精品解析：江苏省无锡市江阴市某校2025-2026学年高二上学期10月学情调研数学试题

2025-2026学年度秋学期10月学情调研试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 5. 已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ） A. B. C. D. 6. 点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ） A. B. C. D. 5 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为120° B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 直线，，则或0 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 11. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______. 14. 如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线.当为何值时，和. （1）平行； （2）垂直. 16. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. （1）求证：共面； （2）当为何值时，. 17. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面. （2）求直线与平面所成角的余弦值. （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度秋学期10月学情调研试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以. 故选：C. 2. 直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】因为直线l的倾斜角是， 所以直线的斜率为，又直线在y轴上的截距是-2， 所以直线的方程为. 故选：A. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 5. 已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知、、三个向量共面，则存在实数、，使得，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】由题意可知，、、三个向量共面，则存在实数、，使得， 即，所以，解得. 故选：A. 6. 点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，平面的法向量为，直线的方向向量为，再根据线面角的正弦值，即可求出结果． 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为.所以 故选：C． 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为120° B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 直线，，则或0 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程求得斜率为，得到，可判定A正确；当直线过原点时，得到，满足题意，可判定B错误；化简得到，进而可判定C正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D不正确. 【详解】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为， 即，因为，所以，所以A正确； 对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率， 所以点的直线方程为，即，所以B错误； 对于C中，直线，可化为， 由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确； 对于D中，由直线， 若，可得且，解得，所以D不正确. 故选：AC. 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 11. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线的夹角，以及判断线面垂直，以及求解点到直线的距离，判断ACD，利用面面平行证明线面平行，判断B. 【详解】A.如图建立空间直角坐标系，，，， ，， ， 整理为，解得：或，都舍去， 所以不存在点F使，故A错误； B. 如图，取的中点，连结，因为点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，且，所以，平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面 C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，， 所以，，， ，, 所以，，且，平面， 所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确； D.若点在棱上运动，设，， ，, 则点到的距离， 当时，的最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：本题的关键是将几何问题转化为向量运算，尤其是证明垂直关系，求角和距离，以及判断是否存在问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，可直接得求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入交点坐标求出的值，即可得解. 【详解】由，解得， 所以直线与的交点为， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线.当为何值时，和. （1）平行； （2）垂直. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据与平行的条件且列式可得答案； （2）根据与垂直的条件列式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，直线两条直线重合， 故时，； 【小问2详解】 因为，所以，解得或. 16. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. （1）求证：共面； （2）当为何值时，. 【答案】（1） 证明：在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）时， 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 17. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得，所以直线过定点. 【小问2详解】 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面. （2）求直线与平面所成角的余弦值. （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ∵平面平面，平面平面， ∵，平面，∴平面， ∵平面， ∴， 又，平面 ∴平面， （2） （3）存在点，即当时 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系求线面角正弦，再应用同角三角函数关系求余弦即可； （3）假设存在点使得平面， 设，由平面，为平面的法向量，得即可求参. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连结，， ∵， ∴， ∵， ∴， 以为原点，如图建系易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令．， 设直线与平面所成角为 则 ,所以 故直线与平面所成角的余弦值为 【小问3详解】 假设存在点使得平面， 设，， 由（2）知，，，， 有∴ ∵平面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求． 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $