于相似比的平方 新知探究 任务二：探究相似五边形的周长比与面积比 1.周长比分析 设相似五边形 ，相似比为 ，则各对应边的比均为 五边形周长为各边之和，由等比性质可得 其周长比为 2.面积比分析 从一个顶点出发作对角线，可将相似五边形分割为 3 组相似三角形，每组相似三角形的面积比均为 五边形的面积比为各组三角形面积比的总和之比，即 相似五边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 新知探究 任务三：推广到相似n边形的普遍规律. 1.两个相似n边形的周长比是怎样呢？ 相似n边形的各对应边成比例（相似比为 ），周长为各边长度之和，根据等比性质 其周长比为 2.两个相似n边形的面积比是怎样呢？ 从一个顶点出发作对角线，可将相似n边形分割为组相似三角形，每组相似三角形的面积比均为 因此，n边形的面积比为各组三角形面积比的总和之比，即 结论：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 新知探究 性质推广： 知识归纳 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 新知探究 （1）若两个相似四边形的相似比为，则它们的周长比为______，面积比为____________ （2）已知相似五边形的面积比为，则它们的相似比为______，对应边的比为______，周长比为______ （3）一个相似六边形的边长扩大为原来的倍，则其周长扩大为原来的______倍，面积扩大为原来的______倍 3：5 9：25 4 16 新知探究 例1 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离. 【分析】平移后对应边平行（DE∥AB，由平移性质得EG∥AB） 解：根据题意，可知EG∥AB ∴ ∠GEC=∠B，∠EGC=∠A． ∴ △GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴ （相似三角形的面积比等于相似比的平方） 即 ． ∴ ∴ ， 即 △ABC平移的距离为 巩固练习 基础巩固题 C 1.如果两个相似三角形对应边的比为 2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ） A．2：3　　　　 B．　　　　 C．4：9　　　　 D．8：27 2.已知且，则为（ ） A．1：2　　　　 B．2：1　　　　 C．1：4　　　　 D．4：1 C 巩固练习 基础巩固题 C 3.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ） A．18　　　　 B．27　　　　C．72　　　　 D．81 4.如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ） A．　　　　 B．25　　　　 C．35　　　　D．63 B 巩固练习 基础巩固题 B 5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ） A．9：16　　　　 B．3：4　　　　 C．9：4　　　　 D．3：2 6.已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长______． 7.两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为_____. 36 :2 巩固练习 基础巩固题 解：（1）由△OBD∽△OAC，得 8.如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，，OB=6，，求： （1）AO的长；（2） 已知OB=6，设AO=x，则，解得x=10，即 （2）相似三角形的面积比=相似比²= 因，故 课堂小结 相似三角形的性质（2） 相似三角形的性质（2） 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 性质的推广 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 作业布置 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题4.12 第7题。 感谢聆听! $