第03讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

第03讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系 知识点03：二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系 典例分析 （举三反三） 考点1：二次函数图像与x轴的交点情况 考点2：用逼近法求一元二次方程根的近似值 考点3：利用二次函数图像确定不等式的解集 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数图像与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，从二次函数y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的图像可知：如果抛物线y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)的一个根. 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根x= 有两个相等的 实数根 x1=x2=－ 没有实数根 b2－4ac>0 b2－4ac>0 b2－4ac>0 二次函数y= ax2＋bx＋c (a≠0)的图像 a>0 b<0 b>0 对称轴位于y轴左侧 二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 a<0 b>0 b<0 对称轴位于y轴左侧 抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 【知识点02】二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，因此可以借助二次函数的图像求一元二次方程的解. (1)作出二次函数y=ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的个数就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解的个数. (2)观察图像，函数图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，当函数图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解. 【知识点03】二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系 字母或式子的符号 图像的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 － b=0 对称轴为y轴 ab>0(a、b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a、b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图像过原点 c>0 图像与y轴正半轴相交 c<0 图像与y轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac=0 图像与x轴有唯一一个交点 b2－4ac>0 图像与x轴有两个交点 b2－4ac<0 图像与x轴没有交点 【题型一】二次函数图像与x轴的交点情况 【典例1-1】（22-23九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与轴交于点，点的坐标为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 【典例1-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）已知，抛物线，若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及B点坐标． 【变式1-1】（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　） A． B． C．或3 D．或 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知抛物线 (1)当为何值时，抛物线与轴有两个不同交点？ (2)若抛物线与轴的两交点分别为、，且，求的值 【题型二】用逼近法求一元二次方程根的近似值 【典例2-1】根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1） 【典例2-3】（22-23九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 ． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏泰州·期中）观察表格，一元二次方程最精确的一个近似解 （精确到）． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 【变式2-3】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 【题型三】利用二次函数图像确定不等式的解集 【典例3-1】（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（    ）    A． B． C．或 D．或 【典例3-2】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【典例3-3】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)方程的两个根为____________，不等式的解集为____________； (2)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_________； (3)若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，求t的取值范围． 【变式3-1】（23-24九年级下·江苏盐城·期中）若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（    ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）二次函数的图像如图所示，若关于的一元二次方程（为实数）的解满足，则的取值范围是（     ）    A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知函数的相关数据如下图所示，通过以往学习函数的经验请判断下列说法正确的有（    ） …… 0 1 2 4 ……. …… 2 1 …… ①；②若，则；③当，方程始终有两个不等解． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知方程的两根为1和3，则抛物线的对称轴为直线 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是二次函数的部分图像，由图像可知该二次函数与轴负半轴的交点坐标是 ． 9．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是 ．（精确到） … … … … 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为 ． 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线与x轴交点的坐标； 14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数， (1)求证：无论为任何实数，此函数图象与轴总有两个交点． (2)已知图象与轴的两个交点分别为，，满足，求的值． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题： (1)当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）； (2)当时，y的取值范围是________； (3)方程的两个根是________． 16．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若图象过点，且，求的取值范围； (3)若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象经过两点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若将此二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，求的值． 18．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知函数（为常数）． (1)试判断该函数的图像与轴的公共点的个数； (2)不论为何值，函数图像都会经过定点，定点坐标为______； (3)求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系 知识点03：二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系 典例分析 （举三反三） 考点1：二次函数图像与x轴的交点情况 考点2：用逼近法求一元二次方程根的近似值 考点3：利用二次函数图像确定不等式的解集 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数图像与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，从二次函数y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的图像可知：如果抛物线y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)的一个根. 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根x= 有两个相等的 实数根 x1=x2=－ 没有实数根 b2－4ac>0 b2－4ac>0 b2－4ac>0 二次函数y= ax2＋bx＋c (a≠0)的图像 a>0 b<0 b>0 对称轴位于y轴左侧 二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 a<0 b>0 b<0 对称轴位于y轴左侧 抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 【知识点02】二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，因此可以借助二次函数的图像求一元二次方程的解. (1)作出二次函数y=ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的个数就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解的个数. (2)观察图像，函数图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，当函数图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解. 【知识点03】二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系 字母或式子的符号 图像的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 － b=0 对称轴为y轴 ab>0(a、b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a、b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图像过原点 c>0 图像与y轴正半轴相交 c<0 图像与y轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac=0 图像与x轴有唯一一个交点 b2－4ac>0 图像与x轴有两个交点 b2－4ac<0 图像与x轴没有交点 【题型一】二次函数图像与x轴的交点情况 【典例1-1】（22-23九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与轴交于点，点的坐标为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由二次函数的对称轴为直线，可得，再由A的坐标可得，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，解得， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点坐标，对称轴方程的含义，理解题意，利用二次函数的性质解题是关键． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数图象与轴的交点，先求出对称轴，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求出抛物线与轴的交点坐标，代入函数解析式，求出值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两个交点之间的距离为4， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，即：， 把代入，得：，解得； 故答案为：． 【典例1-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）已知，抛物线，若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及B点坐标． 【答案】， 【分析】通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标． 【详解】解：将A(，0)代入解析式得：，解得：， 此时抛物线得解析式为：， 令，解得，，故． 【点睛】本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键． 【变式1-1】（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　） A． B． C．或3 D．或 【答案】D 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，直线与抛物线只有一个公共点时，即可求得直线与新图象有3个交点时m的值． 【详解】解：令，解得：， 抛物线与x轴的交点坐标分别为及， 如图，当直线过时，它与新函数的图象有3个交点，则有，解得：； 当直线与抛物线关于x轴对称的抛物线只有一个公共点时，则，即， 则，即， 此时直线与抛物线恰有3个公共点； 综上，当或时，直线与新图像有3个交点． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的图象与性质，图形的翻折，图象与坐标轴的交点等知识，注意数形结合． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解是解题的关键．根据抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点、两点， ∴当 ，即时，解得：或 由即得到或． 解得：，， 故答案为，． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知抛物线 (1)当为何值时，抛物线与轴有两个不同交点？ (2)若抛物线与轴的两交点分别为、，且，求的值 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）先根据及根与系数的关系求出，进而得出求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）解：∵抛物线与轴的两交点分别为、，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，满足，符合题意． 【题型二】用逼近法求一元二次方程根的近似值 【典例2-1】根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 【典例2-2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，关键是观察表格，确定代数式值由负到正时，对应的的取值范围．由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，故可判断时，对应的的值在之间，然后利用根与系数的关系即可求得另一个根． 【详解】解：设方程的两个根、， ， 由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正， 关于的方程的一个根约为， 则， 则另一个根约为， 故答案为：，0.7． 【典例2-3】（22-23九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象与x轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，；当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足． 【详解】解：时，， 时，， ∴时，有一个根满足， 即方程必有一个解x满足． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏泰州·期中）观察表格，一元二次方程最精确的一个近似解 （精确到）． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 【答案】 【分析】设，由，与，，再把的值与比较即可得到结论. 【详解】解：设， 由表格可知， 当时，与最接近， 故答案为：． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式2-3】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据表格中的自变量与函数值求出对称轴，可得答案． 【详解】解：或时，， 的对称轴为：， 当时，，时，，得； 根据对称性可得：当时，，时，，得； 则方程的正数解的取值范围 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间． 【题型三】利用二次函数图像确定不等式的解集 【典例3-1】（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，图象法确定解集即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选B． 【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【典例3-2】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【典例3-3】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)方程的两个根为____________，不等式的解集为____________； (2)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_________； (3)若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，求t的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点的横坐标就是方程的两个根；抛物线位于x轴上方部分的横坐标的取值范围即为不等式的解集； （2）结合函数图象，利用直线与抛物线有2个交点得到的范围； （3）根据待定系数法求得抛物线解析式，把，，代入求得函数值，结合函数图象，写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线开口向下，抛物线与轴的交点为，， 方程的两个根为，； 由图象可得：不等式的解集为， 故答案为，，； （2）解：∵抛物线的顶点的纵坐标为2， 抛物线与直线只有一个公共点， 当时，抛物线与直线有两个公共点， 即方程有两个不相等的实数根， 满足条件的的范围为， 故答案为； （3）解：设抛物线解析式为， 把代入得，， ， ， ∴化为 当时，，当时，， 当时，， ∴． 【变式3-1】（23-24九年级下·江苏盐城·期中）若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出，设，即求抛物线位于一次函数的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线与直线交于点，，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 设， ∵抛物线与直线交于点，，直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴抛物线与直线交于点，， ∴当或时，抛物线位于直线的下方，即此时， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式3-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察函数图象，即可得出结论． 【详解】（1）将，代入中得： ，解得：， ∴该二次函数的表达式为． （2）如图：抛物线开口向上， 当时，； 当时，； ∴观察图象得，当时，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 根据抛物线与x轴交点个数与的关系求解． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ． 解得， 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（    ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与对应一元二次方程的关系，由表格数据可知，当时，，当时，，可得函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是，即可得到一元二次方程一个解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，． ∴函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是， 即一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线对称轴为，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）二次函数的图像如图所示，若关于的一元二次方程（为实数）的解满足，则的取值范围是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与直线的交点，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，一元二次方程（为实数）在的范围内有实数解相当于函数与直线在的范围内有交点．据此进行解答即可． 【详解】解：方程的解相当于与直线的交点的横坐标， ∵方程（为实数）的解满足， ∴当时，， 当时，， 又∵， ∴抛物线的对称轴为，最小值为， ∴当时，则， ∴当时，直线与抛物线在的范围内有交点， 即当时，方程在的范围内有实数解， ∴的取值范围是． 故选：C． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知函数的相关数据如下图所示，通过以往学习函数的经验请判断下列说法正确的有（    ） …… 0 1 2 4 ……. …… 2 1 …… ①；②若，则；③当，方程始终有两个不等解． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据表中数据画出函数图象，结合图象判断各项即可． 【详解】解：把，代入得：， ， 把，代入得：， ， 函数解析式为， 把代入得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 故①正确； 画出函数图象如图所示：    不等式的解集为或， 故②错误； 由图象知，函数关于轴对称，恒大于零且当时，有最大值2， 故③正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象、坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握描点法作图及数形结合． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知方程的两根为1和3，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数与x轴的交点横坐标与对称轴的关系，解题的关键是知道二次函数与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根．根据二次函数与一元二次方程的关系可知，抛物线与轴交点的横坐标为1和3，再利用二次函数的对称性即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两根为1和3， 抛物线与轴交点的横坐标为1和3， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是二次函数的部分图像，由图像可知该二次函数与轴负半轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数的图象性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，与轴其中一个交点为， ∴， ∴该二次函数与轴负半轴的交点坐标是：， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是 ．（精确到） … … … … 【答案】 【分析】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根．熟练掌握二次函数的图象与性质估算一元二次方程的解是解题的关键． 由表格可知，，由的图象与性质可知，，然后作答即可． 【详解】解：由表格可知，， 由的图象与性质可知，， ∴精确到，的解为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据图象求得答案即可． 【详解】解：∵将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题． 根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线交于两点， ∵， ∴， ∴由图可知． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线与x轴交点的坐标； 【答案】(1) (2)抛物线与x轴交点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可确定抛物线解析式； （2）解可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】（1）把代入，得 ∴，    所以抛物线的表达式为． （2）当时，， 解得．   ∴抛物线与x轴交点的坐标为． 14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数， (1)求证：无论为任何实数，此函数图象与轴总有两个交点． (2)已知图象与轴的两个交点分别为，，满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题．当时，二次函数图象与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，二次函数图象与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，二次函数图象与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根，根与系数的关系． （1）求出的值，根据的取值范围即可证明函数图象与x轴总有两个交点． （2）由根与系数的关系可得：，，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， 故无论m为任何非零实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）解：∵图象与轴的两个交点分别为，， ∴的两根分别为，， ∴，， ∵即， ∴， 解得：． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题： (1)当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）； (2)当时，y的取值范围是________； (3)方程的两个根是________． 【答案】(1)减小 (2) (3)， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟悉二次函数的图象与性质是关键． （1）由顶点坐标设二次函数解析式为顶点式，再把点坐标代入即可求出函数解析式；由顶点坐标及函数增减性质即可完成； （2）由抛物线对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）考虑二次函数与直线的交点横坐标，即可求得方程的解． 【详解】（1）解：∵二次函数顶点为， ∴设， ∵图像过， ∴， 即， ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小； 故答案为：减小； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向上，函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为：； （3）解：对于，当时，， 即抛物线与y轴的交点坐标为； 由抛物线对称性知，关于对称轴的对称点坐标为； 对于方程的解，就是二次函数与直线的交点横坐标， 而二次函数与直线的交点为与， ∴方程的解为，； 故答案为：，． 16．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若图象过点，且，求的取值范围； (3)若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，；时或 【分析】（1）根据计算即可； （2）将代入二次函数解析式中得的表达式，从而得到的表达式，根据二次函数的图象得到的取值范围； （3）二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算的取值范围即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：将代入二次函数解析式中得： ， ∴， ∵二次函数的二次项系数不等于， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴当时，， ∴， 综上所述，； （3）当时，即时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴； 当时，即时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴或 综上所述，时，；时或． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，第（3）问进行分类讨论是解题的关键． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象经过两点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若将此二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点问题，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可． （2）先根据平移的规律得到平移后的函数解析式，再根据二次函数平移个单位后与轴只有一个公共点，即，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：将代入中， 即， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：把二次函数的图象向上平移个单位后得到的解析式，设为， ∵二次函数平移个单位后与轴只有一个公共点， ∴， 解得：． 18．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知函数（为常数）． (1)试判断该函数的图像与轴的公共点的个数； (2)不论为何值，函数图像都会经过定点，定点坐标为______； (3)求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上． 【答案】(1)函数的图像与轴有两个的公共点 (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，二次函数图像的性质等等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． （1）只要判断函数对应方程的判别式的正负情况即可； （2）把抛物线解析式化为，则当时，，由此即可得到结论； （3）根据顶点坐标计算公式得到抛物线的顶点的横坐标为，抛物线顶点的纵坐标为，再把代入中求出y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴函数的图像与轴有两个的公共点； （2）解： ， ∴当时，， ∴不论为何值，函数图像都会经过定点， 故答案为：； （3）证明：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点的横坐标为，抛物线顶点的纵坐标为 把代入得， ∴点在函数的图像上， ∴不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $