第09讲 分式的运算讲义（知识点+题型+分层强化）-2025-2026学年沪教版五四制七年级数学上册满分全攻略备考系列

第09讲 分式的运算（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．分式的乘除法 2．分式的加减法 3．负整数指数幂和零指数幂 题型巩固 一、分式乘法 二、分式除法 三、分式乘除混合运算 四、含乘方的分式乘除混合运算 五、分式乘方 六、最简公分母 七、通分 八、同分母分式加减法 九、异分母分式加减法 十、整式与分式相加减 十一、已知分式恒等式，确定分子或分母 十二、分式加减混合运算 十三、分式加减的实际应用 十四、分式加减乘除混合运算 十五、分式化简求值 十六、负整数指数幂 十七、零指数幂 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点2．分式的加减法 1．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 2.分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．负整数指数幂和零指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 题型巩固 题型一、分式乘法 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 题型二、分式除法 3．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算的结果是 ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 题型三、分式乘除混合运算 5．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 6．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则 （用含的代数式表示）． 7．计算：． 题型四、含乘方的分式乘除混合运算 8．计算 ． 9．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： 题型五、分式乘方 10．计算的结果是 . 11．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 题型六、最简公分母 12．，和的最简公分母是 ． 13．（24-25七年级上·上海青浦·期末）分式和的最简公分母是 ． 题型七、通分 14．如果，那么的值是 ． 15．通分： (1)，，； (2)，． 题型八、同分母分式加减法 16．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 17．计算：． 题型九、异分母分式加减法 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）A、B两地相距m米，通讯员原计划用t时从A地到达B地，现需提前n小时到达，则每小时要多走（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 19．（2025七年级上·上海·专题练习）计算： ． 20．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 题型十、整式与分式相加减 21．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 22．计算：． 题型十一、已知分式恒等式，确定分子或分母 23．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，其中为常数，则 ． 24．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 题型十二、分式加减混合运算 25．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 26．计算： (1)； (2)． 题型十三、分式加减的实际应用 27．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ） A． B． C． D． 28．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 题型十四、分式加减乘除混合运算 29．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式计算的结果等于的是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·上海·期末）一件工作，甲单独干需x天全部完成，乙单独干需y天全部完成，若甲乙合干，需要的天数为 ． 31．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 题型十五、分式化简求值 32．（2024七年级上·上海·专题练习）如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（ ） 当，且时， 求的值 A．1 B．2 C．3 D．4 33．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，则 ． 34．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）先化简再求值：，其中． 题型十六、负整数指数幂 35．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D．（，，n为正整数） 36．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 37．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算，结果不含负整数指数幂： ． 38．（2024七年级上·上海·专题练习）化成正整数指数幂： 39．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 题型十七、零指数幂 40．如果 ，那么m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则a的取值范围是 ． 42．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算：． 分层强化 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A．1 B．－1 C．3 D． 2．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 3．用小数或分数表示，错误的是（   ） A． B． C．0.0001 D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： ． 9．计算： ． 10．计算 ． 11．计算：的结果是 ． 12．计算的结果是 ． 13．计算的结果是 ． 14．计算： ． 15．化简： ． 16．已知，则的值为 ． 17．在实数范围内定义一种运算*，其规则为，根据这个规则 ． 18．若，，，则 ． 三、解答题 19．计算： 20．计算：． 21．计算： （1）；（2）． 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再求值计算：，其中x＝3． 24．化简并求值：，其中． 25．先化简，再求值： (1)先化简，再求值：，其中满足． (2)先化简，再求值：，在2，3，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 26．（1），．由上述计算，我们发现_______（填“”“”或“”）； （2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系； （3）我们可以发现：_______（填“”“”或“”）． 27．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 分式的运算（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．分式的乘除法 2．分式的加减法 3．负整数指数幂和零指数幂 题型巩固 一、分式乘法 二、分式除法 三、分式乘除混合运算 四、含乘方的分式乘除混合运算 五、分式乘方 六、最简公分母 七、通分 八、同分母分式加减法 九、异分母分式加减法 十、整式与分式相加减 十一、已知分式恒等式，确定分子或分母 十二、分式加减混合运算 十三、分式加减的实际应用 十四、分式加减乘除混合运算 十五、分式化简求值 十六、负整数指数幂 十七、零指数幂 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点2．分式的加减法 1．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 2.分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．负整数指数幂和零指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 题型巩固 题型一、分式乘法 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型二、分式除法 3．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 题型三、分式乘除混合运算 5．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算法则，熟知运算法则是解题的关键． 6．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据可得，据此把变形求解即可． 【详解】∵ ， ∴可变形为： ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，以及分式的乘除混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 7．计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分式的乘除法进行计算，注意进行约分． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是遇到除法，变为乘法计算，并注意约分.. 题型四、含乘方的分式乘除混合运算 8．计算 ． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 9．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，再分子分母进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 题型五、分式乘方 10．计算的结果是 . 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题主要考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 11．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘方 【分析】（1）直接根据分式的乘方计算即可； （2）直接根据分式的乘方计算即可． 【详解】（1）； （2）． 【点睛】本题考查分式的乘方，熟记分式乘方就是把分子分母分别乘方是解题的关键． 题型六、最简公分母 12．，和的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】根据求最简公分母的方法求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6， 三个分式的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键． 13．（24-25七年级上·上海青浦·期末）分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答即可． 【详解】解∶ 分式和的最简公分母是， 故答案为∶ ． 题型七、通分 14．如果，那么的值是 ． 【答案】0 【知识点】通分 【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决. 【详解】解： 所以， 故答案是：0 【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键. 15．通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 题型八、同分母分式加减法 16．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，先把原式变形为，再根据分式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．计算：． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型九、异分母分式加减法 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）A、B两地相距m米，通讯员原计划用t时从A地到达B地，现需提前n小时到达，则每小时要多走（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法 【分析】每小时应多走的路程若提前小时到达的速度原计划的速度，把相关数值代入化简即可． 本题考查了列代数式，分式减法等知识． 【详解】解：计划的速度为，提速后的速度为， ∴每小时应比原计划多走米．     故选：D． 19．（2025七年级上·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式加减，掌握分数的运算是解题的关键．直接把同类项的系数相加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的混合运算，掌握异分母分式的加减混合运算法则是关键． 根据异分母分式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： 题型十、整式与分式相加减 21．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式与分式相加减 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 22．计算：． 【答案】 【知识点】整式与分式相加减 【详解】解：原式． 题型十一、已知分式恒等式，确定分子或分母 23．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 题型十二、分式加减混合运算 25．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减混合运算 【详解】（1）原式． （2）原式 题型十三、分式加减的实际应用 27．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙合做此项工程所需的时间为1÷（）=小时． 【详解】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成， 因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷（）=小时， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用列代数式（分式），分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量与已知量间的关系． 28．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 【答案】乙的购买方式更合算．理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查分式的实际应用，熟练分式相关的知识是解题的关键；把甲乙平均价格用代数式表示，再作差既可判断． 【详解】解：乙的购买方式更合算．理由： 甲的平均价格为； 乙的平均价格为； ； ∵， ∴； ∴甲的平均价格乙的平均价格， ∴乙的购买方式更合算． 题型十四、分式加减乘除混合运算 29．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式计算的结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的除法法则． 利用分式的乘法法则和除法法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 30．（23-24七年级上·上海·期末）一件工作，甲单独干需x天全部完成，乙单独干需y天全部完成，若甲乙合干，需要的天数为 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用，把工作总量看作单位，根据题意可得甲的工作效率和乙的工作效率，从而可得甲乙的工作效率和，用工作总量除以甲乙的工作效率和，化简即可． 【详解】解：把工作总量看作单位，则 甲的工作效率是，乙的工作效率是， ∴甲乙的工作效率和为， ∴甲乙合干，需要的天数为． 故答案为：． 31．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，最后计算乘法运算即可． 【详解】解：原式 ． 题型十五、分式化简求值 32．（2024七年级上·上海·专题练习）如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（ ） 当，且时， 求的值 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的加减运算，属于基础题，关键是找准最简公分母，然后进行通分转化为同分母计算即可．由题意找出的最简公分母为，然后通分转化为同分母相加，最后代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ∵， ∴原式， 故选：C． 33．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，则 ． 【答案】5 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是条件的灵活运用．由，代入所求分式进行化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：5． 34．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，正确计算是解题的关键；先计算除法，再计算减法，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型十六、负整数指数幂 35．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D．（，，n为正整数） 【答案】D 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，根据进行求解判断即可． 【详解】解：，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、（，，n为正整数），原式计算正确，符合题意； 故选D． 36．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 37．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算，结果不含负整数指数幂： ． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了整数指数幂的计算，先计算幂的乘方，再把负整数指数幂化成分数的形式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 38．（2024七年级上·上海·专题练习）化成正整数指数幂： 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，将负整数指数化为分数是解题的关键．根据负指数幂的定义解答． 【详解】解： 原式． 故答案为． 39．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查整式混合运算，计算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后合并同类项即可， 【详解】解：． 题型十七、零指数幂 40．如果 ，那么m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂：，即可得出答案． 【详解】解：由任何非零数的零次幂为1，得 ，即 ． 故选：D． 41．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查的是零指数幂的运算，根据可直接得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 42．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案，正确化简各数是解此题的关键． 【详解】解： ． 分层强化 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A．1 B．－1 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据分式运算法则求解，即可获得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的负整数指数运算，正确计算的解题的关键． 直接利用负指数幂的性质分别化简，然后通分即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故选：D． 3．用小数或分数表示，错误的是（   ） A． B． C．0.0001 D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算以及小数，分数，负指数幂的相互转化，解题的关键是正确计算并将结果进行合理转化． 先计算，再将结果分别转化为分数和小数形式，然后逐一分析选项． 【详解】根据幂的运算法则，负数的偶次幂是正数，可得． A、，该选项错误． B、与计算结果一致，该选项正确． C、0.0001与计算结果—致，该选项正确． D、与计算结果一致，该选项正确． 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算、平方差公式因式分解、完全平方公式等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先平方差公式因式分解，再算括号里面的，之后再用完全平方公式，分子分母化简即可． 【详解】解：原式： ． 故选． 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整数指数幂的运算法则计算，然后判断即可． 【详解】解：A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，解题关键是按照整数指数幂的运算法则进行计算，会进行负指数的运算． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法，负整数指数幂，由，又，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据负整数指数幂，积的乘方，单项式相除，完全平方公式运算法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了同分母分式相加，掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．据同分母分式相加，分母不变，分子相加可直接得出答案． 【详解】解： 故答案为：2． 10．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 11．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键． 13．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则． 利用负整数指数幂的运算和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】1 【分析】利用分式的乘除法计算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，关键是熟练掌握分式的乘法和除法的计算法则． 15．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 16．已知，则的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查零指数幂的性质，负整数指数幂，正确分类讨论是解题的关键．当成立时，利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，可知或或，进一步可求出x的值． 【详解】解：若，则或或， ∴或或， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， ∴可能是，，， 故答案为：，，． 17．在实数范围内定义一种运算*，其规则为，根据这个规则 ． 【答案】 【分析】先根据可得，再根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算法则以及弄清题中的新定义是解本题的关键． 18．若，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求． 三、解答题 19．计算： 【答案】． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ．      【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式化简，先把除法变乘法，再运用平方差公式、完全平方公式把分子分母分解因式，最后约分即可． 【详解】解： ． 21．计算： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据同分母的分式加减法计算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了同分母分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据分式的加减乘除运算法则进行运算化简，然后选择代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 23．先化简，再求值计算：，其中x＝3． 【答案】， 【分析】先根据分式四则混合运算的性质化简，然后将x=3代入求值即可． 【详解】解： = = ， 当x＝3时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握式的四则混合运算法则是解答本题的关键． 24．化简并求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算括号里的和除法，再算乘法即可化简分式，再把代入化简后的式子即可得． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 25．先化简，再求值： (1)先化简，再求值：，其中满足． (2)先化简，再求值：，在2，3，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)，； (2)，当时，原式； 【分析】（1）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，再代入计算即可； （2）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，由，确定的值再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时， 原式 ； （2） ， ，， ，， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值；灵活运用公式正确化简求值即可． 26．（1），．由上述计算，我们发现_______（填“”“”或“”）； （2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系； （3）我们可以发现：_______（填“”“”或“”）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查负整数指数幂，幂的运算： （1）直接根据题干即可得出结论； （2）利用负整数幂的法则进行计算后即可得出结果； （3）结合（1）（2）结论作答即可． 【详解】解：（1）由已知可知：； （2），， 所以； （3）由（1）（2）知：． 27．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②或0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，找出关联分式中分子、分母的规律分子不变，父母是原分式分子与分母的和是解题的关键． （1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可；②a.根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可；b.当当也符合题意，即，再求解即可。 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②a.∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． b. ∵是的“关联分式”， ∴当也符合题意， ∴，解得：，即。 综上，的值为或0. 故答案为：或0. 学科网（北京）股份有限公司 $