第01讲 锐角三角函数（知识详解+6典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第01讲 锐角三角函数（知识详解+6典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：锐角三角函数的概念 知识点02：30°，45°，60°角的三角函数 知识点03：同角及互余两角的三角函数间的关系 典例分析 （举三反三） 考点1：求锐角的三角函数值 考点2：已知锐角的一个三角函数值，求其他量 考点3：含特殊三角函数值的混合计算 考点4：构造直角三角形求锐角的三角函数值 考点5：构造直角三角形求斜三角形面积 考点6：锐角三角函数与一元二次方程的综合 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（5） 【知识点01】锐角三角函数的概念 1.正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在 中， ， 的对边与斜边的比叫做 的正弦，记做 ，即 . 在 中， , . 余弦 在 中， ， 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记做 ，即 . 在 中， ， . 正切 在 中， ， 的对边与邻边的比叫做 的正切，记做 ，即 . 在 中， ， . 2.常见的表示方法： ①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“ ”，如 ， ， ， ， ， 等； ②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“ ”不能省略，如 不能写成 ， 不能写成 等. 3.三角函数：锐角 的正弦、余弦和正切统称 的三角函数. 4.取值范围： 任意锐角的正弦、余弦和正切的值都是正实数. 如图所示,在 中, , , . , ,即 . 同理 ,而 , 故 , , 【知识点02】 ， ， 角的三角函数值 根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得 ， ， 角的 三角函数 三角函数值 角 1 三角函数值.列表如下： 【知识点03】同角及互余两角的三角函数间的关系 （1） , , , （2） , （3）发现 同一锐角三角函数之间的 关系 平方关系 商的关系 互余两角三角函数之间的关系 ， 理由： ， , ， ， 【题型一】求锐角的三角函数值 【典例1-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则的余弦值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及求余弦值，解决本题的关键是熟练掌握三角函数，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， 由锐角三角函数的定义可知， 的余弦值，即， 故选：B． 【典例1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点P在格点的外接圆上，连接，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，由，得，再由勾股定理求出的长即可推出结果． 【详解】解：如图， ∵点P在格点的外接圆上，， ∴， ∴， 设每个小正方形的边长为1，则，， ∴， 故答案为：． 【典例1-3】把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'． (1)求∠B'EE'的度数； (2)求∠DAC的正切值． 【答案】(1)22.5° (2)tan∠DAC＝ 【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB'为正方形．△AEE'为等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，进而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°； （2）设正方形ABEB'的边长为a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAB'＝90°， ∴四边形ABEB'为矩形， 又∵AB＝AB'， ∴四边形ABEB'为正方形， ∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°， 又∵沿AC折叠，点E也落到AD上， ∴AE＝AE'， ∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°， ∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67.5°﹣45°＝22.5°． （2）设正方形ABEB'的边长为a，如图所示： 则AB＝BE＝EB'＝B'A＝a，AE＝＝AE'， ∴B'E'＝AE'﹣AB'＝， 由折叠可知，AC垂直平分EE'， ∴∠DAC+∠AE'F＝90°， 又∵∠B'EE'+∠AE'E＝90°， ∴∠DAC＝∠B'EE'， ∴tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝＝＝． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练正方形的判定和性质是解题的关键． 【变式1-1】如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接CM，DN，根据题意可得，从而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：取格点M， 连接CM，在CM上取格点N，连接 DN， 由题意得：， ∴∠APD＝∠NCD， 由题意得： ，，， ∴， ∴△CDN是直角三角形， ∴tan∠DCN＝＝＝3， ∴∠APD的正切值为3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求正切值，勾股定理逆定理， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-2】（2024九年级下·浙江·专题练习）在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、等角对等边，过作交于，设，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过作交于， 设， ∵，， ∴， ∴由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，求与轴正方向所夹锐角的正弦值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，坐标与图形的性质，过点作轴，则，由勾股定理求出，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：过点作轴，， ． 在中，由勾股定理得， 因此． 【题型二】已知锐角的一个三角函数值，求其他量 【典例2-1】在中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解直角三角形和勾股定理，设，则，然后求出，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， 设，则， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握解直角三角形，正确的求出的长度和对应角的三角函数值． 【典例2-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求角的正弦值．根据正切值，设，勾股定理得到、利用正弦值的定义，进行求解即可．掌握三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则：， ∴； 故答案为：． 【典例2-3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形中，是锐角，且． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角，勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握勾股定理解直角三角形，等腰三角形性质，正弦和正切定义，是解决问题的关键． （1）过点作交于点，根据正切值得到， 设，根据勾股定理推出，即得． （2）设，得到，根据勾股定理得到， 根据，推出，即得． 【详解】（1）如图，过点作交于点， ， 设， ， ． （2）设， 则 ， ， ． 【变式2-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据题意设，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 设， ， ， 故选：A． 【变式2-2】已知中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题． 【详解】解：如图． ∵，， ∴设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：等腰三角形中，，是锐角，且． (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及解三角形，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）作，设，根据求出即可求解； （2）由（1）可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：作， ∵， ∴设 则 ∴ （2）解：由（1）得：， ∴ ∵，， ∴， 解得：（舍去） ∴ 【题型三】含特殊三角函数值的混合计算 【典例3-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【典例3-2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 【典例3-3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案． 【详解】解： ． 【变式3-1】（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简各个特殊角的三角函数值，再运算乘方，以及乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式3-3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．直接把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型四】构造直角三角形求锐角的三角函数值 【典例4-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，O三点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点构造直角三角形． 在边长为1的小正方形组成的网格中，的边长可以利用勾股定理求出，然后过点A作，交于点C，构造直角三角形，利用三角形面积公式求出，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：由图可知 ， ， ， 过点A作，交于点C， ，， ， ∴在中，， 故选：A． 【典例4-2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可． 【详解】解：连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【典例4-3】如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． (1)求BC的长； (2)利用此图形求tan15°的值． 【答案】(1)16-2； (2)2- 【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果； （2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出结果． 【详解】（1）解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=2， CD=AC•cos30°=4×=2， 在Rt△ABD中，tanB=， ∴BD=16， ∴BC=BD-CD=16-2； （2）解：在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示： ∵∠ACB=150°， ∴∠AMC=∠MAC=15°， ∴tan15°=tan∠AMD=． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正切的定义，网格线的特点，取格点D，连接，易得，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：取格点D，连接， 由网格线的特征得：， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，，三点均在正方形网格的格点上，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的逆定理；连接，判断出是等腰直角三角形，即可求解；掌握性质，构造直角三角形，并判断出是解题的关键. 【详解】解：如图，连接，    由图可知：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】如图，定义：在Rt△ABC中，∠C =90°,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即cotα=. 根据上述角的余切定义，解答下列问题： （1）cot60°= . （2）求cot15°的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）根据直角三角形的性质用BC表示出AC的值，再根据新定义进行解答即可. （2）作△DEG，使DE=GE，∠D=15°，构造含30度角的直角三角形求解即可. 试题解析：（1）∵，∴. （2）如图，作△DEG，使DE=GE，∠D=15°. 过点G作GH⊥DE的延长线于点H. ∵ED=EG，∠D=15°．∴∠2=30°， 在Rt△GEH中，∵∠H ="90°," ∠2=30°， ∴设GH=x，则EH= ，GE=DE=2x, ∴DH= DE+EH=2x+ ∴cot15°= 考点：1．新定义；2．锐角三角函数的定义；3.勾股定理． 【题型五】构造直角三角形求斜三角形面积 【典例5-1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为 【分析】（1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长； （3）根据面积公式直接计算可得． 【详解】（1）∵为锐角且， ∴； （2）过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； （3）． 【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 【典例5-2】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）在中，AB=6，BC=4，B为锐角且cosB. (1)求∠B的度数. (2)求的面积. (3)求tanC． 【答案】（1）60°；（2） ；（3） 【分析】(1)直接利用三角函数值，即可求出∠B的度数；(2) 过A作AD⊥BC于D，根据cosB，可求出BD的值，利用勾股定理可求出AD的值，即可求得的面积；（3）利用正切概念即可求得tanC的值； 【详解】解： （1）∵B为锐角且cosB， ∴∠B=60°； （2）如图，过A作AD⊥BC于D， 在Rt中，cosB， ∵AB=6， ∴BD=3， ∴， ∴， (3)∵BD=3，BC=4， ∴CD=1， ∴在Rt中，tanC. 【点睛】本题考查了三角函数的定义及性质，掌握三角函数的性质是解题的关键. 【典例5-3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． （1）过点作，垂足为，可得，即，然后根据三角函数的知识可求得，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先求得，在中，再根据勾股定理和三角函数即可求解； 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图： ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中， ， 在中， ． 【变式5-1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 【变式5-2】如图，在中，是边上的高，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）在中，根据，可得，再由勾股定理可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 【变式5-3】（九年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积． 【答案】10，24+18 【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出BD，根据正切的定义求出AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【详解】解：作CD⊥AB于D， 在Rt△CDB中，∠B＝30°， ∴CD＝BC＝6，BD＝BC•cosB＝12×＝， 在Rt△ACD中，tanA＝， ∴，即， 解得，AD＝8， 由勾股定理得，AC＝， △ABC的面积＝×AB×CD＝×（8+6）×6＝24+18． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键． 【题型六】锐角三角函数与一元二次方程的综合 【典例6-1】若∠α为锐角，且tanα是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】运用因式分解法解方程，根据锐角三角函数值都大于0，确定tan的值，再根据锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：解方程得 x＝﹣1或x＝3. ∵tan＞0， ∴tan＝3. 设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1. 根据勾股定理，得斜边是． 所以sinα＝． 故选：D． 【点睛】此题综合考查了一元二次方程的解法和锐角三角函数的知识． 【典例6-2】已知（为锐角），满足方程，则 ． 【答案】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，筛选的值代入即可解题． 【详解】 ∵（为锐角）， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【典例6-3】已知，且关于x的方程的两个根的平方和等于10，则以，为根的关于y的一元二次方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据特殊角三角函数值求角的度数以及求特殊角三角函数值，设关于x的方程的两个根分别为m、n，由根与系数的关系得到，再由完全平方公式的变形得到，即．解方程得到，则，即可得到，据此写出对应的方程即可． 【详解】解：设关于x的方程的两个根分别为m、n， ∴， ∵关于x的方程的两个根的平方和等于10， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴以，为根的关于y的一元二次方程为， 故答案为：． 【变式6-1】关于的一元二次方程=0有两个相等的实数根，则锐角 ． 【答案】45° 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，则tanα＝1，然后利用特殊角的三角函数值求α的值． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0， 所以tanα＝1， 所以锐角α＝45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值． 【变式6-2】已知：sin，cos（0°＜＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(+1)x+m＝0的两个实数根，试求角的度数. 【答案】＝30°或60°. 【分析】由根与系数的关系，得出sin+cos＝，sincos＝，再利用(sin+cos)2＝sin2+cos2+2 sincos＝1+2 sincos，求解出m的值，再把m＝代入原方程求解即可. 【详解】由根与系数的关系，得：sin+cos＝，sincos＝， ∵(sin+cos)2＝sin2+cos2+2 sincos＝1+2 sincos， ∴()2＝1+2×，解得：m＝， 把m＝代入原方程得：2x2－(+1)x+＝0， 解这个方程得：x1＝，x2＝， ∴sin＝或sin＝， ∴＝30°或60°. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及三角函数值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是关键． 【变式6-3】已知m，n为实数，关于x的方程恒有三个不相等的实数根． (1)求n的最小值； (2)若该方程的三个不相等实根恰为一直角三角形的三条边长，求直角三角形较小角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式确定答案； （2）先解方程，再利用勾股定理进行计算，求出直角三角形的三边，进一步即可求得较小角的正弦值． 【详解】（1）解：由原方程得：，， 两方程的判别式分别为：，， ∵原方程有三个根， ∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即中必有一个大于0，一个等于0，比较，显然， ∴，， ∴，即， ∴n的最小值为； （2）解：由，知，得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵三个不相等实根恰为一直角三角形的三条边长， ∴， ∴，（舍去）， ∴直角三角形的三条边长为6、8、10， ∴． ∴较小角的正弦值为． 一、单选题 1．已知，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数先求出角度再计算正切值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为B． 【点睛】本题考查特殊角三角函数的求值，解题的关键是先根据三角函数值知道角度． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在中，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同角三角函数的关系．先根据正切的定义得到，则可设，，利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴， 设，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，的长为， 故， 故选：B． 5．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 【详解】解：如图， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据同角的余角相等得，由知，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 故选：B． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切、余弦值，由，设，则，通过定理求得，然后利用即可求解，解题的关键在于求出三边的数量关系． 【详解】解：在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 二、填空题 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：∵在中，，， ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，如图： 在中，，， ， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于点O，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，取格点F，连接，，首先证明出，然后利用代数求解即可． 【详解】如图所示，取格点F，连接，， ∴设正方形网格的边长为1， ∴，， ∴ ∴ 由网格特点可得， ∴ ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习） ；若，则锐角 ． 【答案】 40 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键，根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ； ∵，为锐角， ， ， 故答案为：，40． 14．（2024九年级下·浙江·专题练习）在Rt中，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含的直角三角形三边关系，特殊角三角函数值．根据题意计算出度数，再利用特殊角三角函数值即可解答． 【详解】解：∵Rt中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【详解】解：过作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图， 在的正方形方格纸中，的顶点在格点上， (1)直接写出 . (2)仅用直尺， 画出 的平分线 . 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查求正切，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题； （1）利用网格特征，寻找直角三角形解决问题即可； （2）取格点，连接，取的中点，作射线． 【详解】（1）如图，． 故答案为：； （2）如图，射线即为所求， 18．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在6×6的正方形方格纸中，的顶点在格点上． (1)直接写出______． (2)仅用直尺，画出的平分线，并写出______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用网格特征，寻找直角三角形解决问题即可； （2）取格点，连接，取的中点，作射线． 【详解】（1）如图，． 故答案为：； （2） 如图，射线即为所求， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 19．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． …① …② …③ (1)错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可 (2)写出正确解答步骤． 【答案】(1)① (2)，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值． （1）先观察算式，找出三角函数值错误的地方即可； （2）把几个特殊角的三角函数值代入算式进行计算即可． 【详解】（1）解：错误的步骤是：①， 故答案为：①； （2）解：正确解答步骤为： ． 20．如图，在中，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求出BC； （2）根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：（1）． ． （2）， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键． 21．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)2 【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到； （2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示： 设， 在中，，则， 即，解得， ∵， ，解得， ∴， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， ∴， ∴； （2）解：∵为中线，， ∴， ， ∴， 在中，，，则． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第01讲锐角三角函数（知识详解+6典例分析+习题巩固） sin30°=7sin45= sin A= ∠A的对边。a 正 弦 2 斜边 C 弦 在Rt△ABC 锐角 30°，45° ∠A的邻边-b 余 定 30= 2,C0s45°= cos A=- 余 斜边 中，∠C=90° 60°角的三 弦 义 三角 函数 角函数值 弦 2 s60 tan A= ∠A的对边 a 正 ∠A的邻边 正 √3 切 tan30°=3，tan45°=l, 切 tan60o=√J3 sinA=cosB=cos(90°-∠A), sin2A+cos2A=1 cosA=sinB=sin(90°-∠A) 互余两 三角函数 同角 角关系 之间的关 关系 tan A.tan B=1 系（拓展） tan A=sin A cos A 子 目标导航 知识详解 知识点01：锐角三角函数的概念 知识点02：30°，45°，60°角的三角函数 知识点03：同角及互余两角的三角函数间的关 系 典例分析 考点1：求锐角的三角函数值 考点2：已知锐角的一个三角函数值，求其他 量 (举三反三) 考点3：含特殊三角函数值的混合计算 考点4：构造直角三角形求锐角的三角函数值 考点5：构造直角三角形求斜三角形面积 考点6：锐角三角函数与一元二次方程的综合 习题巩固 一、 单选题(8) 二、填空题(8) 三、解答题(5) o识详解 【知识点01】锐角三角函数的概念 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 1.正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 在Rt△ABC中， B ∠C=90 ∠A 的对边与斜边的比叫做 在Rt△ABC中， ∠A的正弦，记做 斜边c 正弦 sin A 即 ∠A的对边a ∠C=90,sinA=0 sin A= LA的对边 斜边 A C ∠A的邻边b 在 Rt△ABC 中， 在Rt△ABC B ∠C=90° ∠A 的邻边与斜边的比叫做 ∠A的余弦，记做 中， 斜边c 余弦 LC=90°， ∠A的对边a cos A 即 Cos A= ∠A的邻边 斜边 cos A=ib c ∠A的邻边b 在 Rt△ABC中， B ∠C=90° ∠A 的对边与邻边的比叫做 在Rt△ABC中， ∠A的正切，记做 ∠C=90°， 斜边c 正切 ∠A的对边a tan A 即 tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A ∠A的邻边b 2常见的表示方法： ①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号”∠”，如siA,cosA, tanA,sina,cosa,tanc等； ②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号”∠”不能省略，如si∠ABC不能写成 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 sin ABC c0s∠1 不 能 写 成 cos 1 等 3.三角函数： 锐角Qα 的正弦、余弦和正切统称 ∠a 的三角函数. 4.取值范围： 任意锐角的正弦、余弦和正切的值都是正实数， 如圈所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=a,sina=9 .0<a<c .0<0<1 即 0<sin a<1 C 同理0<cosa<1,而tang=0>0, 6 0<sin a<1,0<cos a<1,tan a>0 知 识 点 02 】 30 45 60° 角的三角函数值 根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得30°，45°，60°角的 三角函数值列表如下： 三角函数 三角函数值 sin a cos a tan a 角a 30° V3 3 2 2 3 45° 2 2 1 2 60 3 1 2 2 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 【知识点03】同角及互余两角的三角函数间的关系 (1)sin A=cocos L(tanA=号，tanB=为 a (3)发现 平方关系 sin2 A+cos2 A=1 同一锐角三角函数之间的 关系 商的关系 tan A=sin A cos A sinA=cos90°-∠A=cosB 互余两角三角函数之间的关系 ∠A+∠B=90° cosA=sin90°-∠A=sinB tanA·tanB=1 a 理由：sin2A+cos2A= + sin A-c=a=tan A, ab=t是=1，COS A b字 sB=0s90-∠A=snA=是，snB=sinl90-∠A=csA=名， tan A.tan B=4.b=1 b a 4 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 典例分新 【题型一】求锐角的三角函数值 【典例1-1】(23-24九年级上浙江杭州：阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,则∠B的余弦值 是() A. 5 B. 4-5 c .3 【典例1-2】(24-25九年级上浙江杭州阶段练习)如图，已知点P在格点△ABC的外接圆上，连接PB、PC,则 ∠BPC的正弦值为一· 【典例1-3】把矩形纸片ABCD,先沿AE折叠使点B落在AD边上的B',再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为 E. B E D B (1)求∠BEE的度数： (2)求∠DAC的正切值. 5 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 【变式1-1】如图，A,B,C,D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P,则∠APD的正切值为() D A.3 B.2 C.2V2 D.3 【变式1-2】(2024九年级下·浙江·专题练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,则cos(∠A-∠B)=一· 【变式1-3】(2025九年级下·浙江·专题练习)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4,连接0P,求0P与x轴正 方向所夹锐角的正弦值. yA 4F P(3,4) 3 2 1 01234x 6 1,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期昧。。 【题型二】已知锐角的一个三角函数值，求其他量 【奥例2】在R1△4BC中，∠C=0,若am4 4,则sinB的值是（) 3 A.5 B.5 c D.3 例2-2】(23-24九年级上浙江宁波期末)在RtA4BC中，∠C=90·若an4 4,则sinB的值是一 【典例2-3】(23-24九年级上浙江金华期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A是锐角，且 an4= 3,BC=4V6. ⊙ (1)求sinA; (2)求AB的长. 【变式2-】2425九年级上浙江宁波阶段练D在RAC中，ZC=90,sinA F5,则tanB的值为() 4 4 A.3 B.5 C. 3 D. 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式2,2】已知△4BC中，∠A=90°，amB=2,则sinC=一 【变式2-3】(23-24九年级上·浙江杭州：阶段练习)已知：等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A是锐角，且 5 tan 4= 2 (1)求sinA: (2)若BC=23,求AB的长. 【题型三】含特殊三角函数值的混合计算 cos45 【典例3-1】(24-25九年级上·浙江杭州阶段练习) tan60°-sin60° 【典例3-2】(24-25九年级上·浙江金华期末)计算：sin45°+2cos30°-tan60°+(-1)2s 【典例3-3】(24-25九年级下·浙江杭州：阶段练习)计算：2cos30°-tan60°+sin245°cos45°. 8 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式3-1】(22-23九年级上·浙江绍兴阶段练习)计算：2cos30°+√2sin45°-tan260°-tan45°= 【变式3-2】(24-25九年级下，浙江杭州：阶段练习)计算：2cos245°+tan45°-2sin60° 【变式3-3】(24-25九年级上·浙江宁波期末)计算：sin45°-2cos30°+tan60°. 【题型四】构造直角三角形求锐角的三角函数值 【典例4-1】(24-25九年级上·浙江绍兴·期末)如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,O三点均在格 点上，则sin∠AOB的值是() B 3 4 A.5 B.5 c 4 D.3 【典例4-2】(24-25九年级上·浙江金华阶段练习)如图，∠ABC是放置在正方形网格中的一个角，A、B、C都是 格点，则cos∠ABC的值为() 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A.I B. 5 C.36 5 D.5 1 【典例4-3】如图，在△ABC中，∠C=150°，AC-4,anB8 (I)求BC的长； (2)利用此图形求tanl5°的值. B C 【变式4-1】(24-25九年级上·浙江绍兴·期末)如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tan4= B 【变式4-2】(23-24九年级上·浙江金华·期末)如图，A,B,C三点均在正方形网格的格点上，则Cos∠BAC的值为 10