4.1数列的概念（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及通项公式，课堂导入从王芳身高测量、月相变化等生活实例切入，通过观察数据顺序特征引导学生抽象数列定义，结合函数知识理解其本质，构建“实例感知-概念构建-关系探究-应用巩固”的学习支架。 其亮点在于以生活实例激活数学眼光，如用身高数据引导学生发现有序性，通过数列与函数关系培养数学思维，典例分析中通项公式应用（如判断120是否为数列项）强化数学语言表达。采用问题链驱动和分层题型训练，帮助学生从具体到抽象构建知识，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

4.1 数列的概念 第一课时 第四章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 章节导读 4.1 数列的概念 4.3 等比数列 4.4 数学归纳法 数列的概念 数学归纳法的证明步骤 数学归纳法的应用 数列的前n项和 4.2 等差数列 等差数列的概念 等差数列的前n项和公式 等比数列的概念 等比数列的前n项和公式 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，了解数列的概念和表示方法及数列的分类. 了解数列是一种特殊函数，利用函数知识解决数列问题. 能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 读教材 阅读课本P2-P5 ，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“数列的概念”吧！ 新课引入 在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例. 例如：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高. 观察 观察图片，你发现了什么？ 思考1 从下往上第5个数是多少？有什么实际意义? 一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 像上述这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  思考2 这列数有顺序吗？ 有 第五个数是110，代表王芳五岁时的身高。 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的概念与分类 3 题型训练 2 数列的通项公式 新知探究1 1： 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高得：75，87，96，103，110，116， 120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 思考：上面四个例子的共同特征是什么? 2： 有依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 3： 的次幂按次幂、次幂、次幂、次幂……依次得到： 都是一列数 都有确定顺序 新知探究1 探究1：你能否用与顺序相关的符号来表示下面这列数？ 王芳从1岁到17岁的身高：75，87，96，103，110，116，120， 128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 记王芳第岁时的身高为，那么，，，. 思考：这列数中的数据能否交换位置？具有确定顺序吗？ 每个数都有特定的意义，所以不能交换位置！具有确定顺序！ 新知1 数列的概念与分类 1. 数列的概念： 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列， 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列第一个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示 首项(第项)： 第二个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示 第项： 第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示， 第项： 记法：简记作. 新知1 数列的概念与分类 2. 数列的分类： (1)按项的多少来分: (2)按项数之间大小关系来分: 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 概念辨析 思考1 {an}与an所表示的意义是否相同？ ①{}表示整个数列 ； ②表示数列 { an }中的第 n 项. 思考2 下面二列数是否为同一数列？ （1）1，2，3，4，5 （2） 5，4，3，2，1 不相同 因为排列次序不同，所以不是同一数列。 典例分析 例1 下列说法正确的是（ ） A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 总结：数列是有序、可重复的 解：由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确； 由数列的定义可知，D正确. D 典例分析 例2 下列数列中，递增数列是________,递减数列是______________, 常数列是________. （1） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （3） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （5） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . （2） （1）（4）（5） （3） 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的概念与分类 3 题型训练 2 数列的通项公式 新知探究2 探究2 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an 与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 答：函数 序号 项 所以数列是：从正整数集(或它的有限子集)到 实数集的函数；其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项 ，记为. 新知2 数列的通项公式 3. 数列的通项公式： 如果数列的第项与序号之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 注： ①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121. ②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 概念辨析 思考：数列是特殊的函数，那么数列的通项公式与函数有何联系？ 思考：并不是所有数列都有通项公式，还有其他方法可以表示数列吗？ 列表法和图象法 数列的通项公式为函数解析式 数列的图象是由离散的点构成 典例分析 例1 写出下列数列的通项公式： (1)1，2，3, 4 ,…… (2)1，3，5，7，……或 3，5，7，…… (3)2，4，6，…… (4)1，4，9，16，…… (5)-1，1，-1，1，……或 1，-1，1，-1，…… (6)特殊数列：9,99,999,9999,… 1，，，，… 1，2，4，8，… 典例分析 例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (2)2×3,3×4,4×5,5×6，…. 解：(2)由2×3＝(1＋1)×(1＋2)，3×4＝(2＋1)×(2＋2)， 4×5＝(3＋1)×(3＋2)，5×6＝(4＋1)×(4＋2)，… 可得an＝(n＋1)(n＋2). 解:(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，… 可得an＝2n－1. 典例分析 例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 解：(4)由例题1(6)的每一项乘九分之七即可， (4)7,77,777,7777，… 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的概念与分类 3 题型训练 2 数列的通项公式 通项公式的应用 题型1 题型探究 例1 如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是 这个数列的项? 如果是，是第几项? 通项公式的应用 题型1 题型探究 例2 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1) 写出此数列的第4项和第6项； (2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ 通项公式的应用 题型1 题型探究 例3 在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数. 求数列{an}的通项公式？ 解　设an＝kn＋b(k≠0)， ∴an＝4n－2，n∈N*. 数列最值问题 题型2 题型探究 例4 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 A 解：因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值. 数列最值问题 题型2 题型探究 例5 已知数列{an}的通项公式是an＝　　　　 ，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10且a10>a11>a12>…， 课堂小结 数列的概念： 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列， 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列第一个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示 首项(第项)： 第二个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示 第项： 第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示， 第项： 记法：简记作. 课堂小结 数列的通项公式： 如果数列的第项与序号之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 注： ①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121. ②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 感谢聆听! 1．什么是数列？ 什么叫数列的通项公式？ 2．数列的项与项数一样吗？ 数列如何分类？ (1)－1，，－，； (3)－，，－，，－，…； 即an＝(10n－1)，n∈N*. 解:(3)由－，，－，，－，…可知奇数项为负数，偶数项为正数， 可得an＝(－1)n×. 解：令n2＋2n＝120，得n＝10或n＝－12(舍去)， ∴120是该数列中的第10项． 解：(1) a4＝－64，a6＝－60. (2) 由3n2－28n＝－49，得n＝7或n＝(舍去)， ∴－49是该数列中的项，是第7项． 由3n2－28n＝68，得n＝－2或n＝，均不合题意， ∴68不是该数列中的项． 则有 解得 (n＋1)n 解: an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. $