专题1.3 解直角三角形（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，系统梳理其定义、边角关系（勾股定理、锐角互余、三角函数）及常见类型解法，构建从基础概念到应用题型的学习支架，衔接7个考点讲练、中考真题与分层练习。 资料以实际问题为载体（如仰角俯角、方位角问题），通过典例精讲与变式训练，培养几何直观（数学眼光）、推理运算能力（数学思维），真题与分层设计助力课中教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题1.3 解直角三角形 （知识荟萃+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：解直角三角形 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解直角三角形的相关计算 3 考点2：解非直角三角形 9 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 12 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 20 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 23 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 27 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 32 中考真题 实战演练 37 难度分层 拔尖冲刺 47 基础夯实 47 培优拔高 56 知识点梳理01：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 【易错点拨】 (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一边一角 一直角边和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【易错点拨】 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 考点1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2025·四川广元·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）经过点，．点在该抛物线上，点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)当时，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求的值． (3)当时，抛物线在、两点间（包括、两点）的部分图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）将点，代入解析式中，得到二元一次方程组，求解即可解答； （2）由题意得到点，，设与x轴的交点为M，连接，待定系数法求出直线解析式为，进而得到点，根据两点间的距离公式求出，，，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而； （3）抛物线的顶点坐标为，分三种情况讨论：①，②，③，分别找出最高点与最低点，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，即可列出方程，求解即可； 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点P在该抛物线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 设与x轴的交点为M，连接， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， 直线解析式为， 令，则， 解得， ∴ ∵， ，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （3）解：抛物线的顶点坐标为， ①当时，最高点为顶点，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∵， ∴都舍去； ③当时，最高点为，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∵， ∴； 综上所述，最高点与最低点的纵坐标之差为时，或． 【变式训练1】（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查圆的性质，，勾股定理，圆周角定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 过作，连接，，由圆周角定理可得，进而得到，再根据是另一侧半圆的中点，得到，继而得到，进而得到，再由，即可得到，即可求． 【规范解答】解：过作，连接，， 是的直径， ， ，， ，， 是另一侧半圆的中点， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，解得， ， ， ，即，解得， ． 故选：C． 【变式训练2】（2025·江苏连云港·二模）如图，矩形中，，，点G是的中点，点P是边上的动点（不与端点重合），如果把四边形沿所在直线翻折，得到四边形点E、F分别与点D、A对应，H点是的中点，连接，当最小时，的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，，判断出H落在上时，的值最小，连接，延长交于点J，过点J作于点K，设交于点T，设，则，从而得到，再由，设，则，，可得，求出m的值，即可求解． 本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵G是的中点， ， ∵， ∴当点H落在上时，的值最小， 如下图，连接，延长交于点J，过点J作于点K，设交于点T， ∵，， ，， ∵， ∴， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 考点2：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【规范解答】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 【变式训练1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【思路点拨】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式训练2】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【规范解答】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）． A．3 B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、三角函数、轴对称-最短路径等知识点，根据轴对称可以确定得使得的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线的距离和的长度，即可求得的面积即可解答．明确题意、灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 【规范解答】解：联立解析式得：，解得：或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交于P，则此时的周长最小， 点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的函数解析式为, ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，，即点P的坐标为， 将代入直线中，得， ∵直线与y轴的夹角是， ∴点P到直线的距离是：， ∴的面积是：． 故选C． 【变式训练1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，弦、交于点，连接、、，，于点．    (1)求证：； (2)为弦中点，过点作，连接，并延长交于，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据在同圆中等弧作对的圆周角相等可得，结合题意可得，即，结合图象可得，根据三角形的外角性质可得，推得，根据三角形的内角和定理可得，根据三角形内角和定理可得，推得，即可推得，即可证明； （2）过点作于点，连接，，，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据在同圆中等弧作对的圆周角相等可得，推得，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，根据等边对等角可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，根据平行线的性质可得，由（2）可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，结合题意和平行线分线段成比例定理可推得，推得，求得，，，，根据等边对等角可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，，根据勾股定理可求得，，根据锐角三角函数的定义可求得，推得，根据勾股定理求得，，根据锐角三角函数的定义可求得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，求得，根据勾股定理求得，根据在同圆中等弧作对的圆周角相等和锐角三角函数的定义可求得，根据勾股定理求得，，根据勾股定理的逆定理可推得是直角三角形，根据的圆周角所对的弦是直径可得是直径，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即． （2）证明：过点作于点，连接，，，如图：      ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵， ∴， 由（2）可得， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，即， 故， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，； 在中，， ∴， 在中，， ； ∵， 在中，； 即，故， ； ∴， 在中，； ∵， ∴， 又∵， ∴； 在中，， ∵， ∴， 即， ； ∵，∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴是直径， 故的直径为． 【变式训练2】（24-25九年级下·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【思路点拨】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【规范解答】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 【答案】长约为米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：米，，，从而可得米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，则题目可解． 【规范解答】解：由题意得： 米，，， 米， （米， 在中，， （米， 在中，， （米， （米， 米， 小明的有效测温区间的长约为米． 【变式训练1】（2024九年级下·天津河西·学业考试）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中求出和，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，， ．即的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，由，得． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． 可得． 在中，， ，即． ． 答：塔的高度约为． 【变式训练2】（2025·山西长治·一模）研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 数据采集：如图，测量小组操作无人机在点处竖直上升34米后飞行至点处，在点处测得旗亭顶端的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得旗亭顶端和点的俯角均为． 数据应用：点在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，计算旗亭的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】15米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，利用在中表示出米，得出米，在中表示出，再由求得结果． 【规范解答】解：在中，，， ， 米， 如图，延长交的延长线于点，则四边形为矩形， 米， 设米，则米， 在中，，则米， 米， 在中，， ， ， 即， 解得． 答：旗亭的高度约为15米． 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中求出，，再利用是等腰直角三角形，从而得到长，即可得到结果． 【规范解答】解：如图，，， 根据题意得，， ∴，， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级下·重庆·月考）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)小依先到停车场，说明见过程 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点B作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求得即可解答； （2）延长交于点I，过点E作于点H，解直角三角形求得小依和小钟走过的路程，再计算时间即可． 【规范解答】（1）解：过点B作于点F，过点B作于点G，则四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：小依先到停车场，说明如下： 如图，延长交于点I，过点E作于点H， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则小依走过的路程为， ∴小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， ∴小钟所用的时间约为， ∵， ∴小依先到停车场． 【变式训练2】（2025·甘肃武威·二模）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【答案】(1)不会穿过古建筑保护群，理由见解析； (2)原计划完成这项工程需要天． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）要求是否穿过古建筑保护群，也就是求到的距离，要构造直角三角形，再解直角三角形即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过作于，设， 由已知有，，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：（米）（米）， ∴不会穿过古建筑保护群； （2）解：设原计划完成这项工程需要天，则实际完成工程需要天． 根据题意得：， 解得：， 经检验知：是原方程的根， 答：原计划完成这项工程需要天． 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【规范解答】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 【答案】(1)不会 (2)平台的长度约为7m 【思路点拨】（1）连接，过点作，交于点，根据，底层与层平行，得出，再根据正切值求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作于点，过点作于点,设，则，根据段和段的坡度，求出的长，最后根据，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：连接，过点作，交于点， ∵，底层与层平行， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴不会碰到头部； 故答案为：不会； （2）解：在中，， ． 如图，过点作于点， 过点作于点． 设，则． 段和段的坡度， ， ， ． 答：平台的长度约为． 【变式训练2】（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·四川乐山·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【规范解答】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； （2）解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图①所示的是某品牌的可伸缩篮球架的侧面抽象图，点可随着伸缩杆的伸缩而转动，从而控制篮球圈离地面的高度．已知，主杆均在主干上，三点共线，，，，，，（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． (1)①________，与的位置关系是________； ②求的长度． (2)在图①的基础上，调节伸缩杆，如图②所示，此时，篮球圈离地面的高度刚好达到国际标准305cm．求绕点顺时针旋转的度数． 【答案】(1)①，垂直，② (2) 【思路点拨】（1）①根据平行四边形的判定定理可知四边形是平行四边形，可得°；由，，可知； ②过点作，垂足为，可求（cm）．由四边形为平行四边形，可得，即可求解； （2）过点作的平行线，过点作的垂线交于点，由，可求，可得，，即可求绕点顺时针旋转的度数． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，垂直； ②如图①，过点作，垂足为． ， ，即． 又 ， （cm）． ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， ． （2）解：如图②，过点作的平行线，过点作的垂线交于点， 则（cm）． ， ， ， ， 绕点顺时针旋转了． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪(如图1)，如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿离教室顶部的高度进行测量，具体过程如下： 方案设计：投影仪垂直于地面，先测量出吊臂、投影屏幕的长度，再选取点，两处分别测得和的度数(，，，在同一条直线上)． 数据收集：通过测量：投影仪的光线夹角，，吊臂为，投影屏幕的高为． 问题解决：求屏幕下边沿离教室顶部的高度(结果保留一位小数)．参考数据： 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】米 【思路点拨】本题考查了三角函数的实际应用，解决本题的关键是能作出正确的辅助线．过作于，过作于，则利用三角函数知识在中，算出与，在中，算出，从而可得的长，最后在中，算出，由此可得． 【规范解答】解：过作于，过作于． 在中， ， ． 在中， ， ． 在中， ． ． 答：屏幕下边沿离教室顶部的高度约为米． 1．（2024·上海·中考真题）在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、余切，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据题意画出图形，过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据余切的定义可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·湖北·中考真题）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【规范解答】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 3．（2024·四川乐山·中考真题）在正方形中，边长为3，点、分别是边、上的点，且，连接、． (1)如图1，与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，若点、分别是、的中点，求证：； (3)延长至点，连接，若，试求与的函数关系表达式． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3) 【思路点拨】（1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出，进一步即可证明结论成立； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，进一步得到即可． 【规范解答】（1）解：设与交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）连接并延长交于G，连接 ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3，， ∴， ∴； ∴， ∵ ∴ （3）过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 4．（2024·江苏连云港·中考真题）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数； （2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度； （3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小． 【规范解答】（1）解：延长交于点X， 由题意得：、， 、是的外角 故答案为：； （2）解：延长交于点Y， ， 、、 由（1）知， 的长约为； （3）解：延长，交于点Z，与于点， 由（1）知 、 作于点，则 根据题意可得 在中，由勾股定理得： 由题意得：， 的长约为． 5．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，中，，，是的角平分线． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F． ②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G． ③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． ④画射线． ⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M． ⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题： (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）由作图可知，，由，，是的角平分线，得，，，过M作于点K，可得四边形为矩形，得，即得； （2）设，则，由矩形及平行线的性质得，由正切关系得，在中，由正切关系求得，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据作图可知，． ，， 为等腰直角三角形，， 又是的角平分线， ，， ∴， 过M作于点K，则，如图所示： 是的角平分线，， ，即， ， ， ∴四边形为矩形， ， ； （2）解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， 即， 在中，， 即， ． 基础夯实 1．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的知识点是三角形解的个数问题，解题关键是熟练掌握三角形有两个解的条件． 设，中，，三角形有两个解的条件是，代入即可求解． 【规范解答】解：设， 中，， 若此三角形有两个， 则有，即 ， 解得且， 的取值范围是 ． 故选：． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【规范解答】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 3．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【规范解答】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 4．（24-25九年级下·上海闵行·月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质以及解直角三角形，先求出新抛物线表达式为，即可求得，过点作轴，垂足为，即可得出． 【规范解答】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线为，即 ， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，． 故答案为：． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．分别求出机器狗下蹲和机器狗站立时的高度，作差即可求出答案． 【规范解答】解： 当机器狗下蹲时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当机器狗站立时，如图，连接，作于点H， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴机器狗由下蹲到站立增高了 故答案为： 6．（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【答案】18 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，根据题意，得到米，，进而求出的长，勾股定理，求出的长即可． 【规范解答】解：过点作于点， 由题意，得：米，， ∴米， ∴米； 故物体从到所经过的路程为18米． 故答案为：18． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为 ．（精确到，，，） 【答案】7.6 【思路点拨】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【规范解答】解：如图，过点D作，垂足为点E，则，， 在中， ∴ ∴ 故答案为：7.6． 8．（24-25九年级下·全国·月考）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 【答案】(1)小路的长为； (2)12秒． 【思路点拨】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴在中， ， ∴小路的长为； （2）如图所示：过B作， 当小狗在小路上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ∵， ∴， 即， ∴， 则， 即， ， ∵由题意可得：， 则， 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【规范解答】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 10．（2025·宁夏银川·一模）如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 【答案】塔高为45米，大楼与塔之间的距离为25.98米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是通过构建直角三角形，利用三角函数关系列方程求解． 设塔高为，通过借助仰角构造直角三角形，利用正切函数关系建立方程求解塔高及楼与塔之间的距离，用到数形结合思想与方程思想． 【规范解答】设塔高为． 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解，得， 这时，（ 答：塔高为45米，大楼与塔之间的距离约是25.98米． 培优拔高 11．（25-26九年级下·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 12．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为，已知斜坡的长度为，，则树的高度是（  ）m． A．30 B． C． D．40 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，平行线的性质， 作，先求出，可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据，求出，接下来根据可得答案. 【规范解答】解：过点D作于点F， 在中，， . ∵， ∴. 在中，. ∵是的外角， ∴， ∴. 在中，， 则， 即. 在中，， 则， 即. 故选：A. 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·江西·模拟预测）如图，点D在等边三角形的边所在直线上运动，交直线于点 F，点E在直线的上方，，且连接．若为等腰三角形，则点 F到直线的距离为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算等知识，过点F作于点G，得出，再根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【规范解答】解：过点F作于点G，如图（1） ∵， ∴． 若是等腰三角形，则可分三种情况讨论． 当时，如图(2)， ∴， 当时， 如图(3)， 此时， ∵， ∴， 又， ∴， 在等腰三角形中， ∴． ∴， 当时，如图(4)， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F是的中点， 又，， ∴是的中位线， ∴． 综上，点F到直线的距离为或 ． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据勾股定理，可得，根据三角形的面积公式，即可得与的函数解析式； （3）作轴于点，由勾股定理可得，可得，作轴于点，作轴于点，四边形是矩形，和为等腰直角三角形，可得，，可得，作，交轴于点，可得，由线段之间的关系，结合锐角三角函数可得，，，由，可得，可得，，，，可得点和点的坐标，从而可得点的坐标． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 16．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【规范解答】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 17．（24-25九年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为． 【规范解答】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故选A 18．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质．连接，证明为等边三角形，可得，然后在中，求出，在中，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】解：如图，连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形． 分别是边的中点，， ， ， 在中， ， 在中，． 故选：D 19．（24-25九年级下·内蒙古赤峰·期中）实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为 ．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】21.8 【思路点拨】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【规范解答】解：过点作于点，于点，如图： 由题可得： 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，则四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形等，求最大值，可转化成求线段最小，即A到线段的距离最小． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ， ∵点、在的两侧， ∴当时，最小，最大， ∵是等边三角形， 综上所述的最大值为． 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 解直角三角形 （知识荟萃+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：解直角三角形 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解直角三角形的相关计算 3 考点2：解非直角三角形 4 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 5 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 7 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 8 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 10 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 11 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 19 知识点梳理01：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 【易错点拨】 (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一边一角 一直角边和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【易错点拨】 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 考点1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2025·四川广元·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）经过点，．点在该抛物线上，点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)当时，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求的值． (3)当时，抛物线在、两点间（包括、两点）的部分图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 【变式训练1】（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·江苏连云港·二模）如图，矩形中，，，点G是的中点，点P是边上的动点（不与端点重合），如果把四边形沿所在直线翻折，得到四边形点E、F分别与点D、A对应，H点是的中点，连接，当最小时，的长为 ． 考点2：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【变式训练1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【变式训练2】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）． A．3 B． C． D．2 【变式训练1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，弦、交于点，连接、、，，于点．    (1)求证：； (2)为弦中点，过点作，连接，并延长交于，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的直径． 【变式训练2】（24-25九年级下·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 【变式训练1】（2024九年级下·天津河西·学业考试）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【变式训练2】（2025·山西长治·一模）研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 数据采集：如图，测量小组操作无人机在点处竖直上升34米后飞行至点处，在点处测得旗亭顶端的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得旗亭顶端和点的俯角均为． 数据应用：点在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，计算旗亭的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级下·重庆·月考）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【变式训练2】（2025·甘肃武威·二模）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 【变式训练2】（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·四川乐山·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【变式训练1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图①所示的是某品牌的可伸缩篮球架的侧面抽象图，点可随着伸缩杆的伸缩而转动，从而控制篮球圈离地面的高度．已知，主杆均在主干上，三点共线，，，，，，（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． (1)①________，与的位置关系是________； ②求的长度． (2)在图①的基础上，调节伸缩杆，如图②所示，此时，篮球圈离地面的高度刚好达到国际标准305cm．求绕点顺时针旋转的度数． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪(如图1)，如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿离教室顶部的高度进行测量，具体过程如下： 方案设计：投影仪垂直于地面，先测量出吊臂、投影屏幕的长度，再选取点，两处分别测得和的度数(，，，在同一条直线上)． 数据收集：通过测量：投影仪的光线夹角，，吊臂为，投影屏幕的高为． 问题解决：求屏幕下边沿离教室顶部的高度(结果保留一位小数)．参考数据： 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 1．（2024·上海·中考真题）在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为 ． 2．（2024·湖北·中考真题）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 3．（2024·四川乐山·中考真题）在正方形中，边长为3，点、分别是边、上的点，且，连接、． (1)如图1，与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，若点、分别是、的中点，求证：； (3)延长至点，连接，若，试求与的函数关系表达式． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 5．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，中，，，是的角平分线． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F． ②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G． ③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． ④画射线． ⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M． ⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题： (1)求的度数； (2)求的值． 基础夯实 1．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海闵行·月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了 ． 6．（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为 ．（精确到，，，） 8．（24-25九年级下·全国·月考）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 10．（2025·宁夏银川·一模）如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 培优拔高 11．（25-26九年级下·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 12．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为，已知斜坡的长度为，，则树的高度是（  ）m． A．30 B． C． D．40 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 14．（2024·江西·模拟预测）如图，点D在等边三角形的边所在直线上运动，交直线于点 F，点E在直线的上方，，且连接．若为等腰三角形，则点 F到直线的距离为 ． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 16．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 17．（24-25九年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·内蒙古赤峰·期中）实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为 ．（结果精确到0.1，参考数据：） 20．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $