第02讲 实际问题与反比例函数讲义（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教版）数学九年级下册重难点讲义与测试

第02讲 实际问题与反比例函数（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：建立反比例函数模型解实际问题 典例分析 （举三反三） 考点1：应用反比例函数解决几何问题 考点2：反比例函数在实际问题中的应用 考点3：与反比例函数有关的分段问题 习题巩固 一、单选题（3） 二、填空题（3） 三、解答题（3） 【知识点01】建立反比例函数模型解实际问题 1. 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题． 运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： (1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数解析式，再根据题目条件确定函数解析式中的待定系数的值； (2)已知反比例函数模型的解析式，运用反比例函数的图象及性质解决问题. 2. 用反比例函数解决实际问题的步骤 【题型一】应用反比例函数解决几何问题 【典例1-1】（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【典例1-2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，的面积与面积和为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【典例1-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且，连接． (1)求的值； (2)点为点上方该反比例函数图象上的点，当与的面积相等时，请求出点的坐标． 【变式1-1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 【变式1-2】（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是 ． 【变式1-3】（23-24九年级下·四川南充·阶段练习）如图，直线与的图象交于点与轴交于点 (1)求的值及直线的解析式； (2)若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【题型二】反比例函数在实际问题中的应用 【典例2-1】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 【典例2-3】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【变式2-1】（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 【变式2-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长 m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【变式2-3】（24-25九年级下·湖北·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【题型三】与反比例函数有关的分段问题 【典例3-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟． 【典例3-2】某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状． (1)求，，； (2)第三次服药时离第二次服药间隔为多久？ 【典例3-3】新冠肺炎疫情期间，某大学校区为开学时刻做着积极准备，每周定期用药熏消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物释放过程中，与成反比例．如图所示，当空气中每立方的含药量低到毫克以下时，人员方可入室． (1)何时空气中每立方的含量达到8毫克？ (2)那么从消毒开始，至少需要经过几分钟，才能进入室内？ 【变式3-1】饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东威海·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【变式3-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温y（）与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温y（）和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为_____； (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若点的横坐标为3，则的值是（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（    ） A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元 C．10月份该厂利润达到190万元 D．4月份的利润为50万元 3．（24-25九年级下·吉林长春·期中）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，与的函数关系的图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．100度 B．150度 C．200度 D．250度 二、填空题 4．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 5．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    6．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 8．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； (2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？ 9．（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数的图象于点（点在点下方），连接，的面积为． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 实际问题与反比例函数（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：建立反比例函数模型解实际问题 典例分析 （举三反三） 考点1：应用反比例函数解决几何问题 考点2：反比例函数在实际问题中的应用 考点3：与反比例函数有关的分段问题 习题巩固 一、单选题（3） 二、填空题（3） 三、解答题（3） 【知识点01】建立反比例函数模型解实际问题 1. 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题． 运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： (1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数解析式，再根据题目条件确定函数解析式中的待定系数的值； (2)已知反比例函数模型的解析式，运用反比例函数的图象及性质解决问题. 2. 用反比例函数解决实际问题的步骤 【题型一】应用反比例函数解决几何问题 【典例1-1】（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于9， ∴， ∵轴，轴，点D坐标是， ∴点A坐标是，点B坐标是， ∵点D、点B在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【典例1-2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，的面积与面积和为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解决本题的关键是求出，的长．先求出点，的坐标，再根据轴，确定点，点的坐标，求出，，最后根据△OAC的面积与面积和为，即可解答． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2， 点的坐标为，点的坐标为， ∵轴， 点，的横坐标分别为1，2， ∵点，在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ∵△OAC的面积与面积和为， ， 解得：． 故选：A． 【典例1-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且，连接． (1)求的值； (2)点为点上方该反比例函数图象上的点，当与的面积相等时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程． （1）根据，求出A点坐标，利用待定系数法即可求出k的值； （2）根据，求出点C的坐标；设P点坐标为，根据面积相等列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴A点纵坐标为4，代入，得，解得， 则A点坐标为，代入，得，解得； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设P点坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， 解得：， ∴P点坐标为． 【变式1-1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知， ∴， ∵轴且， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置． 先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交x轴于，当P在点时，，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：将代入得：， ， 设直线AB的解析式是， ，解得：， 直线AB的解析式是， 如图：在中，，延长AB交x轴于，当P在点时，，此时线段与线段之差达到最大． 当时，，解得：， 当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24九年级下·四川南充·阶段练习）如图，直线与的图象交于点与轴交于点 (1)求的值及直线的解析式； (2)若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是正确解答的前提． （1）把点代入可得m的值，确定点A的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式； （2）根据旋转的性质可知，，利用全等三角形的判定和性质得出，设出点D的坐标，表示出点的坐标，再得出反比例函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， ∴． ∴点， 设直线的关系式为， 将，代入得，． ∴． ∴直线的关系式为， 答：，． （2）解：如图，逆时针旋转后，点D的对应点为，点在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为E，过点作轴，垂足为F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由于点D在直线上，可设点， 即，， ∴点， 又∵点在的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． 【题型二】反比例函数在实际问题中的应用 【典例2-1】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 【典例2-2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 【典例2-3】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)； (2)50； 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解题的关键是注意计算的正确性． （1）先设反比例的函数表达式，根据图象上点的横纵坐标代入求出值即可； （2）把代入（1）中求出函数表达式即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：， 由图象可知点在反比例图象上， ∴， ∴该反比例函数的表达式为：； （2）解：当时，， （度）， ∴佳佳的眼镜度数增加了50度． 【变式2-1】（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，根据“当时，”可求出，据此即可进行判断． 【详解】解：设， ∵当时，． ∴ ∴ 蓄电池的电压为伏，故A正确； 电流随电阻的增大而减小，故B正确； 当时，，故C正确； ∵， ∴该函数图象在第一象限，故D错误； 故选：D 【变式2-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长 m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据表格中的数据可得波长与频率成反比例函数关系，则可设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把代入解析式中求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知频率与波长的乘积一定，即波长与频率成反比例函数关系， 设波长λ关于频率f的函数解析式为， 把代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， ∴当时，此电磁波的波长λ为． 故答案为：5． 【变式2-3】（24-25九年级下·湖北·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用； （1）根据题意得出点B坐标，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，再求出点C坐标，可得自变量的取值范围； （2）根据题意得出顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，然后再求出点D坐标，可得自变量的取值范围； （3）分两种情况：①在滑道上时，②在滑道上时，分别求出时对应的x的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：设滑道的函数解析式为， ∵点B到轴的距离是，距离水平面（轴）高度为， ∴， 代入得， ∴， ∴滑道的函数解析式为． 当时，即， 解得：， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）∵最高点到轴的距离是，到水平面的距离是 ∴顶点坐标为， ∴设滑道的函数解析式为， 把代入得：， 解得： ∴滑道的函数解析式为， 令，即， 解得：，， ∴， ∴自变量的取值范围是； （3）分两种情况： ①在滑道上时， 令，即， 解得：， ∴滑过的水平距离为； ②在滑道上时， 令，即， 解得：，，均满足， 此时滑过的水平距离为或， 综上，滑过的水平距离为或或， 故答案为：或或． 【题型三】与反比例函数有关的分段问题 【典例3-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟． 【答案】12 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，先用待定系数法求出药物燃烧时，以及药物燃尽后与的关系式，再求出每立方米空气中含药量达到的时间，以及每立方米空气中含药量降到的时间，即可求解． 【详解】解：设药物燃烧时与的关系式为， 将代入，得，解得， 药物燃烧时与的关系式为， 令，得， 即4分钟后每立方米空气中含药量达到； 设药物燃尽后与的关系式为， 将代入，得，解得， 令，得， 即16分钟后每立方米空气中含药量降到； ∵， 此次灭蚊的有效时间为， 故答案为：12． 【典例3-2】某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状． (1)求，，； (2)第三次服药时离第二次服药间隔为多久？ 【答案】(1)，，； (2)第三次服药时离第二次服药间隔为． 【分析】（1）结合函数图象，利用待定系数法即可求出，，的值； （2）设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，，分别表示出第二次服药效能逐渐增强和减弱的函数，再根据函数上的点的特征求出第三次服药、第二次服药的具体时间即可得解． 【详解】（1）解：当时，过， ，                    当时，过， ，                             ∵过， ． 故，，． （2）解：设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，， 当时，设，                                                      由于过，故有，则，又过， 故，                                                      当时，设，由于过，故，则， 又过，故，                                            第三次服药时离第二次服药间隔为． 【点睛】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用，解题关键是正确理解题意，分段讨论． 【典例3-3】新冠肺炎疫情期间，某大学校区为开学时刻做着积极准备，每周定期用药熏消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物释放过程中，与成反比例．如图所示，当空气中每立方的含药量低到毫克以下时，人员方可入室． (1)何时空气中每立方的含量达到8毫克？ (2)那么从消毒开始，至少需要经过几分钟，才能进入室内？ 【答案】(1)分钟或分钟 (2)从消毒开始，至少需要经过360分钟，才能进入室内 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意，用待定系数法求出药物燃烧时和药物释放时y关于x的函数解析式，即可解答． （2）把代入药物释放时的函数解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 当时，， 解得：， 设药物释放时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴药物释放时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 当时，， 解得：， 综上：分钟或分钟时，空气中每立方的含量达到8毫克． （2）解：把代入得：， 解得：， ∴从消毒开始，至少需要经过360分钟，才能进入室内． 【变式3-1】饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间x的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论． 【详解】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：； 在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：， 依据题意，得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东威海·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，求反比例函数关系式，求反比例函数自变量的值，弄清题意是解题的关键； 对于（1），先将两点的坐标代入直线关系式，求出第一段关系式，再令求出y，进而求出反比例函数关系式； 对于（2），分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为，反比函数关系式为， 将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 当时，，将数值代入，得 ， ∴反比例函数关系式为． 所以函数关系式为； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得． 所以当时，讲解这道题． 【变式3-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温y（）与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温y（）和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为_____； (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)① ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）先求出温度升到用时间，再利用待定系数法求出直线的函数关系式； （2）①先根据反比例函数经过点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时自变量的值也就是的值； ②分别求出当时，的自变量的值，从而可得温度为摄氏度以上时的时间范围； （3）分别求出当时，的自变量的值，从而可得温度为摄氏度以上时的时间范围，再求出温度为摄氏度以上时的时间总长，再计算接通电源的时间是当天上午的，到的时长，计算经过可循环次数，再计算剩余时长是否在上述范围中即可． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出两函数的解析式． 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若点的横坐标为3，则的值是（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，过点作轴，交轴于点，过点作，过点作，证明，设，求出点坐标，根据正方形的性质结合平移思想，求出点坐标，根据均在反比例函数图象上，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，交轴于点，过点作，过点作， 则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的图象上，且点的横坐标为3， ∴，设， 则：，， ∴，， ∴， ∵将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴，即：， ∵均在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）或， 经检验是原方程的解， ∴， ∴． 故选C． 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（    ） A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元 C．10月份该厂利润达到190万元 D．4月份的利润为50万元 【答案】B 【分析】直接利用已知点求出一次函数和反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 设一次函数的解析式为：， 将，代入一次函数解析式为： ， 解得：， 一次函数的解析式为：， A.改造完成后，从5月到7月，利润从40万增加到100万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不符合题意； B.当时，，解得：，则只有3、4、5、6共4个月的利润低于100万元，故此选项错误，符合题意； C.当时，，因此10月份该厂利润达到190万元，故此选项正确，不符合题意； D. 当时，，因此4月份的利润为50万元，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 3．（24-25九年级下·吉林长春·期中）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，与的函数关系的图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．100度 B．150度 C．200度 D．250度 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 由已知设，结合图象求出解析式，再分别求出当时，当时的函数值，并进行比较求解，即可解题． 【详解】解：设， 由图知，， ， 当时，； 当时，； 小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了(度)； 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 先利用待定系数法求出函数解析式，再求出时，的值． 【详解】解：设， 当时，， 当时，， ∵当从增加到时，电功率减少了， ∴，解得：， ∴， 当时，（）， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可． 【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键． 由题意可知，，利用的面积为，得到，解方程求得的值． 【详解】解：∵轴， 由题意可知，， ∵的面积为， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)火焰的像高为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：． 把代入，得．解得． 关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 火焰的像高为； 8．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； (2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？ 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为 (2)血液中药物浓度不低于的持续时间为 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数在实际中的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键； （1）分别设出以及时函数的解析式，然后根据待定系数法，结合图中给出数据求解即可； （2）令上述所得两个函数解析式中的，求出对应的x的值，然后作差即可得到结果． 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，设反比例函数的表达式为， 将代入得  解得：， ∴反比例函数的表达式是， 因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为． （2）解：当时，由得， 当时，由得， ， 因此， 血液中药物浓度不低于的持续时间为． 9．（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数的图象于点（点在点下方），连接，的面积为． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入求解即可； （2）设点的横坐标为，根据的面积为得到，求出，设反比例函数解析式为，代入点坐标求解即可； 【详解】（1）解：∵正比例函数经过点， ， ． （2）解：∵轴，的面积为，点， ∴设点的坐标为， ， ， ， ， 将代入得，， ， 反比例函数的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $