第03讲 图形的相似讲义（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教版）数学九年级下册重难点讲义与测试

第03讲 图形的相似（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：相似图形 知识点02：四条线段成比例 知识点03：相似多边形 典例分析 （举三反三） 考点1：利用比例的性质求线段长 考点2：相似多边形的判定 考点3：相似多边形性质的应用 习题巩固 一、单选题（9） 二、填空题（9） 三、解答题（9） 【知识点01】相似图形 1. 定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 2. 两个关系 (1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. (2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等形，全等形是相似图形的特殊情况，即全等形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等 形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 【知识点02】四条线段成比例 1. 线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2. 四条线段成比例：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例. 【知识点03】相似多边形 1. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形, 如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 2. 相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 【题型一】利用比例的性质求线段的长 【典例1-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∴， 故选：B． 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）若a，b，c，d四条线段是成比例线段，且，，则d的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例1-3】如图，已知线段上有两点，满足，，，求的长．    【答案】14.4 【分析】由，设，则，则能够表示出的长，再根据，表示出的长，根据，即可列方程求解． 【详解】解： ∵， 设，则， ， ∵， ， ∵， ， 解得：， ， 长度为14.4． 【点睛】本题主要考查了比例线段，解此题的关键是表示出的长，采用方程的思想解题． 【变式1-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段的定义：如果四条线段a、b、c、d满足，则四条线段a、b、c、d称为成比例线段．根据成比例线段的定义列式求解即可． 【详解】解：∵ a、b、c、d是成比例线段， ， ∵， ， ， 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵， ∴ ∴； 故答案为：． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【题型二】相似多边形的判定 【典例2-1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 【答案】边框内外边缘所围成的两个矩形不相似 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． 【详解】解：∵矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵，对应边不成比例， ∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似． 【典例2-2】如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 【答案】不相似．小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18．因为，，即这两个矩形的边不成比例，所以它们不相似 【分析】根据已知条件，可求出小路内侧矩形的长和宽分别为28，8；再把两个矩形的边分两种情况进行比值运算，结果，，即可得出答案． 【详解】解：不相似．理由如下： 因为草坪四周有宽的环行小路， 所以小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18； 因为，，即这两个矩形的边不成比例， 所以它们不相似． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，即不仅要对应角相等，还要对应边成比例． 【典例2-3】如图，已知四边形四边形，问与相似吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】根据相似多边形的性质和相似三角形的判定求解即可； 【详解】． 理由：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质和相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 【变式2-1】图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由． 【答案】不相似，理由见解析 【分析】根据四边形的内角和为360°以及相似多边形的定义：对应角相等，对应边·成比例的两个多边形，叫做相似多边形进行判断即可． 【详解】解：这两个多边形不相似．理由： ∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°， ∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°， ∴这两个多边形不相似． 【点睛】本题考查四边形的内角和为360°、相似多边形的定义，熟知相似多边形的定义是解答的关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国）如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 【变式2-3】（23-24九年级下·全国）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 【题型三】相似多边形性质的应用 【典例3-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知四边形四边形，，若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例．由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【典例3-2】（2025九年级下·全国·专题练习）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等，分两种情况求解即可． 【详解】解：由于两个矩形相似， 则有或， 解得：或； 故答案为：2． 【典例3-3】（22-23九年级上·福建漳州·期中）已知矩形中，，在中取一点，沿将△向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形个亿，可得，设，可得方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质可知，， 四边形是正方形， ， 设， ∵， ， ， ∵四边形与矩形相似， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验：：是分式方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长． 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，如图，设，，根据相似图形的性质可得，即得，据此即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知两个相似五边形的相似比是，且其中一个五边形的最短边长等于，则另一个五边形的最短边长等于 ． 【答案】9或25 【分析】本题就是考查相似多边形的对应边的比相等，容易忽视的是应分两种情况讨论而造成漏解．由于不明确最短边长为的五边形是哪个五边形，故应分两种情况讨论． 【详解】解：设另一个五边形的最短边长是．边长的比就是相似比， 分两种情况进行讨论： 当时，解得； 当时，解得． 故另一个五边形的最短边长等于或． 故答案为：9或25 【变式3-3】（22-23九年级上·全国·单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【答案】能， 【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：能．求解过程如下： 七边形与七边形相似，且其相似比等于， 七边形与七边形的面积比为，则， ． 故七边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方． 一、单选题 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 3．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，比例式中两个外项的乘积等于两个内项的乘积即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1，3，20，30 B．，，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，分别找出各选项对应的比例关系即可，然后选出符合题意的答案． 【详解】解：因为，所以A选项不符合题意． 因为，所以B选项不符合题意． 因为，所以C选项不符合题意． 因为，所以D选项符合题意． 故选：D． 6．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 8．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．先根据题意可得矩形与矩形相似，再根据相似多边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵矩形纸片的长，宽，分别为两边的中点， ∴，四边形是矩形， ∵将矩形纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似， ∴矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 又∵均为正数， ∴， 故选：D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，根据黄金分割的含义可得，设，再结合正方形与矩形的性质再建立方程求解即可． 【详解】解：∵正方形，矩形， ∴，， ∵矩形的周长为，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：C 二、填空题 10．（22-23九年级下·四川凉山·阶段练习）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么 ． 【答案】6 【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 11．（22-23九年级上·江西宜春·期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 【答案】32 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm， ∴相似比， ∴面积比， ∴这次复印出来的图案的面积． 故答案是：32． 【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 12．（22-23九年级下·上海·期中）直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13．（22-23九年级下·河南驻马店·期中）在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为， ∴， 故答案为：． 16．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 17． （24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 18．已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 19．如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 【答案】相似 【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例． （1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可； （2）根据相似多边形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得． 21．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知，且． (1)求、的值； (2)若是、的比例中项，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据平方根的定义求解； 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴． 22．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 23．（2024九年级下·江苏·专题练习）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】是；见解析 【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案． 【详解】解：是，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点F是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴矩形是黄金矩形． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 25． （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：是菱形： (2)若，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题 【详解】（1）∵的平分线交于点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）由（1）知，四边形是菱形， 又四边形是平行四边形， ， 设，，则有： ，即， 整理得， 解得， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了靺的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 图形的相似（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：相似图形 知识点02：四条线段成比例 知识点03：相似多边形 典例分析 （举三反三） 考点1：利用比例的性质求线段长 考点2：相似多边形的判定 考点3：相似多边形性质的应用 习题巩固 一、单选题（9） 二、填空题（9） 三、解答题（9） 【知识点01】相似图形 1. 定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 2. 两个关系 (1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. (2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等形，全等形是相似图形的特殊情况，即全等形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等 形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 【知识点02】四条线段成比例 1. 线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2. 四条线段成比例：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例. 【知识点03】相似多边形 1. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形, 如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 2. 相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 【题型一】利用比例的性质求线段的长 【典例1-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）若a，b，c，d四条线段是成比例线段，且，，则d的长为 ． 【典例1-3】如图，已知线段上有两点，满足，，，求的长．    【变式1-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【题型二】相似多边形的判定 【典例2-1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 【典例2-2】如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 【典例2-3】如图，已知四边形四边形，问与相似吗？为什么？ 【变式2-1】图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国）如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【变式2-3】（23-24九年级下·全国）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【题型三】相似多边形性质的应用 【典例3-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知四边形四边形，，若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【典例3-2】（2025九年级下·全国·专题练习）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有 个． 【典例3-3】（22-23九年级上·福建漳州·期中）已知矩形中，，在中取一点，沿将△向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知两个相似五边形的相似比是，且其中一个五边形的最短边长等于，则另一个五边形的最短边长等于 ． 【变式3-3】（22-23九年级上·全国·单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    一、单选题 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 3．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 5．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1，3，20，30 B．，，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 6．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（22-23九年级下·四川凉山·阶段练习）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么 ． 11．（22-23九年级上·江西宜春·期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 12．（22-23九年级下·上海·期中）直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 13．（22-23九年级下·河南驻马店·期中）在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为 ． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ． 16．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    17． （24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ． 三、解答题 18．已知，且，求证：． 19．如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 20．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 21．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知，且． (1)求、的值； (2)若是、的比例中项，，求的值． 22．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 23．（2024九年级下·江苏·专题练习）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      25． （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：是菱形： (2)若，则的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $