第03讲 解直角三角形（知识详解+6典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第03讲 解直角三角形（知识详解+6典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形的概念 知识点02：非直角三角形化归为直角三角形 知识点03：解直角三角形的应用 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：解非直角三角形 考点3：与坡度、坡角有关的问题 考点4：与方位角有关的问题 考点5：与仰角、俯角有关的问题 考点6：方案设计问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 【知识点01】解直角三角形的概念 1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 2.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角 元素之间的关系 图示 锐角之间的关系 三边之间的关系 （勾股定理） 边角之间的关系 ， ， ， 3.解直角三角形的基本类型和解法 图示 已知条件（至少已知一边） 解法 已知两边 （1）已知两直角边 , . ;由 ,求 ; . （2）已知斜边、一直 角边（如 , ）. ;由 ,求 ; . 已知一边 和一锐角 （3）已知一锐角与邻 边（如 , ）. ; ; . 已知一边 和一锐角 （4）已知一锐角与对 边（如 , ）. ; ; . （5）已知一锐角与斜 边（如 , ）. ; ; . 【知识点02】非直角三角形化归为直角三角形 常见类型： 类型 转化技巧 图示 斜三角形问 题 通过作高把锐角三角形或钝角三角形转化 为两个直角三角形. 一般的平行 四边形与梯 形问题 通过过顶点作高把一般的平行四边形或梯 形转化为含有直角三角形的图形.对于直 角梯形还可通过延长两腰得到直角三角 形. 特殊的平行 四边形问题 通过连结对角线把矩形、菱形转化为含有 直角三角形的图形. 【知识点03】解直角三角形的应用 1. 坡比、坡角 名称 定义 关系 示例 坡角 坡面的倾斜角. 坡比与坡角的正切 值相等，即 . 当 , 时，坡 比 ，坡角为 . 坡比 坡面的铅垂高度 与水平距离 的比叫做坡面的坡比（坡度），记做 ， 即 . 2. 方向角 名称 定义 举例 方 向 角 指北或指南的方向线与目标线所 成的小于 的角叫做方向角. （通常写成“北偏东（西） ”“南偏东（西） ”的 形式） 如右图所示，目标方向线 ， ， 的方向角分别可以表示为北偏东 、南偏东 、北偏西 ，其中南偏东 习惯上又叫做东南方向，北偏西 习惯上又叫做西北方向. 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角. 3、仰角、俯角 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义，结合已知条件求出边的关系． 【详解】解：如图，在中，， ， ， 故选：． 【典例1-2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，D为边上一点，E为边上一点，且，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可得到的边长，进而求出的长．过点作于点，在中，通过解直角三角形求出，从而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的边长为，则， ， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为 8 ， ， 过点作于点， ∴在中，， ， 故答案为：． 【典例1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在等腰中，，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是边的中点，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟知等腰三角形的性质及正切的定义是解题的关键． （）在中，根据的正弦值及的长求出的长，然后用勾股定理即可求解； （）将转化为，在中求出的正切即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则在中，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式1-1】（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）正六边形内接于，正六边形外切于，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正多边形和圆的计算，也利用了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质解决问题．首先根据正六边形的性质得到它们的半径之比，然后利用相似多边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，为的内接正六边形的半径，为的外切正六边形的半径， 依题意，， ， 由于所有正六边形都是相似的， ∴与的面积比． 故选：B．    【变式1-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了解直角三角形，利用的正切求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，先求出，根据勾股定理求出，然后再根据求解即可． 【详解】解：， ， 又， ． 【题型二】解非直角三角形 【典例2-1】（20-21九年级上·浙江宁波·期末）如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了 米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，） 【答案】63. 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，计算BC，AB的长度，比较AC+BC与AB的大小即可. 【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵米，，， ∴DC=BD=90，AD=90，BC=90， ∴AC+BC=180+90≈306， AB=AD+BD=90+90≈243， ∴缩短了：306-243=63（米）， 故答案为：63米. 【点睛】本题考查了解斜三角形，学会作高化，把斜三角形化为直角三角形，并熟练运用特殊角的三角函数值是解题的关键. 【典例2-2】（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点A作ADCB于点D，利用，，勾股定理，结合三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，过点A作ADCB于点D， 因为，AB=6， 所以， 所以=； 因为，AD=3， 所以DC=3AD=9， 所以的面积为：=． 【点睛】本题考考查了化斜为直解直角三角形，勾股定理，熟练掌握解直角的基本方法，灵活选择三角函数是解题的关键． 【典例2-3】如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值． 【答案】 【详解】过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵△ABC中，AB＝12， ∴， ， ∵BC＝15， ∴， ∴＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 【变式2-2】已知：如图，在△中，，，．求的长． 【答案】． 【分析】过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC． 【详解】解：过点作于． 在△中，，， 设，则． 在△中，，， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决． 【变式2-3】（20-21九年级上·浙江湖州·期末）根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时是45°，长为20cm．（参考数据：，，，，结果精确到1cm） （1）求固定点到窗框的距离； （2）若测得，求的长度． 【答案】（1）14cm；（2）23cm． 【分析】（1）过作于，解直角三角形ABD即可； （2）根据（1）中AD的长，解直角三角形ADO即可． 【详解】解：（1）过作于， 则的长就是到的距离， 在中， ∵， ，， ∴， 即， ∴cm． （2）∵， 在中， ∵， ，， ∴， 即， ∴cm． 【点睛】本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵活求解是解题的关键． 【题型三】与坡度、坡角有关的问题 【典例3-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（   ）厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【详解】解：解：设木桩上升了， 根据题意，在中，， 则， 解得：， 则木桩上升了， 故选：A． 【典例3-2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为3米，平台的长为2米，用11米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，生活中的平移现象，准确熟练地进行计算是解题的关键． 过点作，垂足为，四边形是矩形，从而可得：米，米，再根据已知可得：米，然后利用坡比的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，四边形是矩形， 米，米， 由题意得：（米）， 斜坡的坡比为， 故答案为：． 【典例3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 【答案】，树高 【分析】本题考查的是直角三角形的三角函数应用，灵活运用三角函数的定义是解题的关键．通过分析图形中的两个直角三角形和，利用三角函数分别求出，，，进而通过线段的和差关系求出树高． 【详解】解：为水平线， ， 在中，，， ， ； 在中，，， ． ． 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，某公园为了使残疾人的轮椅行走方便，设想拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过，此公园门前的台阶高出地面米，则斜坡的水平宽度至少需（    ）（精确到米，参考值：） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，然后代入即可求解，掌握正切的含义是解题的关键． 【详解】∵台阶共高出地面米，斜坡的坡角不得超过， ∴斜坡的坡角为时，， ∴， ∴斜坡的水平宽度至少需米， 故选：． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）河堤的横断面如图所示，堤高是，迎水坡的长是，那么斜坡的坡角度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查解直角三角形坡度坡角．在中，直接利用的正弦即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ∴的坡度角度数是． 故答案为：． 【变式3-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，某拦河坝截面的原设计方案为：，坡角，坝顶到坝脚的距离．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为，由此，点需向右平移至点，请你计算的长（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别作，垂直于，构造直角三角形，求出，进而得到的长． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ． ∵， ． 在中，， ． ． 【题型四】与方位角有关的问题 【典例4-1】（2020九年级·浙江温州·学业考试）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】首先由方向角的定义及已知条件可以得出∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°，再根据AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°，然后解Rt△ABP，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°， ∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中， ∵∠ABP=90°，∠A=50°，PA=2海里， ∴AB海里． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，还有平行线的性质和三角函数的定义． 【典例4-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，城市A的正东方向处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东和B城的北偏西的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 【答案】不会，见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用，解答本题的关键是作出高线．在中，设，，由题可得，进而可得x的值；再由，将求得的值与半径50千米作比较，即可作出判断． 【详解】解：这条快速通道不会穿过核辐射区，理由如下： 过点P作，垂足为D，如图， ∵， ∴，． 设， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴这条快速通道不会穿过核辐射区． 【典例4-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，一艘船沿正东方向航行，在点A处测得岛C在北偏东方向，行驶海里后，船行到点B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围海里内有暗礁． (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (2)如果渔船在B处改为东偏南方向航行，有无触礁的危险？（参考数据：，，） 【答案】(1)渔船继续向东航行，有触礁危险 (2)如果渔船在B处改为东偏南方向航行，无触礁的危险 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图所示，过点C作交延长线于D，设海里，先解得到海里，再解得到海里，进而建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点C作于E，解，得到海里，再解，得到海里，由，则如果渔船在B处改为东偏南方向航行，无触礁的危险． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D， 由题意得，海里， 设海里， ∴中，海里， 中，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴渔船继续向东航行，有触礁危险； （2）解：如图所示，过点C作于E， 在中，海里， 在中，， ∴海里， ∵， ∴如果渔船在B处改为东偏南方向航行，无触礁的危险． 【变式4-1】（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（    ） A． B． C． D．130m 【答案】B 【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，则∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，在Rt△ACF和Rt△BCE中，根据正切三角函数的定义得到＝＝，结合勾股定理可求得AF＝40，CF＝DE＝30，FD＝CE＝80，BE＝60，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求得AB． 【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG， ∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形， ∴DE＝CF，DF＝CE， 在Rt△ACF中，tan∠ACF＝＝tan53°， 在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝tan53°， ∵tan53°≈， ∴＝＝， ∴AF＝CF，CE＝BE， 在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2， ∴CF2+（CF）2＝502， 解得CF＝DE＝30，AF＝×30＝40， 在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2， ∴BE2+（BE）2＝1002， 解得BE＝60，CE＝DF＝×60＝80， ∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2， ∴AB＝＝30． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式4-2】（2023九年级·浙江·专题练习）如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行．当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.01海里） 【答案】货轮与灯塔B的距离约为海里 【分析】过点B作交延长线于点D，由题意得，，海里，则是等腰直角三角形，得，，则，设海里，则海里，海里，然后在中，由勾股定理得出方程即可得出答案． 【详解】过点B作交延长线于点D，如图所示， 由题意得，，海里， 则是等腰直角三角形， ，， ， 设海里，则海里， 海里， 在中，， 即， 解得：，（舍去）， （海里）， 答：此时货轮与灯塔B的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式4-3】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线表示城市高架快速路，为了解快速路对周边居民的噪声影响，勘测师在快速路直线上的处测得小区在的南偏西方向距离为80米，小区在的北偏西方向距离为60米． (1)分别求小区，到快速路（直线）的距离； (2)居住场所与快速路的距离不大于50米时，居民的生活将受到影响．相关部门准备对受到影响的路段加装隔音墙，若每米隔音墙的单价为300元/米，请你判断小区和是否受到影响？如果有影响，计算安装隔音墙所需费用．（参考数据：，，结果保留整数） 【答案】(1)小区，到快速路（直线）的距离分别为米，30米； (2)安装隔音墙需要资金为元． 【分析】（1）过作于，过作于，则，解直角介绍信即可得到结论； （2）根据小区，到快速路（直线）的距离分别为米，30米，于是得到小区不受影响，小区受影响，设在直线上从到处受影响，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， 则， 由题意得，，，米，米， ∴（米），（米）； 答：小区，到快速路（直线）的距离分别为米，30米； （2）∵小区，到快速路（直线）的距离分别为米，30米， ∴小区不受影响，小区受影响， 设在直线上从到处受影响， 则米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴安装隔音墙需要资金为：（元） 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型五】与仰角、俯角有关的问题 【典例5-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆，小杰从篮球场的点处观察到旗杆顶端的仰角是，往前走50米到点处，再沿着坡度为的阶梯走到足球场的点，米，测得之间的水平距离米，则旗杆的高度为　　米（参考数据：，， A．37.8米 B．42.8米 C．52.8米 D．56.5 米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，延长交于，过点作于．解直角三角形求出，即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：延长交于，过点作于． ， 四边形是矩形， ，（米， 在中，，米，， （米，（米， （米， （米， 在中，（米， （米， 故选：D． 【典例5-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到0.1米，参考数据：． 【答案】69.3 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定与性质，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长即可解决问题，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键． 【详解】解：如图所示： 过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：米，，，米， （米，（米， （米， （米， （米， 大楼的高度约为69.3米． 故答案为：69.3． 【典例5-3】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【答案】(1)点D与塔顶P的距离是140 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义， （1）根据，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得：， ， ， ； （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图， 则由题意得点P、F、N在同一直线上， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 【变式5-1】（20-21九年级下·浙江·期末）如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】如图，由题意得：，，米，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：，， ∴米， ∴米； 故选C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，某数学兴趣小组为测量教学楼的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角为，再向前走30米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角为，则教学楼的高是 米． 【答案】 【分析】此题考查的是解直角三角形，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．根据三角形外角的性质可得：，根据等角对等边即可得：米，再根据锐角三角函数即可求出，根据矩形的性质即可求出，从而求出教学楼的高. 【详解】解：∵， ∴， ∴米， 在中，（米）， ∵ ∴四边形是矩形， ∴米， ∴（米）． 故答案为： 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 【题型六】方案设计问题 【典例6-1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）某校由于操场施工，部分班级体育课需要在学校中央花坛跑步，为了保证运动量达标，需要测量中央圆形花坛的半径．因受限于场地和工具，校数学项目化小组成员设计了如下三种方案，相关数据如图所示．你选择方案 （填“①”或“②”或“③”），则圆形花坛的半径为 （用含表中字母的代数式表示）． 图形            数据条件 ，， ，， ，， 方案 方案① 方案② 方案③ 得分 2分 3分 4分 【答案】 ①；②；③ ；； 【分析】解：①延长线经过圆心点．根据垂径定理，，勾股定理构建方程，求得．②如图，延长交圆于点，连接,过圆心作于点,作于点,连接,求证，得，求得．，，，．中，，勾股定理，得．③如图，过点作于点,交圆于,过圆心作,垂足分别为,连接,则,中,．．同②法求解． 【详解】解：①∵，， ∴延长线经过圆心点． 中，， ∴． 即，解得．    ②如图，延长交圆于点，连接,过圆心作于点,作于点,连接, ∵, ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ∵， ∴四边形是矩形． ∴． 中，， ∴．    ③如图，过点作于点,交圆于,过圆心作,垂足分别为,连接,则, 中,． ∴． 同②，得 ∴． ∴． ∴． ∴． 同②，； 中，．    【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，相似三角形，解直角三角形、分式运算；由相似三角形求解线段是解题的关键． 【典例6-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）某房地产集团筹建一小区，居民楼均为平顶条式，南北朝向，楼高统一为（五层）．已知该城市冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为． (1)如果甲、乙两楼相隔仅有（如图），试求此时甲楼的影子落在乙楼上有多高； (2)根据居住要求，每层楼在冬天都要受到阳光照射，请你重新设计一个方案．（精确到，参考数据：） 【答案】(1)此时南楼的影子落在北楼上约3.5米高 (2)如按城市规划要求，使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼间的距离至少约是25.6米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题关键把实际问题转化为数学问题加以计算． （1）过点作于，解直角，求出的长，从而求得的长； （2）设射线交直线于点．在中，利用正切函数求得的长，即为使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼应至少相距的米数． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意可知，． 在中，， ， ． 答：此时南楼的影子落在北楼上约3.5米高； （2）解：如图，设射线交直线于点． 在中，，， ． 答：如按城市规划要求，使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼间的距离至少约是25.6米． 【典例6-3】某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的两地，分别有甲，乙两个医疗站，如图，在地北偏东，地北偏西方向上有一牧民区．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． 方案I：从地开车沿公路到离牧民区最近的处，再开车穿越草地沿方向到牧民区． 方案Ⅱ：从地开车穿越草地沿方向到牧民区． (1)求牧民区到公路的最短距离；（结果精确到0.1） (2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)最短距离约为14.6千米 (2)方案Ⅰ合理，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）根据已知利用三角函数可求得的值； （2）分别求出两种方案所需的时间进行比较，时间短的比较合理一些． 【详解】（1）解：由题可知，，设，则 ∴， 解得 ∴最短距离约为14.6千米 （2）解：方案Ⅰ合理． 理由： 设草地上速度为，则公路上速度为． 方案Ⅰ：．        方案Ⅱ：∵， ∴， ∴． ∵，     ∴方案Ⅰ用时少，更合理． 【变式6-1】如图(1)所示是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计)，按此方案，可使该家具通过图(2)中的长廊搬入房间．在图(3)中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由(注：搬运过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)． 【答案】可按方案把家具搬入房间． 【分析】只要DH的长在1.45米以内，即可顺利通过，构造直角三角形，利用相应的三角函数求得DH长，看是否在1.45米以内即可． 【详解】如图，角书橱ABCDE，作AM⊥CD，垂足为M， 可知△AFM是等腰直角三角形． ∴AM＝FM． 而AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝1.5＋0.5＝2(米)， ∴AM＝AFsin45°＝2·＝(米)． ∵米＜1.45米， 故可按方案把家具搬入房间． 【点睛】解本题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把它抽象到解直角三角形中即可求出． 用到的知识点为：点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【变式6-2】如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）． (1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号） (2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？ 【答案】(1) (2)选择②路径不会迟到． 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题；矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，在中，根据可求出的长，进而可得的长，在中，根据可求出的长，最后由可得答案． （2）分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案． 【详解】（1）过点作于点，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则，，，，， 在中，， ， 在中，， ． 的长度为． （2）解：由（1）知，，， 在中，， ∴， ∴， 即， ∵①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A； ∴， 则（分）， ∵小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发， ∴， 选择①路径会迟到； ∵②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A． ∴， 则（分）， ∴， 选择②路径不会迟到． 【变式6-3】某小区有一块四边形的空地，如图所示，．现计划将其建造成一块绿化地，物业工作人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)物业工作人员测量的是点____________与点____________之间的距离，且该两点之间的距离为____________m； (2)求四边形绿化地的面积； (3)为了更好地对绿地进行灌溉，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点M处铺设管道引水． 方案一：从水源点M处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点M作的垂线，垂足为N，先从水源点M处铺设管道到点N处，再从点N处分别向浇灌点E，F铺设管道． 若．从节约管道材料的角度考虑，应该选择哪个方案？ 【答案】(1)B，D，17 (2) (3)应该选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行计算即可； （2）由勾股定理逆定理可得，再利用计算面积即可； （3）可直接求出方案一铺设管道长度，利用勾股定理逆定理可得，再利用等面积法求出的长，进而得到方案二铺设管道长度，比较即可得出结论． 【详解】（1）物业工作人员测量的是点与点之间的距离， , ， 解得， 故答案为：B，D，17． （2）由（1）知， ， ， ， 答：四边形绿化地的面积为． （3）方案一：共铺设管道； 方案二：， ， ，即， 又， ， 即，解得， 所以方案二共铺设管道， ， 答：选择方案一更节省管道材料． 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质(在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半)以及三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)；利用在两个直角三角形中的关系求出的长度，进而得到的长度，最后根据中位线定理求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）    A．300cosαm B．300sinαm C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴， 故选：B． 3．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可． 【详解】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是， 故选：A． 【点睛】本题考查仰角的定义，理解仰角的定义是解答的关键． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据垂直定义可得∶ ．然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再利用旋转的性质可得∶ ，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解∶ ， ， 在中，， ，， 由旋转得∶ ， ， 故选∶B． 5．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出，，海里，，解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知，， 在中， ，，海里， ∴海里． 海里． 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要运用图形旋转的性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义来求解．先根据正切函数定义设，则，再利用旋转性质得到相关线段和角的关系，证明三角形为直角三角形后，通过正弦函数建立等式求解． 【详解】解：在中，， 设，则， 由旋转的性质得∶，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ 故选∶D． 二、填空题 7．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 8．如图，在中，，，，则AB的长为 ． 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， ∵，＜1=tan45°， ∴∠B＜45°， ∵tan45°=tanA=，， 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键． 9．如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．    【答案】 【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可． 【详解】解：设海里， 依题意得，，，海里， 海里，海里， 海里，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键． 10．（24-25九年级下·浙江台州·自主招生）如图，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、．则该六边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查面积及等积变换，解直角三角形，解答本题的关键是把这个六边形进行拆分，充分利用内角都为这一特点．首先把这个六边形分割成两个等腰三角形，一个矩形和一个直角梯形，分别根据面积公式求出三角形、矩形和梯形的面积，这些图形的面积之和即为六边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点，过上点作，作于点，作于点， 六边形的六个内角都是， 和均为等腰三角形，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 六边形的面积是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 通过解直角三角形求出，的长，进而即可解答． 【详解】解：如图 由题意可得米，，，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即行走的通道拓宽了米． 故答案为： 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知斜坡的坡度，坡长米，在斜坡上有一棵银杏树，小李在处测得树顶的仰角为，测得水平距离米．若，点，，，在同一平面上，于点H，则银杏树的高度为 米． 【答案】 【分析】此题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，在直角三角形中，根据坡度为和勾股定理求出和，从而得出，再由直角三角形和求出，继而求出银杏树的高度，解答本题的关键是构造两直角三角形根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】解：如图． ∵在中，， 设米，米， 米， ． （负值已舍去）． 米，米． 米， 米， ， ． 即， （米． 米． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在建筑平台的顶部B处，测得大树的顶部C的仰角为α，且，测得大树的底部D的俯角为 β，且，若平台的高度为，则大树的高度为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过B作，则是矩形，即，在中解直角三角形求得，再在中解直角三角形求得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过B作，则是矩形，即， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴大树的高度：． 故答案为：9． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解: 由题意得: 米, 设 米, 在 中, ,则 米 米, 在 中, , 解得: ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 答: 建筑物 的高度约为 21 米． 15．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解； （2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ， 又，， ， ； （2）解：，，， ， ． 16．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)约米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键； （1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解； （2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解． 【详解】（1）解：如图，过B作于E， ∵坡度， ∴设米，则米， 由勾股定理得米， ∵米， ∴， ∴， ∴米； 答：点到的水平距离为米． （2）解：由（1）知，米， 在中，， ∴米， ∴（米）． 答：教学楼的高度约为米． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．    (1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？ (2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号） 【答案】(1)小时 (2) 【分析】（1）过作于点，作交于点，结合题意和三角形的内角和定理求得，，，根据直角三角形中两锐角互余和等角对等边可得，根据甲船的速度和勾股定理求得千米，根据含角的直角三角形的性质可求得的长，根据乙船的速度即可求解； （2）根据勾股定理求得和的长，根据（1）中的结果即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点，作交于点，    ∵甲船沿北偏西方向前进，乙船沿东北方向前进， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∵甲船沿北偏东的方向追赶乙船， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∵甲船以千米/小时的速度航行小时到达处， ∴（千米）； 在中，， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵，， ∴（千米）， 且乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进， 故甲船从处追赶上乙船的时间是：（小时）． （2）解：在中，， ∴（千米）， 故甲船追赶乙船的速度是（千米/小时）． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形中两锐角互余，等角对等边，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（24-25九年级上·浙江金华·期末）综合实践：测量铜像高度． 工具准备：边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 测量步骤：如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得C，B，G三点在同一直线上，将点D对准点G，视线经过边AB上一点F，读取，测得．查阅数据：，，． 计算结果： (1)求的长度． (2)求铜像的高度． 【答案】(1)； (2)铜像的高度． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形． （1）证明，即可得到，据此求解即可； （2）解直角三角形求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴铜像的高度． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数． ②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． (2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)点点同学的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可； ②，过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解 （2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，延长交于点， ， ， ， ，， ， ②如图，过点作，， 则四边形是矩形， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即点到桌面的最大距离为； （2）解：点点同学的说法正确，理由如下： 设，则， 点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 点到桌面的距离先变大，后变小， 点点同学的说法正确． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 解直角三角形（知识详解+6典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形的概念 知识点02：非直角三角形化归为直角三角形 知识点03：解直角三角形的应用 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：解非直角三角形 考点3：与坡度、坡角有关的问题 考点4：与方位角有关的问题 考点5：与仰角、俯角有关的问题 考点6：方案设计问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 【知识点01】解直角三角形的概念 1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 2.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角 元素之间的关系 图示 锐角之间的关系 三边之间的关系 （勾股定理） 边角之间的关系 ， ， ， 3.解直角三角形的基本类型和解法 图示 已知条件（至少已知一边） 解法 已知两边 （1）已知两直角边 , . ;由 ,求 ; . （2）已知斜边、一直 角边（如 , ）. ;由 ,求 ; . 已知一边 和一锐角 （3）已知一锐角与邻 边（如 , ）. ; ; . 已知一边 和一锐角 （4）已知一锐角与对 边（如 , ）. ; ; . （5）已知一锐角与斜 边（如 , ）. ; ; . 【知识点02】非直角三角形化归为直角三角形 常见类型： 类型 转化技巧 图示 斜三角形问 题 通过作高把锐角三角形或钝角三角形转化 为两个直角三角形. 一般的平行 四边形与梯 形问题 通过过顶点作高把一般的平行四边形或梯 形转化为含有直角三角形的图形.对于直 角梯形还可通过延长两腰得到直角三角 形. 特殊的平行 四边形问题 通过连结对角线把矩形、菱形转化为含有 直角三角形的图形. 【知识点03】解直角三角形的应用 1. 坡比、坡角 名称 定义 关系 示例 坡角 坡面的倾斜角. 坡比与坡角的正切 值相等，即 . 当 , 时，坡 比 ，坡角为 . 坡比 坡面的铅垂高度 与水平距离 的比叫做坡面的坡比（坡度），记做 ， 即 . 2. 方向角 名称 定义 举例 方 向 角 指北或指南的方向线与目标线所 成的小于 的角叫做方向角. （通常写成“北偏东（西） ”“南偏东（西） ”的 形式） 如右图所示，目标方向线 ， ， 的方向角分别可以表示为北偏东 、南偏东 、北偏西 ，其中南偏东 习惯上又叫做东南方向，北偏西 习惯上又叫做西北方向. 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角. 3、仰角、俯角 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，D为边上一点，E为边上一点，且，若，则的面积为 ． 【典例1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在等腰中，，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是边的中点，连接，求的值． 【变式1-1】（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）正六边形内接于，正六边形外切于，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，则的度数是 ． 【变式1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，求的值． 【题型二】解非直角三角形 【典例2-1】（20-21九年级上·浙江宁波·期末）如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了 米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，） 【典例2-2】（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【典例2-3】如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为 ． 【变式2-2】已知：如图，在△中，，，．求的长． 【变式2-3】（20-21九年级上·浙江湖州·期末）根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时是45°，长为20cm．（参考数据：，，，，结果精确到1cm） （1）求固定点到窗框的距离； （2）若测得，求的长度． 【题型三】与坡度、坡角有关的问题 【典例3-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（   ）厘米． A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为3米，平台的长为2米，用11米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是 ． 【典例3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，某公园为了使残疾人的轮椅行走方便，设想拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过，此公园门前的台阶高出地面米，则斜坡的水平宽度至少需（    ）（精确到米，参考值：） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）河堤的横断面如图所示，堤高是，迎水坡的长是，那么斜坡的坡角度数是 ． 【变式3-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，某拦河坝截面的原设计方案为：，坡角，坝顶到坝脚的距离．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为，由此，点需向右平移至点，请你计算的长（精确到）． 【题型四】与方位角有关的问题 【典例4-1】（2020九年级·浙江温州·学业考试）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【典例4-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，城市A的正东方向处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东和B城的北偏西的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 【典例4-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，一艘船沿正东方向航行，在点A处测得岛C在北偏东方向，行驶海里后，船行到点B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围海里内有暗礁． (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (2)如果渔船在B处改为东偏南方向航行，有无触礁的危险？（参考数据：，，） 【变式4-1】（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（    ） A． B． C． D．130m 【变式4-2】（2023九年级·浙江·专题练习）如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行．当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.01海里） 【变式4-3】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线表示城市高架快速路，为了解快速路对周边居民的噪声影响，勘测师在快速路直线上的处测得小区在的南偏西方向距离为80米，小区在的北偏西方向距离为60米． (1)分别求小区，到快速路（直线）的距离； (2)居住场所与快速路的距离不大于50米时，居民的生活将受到影响．相关部门准备对受到影响的路段加装隔音墙，若每米隔音墙的单价为300元/米，请你判断小区和是否受到影响？如果有影响，计算安装隔音墙所需费用．（参考数据：，，结果保留整数） 【题型五】与仰角、俯角有关的问题 【典例5-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆，小杰从篮球场的点处观察到旗杆顶端的仰角是，往前走50米到点处，再沿着坡度为的阶梯走到足球场的点，米，测得之间的水平距离米，则旗杆的高度为　　米（参考数据：，， A．37.8米 B．42.8米 C．52.8米 D．56.5 米 【典例5-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到0.1米，参考数据：． 【典例5-3】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【变式5-1】（20-21九年级下·浙江·期末）如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，某数学兴趣小组为测量教学楼的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角为，再向前走30米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角为，则教学楼的高是 米． 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【题型六】方案设计问题 【典例6-1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）某校由于操场施工，部分班级体育课需要在学校中央花坛跑步，为了保证运动量达标，需要测量中央圆形花坛的半径．因受限于场地和工具，校数学项目化小组成员设计了如下三种方案，相关数据如图所示．你选择方案 （填“①”或“②”或“③”），则圆形花坛的半径为 （用含表中字母的代数式表示）． 图形            数据条件 ，， ，， ，， 方案 方案① 方案② 方案③ 得分 2分 3分 4分 【典例6-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）某房地产集团筹建一小区，居民楼均为平顶条式，南北朝向，楼高统一为（五层）．已知该城市冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为． (1)如果甲、乙两楼相隔仅有（如图），试求此时甲楼的影子落在乙楼上有多高； (2)根据居住要求，每层楼在冬天都要受到阳光照射，请你重新设计一个方案．（精确到，参考数据：） 【典例6-3】某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的两地，分别有甲，乙两个医疗站，如图，在地北偏东，地北偏西方向上有一牧民区．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． 方案I：从地开车沿公路到离牧民区最近的处，再开车穿越草地沿方向到牧民区． 方案Ⅱ：从地开车穿越草地沿方向到牧民区． (1)求牧民区到公路的最短距离；（结果精确到0.1） (2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（参考数据：，） 【变式6-1】如图(1)所示是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计)，按此方案，可使该家具通过图(2)中的长廊搬入房间．在图(3)中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由(注：搬运过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)． 【变式6-2】如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）． (1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号） (2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？ 【变式6-3】某小区有一块四边形的空地，如图所示，．现计划将其建造成一块绿化地，物业工作人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)物业工作人员测量的是点____________与点____________之间的距离，且该两点之间的距离为____________m； (2)求四边形绿化地的面积； (3)为了更好地对绿地进行灌溉，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点M处铺设管道引水． 方案一：从水源点M处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点M作的垂线，垂足为N，先从水源点M处铺设管道到点N处，再从点N处分别向浇灌点E，F铺设管道． 若．从节约管道材料的角度考虑，应该选择哪个方案？ 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）    A．300cosαm B．300sinαm C． D． 3．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 8．如图，在中，，，，则AB的长为 ． 9．如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．    10．（24-25九年级下·浙江台州·自主招生）如图，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、．则该六边形的面积是 ． 11．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 米．（结果保留根号） 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知斜坡的坡度，坡长米，在斜坡上有一棵银杏树，小李在处测得树顶的仰角为，测得水平距离米．若，点，，，在同一平面上，于点H，则银杏树的高度为 米． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在建筑平台的顶部B处，测得大树的顶部C的仰角为α，且，测得大树的底部D的俯角为 β，且，若平台的高度为，则大树的高度为 ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 15．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，，，，． (1)求的长． (2)求的值． 16．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 17．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．    (1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？ (2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号） 18．（24-25九年级上·浙江金华·期末）综合实践：测量铜像高度． 工具准备：边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 测量步骤：如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得C，B，G三点在同一直线上，将点D对准点G，视线经过边AB上一点F，读取，测得．查阅数据：，，． 计算结果： (1)求的长度． (2)求铜像的高度． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数． ②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． (2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $