第02讲 锐角三角函数的计算（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第02讲 锐角三角函数的计算（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用计算器求锐角的三角函数值 知识点02：已知锐角三角函数值求对应锐角 典例分析 （举三反三） 考点1：用计算器探索锐角三角函数间的关系 考点2：用计算器解直角三角形的实际问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（5） 三、解答题（6） 【知识点01】用计算器求锐角的三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按&1& （或&2&）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助&4&键计算，按键顺序为：&5&（或&6&）、度数、&7&、分数、&8&、秒数、&9& 、，，，，，，。。 【知识点02】已知锐角三角函数值求对应锐角 已知三角函数值求锐角度数，要用到键的第二功能“ , , ”. 具体操作步骤：先按键，然后按 或或键，再输入三角函数值，最后 按键，屏幕上就会显示出结果. 如果再按“ ”键，就换算成“度分秒”的形式. 【题型一】用计算器探索锐角三角函数间的关系 【典例1-1】若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（        ） A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60° 【典例1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）． 【典例1-3】通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①_______； ②_______； ③_______； ④_______； ⑤_______． 猜想：已知，则_______； 【变式1-1】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习） （填“或”）． 【变式1-3】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 锐角 … … … 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 【题型二】用计算器解直角三角形的实际问题 【典例2-1】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅直高度上升了，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 【典例2-3】如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下的A处，射线从肿瘤右侧的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角． 【变式2-1】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，测量河宽（河的两岸平行），在点测得，则河宽约为 m．（用科学计算器计算，结果精确到） 【变式2-3】随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s． （1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么； （2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75） 一、单选题 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2． 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 4．若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则 ． 8．比较与的大小，结果为： ． 9．比较三角函数值的大小：sin30° cos30°(填入“＞”或“＜”)． 10．已知α为锐角，且，则 ．（精确到） 11．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，，，则 ． 三、解答题 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 13．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数． (1)，； (2)，； (3)，． 14．计算： (1) ； (2)已知为锐角，，计算的值． 15．根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 16．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 17．如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 锐角三角函数的计算（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用计算器求锐角的三角函数值 知识点02：已知锐角三角函数值求对应锐角 典例分析 （举三反三） 考点1：用计算器探索锐角三角函数间的关系 考点2：用计算器解直角三角形的实际问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（5） 三、解答题（6） 【知识点01】用计算器求锐角的三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按&1& （或&2&）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助&4&键计算，按键顺序为：&5&（或&6&）、度数、&7&、分数、&8&、秒数、&9& 、，，，，，，。。 【知识点02】已知锐角三角函数值求对应锐角 已知三角函数值求锐角度数，要用到键的第二功能“ , , ”. 具体操作步骤：先按键，然后按 或或键，再输入三角函数值，最后 按键，屏幕上就会显示出结果. 如果再按“ ”键，就换算成“度分秒”的形式. 【题型一】用计算器探索锐角三角函数间的关系 【典例1-1】若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（        ） A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60° 【答案】C 【分析】首先明确cos60°=0.5，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析． 【详解】解：∵cos60°=0.5，余弦函数随角增大而减小， ∵∠A为锐角， ∴∠A>60°． 故选：C． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【典例1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【典例1-3】通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①_______； ②_______； ③_______； ④_______； ⑤_______． 猜想：已知，则_______； 【答案】①=；②=；③=；④=；⑤=；猜想：=； 【分析】根据计算器计算即可得出结论； 【详解】①=； ②=； ③=； ④=； ⑤=． 猜想：已知，则=； 【变式1-1】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出． 【变式1-2】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习） （填“或”）． 【答案】 【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键． 利用正切的增减性解答． 【详解】解：∵在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． 【变式1-3】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 锐角 … … … 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 【答案】见解析，随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大 【分析】利用计算器计算出各函数值，再观察表格由此得到答案． 【详解】解： 锐角A … … … … 0.2588 0.3090 0.3420 0.3746 … 0.9848 0.9903 0.9945 … … 0.9659 0.9511 0.9397 0.9272 … 0.1736 0.1392 0.1045 … … 0.2679 0.3249 0.3640 0.4040 … 5.6713 7.1154 9.1544 … 随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大． 理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大． 【点睛】此题考查利用三角函数数值表求各角度的三角函数值，根据数据变化总结规律，熟记三角函数值的计算方法是解题的关键． 【题型二】用计算器解直角三角形的实际问题 【典例2-1】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅直高度上升了，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：B． 【典例2-2】一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 【答案】 【分析】根据题意可以得到梯子与地面所成锐角的余弦值，从而可以求得梯子与地面所成锐角的度数． 【详解】设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为， ∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米， ∴， 解得：. 故答案为. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握用科学计算器计算角度. 【典例2-3】如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下的A处，射线从肿瘤右侧的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角． 【答案】 【分析】在直角△ABC中，利用正切函数即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵tan∠CBA＝ ， ∵AC＝6.3cm，BC＝9.8cm， ∴tan∠CBA＝ ， ∴∠CBA≈． 【点睛】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 【变式2-1】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 【变式2-2】如图，测量河宽（河的两岸平行），在点测得，则河宽约为 m．（用科学计算器计算，结果精确到） 【答案】 【分析】由求，可利用，得到，代入数值即可求出． 【详解】， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式2-3】随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s． （1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么； （2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75） 【答案】（1）[2，45°]；（2）[2.5，98°]． 【分析】（1）求出∠AOB与OA的大小即可得解； （2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，根据勾股定理可以求得PC的值，然后根据锐角三角函数的定义可以得到∠DAC的值，从而得到答案． 【详解】解（1）作AB⊥x轴， ∵A（2，2）， ∴OA=2， ∴∠AOB=45°， ∴给机器人发的指令为：[2，45°]； （2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x， 在Rt△ABC中：， 解得x=2.5， 又∵tan∠BAC=， ∴∠BAC=37°， ∵∠OAB=45°， ∴∠OAC=37°+45°=82°， ∴∠DAC=180°-82°=98°， ∴输入的指令为[2.5，98°]． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算及旋转的综合应用，在给定的定义框架下利用勾股定理及锐角三角函数求解是解题关键． 一、单选题 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的增减性，特殊角的三角函数值， 根据三角函数得增减性判断，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案. 【详解】解：因为当α为锐角时， 的值随α的增大而增大，的值随α的增大而减小， 所以． 又因为，，且， 所以． 所以． 故选：C． 2． 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 3．角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 4．若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【答案】A 【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状． 【详解】解：由题意得：，， 即，， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，与三角板有关的角度的计算．根据，得到，进而得到，平行，得到，再根据邻补角进行求解即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴， ∴； 故选B． 6．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   【答案】B 【分析】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可． 【详解】， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时， 按键顺序为   故选：B． 【点睛】本题考查用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据与确定使用的三角函数是解题关键． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊的锐角三角函数值．根据特殊的锐角三角函数值求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．比较与的大小，结果为： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的大小比较，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．比较三角函数值的大小：sin30° cos30°(填入“＞”或“＜”)． 【答案】＜ 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入比较得出答案． 【详解】解：∵sin30°＝，cos30°＝． ∴sin30°＜cos30°． 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 10．已知α为锐角，且，则 ．（精确到） 【答案】0.9769 【分析】本题主要考查了已知三角函数值利用计算器求角的度数，以及已知角的度数，用计算器求三函数值，先按键，再按4.567，再按“”得出，然后再按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“”得出答案即可； 【详解】解：用计算器计算，得， 所以． 故答案为：0.9769． 11．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解答本题的关键． 根据题意画出三角形，通过已知条件，表示出，，的长，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 如图，，， 设，， 则， ． 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可； （2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A=44.4°，B=0.57°；(2)A=81.4°，B=36.9°；(3)A=67.4°，B=26.6°. 【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数． 【详解】(1)解：，得；A=44.4° 得； (2)解：，得； ，得； (3)解：由，得； 由，． 【点睛】本题考查了计算器-三角函数，本题结合计算器的用法，熟练掌握计算器的用法是解题关键． 14．计算： (1) ； (2)已知为锐角，，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算； （2）根据特殊角的三角函数值，确定特殊角的度数，再代入式子计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：为锐角，， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 15．根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.675”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.0789”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“35.6”，然后按“” 得出答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 16．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，见解析 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， 则． 故为直角三角形． 17．如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【答案】30度或150度 【分析】分两种情况：第一种情况，如图1，过点E作于点Q，过点A作于点P，证明，可得；第二种情况，如图2，当时，同法可证，从而可知旋转角α的度数． 【详解】解：如图1中，过点E作于点Q，过点A作于点P， ，， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， 旋转角α的度数； 如图2中，当时，过点E作交BC延长线于点Q，过点A作于点P， 同理可证，， ， 旋转角α的度数， 综上可知，当旋转角为30或150度时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，角的正弦值知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $