专题16.1 同底数幂的乘法（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题16.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 掌握同底数幂的乘法运算法则以及逆运算，并能够在题目中熟练的应用解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1）同底数幂的乘法法则； （2）同底数幂乘法法则的逆运用。 2. 难点 （1）计算底数互为相反数的幂的乘法； （2）同底数幂的逆运用； （3）判断未知子母的数量关系； （4）解决新定义题型。 知识点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数 相同 的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 即 。（m、n都是正整数） 推广： 。（m、n...p都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 【即学即练1】 1．计算： （1）103×105 （2）86×82 （3）（﹣12）2×（﹣12）5 （4）5×56×53． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）103×105 ＝103+5 ＝108； （2）86×82 ＝86+2， ＝88 （3）（﹣12）2×（﹣12）5 ＝（﹣12）2+5 ＝（﹣12）7 ＝﹣127； （4）5×56×53 ＝51+6+3 ＝510． 【即学即练2】 2．计算． （1）x•x2•x3． （2）（x﹣y）2•（y﹣x）3． （3）（﹣x）2•x3+2x3•（﹣x）2﹣x•x4． （4）x•xm﹣1+x2•xm﹣2﹣3•x3•xm﹣3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）原式＝x1+2+3＝x6； （2）原式＝（y﹣x）2•（y﹣x）3＝（y﹣x）5； （3）原式＝x2•x3+2x3•x2﹣x1+4 ＝x5+2x5﹣x5＝2x5； （4）原式＝xm+xm﹣3xm＝﹣xm． 知识点02 同底数幂的乘法的逆运用 1. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 【即学即练1】 3．已知am＝6，an＝3，则am+n的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：∵am＝6，an＝3， ∴am+n ＝am•an ＝6×3 ＝18， ∴B符合题意，ACD不符合题意． 故选：B． 【即学即练2】 4．已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 【答案】A 【解答】解：∵m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n， ∴33m＝3n， ∴3m＝n， 故选：A． 【即学即练3】 5．已知2x＝3，2y＝6，2z＝12，则下列给出x，y，z之间的数量关系式中，错误的是（　　） A．4x＝z B．x+z＝2y C．y+1＝z D．x+1＝y 【答案】A 【解答】解：由题可知， ∵2x×2＝2y，2y×2＝2z， ∴2x+1＝2y，2y+1＝2z， ∴x+1＝y，z＝y+1， ∴z＝x+1+1＝x+2，x+z+1＝y+y+1， ∴x+z＝2y， ∴四个选项中只有A选项的关系式错误，符合题意； 故选：A． 【即学即练4】 6．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．例如：f（4）＝f（2+2）＝f（2）•f（2）．若f（3）＝k，那么f（300）的结果为（　　） A．3100 B．1003 C．3100k D．k100 【答案】D 【解答】解：∵f（m+n）＝f（m）•f（n），f（3）＝k， ∴， 即f（300）的结果为k100． 故选：D． 题型01 同底数幂的乘法计算 【典例1】计算：a•a6＝（　　） A．a6 B．a7 C．2a6 D．2a7 【答案】B 【解答】解：a•a6＝a7． 故选：B． 【变式1】计算x2024•x2024的结果是（　　） A．2x2024 B．x4048 C．（2x）2024 D．（x2024）2024 【答案】B 【解答】解：原式＝x2024+2024＝x4048， 故选：B． 【变式2】把下列各题的计算结果写成幂的形式． （1）100 000 000×106； （2）10n•10m•1000； （3）32×39﹣37×81； （4）4•2m﹣9•64+22m﹣4•23﹣m． 【答案】（1）1014； （2）10n+m+3； （3）0； （4）2m． 【解答】解：（1）100 000 000×106 ＝108×106 ＝1014； （2）10n•10m•1000 ＝10n•10m•103 ＝10n+m+3； （3）32×39﹣37×81 ＝311﹣37×34 ＝311﹣311 ＝0； （4）4•2m﹣9•64+22m﹣4•23﹣m ＝22•2m﹣9•26+22m﹣4+3﹣m ＝2m﹣1+2m﹣1 ＝2×2m﹣1 ＝2m． 【变式3】计算： （1）（﹣8）12×（﹣8）5； （2）x•x7； （3）a3m•a2m﹣1（m是正整数）； （4）（m+n）3•（m+n）2． 【答案】（1）（﹣8）17；（2）x8；（3）a5m﹣1；（4）（m+n）5． 【解答】解：（1）（﹣8）12×（﹣8）5＝（﹣8）17； （2）x•x7＝x8； （3）a3m•a2m﹣1＝a5m﹣1； （4）（m+n）3•（m+n）2＝（m+n）5． 题型02 底数互为相反数的幂的乘法计算 【典例1】计算（﹣a2）•a3的结果是（　　） A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5 【答案】C 【解答】解：（﹣a2）•a3＝﹣a2+3＝﹣a5． 故选：C． 【变式1】计算：（a﹣b）5（b﹣a）4＝　（a﹣b）9 （结果用幂的形式表示）． 【答案】（a﹣b）9． 【解答】解：（a﹣b）5（b﹣a）4 ＝（a﹣b）5（a﹣b）4 ＝（a﹣b）9． 故答案为：（a﹣b）9． 【变式2】计算： （1）（m﹣2n）2（2n﹣m）3； （2）a•a4﹣（﹣a）2•（﹣a3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）原式＝（2n﹣m）2•（2n﹣m）3 ＝（2n﹣m）5； （2）原式＝a1+4+a2+3 ＝a5+a5 ＝2a5． 【变式3】计算： （1）（﹣y）2•yn﹣1； （2）x6•（﹣x）3﹣（﹣x）2•（﹣x）7； （3）4×2n； （4）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4； （5）x•（﹣x）2•（﹣x）2n+1﹣x2n+2•x2（n为正整数）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝y2+n﹣1＝y1+n； （2）原式＝﹣x6•x3+x2•x7； ＝﹣x9+x9 ＝0； （3）原式＝22×2n ＝22+n； （4）原式＝﹣（n﹣m）1+3+4 ＝﹣（n﹣m）8； （5）原式＝﹣x•x2•x2n+1﹣x2n+2•x2（n为正整数）． ＝﹣x2n+1+2+1﹣x2n+2+2 ＝﹣2x2n+4． 题型03 利用同底数幂的乘法求值 【典例1】若4a＝3，4b＝5，则4a+b＝（　　） A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】A 【解答】解：4a+b＝4a×4b＝3×5＝15， 故选：A． 【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【答案】C 【解答】解：∵2x＝5， ∴2x+3 ＝2x×23 ＝5×8 ＝40． 故选：C． 【变式2】已知x+y﹣2＝0，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，x+y＝2， ∴5x•5y＝5x+y＝52＝25． 故选：C． 【变式3】已知162×43×26＝23x﹣1，则x的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解答】解：∵162×43×26＝23x﹣1， ∴（24）2×（22）3×26＝23x﹣1即28×26×26＝23x﹣1， ∴28+6+6＝23x﹣1， ∴8+6+6＝3x﹣1， ∴x＝7， 故选：A． 题型04 判断未知字母之间的关系 【典例1】若m，n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是（　　） A．m＝n B．m+1＝5n C．m+1＝n5 D．5m＝n5 【答案】B 【解答】解：∵5m+5m+5m+5m+5m＝5×5m＝5m+1，5n×5n×5n×5n×5n＝5n+n+n+n+n＝55n， 又∵5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n， ∴5m+1＝55n， ∴m+1＝5n， 故选：B． 【变式1】已知2a＝3，2b＝6，则a，b的关系式是a+1＝b ． 【答案】a+1＝b． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，3×2＝6， ∴2a×2＝2b， ∴2a+1＝2b， ∴a+1＝b， 故答案为：a+1＝b． 【变式2】设2a＝3，2b＝6，2c＝12．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+1；④b2﹣ac＝1．其中，正确的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12， ∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， ∴①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， ∴a+c＝2b，正确，符合题意； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，正确，符合题意； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，错误，不符合题意； ④b2﹣ac＝（a+1）2﹣a（a+2）＝a2+2a+1﹣a2﹣2a＝1，正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①②④三个， 故选：C． 【变式3】已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．2a+c＝2b+1 B．2a+c＝22b C．a：b：c＝1：3：2 D．2ac＝22b 【答案】A 【解答】解：∵2a＝4，2b＝12，2c＝6， ∴2a×2c＝2a+c＝4×6＝24，2×2b＝2b+1＝2×12＝24， ∴2a+c＝2b+1， ∴a+c＝b+1， 故选：A． 题型05 同底数幂的乘法的新定义题目 【典例1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）；比如f（2）＝3，则f（4）＝f（2+2）＝3×3＝9．若f（3）＝k（k≠0），那么f（27）的结果是（　　） A．9k B．k9 C．27k D．k27 【答案】B 【解答】解：∵f（3）＝k（k≠0）， ∴f（27）＝f（3+3+3+3+3+3+3+3+3）＝f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）＝k9， 故选：B． 【变式1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如若h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2026）的结果是（　　） A．2026 B．k2026 C．k1013 D．k1014 【答案】C 【解答】解：∵h（m+n）＝h（m）•h（n），h（2）＝k（k≠0）， ∴h（2+2）＝k×k＝k2， ∴h（2n）＝kn， ∴h（2026）＝h（2×1013）＝k1013， 故选：C． 【变式2】定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（3，5）+（3，7）＝（3，x），求x的值． 【答案】35． 【解答】解：设3m＝5，3n＝7， 依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n， ∴（3，5）+（3，7）＝m+n． ∴（3，x）＝m+n， ∴x＝3m+n ＝3m×3n ＝5×7 ＝35． 【变式3】材料，一般的，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636可转化为指数式62＝36，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算：log24＝　2　 ，log216＝　4　 ，log264＝　6　 ； （2）猜想logaM+logaN＝　logaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （3）已知loga5＝3，求loga25和loga125的值．（a＞0且a≠1） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64， ∴log24＝2，log216＝4，log264＝6， 故答案为：2；4；6； （2）设logaM＝x，logaN＝y， 则ax＝M，ay＝N， ∴ax•ay＝ax+y＝MN，logaMN＝x+y＝logaM+logaN， 即logaM+logaN＝logaMN， 故答案为：logaMN； （3）由（2）知，logaMN＝logaM+logaN， ∵loga5＝3， ∴loga25＝loga5×5＝loga5+loga5＝3+3＝6， loga125＝loga25×5 ＝loga25+loga5 ＝6+3 ＝9． 1．计算a4•a3的结果是（　　） A．2a7 B．a12 C．a7 D．a 【答案】C 【解答】解：a4•a3 ＝a4+3 ＝a7． 故选：C． 2．计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 【答案】B 【解答】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6． 故选：B． 3．已知ax＝2，ay＝3，则ax+y的值是（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵ax＝2，ay＝3， ∴ax+y＝ax•ay＝2×3＝6， 故选：D． 4．在等式x2•（﹣x）•（　　）＝x11中，括号内的代数式为（　　） A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8 【答案】D 【解答】解：x11÷x2÷（﹣x）＝﹣x8． 故选：D． 5．若x5•x2myn＝x7y3，则4m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：x5•x2myn＝x2m+5yn， ∵x5•x2myn＝x7y3， ∴2m+5＝7，n＝3， 解得m＝1，n＝3， ∴4m﹣n＝4×1﹣3＝4﹣3＝1， 故选：A． 6．下列四个式子：①（a﹣b）9；②（b﹣a）9；③﹣（b﹣a）9；④﹣（a﹣b）9．其中同（a﹣b）3（b﹣a）6的计算结果相等的是（　　） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解答】解：（a﹣b）3（b﹣a）6＝（a﹣b）3（a﹣b）6＝（a﹣b）9， 式子：①（a﹣b）9，符合题意； ②（b﹣a）9＝﹣（a﹣b）9，不符合题意； ③﹣（b﹣a）9＝（a﹣b）9，符合题意； ④﹣（a﹣b）9，不符合题意． 故选：C． 7．若（7×106）（5×105）（2×10）＝a×10n，则a，n的值分别为（　　） A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 【答案】C 【解答】解：（7×106）（5×105）（2×10） ＝（7×5×2）×（106×105×10） ＝7×1013 所以，a＝7，n＝13． 故选：C． 8．若a，b是正整数，且满足3a×3a×3a＝3b+3b+3b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．2a+b＝3 C．3a﹣b＝1 D．3a﹣2b＝1 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，33a＝3×3b，即33a＝3b+1， ∴3a＝b+1， 即3a﹣b＝1． 故选：C． 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2）•h（2）＝3×3＝9，若h（2）＝k，那么h（2n）•h（2024）的结果是（　　） A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1012 D．1022k 【答案】C 【解答】解：同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中m、n为正整数）， h（2n）•h（2024）＝h（2n+2024）＝h[2（n+1012）] ， ∴， 故选：C． 10．麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4，下列正确的有几个（　　） ①T（2，64）＝6；②； ③T（a，x）×T（a，y）＝T（a，xy）（a≠0）；④T（2，3）+T（2，7）＜T（4，529）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据新定义及幂的运算法则逐项分析判断如下： ①∵26＝64， ∴T（2，64）＝6，原选项正确，符合题意； ②∵，（﹣2）4＝16， ∴，原选项正确，符合题意； ③设T（a，x）＝m，T（a，y）＝n，T（a，xy）＝t， ∴am＝x，an＝y，at＝xy， ∴am+n＝at， ∴m+n＝t， ∴T（a，x）+T（a，y）＝T（a，xy），原选项错误，不符合题意； ④设T（2，3）＝p，T（2，7）＝q，T（4，529）＝s， ∴2p＝3，2q＝7，4s＝529， ∴（2p）2＝32，（2q）2＝72， 即4p＝9，4q＝49， ∴4p•4q＝441， ∴4p+q＝441＜4s＝529， ∴p+q＜s， ∴T（2，3）+T（2，7）＜T（4，529），原选项正确，符合题意； ∴①②④正确，共3个， 故选：C． 11．计算：（a﹣b）5•（b﹣a）4＝　（a﹣b）9 ． 【答案】（a﹣b）9． 【解答】解：（a﹣b）5•（b﹣a）4＝（a﹣b）5（a﹣b）4＝（a﹣b）9， 故答案为：（a﹣b）9． 12．若ma＝3，mb＝4，其中m不为0，且a，b均为正整数，则ma+b的值为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：∵ma＝3，mb＝4，其中m不为0，且a，b均为正整数， ∴ma+b＝ma•mb＝3×4＝12， 故答案为：12． 13．若a﹣1＝﹣3b，2a×8×23b的值为　16　 ． 【答案】16 【解答】解：∵a﹣1＝﹣3b， ∴a+3b＝1， 2a×8×23b ＝2a×23b×8 ＝2a+3b×8 ＝2×8 ＝16． 故答案为：16． 14．已知xa+1•x3a﹣2＝x15（x≠0，且x≠±1），则a的值为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵xa+1•x3a﹣2＝x15， ∴x4a﹣1＝x15， ∴4a﹣1＝15， ∴a＝4， 故答案为：4． 15．定义一种新的运算“（a，b）”，若ac＝b，则（a，b）＝c，如：（2，16）＝4．已知（3，9）＝x，（3，y）＝4，则x﹣y＝　﹣79　 ． 【答案】﹣79． 【解答】解：∵32＝9， ∴（3，9）＝2， 即x＝2， ∵（3，y）＝4， ∴y＝34＝81， ∴x﹣y＝2﹣81＝﹣79． 故答案为：﹣79． 16．计算下列各题． （1）a2•（﹣a）2（﹣a）3； （2）22•212﹣8•211； （3）（x﹣y）•（x﹣y）3（y﹣x）2； （4）（2x﹣1）m•（2x﹣1）2m； （5）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣a2•a2•a3＝﹣a7； （2）原式＝214﹣23•211＝214﹣214＝0； （3）原式＝（x﹣y）（x﹣y）3（x﹣y）2＝（x﹣y）6； （4）原式＝（2x﹣1）3m； （5）原式＝20×24﹣6×24+2×24＝（20﹣6+2）×24＝16×24＝24×24＝28． 17．已知an+1•am+3＝a8，且bm﹣3n•bn+3＝b4，求mn的值． 【答案】3． 【解答】解：∵an+1•am+3＝a8， ∴an+1+m+3＝a8， ∴m+n＝4①， ∵bm﹣3n•bn+3＝b4， ∴bm﹣3n+n+3＝b4， ∴m﹣2n＝1②， ∴由①②解得m＝3，n＝1， ∴mn＝31＝3． 18．规定：a※b＝2a×2b． （1）求2※3的值； （2）若（2※1）※（x+1）＝64，求x的值． 【答案】（1）32； （2）x＝﹣3． 【解答】解：（1）由题意得， 2※3＝22×23＝25＝32； （2）解：由题意得， 2※1＝22×21＝23＝8， ∵（2※1）※（x+1）＝26 （8）※（x+1）＝26， ∴28×2（x+1）＝26， ∴28+（x+1）＝26， ∴8+（x+1）＝6， 解得x＝﹣3． 19．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　3　 ，（4，1）＝　0　 （2，0.25）＝　﹣2　 ； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2， 故答案为：3，0，﹣2； （2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴3a＝5，3b＝6，3c＝30， ∴3a×3b＝30， ∴3a×3b＝3c， ∴a+b＝c． 20．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233． （1）熟悉下列表示法，并填空： ∵21＝2， ∴log22＝1， ∵22＝4， ∴log24＝2， ∵23＝8， ∴log28＝3， ∵24＝16， ∴log216＝　4　 ，计算：log232＝　5　 ； （2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝　log232　 ；（用对数表示结果） （3）于是我们猜想：logaM+logaN＝　logaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； （4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　loga　 ． 【答案】（1）4，5； （2）log232； （3）logaMN，证明详见解答； （4）loga． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴log216＝4， ∵25＝32， ∴log232＝5， 故答案为：4，5； （2）由（1）可得，log24+log28＝2+3＝5＝log232， 故答案为：log232； （3）logaM+logaN＝logaMN， 证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N， ∴ax•ay＝MN， 即ax+y＝MN， ∴x+y＝logaMN， ∴logaM+logaN＝logaMN； （4）logaM﹣logaN＝loga， 证明：设x＝logaM，y＝logaN，则ax＝M，ay＝N， ∴ax÷ay， 即ax﹣y， ∴x﹣y＝loga， ∴logaM﹣logaN＝loga． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 掌握同底数幂的乘法运算法则以及逆运算，并能够在题目中熟练的应用解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1）同底数幂的乘法法则； （2）同底数幂乘法法则的逆运用。 2. 难点 （1）计算底数互为相反数的幂的乘法； （2）同底数幂的逆运用； （3）判断未知子母的数量关系； （4）解决新定义题型。 知识点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数 的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数 ，指数 。 即 。（m、n都是正整数） 推广： 。（m、n...p都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 【即学即练1】 1．计算： （1）103×105 （2）86×82 （3）（﹣12）2×（﹣12）5 （4）5×56×53． 【即学即练2】 2．计算． （1）x•x2•x3． （2）（x﹣y）2•（y﹣x）3． （3）（﹣x）2•x3+2x3•（﹣x）2﹣x•x4． （4）x•xm﹣1+x2•xm﹣2﹣3•x3•xm﹣3． 知识点02 同底数幂的乘法的逆运用 1. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 【即学即练1】 3．已知am＝6，an＝3，则am+n的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 【即学即练2】 4．已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 【即学即练3】 5．已知2x＝3，2y＝6，2z＝12，则下列给出x，y，z之间的数量关系式中，错误的是（　　） A．4x＝z B．x+z＝2y C．y+1＝z D．x+1＝y 【即学即练4】 6．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．例如：f（4）＝f（2+2）＝f（2）•f（2）．若f（3）＝k，那么f（300）的结果为（　　） A．3100 B．1003 C．3100k D．k100 题型01 同底数幂的乘法计算 【典例1】计算：a•a6＝（　　） A．a6 B．a7 C．2a6 D．2a7 【变式1】计算x2024•x2024的结果是（　　） A．2x2024 B．x4048 C．（2x）2024 D．（x2024）2024 【变式2】把下列各题的计算结果写成幂的形式． （1）100 000 000×106； （2）10n•10m•1000； （3）32×39﹣37×81； （4）4•2m﹣9•64+22m﹣4•23﹣m． 【变式3】计算： （1）（﹣8）12×（﹣8）5； （2）x•x7； （3）a3m•a2m﹣1（m是正整数）； （4）（m+n）3•（m+n）2． 题型02 底数互为相反数的幂的乘法计算 【典例1】计算（﹣a2）•a3的结果是（　　） A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5 【变式1】计算：（a﹣b）5（b﹣a）4＝　 （结果用幂的形式表示）． 【变式2】计算： （1）（m﹣2n）2（2n﹣m）3； （2）a•a4﹣（﹣a）2•（﹣a3）． 【变式3】计算： （1）（﹣y）2•yn﹣1； （2）x6•（﹣x）3﹣（﹣x）2•（﹣x）7； （3）4×2n； （4）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4； （5）x•（﹣x）2•（﹣x）2n+1﹣x2n+2•x2（n为正整数）． 题型03 利用同底数幂的乘法求值 【典例1】若4a＝3，4b＝5，则4a+b＝（　　） A．15 B．30 C．45 D．75 【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【变式2】已知x+y﹣2＝0，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 【变式3】已知162×43×26＝23x﹣1，则x的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 题型04 判断未知字母之间的关系 【典例1】若m，n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是（　　） A．m＝n B．m+1＝5n C．m+1＝n5 D．5m＝n5 【变式1】已知2a＝3，2b＝6，则a，b的关系式是 ． 【变式2】设2a＝3，2b＝6，2c＝12．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+1；④b2﹣ac＝1．其中，正确的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．2a+c＝2b+1 B．2a+c＝22b C．a：b：c＝1：3：2 D．2ac＝22b 题型05 同底数幂的乘法的新定义题目 【典例1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）；比如f（2）＝3，则f（4）＝f（2+2）＝3×3＝9．若f（3）＝k（k≠0），那么f（27）的结果是（　　） A．9k B．k9 C．27k D．k27 【变式1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如若h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2026）的结果是（　　） A．2026 B．k2026 C．k1013 D．k1014 【变式2】定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（3，5）+（3，7）＝（3，x），求x的值． 【变式3】材料，一般的，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636可转化为指数式62＝36，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算：log24＝　 　 ，log216＝　 　 ，log264＝　 　 ； （2）猜想log a M+log a N＝　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （3）已知loga5＝3，求loga25和loga125的值．（a＞0且a≠1） 1．计算a4•a3的结果是（　　） A．2a7 B．a12 C．a7 D．a 2．计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 3．已知ax＝2，ay＝3，则ax+y的值是（　　） A． B． C．5 D．6 4．在等式x2•（﹣x）•（　　）＝x11中，括号内的代数式为（　　） A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8 5．若x5•x2myn＝x7y3，则4m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列四个式子：①（a﹣b）9；②（b﹣a）9；③﹣（b﹣a）9；④﹣（a﹣b）9．其中同（a﹣b）3（b﹣a）6的计算结果相等的是（　　） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 7．若（7×106）（5×105）（2×10）＝a×10n，则a，n的值分别为（　　） A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 8．若a，b是正整数，且满足3a×3a×3a＝3b+3b+3b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．2a+b＝3 C．3a﹣b＝1 D．3a﹣2b＝1 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2）•h（2）＝3×3＝9，若h（2）＝k，那么h（2n）•h（2024）的结果是（　　） A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1012 D．1022k 10．麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4，下列正确的有几个（　　） ①T（2，64）＝6；②； ③T（a，x）×T（a，y）＝T（a，xy）（a≠0）；④T（2，3）+T（2，7）＜T（4，529）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．计算：（a﹣b）5•（b﹣a）4＝　（a﹣b）9 ． 12．若ma＝3，mb＝4，其中m不为0，且a，b均为正整数，则ma+b的值为　12　 ． 13．若a﹣1＝﹣3b，2a×8×23b的值为　16　 ． 14．已知xa+1•x3a﹣2＝x15（x≠0，且x≠±1），则a的值为　4　 ． 15．定义一种新的运算“（a，b）”，若ac＝b，则（a，b）＝c，如：（2，16）＝4．已知（3，9）＝x，（3，y）＝4，则x﹣y＝　﹣79　 ． 16．计算下列各题． （1）a2•（﹣a）2（﹣a）3； （2）22•212﹣8•211； （3）（x﹣y）•（x﹣y）3（y﹣x）2； （4）（2x﹣1）m•（2x﹣1）2m； （5）． 17．已知an+1•am+3＝a8，且bm﹣3n•bn+3＝b4，求mn的值． 18．规定：a※b＝2a×2b． （1）求2※3的值； （2）若（2※1）※（x+1）＝64，求x的值． 19．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　 　 ，（4，1）＝　 　 （2，0.25）＝　 　 ； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 20．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233． （1）熟悉下列表示法，并填空： ∵21＝2， ∴log22＝1， ∵22＝4， ∴log24＝2， ∵23＝8， ∴log28＝3， ∵24＝16， ∴log216＝　 　 ，计算：log232＝　 　 ； （2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝　 ；（用对数表示结果） （3）于是我们猜想：log a M+log a N＝　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论； （4）根据之前的探究，直接写出log a M﹣log a N＝　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $