精品解析：河南省淮阳第一高级中学2024—2025学年高一上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年淮阳一高高一上学期第二次月考数学 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断出各数所属的数集，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于①：，所以①错误； 对于②：，所以②错误； 对于③：因为是无理数，即，所以③错误； 对于④：因为，所以④正确； 综上所述：错误的个数是3. 故选：C. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可. 【详解】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 3. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 4. 已知实数，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可比较的大小及的大小，根据幂函数的单调性可比较的大小. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且, 所以，即. 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以. 故选：A 5. 幂函数在上递减，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 6. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系. 【详解】由得，则且，解得：， 而集合是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，进而可得的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合单调性可求得其解集. 【详解】因为，，，不妨设， 由可得， 令，则，即函数在上单调递增， 又因为，所以， 所以在上为奇函数，则在上单调递增， 由，可得， 即，所以，解得， 即的解集为. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两个函数的对应法则不同可判断A；利用基本不等式可判断B；利用对勾函数的单调性可判断C；利用一元二次不等式恒成立的条件可判断D. 【详解】对于A，函数，所以函数与不是同一个函数，故A正确； 对于B，，当且仅当取得等号，故B正确； 对于C，，因为函数在上单调递增，所以当时，，故C错误； 对于D，当时，不等式即，满足题意，当时，则有，解得. 综上所述，满足题意的的取值范围是，故D错误. 故选：AB 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【详解】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 13. 函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 14. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 四、解答题 15. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值，最后解一元二次不等式即可； （2）讨论参数是否为0，分别讨论并得出不等式计算求解. 【小问1详解】 由题意知，是方程的两个根， 则，则. 则不等式为， 则，所以解集为；. 【小问2详解】 因为关于x的不等式的解集为，由（1）， 所以关于x的不等式的解集为， 所以当时，解集为，符合题意； 当时，，所以； 所以实数b的取值范围是. 16. 分别求下列函数的最小值 （1）； （2）． 【答案】（1）最小值． （2） 【解析】 【分析】（1）判断出函数的单调性，结合定义域得出答案； （2）由二次函数开口向下可知函数的最小值为或，由此即可写出答案. 【小问1详解】 易知函数的定义域为． 由于函数和函数在上均为减函数， 函数在上是减函数． 故当时，有最小值． 【小问2详解】 ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 易知，函数的最小值在或处取得． 而， 当，即时，； 当，即时，． 所以． 17. 已知符号表示不超过实数的最大整数，例如．定义函数． （1）写出函数的解析式，并作出函数的图象； （2）设，解关于不等式． 【答案】（1），    （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的定义写成分段函数，再作图即可； （2）根据的定义可得在定义域上为增函数，故，再求解不等式即可. 【小问1详解】 ， 所以，函数图象如下： 【小问2详解】 当，时，， ， 单调递增，且； 当，时，， ， 单调递增，且； 所以，在每个区间段单调递增，并且相邻的两段之间也递增， 故在定义域上为增函数. 不等式，等价于， 等价于，即， 故，解得, 所以，不等式的解集为. 18. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 19. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点，所以，解得. 【小问2详解】 ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年淮阳一高高一上学期第二次月考数学 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 3. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数在上递减，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 6. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有2个零点 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 13. 函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 14. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围为______. 四、解答题 15. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 16. 分别求下列函数的最小值 （1）； （2）． 17. 已知符号表示不超过实数的最大整数，例如．定义函数． （1）写出函数的解析式，并作出函数的图象； （2）设，解关于不等式． 18. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $