第12讲 二元一次方程组及其解法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第12讲 二元一次方程组及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.二元一次方程 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组 4.二元一次方程组的解 5.代入消元法解二元一次方程组 6.加减消元法解二元一次方程组 题型巩固 一、二元一次方程的定义 二、判断是否是二元一次方程组 三、代入消元法 四、加减消元法 五、判断是否是二元一次方程组的解 六、已知二元一次方程组的解求参数 七、二元一次方程组的特殊解法 八、二元一次方程组的错解复原问题 九、构造二元一次方程组求解 十、已知二元一次方程组的解的情况求参数 十一、方程组相同解问题 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.二元一次方程 1. 定义 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程的必备条件 原方程：(1) 整式方程； (2) 只含有两个未知数 . 化简后的方程：(1) 两个未知数的系数都不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是 1. 知识点2.二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解 . 2. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边： 若左边 = 右边，则这对数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边，则这对数值不是这个方程的解 . 知识点3.二元一次方程组 1. 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组应满足的条件 (1) 两个方程都是整式方程； (2) 共含有两个未知数； (3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程 . 特别解读： (1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，其中有的方程可以是一元一次方程； (2) 二元一次方程组必须一共含有两个未知数 . 知识点4.二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解： 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解 . 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法： 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解 . 知识点5.代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法的定义： 从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法 . 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 选取一个未知数系数比较简单的二元一 次方程 变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为(或)(， 是常数， ≠ 0) 的形式 一 般选未知 数系数比较 简单的方程变形 ②代入 把(或)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方 程只能代入 另一个方程( 或另一个方程变形后的方程) ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 去 括号 时不 能漏乘，移 项 时 所 移的项要变号 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 步 骤 ①中变形后的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 一 般代 入变 形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将 未 知 数的值联立起来 知识点6.加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法的定义：  把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法 . 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 找两个方程中系数较简单的同一个未知数，根据其系数绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使 某 一 个 未 知 数在 两 个 方 程 中 的系 数 相 等 或 互 为相反数 (1) 选择消元对象：两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，选择消去该未知数较简单； (2) 把 某 个 方 程 乘 一 个数 时，方 程 两 边 的 每 一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消 去 一 个 未 知数，将 二 元 一 次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一 定 要 把 两 个 方 程两边分别相加(减)； (2) 应用减法消元时，注意符号的 变化 ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 方 程 组中 某 个 系 数 较 简单的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 题型巩固 题型一、二元一次方程的定义 1．（23-24七年级·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 3．若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 题型二、判断是否是二元一次方程组 4．下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 6．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 题型三、代入消元法 7．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）由可以得到用表示的式子为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则用x表示y的关系式为 ． 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）解方程组：． 题型四、加减消元法 10．（22-23七年级上·安徽·期末）已知有理数，满足方程组，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解满足，则的值为 ． 12．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程组： 题型五、判断是否是二元一次方程组的解 13．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 14．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 题型六、已知二元一次方程组的解求参数 15．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 16．已知是的解，则k的值是 ． 17．已知是方程组的解，则的值是多少？ 题型七、二元一次方程组的特殊解法 18．已知方程组的解满足则的值为（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 19．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 20．【注重阅读理解】 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 题型八、二元一次方程组的错解复原问题 21．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 题型九、构造二元一次方程组求解 23．已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ． 24．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 题型十、已知二元一次方程组的解的情况求参数 25．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是 ． 27．运算能力规定：形如关于的两个方程与互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，称之为“共轭系数”．若关于的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解． 题型十一、方程组相同解问题 28．若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 29．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 30．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 强化训练 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 4．已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 5．若方程组的解中x与y的值的和为4，则k为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 7．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 8．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．若方程是关于的二元一次方程，则 ． 10．已知，用含的代数式表示为 ；当时， ． 11．若方程组的解为，则 ． 12．若关于的方程组的解，则方程组的解为 ． 13．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 三、解答题 14．用适当的方法解下列方程组： (1) (2) 15．解下列方程组： (1) (2) 16．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 17．关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 18．已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 19．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 20．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 21．我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是__________ (2)已知关于x、y的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 二元一次方程组及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.二元一次方程 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组 4.二元一次方程组的解 5.代入消元法解二元一次方程组 6.加减消元法解二元一次方程组 题型巩固 一、二元一次方程的定义 二、判断是否是二元一次方程组 三、代入消元法 四、加减消元法 五、判断是否是二元一次方程组的解 六、已知二元一次方程组的解求参数 七、二元一次方程组的特殊解法 八、二元一次方程组的错解复原问题 九、构造二元一次方程组求解 十、已知二元一次方程组的解的情况求参数 十一、方程组相同解问题 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.二元一次方程 1. 定义 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程的必备条件 原方程：(1) 整式方程； (2) 只含有两个未知数 . 化简后的方程：(1) 两个未知数的系数都不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是 1. 知识点2.二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解 . 2. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边： 若左边 = 右边，则这对数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边，则这对数值不是这个方程的解 . 知识点3.二元一次方程组 1. 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组应满足的条件 (1) 两个方程都是整式方程； (2) 共含有两个未知数； (3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程 . 特别解读： (1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，其中有的方程可以是一元一次方程； (2) 二元一次方程组必须一共含有两个未知数 . 知识点4.二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解： 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解 . 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法： 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解 . 知识点5.代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法的定义： 从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法 . 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 选取一个未知数系数比较简单的二元一 次方程 变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为(或)(， 是常数， ≠ 0) 的形式 一 般选未知 数系数比较 简单的方程变形 ②代入 把(或)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方 程只能代入 另一个方程( 或另一个方程变形后的方程) ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 去 括号 时不 能漏乘，移 项 时 所 移的项要变号 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 步 骤 ①中变形后的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 一 般代 入变 形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将 未 知 数的值联立起来 知识点6.加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法的定义：  把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法 . 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 找两个方程中系数较简单的同一个未知数，根据其系数绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使 某 一 个 未 知 数在 两 个 方 程 中 的系 数 相 等 或 互 为相反数 (1) 选择消元对象：两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，选择消去该未知数较简单； (2) 把 某 个 方 程 乘 一 个数 时，方 程 两 边 的 每 一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消 去 一 个 未 知数，将 二 元 一 次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一 定 要 把 两 个 方 程两边分别相加(减)； (2) 应用减法消元时，注意符号的 变化 ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 方 程 组中 某 个 系 数 较 简单的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 题型巩固 题型一、二元一次方程的定义 1．（23-24七年级·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可 【详解】解∶∵方程是关于的二元一次方程， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 题型二、判断是否是二元一次方程组 4．下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】此题考查的是二元一次方程组的判断，掌握二元一次方程组的定义是解决此题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 故选：C． 5．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 6．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 题型三、代入消元法 7．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）由可以得到用表示的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，将其中一个未知数看作常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则用x表示y的关系式为 ． 【答案】/ 【知识点】代入消元法 【分析】考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元的思想是解题的关键，根据消元的方法进行计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 将③代入②，得：，即． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，将方程①变形为，代入方程②即可求解． 【详解】解： 由①得，③ 把③代入②，得． 解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为：． 题型四、加减消元法 10．（22-23七年级上·安徽·期末）已知有理数，满足方程组，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】根据方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出的值； 【详解】解：上述两个二元一次方程相加，可得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法，把方程组中的方程灵活变形运用“整体思想”是解决问题的关键． 11．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知解一元二次方程组的加减消元法是解题的关键．先把方程组中的方程相减求出的值，再与相比较即可得出的值． 【详解】解：， 得，， ， ， 解得． 故答案为：1． 12．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据加减消元法，由得③，由得求得x的值，即可求解． 【详解】解：由得，③ 得 解得： 将代入得 所以方程组的解为：. 题型五、判断是否是二元一次方程组的解 13．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 14．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 题型六、已知二元一次方程组的解求参数 15．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意把代入②中，得到，把，代入①中，计算即可． 【详解】解： ， 把代入②中，得， 解得， 把，代入①中，得， ∴被遮盖的两个数分别为5，1． 故选：B． 16．已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 17．已知是方程组的解，则的值是多少？ 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， ∴． 题型七、二元一次方程组的特殊解法 18．已知方程组的解满足则的值为（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】由方程组可得x﹣y＝﹣2，再由题意可得3m+1＝﹣2，求出m即可． 【详解】解： ， ②﹣①，得36x﹣36y＝﹣72， ∴x﹣y＝﹣2， ∵x﹣y＝3m+1， ∴3m+1＝﹣2， ∴m＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据所求，灵活对方程组中的方程进行加减运算是解题的关键． 19．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】整理第一个方程组可得，；整理第二个方程组可得，把代入可得y的值． 本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴，； ， 得，， ∴， ∴， ∴， 把代入③得，， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 20．【注重阅读理解】 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，把方程变形可得：，整体代入方程消去未知数，可得：，再把代入方程求出的值即可． 【详解】解：， 由可得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为． 题型八、二元一次方程组的错解复原问题 21．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 22．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 题型九、构造二元一次方程组求解 23．已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【知识点】二元一次方程的定义、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：1，1． 24．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 【答案】(1) (2) 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据条件列出方程组即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 故． 题型十、已知二元一次方程组的解的情况求参数 25．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意两式相加得，根据，可解得，即而得到答案． 【详解】解： 得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 26．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是 ． 【答案】-6 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键． 对于二元一次方程组，当时，原方程组无解． 【详解】解：二元一次方程组无解， ． 故答案为： ． 27．运算能力规定：形如关于的两个方程与互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，称之为“共轭系数”．若关于的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解． 【答案】共轭系数为-3，-6， 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据题中共辄二元一次方程的定义得到关于的方程组，求出值即可求出共轭系数；得到共轭方程组后，通过加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】解：由题意，得 整理，得 由①-②×2，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以， 所以“共轭方程组”的“共轭系数”为， 所以此“共轭方程组”为 由③×3+④，得，解得． 把代入③，得， 所以此“共轭方程组”的解为 题型十一、方程组相同解问题 28．若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 两边同时除以 3 ，得：， 因此，的值为， 故选：D． 29．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先通过对所求方程组进行变形，利用整体代换，结合已知方程组的解来求解即可． 【详解】解：可化为： 方程组的解是， 中 解得： 方程组的解是 故答案为：． 30．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 强化训练 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程的特点：一个方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1，这样的方程组叫做二元一次方程组，逐一判断即可． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组；故错误； B．不是整式方程，故错误； C． 是二元一次方程组，故正确； D． ，是二元二次方程，故错误； 故选：C． 2．已知二元一次方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加即可求解，掌握整体法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴， 故选：． 3．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法：代入法，根据代入法分析即可得到答案，正确掌握解法并根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键． 【详解】解：根据方程组的特点，②中的系数为1，故将②变形为用的代数式表示，再代入①计算更简便． 故选：． 4．已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．若方程组的解中x与y的值的和为4，则k为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再把解代入求出答案． 根据解二元一次方程的步骤，可得二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解相同，可得关于k的一元一次方程,根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得：， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 6．已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 7．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 8．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 二、填空题 9．若方程是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二元一次方程的定义，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：； 10．已知，用含的代数式表示为 ；当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质、解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．根据等式的性质，先两边同减去，再两边同除以2即可得；将代入可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：， 等式两边同减去，得，即， 等式的两边同除以2，得，即． 当时，， 解得， 故答案为：；． 11．若方程组的解为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义． 将代入，解得，代入，即可求解， 【详解】解：将代入，得 ， 解得：， ∴ 故答案为：6． 12．若关于的方程组的解，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组的解为，求解即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程组的解， 方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 13．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 三、解答题 14．用适当的方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】方程①中的系数为，适合用代入消元法； 的系数既不相等也不互为相反数，适合用加减消元法． 【详解】解：（1）由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，所以原方程组的解为 故答案为： （2）①②，得，解得． 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 故答案为：. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组特点选择代入消元法或加减消元法，将二元方程转化为一元方程求解． 15．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先整理，再用加减消元法求解即可.（2）观察系数特征进行化简方程组，再用加减消元法求解即可； 【详解】（1）解：整理方程组，得 ②-①，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解： ①+②，得， ．③ ②-①，得， ．④ ③+④，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为 【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法． 16．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 17．关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了同解方程组，先解方程组求出，然后代入方程中，得出关于m，n的方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 把代入方程中，得 ， 解得， ∴． 18．已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先根据方程组中的第一个方程可得，代入第二个方程可得，再根据方程组有无穷多组解可得，，据此求解即可得． 【详解】解：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， ∵这个方程组有无穷多组解， ∴，， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得：， ∴． 19．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 20．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】(1)见解析； (2)解法见解析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是__________ (2)已知关于x、y的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法，理解新定义的含义是解题的关键． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出m，n的值； 【详解】（1）解∶ 二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为∶ ； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $