第04讲 相似三角形讲义（知识详解+8典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教版）数学九年级下册重难点讲义与测试

第04讲 相似三角形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：相似三角形 知识点02：平行线分线段成比例 知识点03：平行线截三角形相似的定理 知识点04：三边关系判定三角形相似定理 知识点05：边角关系判定三角形相似定理 知识点06：角的关系判定三角形相似定理 知识点07：直角三角形相似的判定 知识点08：相似三角形对应线段的性质 知识点09：相似三角形面积的性质 知识点10：利用影子测量物体的高度 知识点11：利用标杆测量物体的高度 典例分析 （举三反三） 考点1：平行线分线段成比例的应用 考点2：相似三角形的判定 考点3：相似三角形性质的有关计算 考点4：网格中相似三角形的相关计算与判定 考点5：相似三角形的判定与性质的综合应用 考点6：相似三角形中等积式的证明 考点7：利用相似三角形测量物体的高度 考点8：相似三角形的运动问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 【知识点01】相似三角形 相似三角形 概念 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似 图 示 ∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E，＝＝ 表示 △ABC与△DFE相似可以表示为“△ABC∽△DFE” 读法 三角形ABC相似于三角形DFE 相似比 相似三角形对应边的比就是相似比，若△ABC ∽△DFE，且相似比为k，则＝＝＝k 2. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性 内容 示例 图示 对 应 性 两个三角形相似时， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如: △ABC∽ △A′B′C′ 不能写成△ABC∽△B′C′A′ 顺 序 性 相似比具有顺序性 如: △ABC∽△ A′B′C′，其相似比为k，则△ A′B′C′∽ △ABC，其相似比为 传 递 性 相似三角形具有传递性 如: △ABC∽△A′B′C′， △A ′B ′C′∽ △ GHK， 则△ABC ∽△ GHK 【知识点02】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 文字语言 图示 符号语言 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图，若直线l3∥l4∥l5，则有＝，＝，＝. 若AB＝BC， 则DE＝EF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝ 【知识点03】平行线截三角形相似的定理 内容 类别 “A 型” “X 型” 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 DE∥BC，且DE与AB，AC的延长线相交 DE∥BC，且DE与AB，AC 相交 DE∥BC，且DE与AB，AC的反向延长线相交 【知识点04】三边关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－6，在△ABC和△DEF中，∵ ＝＝，∴△ABC ∽△DEF. 3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法 步骤 方法 排序 将三角形的三边按从小到大(或从大到小)的顺序排列 计算 分别计算这两个三角形对应边的比值 判断 根据比值是否相等判断两个三角形是否相似 【知识点05】边角关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－9，在△ABC和△DEF中，∵ ＝，且∠B＝∠E，∴△ ABC ∽△ DEF. 【知识点06】角的关系判定三角形相似定理 1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似 2. 数学表达式 如图27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝ ∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF. 【知识点07】直角三角形相似的判定 1. 直角三角形相似的判定方法 (1)一组锐角相等的两直角三角形相似； (2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似. 2. 数学表达式：如图27.2－13，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， (1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (2)∵∠C＝∠C′＝90°，＝，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (3)∵∠C＝∠C′＝90°，＝(或＝)，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 【知识点08】相似三角形对应线段的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝k 相似比为k 对应高的比 AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高 相似三角形对应高的比等于相似比 对应中线 的比 AM，A′M′分别为△ABC和△A′B′C′的中线 相似三角形对应中线的比等于相似比 对应角平分线的比 AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比 【知识点09】相似三角形面积的性质 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝＝k 相似比为k 面积比 ＝＝k2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 【知识点10】利用影子测量物体的高度 1. 测量原理：当测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决. 2. 测量方法：在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度A′C′. 示例 【知识点11】利用标杆测量物体的高度 1. 测量原理：用标杆或直尺的高(长) 作为三角形的边构造相似三角形. 2. 测量方法：(1)测量出标杆的长度CD, 观测者眼睛到地面的高度AB； (2)让标杆竖直立于地面, 调整观测者的位置, 使观测者的眼睛A、标杆顶端C 和旗杆顶端E 恰好在一条直线上, 测量出观测者的脚到标杆底端的距离BD和到旗杆底端的距离BF； (3)根据标杆与旗杆平行推导出两个三角形相似, 利用对应边成比例求出旗杆的高度EF. 示例 【题型一】平行线分线段成比例的应用 【典例1-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 【典例1-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【典例1-3】（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【题型二】相似三角形的判定 【典例2-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2-2】（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【典例2-3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．求证：． 【变式2-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【变式2-3】（2024九年级上·北京·专题练习）已知：在和中， ．求证：． 【题型三】相似三角形性质的有关计算 【典例3-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为CD上一点．连接AE，BD，且AE，BD交于点F，，则 ． 【典例3-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【变式3-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，，则 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【题型四】网格中相似三角形的相关计算与判定 【典例4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（），则 °． 【典例4-3】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，线段在边长为1的小正方形网格内，点A，点B均在格点上． (1)请将线段绕点B顺时针转，得到线段． (2)请用无刻度的直尺在线段上作一点P，使线段，并保留作图痕迹． 【变式4-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·山西长治·期中）在如图所示的正方形网格中有和，已知，则 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【题型五】相似三角形的判定与性质的综合应用 【典例5-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（    ） A．2 B． C． D． 【典例5-2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 【典例5-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为 ． 【变式5-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，对角线和相交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)延长至点，连接交于点．若，求的值． 【题型六】相似三角形中等积式的证明 【典例6-1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 【典例6-2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 【典例6-3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：在梯形中，，，对角线相交于点E，且 (1)求证：； (2)点F是边上一点，连结，与相交于点如果，求证： 【变式6-1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形中，，与相交于点，且．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式6-3】（23-24九年级下·上海·期中）如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【题型七】利用相似三角形测量物体的高度 【典例7-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，现将高度米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆高度为 米． 【典例7-3】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一寸光阴一寸金，光阴指时间，寸是长度单位，长度单位怎能表示时间呢？其实这句格言蕴含着丰富的数学道理．图1是土圭，在中国古代，利用土圭观察它正午时影子的长短，再根据影长的变化来确定季节的变化，这样就能用长度单位表示时间了．为了解土圭法，某校在一次综合与实践活动中进行实地测量．如图2，产生日影的杆子垂直于地面．在夏季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子；在冬季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子．若，尺，尺，求杆子的高度． 【变式7-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：与交于点，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，小明利用自己的身高测量路灯的高度，已知小明身高为，在路灯下的影长为2m，小明到路灯底部的距离为12m，则路灯的高度为 m． 【变式7-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度的长约为1.75米，和的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物的高度．（说明：由物理知识，可知，） 【题型八】相似三角形的运动问题 【典例8-1】（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（   ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A．4或6 B．5 C．6或 D．3 【典例8-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【典例8-3】（2025九年级上·北京·专题练习）在中，．点P从A出发沿向B运动，速度为2单位/秒．求何时与相似． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 一、单选题 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，分别是，的中点，则与的关系是（    ） A．相似 B．不相似 C．全等 D．无法确定 2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（    ） A．135° B．90° C．45° D．22.5° 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图中，，，，点P沿由点A向点C运动，连接，以，为邻边作平行四边形，则P、D之间的距离最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，若是斜边上的高，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若，则下列说法中，正确的是（   ） A．①②相似 B．①③相似 C．①④相似 D．②③相似 二、填空题 7．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 8．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，若，且，，．则 ． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，两条直线交于点O，且与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，正方形OABC的边长为6，顶点A，C在坐标轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，，则点Q的坐标为 ． 12．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为 ． 三、解答题 13．（2024九年级上·广西·专题练习）已知：在和中， ．求证：． 14．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在和中，，，，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径，D为弧中点，于点E，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 17．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为8，求的面积． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． (1)若，求路灯的高度； (2)连接，若米，求的值． 19．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． (1)四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 相似三角形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：相似三角形 知识点02：平行线分线段成比例 知识点03：平行线截三角形相似的定理 知识点04：三边关系判定三角形相似定理 知识点05：边角关系判定三角形相似定理 知识点06：角的关系判定三角形相似定理 知识点07：直角三角形相似的判定 知识点08：相似三角形对应线段的性质 知识点09：相似三角形面积的性质 知识点10：利用影子测量物体的高度 知识点11：利用标杆测量物体的高度 典例分析 （举三反三） 考点1：平行线分线段成比例的应用 考点2：相似三角形的判定 考点3：相似三角形性质的有关计算 考点4：网格中相似三角形的相关计算与判定 考点5：相似三角形的判定与性质的综合应用 考点6：相似三角形中等积式的证明 考点7：利用相似三角形测量物体的高度 考点8：相似三角形的运动问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 【知识点01】相似三角形 相似三角形 概念 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似 图 示 ∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E，＝＝ 表示 △ABC与△DFE相似可以表示为“△ABC∽△DFE” 读法 三角形ABC相似于三角形DFE 相似比 相似三角形对应边的比就是相似比，若△ABC ∽△DFE，且相似比为k，则＝＝＝k 2. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性 内容 示例 图示 对 应 性 两个三角形相似时， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如: △ABC∽ △A′B′C′ 不能写成△ABC∽△B′C′A′ 顺 序 性 相似比具有顺序性 如: △ABC∽△ A′B′C′，其相似比为k，则△ A′B′C′∽ △ABC，其相似比为 传 递 性 相似三角形具有传递性 如: △ABC∽△A′B′C′， △A ′B ′C′∽ △ GHK， 则△ABC ∽△ GHK 【知识点02】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 文字语言 图示 符号语言 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图，若直线l3∥l4∥l5，则有＝，＝，＝. 若AB＝BC， 则DE＝EF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝ 【知识点03】平行线截三角形相似的定理 内容 类别 “A 型” “X 型” 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 DE∥BC，且DE与AB，AC的延长线相交 DE∥BC，且DE与AB，AC 相交 DE∥BC，且DE与AB，AC的反向延长线相交 【知识点04】三边关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－6，在△ABC和△DEF中，∵ ＝＝，∴△ABC ∽△DEF. 3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法 步骤 方法 排序 将三角形的三边按从小到大(或从大到小)的顺序排列 计算 分别计算这两个三角形对应边的比值 判断 根据比值是否相等判断两个三角形是否相似 【知识点05】边角关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－9，在△ABC和△DEF中，∵ ＝，且∠B＝∠E，∴△ ABC ∽△ DEF. 【知识点06】角的关系判定三角形相似定理 1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似 2. 数学表达式 如图27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝ ∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF. 【知识点07】直角三角形相似的判定 1. 直角三角形相似的判定方法 (1)一组锐角相等的两直角三角形相似； (2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似. 2. 数学表达式：如图27.2－13，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， (1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (2)∵∠C＝∠C′＝90°，＝，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (3)∵∠C＝∠C′＝90°，＝(或＝)，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 【知识点08】相似三角形对应线段的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝k 相似比为k 对应高的比 AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高 相似三角形对应高的比等于相似比 对应中线 的比 AM，A′M′分别为△ABC和△A′B′C′的中线 相似三角形对应中线的比等于相似比 对应角平分线的比 AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比 【知识点09】相似三角形面积的性质 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝＝k 相似比为k 面积比 ＝＝k2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 【知识点10】利用影子测量物体的高度 1. 测量原理：当测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决. 2. 测量方法：在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度A′C′. 示例 【知识点11】利用标杆测量物体的高度 1. 测量原理：用标杆或直尺的高(长) 作为三角形的边构造相似三角形. 2. 测量方法：(1)测量出标杆的长度CD, 观测者眼睛到地面的高度AB； (2)让标杆竖直立于地面, 调整观测者的位置, 使观测者的眼睛A、标杆顶端C 和旗杆顶端E 恰好在一条直线上, 测量出观测者的脚到标杆底端的距离BD和到旗杆底端的距离BF； (3)根据标杆与旗杆平行推导出两个三角形相似, 利用对应边成比例求出旗杆的高度EF. 示例 【题型一】平行线分线段成比例的应用 【典例1-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 【答案】B 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是利用平行判断成比例的线段，进而得到线段的比例关系． 利用得到线段比例关系，再利用得到线段比例关系，再将两个比例关系相加求解． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ． 故选：B． 【典例1-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查构造三角形中位线，利用平行线分线段成比例，导出边之比，过点作的平行线交于点，可推导出边，和之比，然后利用可以求． 【详解】取中点F，连接； ∵，为边上的高； ∴为中点； ∵为中点； ∴，则； ∴； ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 【典例1-3】（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出等量代换即可得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【变式1-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握定理是解题的关键．由，可得，设，，可表示出，最后再求比值即可． 【详解】解：， ， 设，， 则， ． 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【题型二】相似三角形的判定 【典例2-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 【典例2-2】（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【典例2-3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 利用平行线的性质得到角相等，再通过构造平行四边形，结合平行线分线段成比例定理，证明三角形的对应角相等、对应边成比例，从而证明相似． 【详解】解：过点作交于点． ∵ ， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ，，且 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ，，，且 ∴ 【变式2-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 即能满足的条件有2个． 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【变式2-3】（2024九年级上·北京·专题练习）已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，先证明，然后再证明即可． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，    ∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【题型三】相似三角形性质的有关计算 【典例3-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，即相似三角形的对应角相等，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 通过相似图形，找到对应角和，直接利用已知角度数即可求出的度数． 【详解】解：由题可知且， ∵相似三角形对应角相等， ∴ ． 故选：． 【典例3-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为CD上一点．连接AE，BD，且AE，BD交于点F，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及平行四边形的性质．由四边形是平行四边形，可得，然后由可知，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【典例3-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．过点作，交于点，交于点，构造平行四边形，求得，利用，得到，根据相似三角形的性质求出的长度，最后由即可得出结论． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ， 四边形，均为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质． （1）根据相似三角形的性质得到，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，将，，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ， 即， ． 【题型四】网格中相似三角形的相关计算与判定 【典例4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 【典例4-2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（），则 °． 【答案】45 【分析】本题考查相似三角形的性质，找到对应边和对应角是解题的关键．根据相似三角形的对应角相等及三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案是：． 【典例4-3】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，线段在边长为1的小正方形网格内，点A，点B均在格点上． (1)请将线段绕点B顺时针转，得到线段． (2)请用无刻度的直尺在线段上作一点P，使线段，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】根据图形旋转的特点即可在格点图中画出所求线段； 根据勾股定理可得出线段的长，在由三角形相似比可求出点P． 【详解】（1）如图所示：线段即为所求； （2）由勾股定理得，， 所以，当时，． 点P如图所示． 【点睛】本题考查了图形的旋转，勾股定理和相似三角形的性质在格点图中的应用，掌握图形旋转的特点，在格点图中找出符合要求的相似三角形是解题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题；先证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴与的周长比为 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·山西长治·期中）在如图所示的正方形网格中有和，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是数形结合．根据相似三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∵， ， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)图见解析，其相似比是 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． （1）先利用勾股定理可得的长，再根据相似三角形的判定即可得； （2）结合勾股定理和网格特点画出与相似，且相似比为的三角形即可得． 【详解】（1）解：这两个三角形相似，理由如下： 由图可知，，，，，，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵，，， ，，， ∴， ∴，其相似比是． 【题型五】相似三角形的判定与性质的综合应用 【典例5-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．先求解再证明可得 【详解】解：以∵ ， ∵， 故选：B． 【典例5-2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【典例5-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．证明，，假设，，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点． ， 可以假设，， ∵四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 【变式5-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，对角线和相交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)延长至点，连接交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用勾股定理证明为直角三角形，得到可证明四边形是菱形； （2）设的中点为，连接，则是的中位线，证明，，利用菱形特点可得、的长后，可得的值． 【详解】（1）证明：∵在中，对角线和相交于点， ． 又 ， 为直角三角形，且， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，设的中点为，连接，则是的中位线， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ． ， ． ， ． 是的中位线， ， ， ． 【题型六】相似三角形中等积式的证明 【典例6-1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点，于点，以及，得出，再结合，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【典例6-2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）由可得，结合勾股定理证明，进而可得； （2）先证明，结合（1）的结论可证，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例6-3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：在梯形中，，，对角线相交于点E，且 (1)求证：； (2)点F是边上一点，连结，与相交于点如果，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法． （1）通过找角的关系证明三角形相似； （2）利用相似三角形性质及比例传递，推导出结论． 【详解】（1）解：如下图，过点A作于点H， ，， ， ， ，则， 又， ， 在和中， ，， ， ∴， ∴； （2）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形中，，与相交于点，且．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，角平分线的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由等边对等角推出，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，得到；再证明，由角平分线的性质可得点O到的距离等于点O到的距离，设点O到的距离为h，根据，可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴点O到的距离等于点O到的距离， 设点O到的距离为h， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（23-24九年级下·上海·期中）如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以； （2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【题型七】利用相似三角形测量物体的高度 【典例7-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出BC的长，进而求出AB的长，最后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 由题意得：， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为， 故选：A． 【典例7-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，现将高度米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆高度为 米． 【答案】5.6 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定.根据得到，得到，，列出方程即可先求出，进而再求出的高度. 【详解】解：由题意得：米，米，米，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴灯杆高度为5.6米. 故答案为：5.6 【典例7-3】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一寸光阴一寸金，光阴指时间，寸是长度单位，长度单位怎能表示时间呢？其实这句格言蕴含着丰富的数学道理．图1是土圭，在中国古代，利用土圭观察它正午时影子的长短，再根据影长的变化来确定季节的变化，这样就能用长度单位表示时间了．为了解土圭法，某校在一次综合与实践活动中进行实地测量．如图2，产生日影的杆子垂直于地面．在夏季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子；在冬季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子．若，尺，尺，求杆子的高度． 【答案】杆子的高度为8尺 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先推出，进而证得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，， ， 又， ， 又， ， ， ， （尺）， 答：杆子的高度为8尺． 【变式7-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：与交于点，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解：∵与交于点O，， ， ∵点O到的距离为，点O到的距离为， ， ∵蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：C． 【变式7-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，小明利用自己的身高测量路灯的高度，已知小明身高为，在路灯下的影长为2m，小明到路灯底部的距离为12m，则路灯的高度为 m． 【答案】9.8 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得到答案即可； 【详解】解：如图，由题和图可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴, 即， ∴， 故答案为：9.8 【变式7-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度的长约为1.75米，和的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物的高度．（说明：由物理知识，可知，） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． 先求出，得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴, 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵和的长分别为97.56米和0.7米，的长约为1.75米， ∴， ∴， 答：建筑物的高度约为． 【题型八】相似三角形的运动问题 【典例8-1】（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（   ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A．4或6 B．5 C．6或 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故选：C． 【典例8-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 【典例8-3】（2025九年级上·北京·专题练习）在中，．点P从A出发沿向B运动，速度为2单位/秒．求何时与相似． 【答案】秒和5秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分和两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设运动时间为t秒，则 ①：当时，此时 ∴，即，解得：秒； ②：当时，此时， ∴ ，即， ∴，解得：秒． 检验：和都在范围内，都是合理的解 综上，当和时，与相似． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键． 利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， 又∵， ∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴， ∴； 故选：D． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ， 又， ， ， ∴ ， ， 故答案为：2 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可得出的值； （3）分两种情况考虑，根据三角形相似可得对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ， ， ， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ； 故答案为：；； （2）由题意得：， 解得： (不合题意舍去)，， 当秒时，的长度等于； （3）∵在中，，， 又∵与以B、P、Q为顶点的三角形相似， 或， 即或， 解得：或， 故的值为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、列代数式、勾股定理、解一元二次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 一、单选题 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，分别是，的中点，则与的关系是（    ） A．相似 B．不相似 C．全等 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，利用三角形相似的性质分析后即可知答案，掌握相似三角形的判定 方法是解题的关键． 【详解】解：∵、、是三角形三边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故选：A ． 2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（    ） A．135° B．90° C．45° D．22.5° 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先设建筑物的高为米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出的值，即可求解． 【详解】解：设建筑物的高度为米，根据题意得， ， 解得： 故选：B． 4．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图中，，，，点P沿由点A向点C运动，连接，以，为邻边作平行四边形，则P、D之间的距离最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，以为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，由此分两种情况讨论比较即可得解，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点O， ①当P点在边上时， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 当最短时，最短， 当P与B重合时，， ∴， ∴， ②当P点在边上时，作于， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， ， 综上由结合①②两种情况，此时是最小值为， 故选：． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，若是斜边上的高，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，证明，列出比例式进行判断即可． 【详解】解：∵在中，若是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，，，； 故错误的是C选项； 故选C． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若，则下列说法中，正确的是（   ） A．①②相似 B．①③相似 C．①④相似 D．②③相似 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 由，，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴①④相似． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 8．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，若，且，，．则 ． 【答案】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，两条直线交于点O，且与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 证明求出，证明求出，即可得解． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ， ，即， 解得， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，正方形OABC的边长为6，顶点A，C在坐标轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，可知，根据面积比，可知，可求得点Q的坐标． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点． ∵四边形OABC是正方形， ， ． ， ． ， 点Q的坐标为． 故答案为： ． 12．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即旗杆的高度为， 故答案为∶． 三、解答题 13．（2024九年级上·广西·专题练习）已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的边长比等于相似比． （1）先证，进而可证； （2）由（2）得，再证，根据相似三角形的边长比等于相似比即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在和中，，，，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三边对应成比例，两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质，得出，然后求解的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ． （2）解：由（1）知，， ． ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握判定方法是解题的关键． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径，D为弧中点，于点E，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由圆周角定理得出，，则，由，得出，进而得出，即可得证； （2）证明，得出，则，再证明，得出，则，进而可证得结论． 【详解】（1）证明：∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)18 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明结论； （2）结合题意确定两个三角形的相似比为，然后根据“两个相似三角形的面积比等于相似比的平方”，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）∵，且，， ∴，即两个三角形的相似比为， ∴ ∵的面积为8， ∴． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． (1)若，求路灯的高度； (2)连接，若米，求的值． 【答案】(1)路灯的高为16米 (2)米 【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，解直角三角形，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据题意得到米，米，证明得，进而得，进而可得答案； （2）过点O作于点H，则，证明，得，进而得，进而可求得米，（米），（米），再由勾股定理求得（米）． 【详解】（1）解：由题意知：米， ∵， ∴米，米， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴米， 答：路灯的高为16米； （2）解：由题意得米，米，米， 过点O作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米，（米）， ∴（米）， ∴在中，（米） 19．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． (1)四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出t的值． 【答案】(1)能成为菱形，； (2)的值为或． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的性质和相似三角形的判定与性质，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． （1）根据题意证明四边形是平行四边形，当时，四边形能够成为菱形，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：当，当，列出方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 根据题意得，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形能够成为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形； （2）解：若时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，为直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $