15.3 等腰三角形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版数学八年级上册 第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 （同步练习） 姓名： 班级： 一、填空题 1．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元．（用含a的代数式表示） 2．已知下列命题：①若>1，则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是　 　.(只填写序号) 3．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为　 　． 4．如图， 在三角形ABC中， AB=AC， AD平分∠BAC， 点E是线段BC延长线上一点， 连接AE， 点C在AE的垂直平分线上， 若DE=15cm， 则△ABC的周长等于　 　cm. 5．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若，则　 　． 6．如图，已知△ABC的面积为8cm2.BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　 　cm2. 7．如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是　 　． 8．等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是　 　. 9． 如图， C是线段AB上的一点， △ACD和△BCE都是等边三角形， AE交CD于M， BD交CE于N，交AE于O， 连接MN， 则①△ACE≌△DCB；②∠AOB=150°； ③DN=AM； ④△CMN是等边三角形.其中，正确的结论有　 　 10．如图，ΔABC为等边三角形，AD为BC边上的高，点E，F分别在AC， AD上，AF=CE，当BE+BF的值最小时，∠CBF的度数为　 　度. 二、选择题 11．如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是(　　) A．3 B．6 C． D．3 12．如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 13．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面滑下的过程中，OP长度的变化情况是(　　) A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 14．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70° 15．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是(　　) A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm 16．已知△ABC的三边长a，b，c满足等式，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 17．如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．∠BAQ=40° B．DE=BD C．AF=AC D．∠EQF =25° 18．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC=（　　） A．80° B．95° C．100° D．120° 19． 如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F.若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 20． 如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线OE，连接CD，以下说法错误的是（　　） A． 是等腰三角形 B．CD 垂直平分 OE C．点 E 到 OA、OB 的距离相等 D．证明射线 OE 是角平分线的依据是 SSS 三、解答题 21．如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连结交于点，设. （1）用含的代数式表示； （2）若 ，求的度数. 22． 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”. （1）【理解概念】： 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，请判断△ACD与△CBD　 　(填“是”或“否”)为“等角三角形”. （2） 如图2， 在△ABC中， CD为角平分线， ∠A=40°， ∠B=60°， 请说明CD 是△ABC的“巧等线”. （3）【应用概念】： 在△ABC中， 若∠A=40°， CD为△ABC的“巧等线”， 请直接写出所有可能的∠B度数. 23．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC. 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题. 方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题. （1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明； （2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由. （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系. 24．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 参考答案 1． 2．③⑤ 3．（4，0）或（6，0） 4．30 5． 6．4 7．②③④ 8．100°或100度 9．①③④ 10．15 11．A 12．C 13．D 14．C 15．A 16．D 17．D 18．D 19．C 20．B 21．（1）解：∵为边上的高线， ∴∠BCD+∠ABC=90°， ∵ ， ∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-α， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=90°-α， ∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°， ∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-2(90°-α)=2α. （2）解：由（1）可知∠A=2α， ∵为边上的高线， ∴∠ACD+∠A=90°， ∴∠ACD=90°-∠A=90°-2α， ∵CE=CF， ∴∠CFE=∠CEF=（180°-∠ACD）=90°-∠ACD=45°+α， ∵∠CFE=∠BCD+∠EBC， ∴∠EBC=∠CFE-∠BCD=45°+α-α=45°， 答：的度数为45°. 22．（1）是 （2）解： ∠A= 40°，∠B=60°， ∴∠ACB =180°-∠A- ∠B= 80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD=∠BCD=40°， ∴∠ACD=∠A， ∴CD=AD， ∴△ACD是等腰三角形， ∴∠ADC = 180° - ∠A - ∠ACD = 180° - 40°-40°=100°， ∴∠BDC =180°-100° = 80°， ∴∠BCD=∠ACB，∠B=∠B， ∴△ABC与△CBD是“等角三角形”， ∴CD为△ABC的“巧等线”. （3）∠B的度数为30°或60°或或。 23．（1）证明（方法1）：∵BD平分 ∴ 在与中， ∴ ∴DA=DM， ∵， ∴ ∴DC=DM=DA （2）解：BD=BA+BC。理由如下： 在BD上截取BE=BA，连接AE。 易证与为等边三角形 ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴BC=EC ∵BD=BE+EC ∴BD=BA+BC （3）解：BC-AB=2EC。理由如下： 过点D作的延长线于点F。 ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴AF=EC，DF=DE 在与中， ∴ ∴BF=BE ∴BA+AF=BC-EC ∵AF=EC ∴BC-AB=2EC 24．（1）解：不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； ​​​​​​​ （2）解：设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：， 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； （3）解：不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $