专题13 抽象函数性质全归纳（压轴题7大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题14 抽象函数性质全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 3 类型一、抽象函数的定义域 3 类型二、抽象函数求值 4 类型三、抽象函数的值域 5 类型四、抽象函数的解析式（简单应用） 5 类型五、抽象函数的单调性 6 类型六、抽象函数的奇偶性 8 类型七、抽象函数的对称性 9 压轴专练 10 【注意：掌握模型可以快速解题】 1、常见的抽象函数模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【正弦函数模型】（供提前了解） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 【余弦函数模型】（供提前了解） 对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一： 其抽象函数模型是： 2、公式二： 其抽象函数模型是： 3、若，则 【正切函数模型】（供提前了解） 模型：若，则 2、其他技巧 （1）观察不等式两端的特点，化为同类函数； （2）借助函数的单调性，脱掉“”； （3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0. 类型一、抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 类型二、抽象函数求值 一般采用赋值法，，x,-x是常见的赋值手段 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）若对任意恒成立，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．3 3．已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 5．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 类型三、抽象函数的值域 1．（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 4．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 类型四、抽象函数的解析式 1．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 3．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式 ． 4．已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件： （1）对于任意的实数x，y恒有； （2）在上单调递减. 请写出满足条件的一个 . 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 类型五、抽象函数的单调性 1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，，当时，. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 3．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并给出证明． (4)求不等式的解集． 类型六、抽象函数的奇偶性 令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性 1．若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 2．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期中）（多选题）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 4．已知定义在上的奇函数满足，则 . 5．定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，. (1)证明：在上单调递减. (2)求不等式的解. 6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 7．（2025高一上·吉林·专题练习）定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 类型七、抽象函数的对称性 1、对称轴：或者 关于对称； 2、对称中心：或者 关于对称； 3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 7．（25-26高一上·甘肃·期中）（多选题）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是函数图象的一个对称中心 D．为偶函数 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·月考）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北荆州·期中）定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 8．函数的定义域为R，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）（多选题）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A．的对称轴为直线 B．的对称轴为直线 C． D．不等式的解集为 11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数是偶函数 D． 12．（24-25高一上·河北承德·期末）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 13．（25-26高一上·广西贵港·月考）（多选题）已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C． D．的图象关于直线对称 14．设函数定义域为R，满足，且对任意，都有，则= . 15．若函数满足方程且，则： （1） ；（2） ． 16．已知满足，且，则的值域为 17．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 18．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 19．已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 20．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知的定义域为．且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，且，求x的取值范围． 21．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 22．定义在区间上的函数,对都有,且当时,. (1)判断的奇偶性,并证明; (2)判断在上的单调性,并证明; (3)若,求满足不等式的实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 抽象函数性质全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 3 类型一、抽象函数的定义域 3 类型二、抽象函数求值 5 类型三、抽象函数的值域 7 类型四、抽象函数的解析式（简单应用） 9 类型五、抽象函数的单调性 12 类型六、抽象函数的奇偶性 16 类型七、抽象函数的对称性 22 压轴专练 26 【注意：掌握模型可以快速解题】 1、常见的抽象函数模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【正弦函数模型】（供提前了解） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 【余弦函数模型】（供提前了解） 对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一： 其抽象函数模型是： 2、公式二： 其抽象函数模型是： 3、若，则 【正切函数模型】（供提前了解） 模型：若，则 2、其他技巧 （1）观察不等式两端的特点，化为同类函数； （2）借助函数的单调性，脱掉“”； （3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0. 类型一、抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抽象函数定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为，在中，由，得， 所以的定义域为. 故选：A 3．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 4．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 类型二、抽象函数求值 一般采用赋值法，，x,-x是常见的赋值手段 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）若对任意恒成立，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】赋值可解. 【详解】由对任意恒成立， 令，得， 解得. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用赋值法，分别令和令，列方程求得，再令，可得，最后令，可得. 【详解】由题意取令，可得， 令，可得， 所以，令，可得， 所以，令，可得，所以. 故选：A. 3．已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则． 故选：D 4．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 5．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令，则，根据递推关系，可以求解. 【详解】当时，，所以； 令，得，所以； ，，……，. 故选：B 【点睛】方法点睛：根据函数方程，采用“赋值法”，探索函数值之间的递推关系，再求出，根据递推关系可最终求解. 类型三、抽象函数的值域 1．（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果. 【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同. 故选：B 2．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 4．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，结合图象变换判断AC；求出函数值域判断BD. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，值域不变，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，C正确； 对于D，由，得，即的值域为，D错误. 故选：AC 5．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 类型四、抽象函数的解析式 1．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解. 【详解】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可. 【详解】由，取，得， 令，此时， 且，，符合题意， 所以满足条件的一个函数表达式为. 故答案为： 4．已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件： （1）对于任意的实数x，y恒有； （2）在上单调递减. 请写出满足条件的一个 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由（1）（2）可设,由可求，从而可求解. 【详解】由（1）（2）可设, 由， 可得， 化简可得. 故的解析式可为. 取可得满足条件的一个. 故答案为:. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 类型五、抽象函数的单调性 1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，，当时，. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，利用函数的单调性建立不等式组，解之即得. 【详解】（1）在中，令，则，得. （2）函数在上单调递减.证明如下： 当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上单调递减. （3）由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 3．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并给出证明． (4)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）利用（1）中结果得，再结合条件，即可求证； （3）利用单调函数的定义，令，，结合条件，得到，再结合（2）中结果，即可求解； （4）根据函数，利用（3）中结果，得的单调性，从而将问题转化成解不等式，即可求解. 【详解】（1）令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． （2）由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． （3）在上单调递减．证明如下， 任取，且，令，， 则，得． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． （4）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减． 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得．故不等式的解集为． 类型六、抽象函数的奇偶性 令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性 1．若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】B 【分析】根据题意，可得，又，令，得解. 【详解】因为函数是R上的奇函数，所以， 又函数是偶函数，则，令， . 故选：B. 2．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 3．（23-24高一上·湖北·期中）（多选题）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】A选项，令得到；B选项，令得到；CD选项，先赋值求出，进而令得到，得到C错误，D正确. 【详解】A选项，中，令得，，A正确； B选项，中，令得，， 解得，B正确； CD选项，中，令得，， 解得， 中，令得， ， 函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确. 故选：ABD 4．已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案. 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 故答案为：. 5．定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，. (1)证明：在上单调递减. (2)求不等式的解. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）对变量进行合理的赋值，令，，可证得的单调性； （2）先证明偶函数，利用单调性与奇偶性解抽象不等式. 【详解】（1）证明：令，，设，则，且， 所以，即， 又当时，，所以 所以，所以在上单调递减. （2）令，则， 令，则. 令，则，所以为偶函数. 又在上单调递减， 由，可得或， 则或， 所以不等式的解集为或. 6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 7．（2025高一上·吉林·专题练习）定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1), (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）分别令 ，令即可求解. （2）令，根据偶函数的定义即可判断； （3）利用函数的性质把不等式变形为，画出函数的大致图像即可解出不等式. 【详解】（1）令，则 , 令，则, . （2）令，则 ， ∴为定义域上的偶函数. （3）据题意可知，函数图象大致如下：   ， 或， 或 所以原不等式的解集为或 类型七、抽象函数的对称性 1、对称轴：或者 关于对称； 2、对称中心：或者 关于对称； 3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小. 【详解】的图象关于对称，所以， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的图象变换求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B 3．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和对称性求解即可. 【详解】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称， 所以， 又因为函数在上是增函数， 所以， 所以. 故选：A 4．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与的大小关系不确定，D错. 故选：B. 5．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断. 【详解】函数的定义域为， 由是偶函数，得， 即，得函数的图象关于对称 由为奇函数，得， 得函数的图象关于点对称，所以， 由，令，得，故A项正确； 由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误； 由，令，得， 由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误． 故选：A 6．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D. 【详解】对于A，取，则， 即，得，故A正确； 对于B，取，则， 得，故是奇函数，B正确； 对于C，对任意的都有， 可得，即， 因此，故C正确； 对于D，由于， 因此的图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 7．（25-26高一上·甘肃·期中）（多选题）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是函数图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】由给定等式可得，再利用奇偶函数的性质，结合对称性的意义逐项判断得解. 【详解】由函数的定义域为，，得， 对于A，由函数是定义在上的奇函数，得，令，得，A错误； 对于B，由，且为奇函数，得，B正确； 对于C，由，得，， 因此，是函数图象的一个对称中心，C正确； 对于D，由，得，函数是偶函数， 因此函数为偶函数，D正确. 故选：BCD 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案. 【详解】令，则， 则，解得，即定义域为. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江·月考）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 3．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 4．设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性和对称性求解即可； 【详解】∵函数的图象关于直线对称，则， 又在上单调递减，故在上单调递增， ，， 即 故选：C． 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】在等式中，令可得， 令可得， 当时，总有，则， 所以，，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系. 6．（23-24高一上·湖北荆州·期中）定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集. 【详解】因为对任意的（），都有， 所以在上单调递减， 因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 当时，，令得，即， 所以，所以， 当时，，令得，即， 所以，所以， 综上，的解集为. 故选：C 7．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】从的结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，，再由依次求解. 【详解】若，， 则有， 取，则有，即， 是定义在上的偶函数， ， 则，解得：， 则， 取，则有，即， 故选：A. 8．函数的定义域为R，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的对称性和减函数的性质判断即可判断. 【详解】因为函数为偶函数，所以函数图象关于直线对称， 所以， 对任意的，，都有成立， 所以，故在上单调递减， 所以在上单调递增，故. 故选：A. 9．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 10．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）（多选题）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A．的对称轴为直线 B．的对称轴为直线 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB；根据和函数的单调性即可判断C；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D. 【详解】A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称， 所以函数的对称轴为直线，故A错误； B：由选项A可知，B正确； C：因为函数的对称轴为直线，所以， 又函数在上单调递增，所以，则，故C错误； D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且， 由，得，即，解得，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数是偶函数 D． 【答案】BC 【分析】推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，且， 则，即，A错； 对于B选项，因为，则， 因为，则， 即，即， 故函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为，故函数是偶函数，C对； 对于D选项，因为，则， 即，D错． 故选：BC 12．（24-25高一上·河北承德·期末）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假. 【详解】对A：因为为奇函数，所以， 令，则，A正确． 对B：由，得，则，即的图象关于点对称，B错误． 对C：当时，，则，，，故C正确； 对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确． 故选：ACD 13．（25-26高一上·广西贵港·月考）（多选题）已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C． D．的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D. 【详解】由为奇函数，得， 令，得，B正确． 对于， 令，得，A错误． 因为是偶函数，所以， 对于，以代替x得①， 则②，所以，C正确． ①与②相减得， 即，则的图象关于直线对称，D正确． 故选：BCD 14．设函数定义域为R，满足，且对任意，都有，则= . 【答案】2021 【解析】利用赋值法求出的解析式，即可求解. 【详解】令，得， 令得，即， 所以， 所以， 故答案为：2021 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是准确赋值求出的解析式. 15．若函数满足方程且，则： （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案. 【详解】令可得：，所以； 由①得，②， 联立①②可得：. 故答案为：①；②. 16．已知满足，且，则的值域为 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 17．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 18．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【答案】 【分析】利用赋值法可求的解析式. 【详解】由已知条件得，又， 设，则， 所以即 ∴. 此时, 而, 符合题设要求，故. 19．已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【答案】(1)0； (2)奇函数； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值； （2）利用奇函数的定义推理判断； （3）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）对于任意的，均有， 取，得，即得. （2）函数的定义域为，对，令，得， ，因此， 所以函数为奇函数. （3）且，令，则，即, 因，则， 故，即， 则，所以函数在区间上单调递增. 20．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知的定义域为．且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，且，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先判断单调性，再应用单调性定义证明即可； （3） 先根据，再应用赋值法结合单调性化简不等式最后应用一元二次不等式求解方法计算求解. 【详解】（1）令，得，解得． （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减． （3）因为， 所以， 所以， 令，因为，得，解得， 所以， 因为，所以． 又因为（2）知为单调递减， 所以，即得， 所以或． 21．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 22．定义在区间上的函数,对都有,且当时,. (1)判断的奇偶性,并证明; (2)判断在上的单调性,并证明; (3)若,求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)偶函数,证明见解析 (2)单调递增, 证明见解析 (3) 【分析】(1)根据赋值,先求出,再求出,再令代入可得,即可得奇偶性; (2)先判断出单调性,再根据单调性的定义进行证明即可; (3)先根据的定义将合并,再根据及单调性列出不等式,并注意定义域解出即可. 【详解】（1）由题知,为偶函数,证明如下: 不妨令代入可得, , 令代入可得, , 令代入可得, ,为偶函数; （2）在单调递增,证明如下: , , ,,,在单调递增; （3）由题, , 由(2)知在单调递增, 所以即, 解得, 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $