第01讲 反比例函数讲义（知识详解+8典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教版）数学九年级下册重难点讲义与测试

第01讲 反比例函数（知识详解+8典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：反比例函数的定义 知识点02：反比例关系与反比例函数的区别与联系 知识点03：求反比例函数的解析式 知识点04：在实际问题中建立反比例函数模型 知识点05：反比例函数的图象 知识点06：反比例函数的性质 知识点07：反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 典例分析 （举三反三） 考点1：反比例函数的识别 考点2：利用反比列函数求字母的值 考点3：利用待定系数法求组合型函数的解析式 考点4：利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小 考点5：利用反比例函数的性质求字母的取值范围 考点6：比例系数k的几何意义的应用 考点7：反比例函数与一次函数的综合 考点8：反比例函数与几何函数的综合 习题巩固 一、单选题（14） 二、填空题（14） 三、解答题（12） 【知识点01】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2. 反比例函数的三种形式 ① y＝；② y＝kx－1；③ xy＝k.(其中k为常数，k ≠ 0) 特别提醒： 形如y＝＋1，(x＋1)y＝3，y＝(x＋1)－1等的函数都不是反比例函数. 【知识点02】反比例关系与反比例函数的区别与联系 1. 如果xy＝k(k为常数，k ≠ 0)，那么x与y这两个量成反比例关系，这里的x和y既可以是单项式，也可以是多项式. 2. 反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数y＝(k 为常数，k ≠ 0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 【知识点03】求反比例函数的解析式 1. 确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 【知识点04】在实际问题中建立反比例函数模型 1. 有些实际问题可以用反比例函数来表示. 求函数的解析式时，首先要确定两个相关变量之间是否满足反比例关系，若满足可直接设函数的解析式为y＝(k ≠ 0)，求出k的值后，一定要将其代入设定的函数解析式y＝中. 2. 建立反比例函数模型的一般步骤 【知识点05】反比例函数的图象 1. 图象的画法(描点法) (1)列表：选取自变量的一些值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值． (2)描点：根据表中提供的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点． (3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸. 2. 图象的特点 (1)反比例函数y＝(k为常数，k ≠ 0)的图象是双曲线. (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴 相交 (4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x和直线y＝－x). 如图26.1-3. 【知识点06】反比例函数的性质 反比例函数的性质主要是指它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示 反比例函数 y＝(k ≠ 0) k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x的增大而增大 【知识点07】反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 1. k的几何意义 与两坐标轴围成的矩形的面积 与坐标轴围成的三角形的面积 图示 条件 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P(x，y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，分别交x轴，y轴于点M，N 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点E(x，y)作EF垂直于x轴， 垂足为F， 连接EO 结论 S矩形PMON＝|k| S△EOF＝ 推导过程 ∵ ∴ xy＝k. ∴ S矩形PMON＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k| ∵ ∴ xy＝k. ∴ 2.常用模型 【题型一】反比例函数的识别 【典例1-1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例1-2】下列函数关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（23-24九年级下·全国·期中）已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是 （填序号）． 【变式1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数中，y是x的反比例函数的有（  ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【题型二】利用反比例函数求字母的值 【典例2-1】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·山东·期中）已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【典例2-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，求m的值． 【变式2-1】点在反比例函数的图像上，则值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【变式2-3】已知函数是反比例函数，求的值． 【题型三】利用待定系数法求组合型函数的解析式 【典例3-1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知函数，其中与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求y关于x的函数解析式． 【典例3-2】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【典例3-3】（24-25九年级上·江西抚州·期末）已知，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求与之间的函数关系式． 【变式3-1】已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【变式3-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知函数与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的值． 【变式3-3】已知函数与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【题型四】利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小 【典例4-1】在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）点都在双曲线上，则的大小关系（用“”表示）是 ． 【典例4-3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【变式4-1】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知是反比例函数的图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 【变式4-3】已知反比例函数，当时，. (1)求的值. (2)当时，的取值范围为______ 【题型五】利用反比例函数的性质求字母的取值范围 【典例5-1】反比例函数的图像经过二四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【典例5-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【变式5-1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若双曲线图象的一支位于第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ． 【变式5-3】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【题型六】比例系数k的几何意义的应用 【典例6-1】（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为 ． 【典例6-3】如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C． (1)求k的值； (2)求的面积； 【变式6-1】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为 ． 【变式6-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． (1)求k的值； (2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 【题型七】反比例函数与一次函数的综合 【典例7-1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，反比例函数与直线：交于点A，点B为中点，过点B作的垂线交x轴于点C，若，则k的值是 ． 【典例7-3】（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【变式7-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若，则 ． 【变式7-3】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【题型八】反比例函数与几何问题的综合 【典例8-1】（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，矩形对角线的交点M在x 轴上，边平行于x轴，， ，反比例函数经过B、D两点，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例8-2】如图，点M是函数图象上的任一点，直线，过点M分别作轴，，点A、B为垂足，则 ． 【典例8-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【变式8-1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为 ． 【变式8-2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 【变式8-3】（2024九年级下·山西·专题练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)求点的坐标． 一、单选题 1．（23-24九年级下·广西钦州·阶段练习）下列关系式中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河南郑州·期末）下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·四川自贡·期中）若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（    ）    A．18 B．36 C． D． 7．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 8．点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）给出下列函数：①；②；③；④．符合条件“当时，函数值y随自变量值x的增大而增大”的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．③④ 10．（24-25九年级下·吉林·期中）反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在 边上，且，连接轴，则的值为（   ） A． B． C．5 D．4 13．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则可能小于0也可能大于0 C．若，点，在同一象限，则 D．若，点，在不同象限，则 14．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，点为双曲线上任意一点，连接，，则四边形的面积的最小值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 二、填空题 15．（24-25九年级下·全国·期中）反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 16．已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 17．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第 象限． 18．（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“<”或“=”）． 19．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 20．已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 21．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 22．（2024九年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 23．反比例函数图象与矩形的边，交于点，为的中点，求 ． 24．（24-25九年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ． 25．（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ． 26．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 27．如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为 ． 28．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 三、解答题 29．当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 30．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 31．已知反比例函数的图象经过点． (1)试确定此反比例函数的解析式； (2)若点，是上述反比例函数图象上的点，且，试比较与的大小． 32．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 33．（24-25九年级下·河南郑州·期末）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 34．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 35．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 36．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 37．（2024九年级下·江西九江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 38．（2025九年级下·江西·专题练习）如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 39．（24-25九年级下·辽宁鞍山）如图，一次函数与反比例函数图像交于点、点，且点的纵坐标为3． (1)填空：一次函数解析式为______，反比例函数解析式为______； (2)结合图形，直接写出时的取值范围； (3)在梯形中，，且下底在轴上，轴于点，和反比例函数的图象交于点，当梯形的面积为12时，求此时点坐标． 40．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 反比例函数（知识详解+8典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：反比例函数的定义 知识点02：反比例关系与反比例函数的区别与联系 知识点03：求反比例函数的解析式 知识点04：在实际问题中建立反比例函数模型 知识点05：反比例函数的图象 知识点06：反比例函数的性质 知识点07：反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 典例分析 （举三反三） 考点1：反比例函数的识别 考点2：利用反比列函数求字母的值 考点3：利用待定系数法求组合型函数的解析式 考点4：利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小 考点5：利用反比例函数的性质求字母的取值范围 考点6：比例系数k的几何意义的应用 考点7：反比例函数与一次函数的综合 考点8：反比例函数与几何函数的综合 习题巩固 一、单选题（14） 二、填空题（14） 三、解答题（12） 【知识点01】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2. 反比例函数的三种形式 ① y＝；② y＝kx－1；③ xy＝k.(其中k为常数，k ≠ 0) 特别提醒： 形如y＝＋1，(x＋1)y＝3，y＝(x＋1)－1等的函数都不是反比例函数. 【知识点02】反比例关系与反比例函数的区别与联系 1. 如果xy＝k(k为常数，k ≠ 0)，那么x与y这两个量成反比例关系，这里的x和y既可以是单项式，也可以是多项式. 2. 反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数y＝(k 为常数，k ≠ 0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 【知识点03】求反比例函数的解析式 1. 确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 【知识点04】在实际问题中建立反比例函数模型 1. 有些实际问题可以用反比例函数来表示. 求函数的解析式时，首先要确定两个相关变量之间是否满足反比例关系，若满足可直接设函数的解析式为y＝(k ≠ 0)，求出k的值后，一定要将其代入设定的函数解析式y＝中. 2. 建立反比例函数模型的一般步骤 【知识点05】反比例函数的图象 1. 图象的画法(描点法) (1)列表：选取自变量的一些值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值． (2)描点：根据表中提供的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点． (3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸. 2. 图象的特点 (1)反比例函数y＝(k为常数，k ≠ 0)的图象是双曲线. (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴 相交 (4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x和直线y＝－x). 如图26.1-3. 【知识点06】反比例函数的性质 反比例函数的性质主要是指它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示 反比例函数 y＝(k ≠ 0) k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x的增大而增大 【知识点07】反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 1. k的几何意义 与两坐标轴围成的矩形的面积 与坐标轴围成的三角形的面积 图示 条件 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P(x，y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，分别交x轴，y轴于点M，N 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点E(x，y)作EF垂直于x轴， 垂足为F， 连接EO 结论 S矩形PMON＝|k| S△EOF＝ 推导过程 ∵ ∴ xy＝k. ∴ S矩形PMON＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k| ∵ ∴ xy＝k. ∴ 2.常用模型 【题型一】反比例函数的识别 【典例1-1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：（a为常数，）中，（a为常数，）为反比例函数，共3个； 故选B． 【典例1-2】下列函数关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解题的关键．根据反比例函数定义“反比例函数是指如果两个变量之间的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数”，及表达式或或，分析判定即可求解． 【详解】解：A、，不是的反比例函数，不符合题意； B、，是的反比例函数，符合题意； C、，是的一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D、，不是的反比例函数，不符合题意； 故选：B ． 【典例1-3】（23-24九年级下·全国·期中）已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是 （填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数；直接根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是，， 故答案为：②③． 【变式1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据“一般地，形如的函数，叫做反比例函数”逐项判断即可，正确理解反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，不符合题意； 、是反比例函数，符合题意； 、是二次函数，不符合题意； 、不是反比例函数，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数中，y是x的反比例函数的有（  ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义分析即可． 【详解】解：（1）对于，当时，则是反比例函数，当时，则不是反比例函数，故（1）中的函数不一定是反比例函数； （2）对于，则，符合反比例函数的定义，故（2）中的函数是反比例函数； （3），y与x不符合反比例函数的定义，故（3）中的函数不是反比例函数； （4）对于，符合反比例函数的定义，故（3）中的函数是反比例函数， 综上所述：y是x的反比例函数的有（2）（4），共2个． 故选：B． 【变式1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【详解】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 【题型二】利用反比例函数求字母的值 【典例2-1】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即或，只需令且即可求解． 【详解】解：由题意得：且； 解得， 故选：C． 【典例2-2】（24-25九年级上·山东·期中）已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义以及正比例函数的性质．此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴， ∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例2-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 【变式2-1】点在反比例函数的图像上，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把点的坐标代入反比例函数即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴将点的坐标代入函数中，即， 解得， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【变式2-2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征； 直接把点代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】已知函数是反比例函数，求的值． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键． 【题型三】利用待定系数法求组合型函数的解析式 【典例3-1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知函数，其中与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式．根据题意可设，；，则，将当时，；当时，分别代入联立解得的值，即可求得函数解析式． 【详解】解：由题意设，；， ， ∵当时，；当时，， ∴ 解得， ， 则y关于x的函数解析式为． 【典例3-2】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【答案】． 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据与成反比例，与成正比例，得出函数关系式，进而求出即可，根据已知假设出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设， ∵与成正比例， ∴设， ∵， ∴， 把和分别代入上式， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为. 【典例3-3】（24-25九年级上·江西抚州·期末）已知，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求与之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，解题的关键是能熟练地利用性质进行计算． 设，，设，根据已知得到，把，和，代入即可求出、的值，即可得到答案． 【详解】解：与成正比例，设， 与成反比例，设， ∴， 把，和，代入得： ， 解得：， ∴， 答：与之间的函数关系式是． 【变式3-1】已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等 （1）设，，得到，把，代入得到方程组，求出方程组的解即可； （2）把代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 把，代入得：， 解得：， ， 答：与的函数关系式是． （2）解：当时，， 答：当时，的值是5． 【变式3-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知函数与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，正比例函数和反比例函数的定义．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）由题意可设，，即得出，再将，；，，代入求解即可； （2）将代入（1）所求解析式即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例，与成正比例， ∴可设，． ∵， ∴． ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴； （2）解：当时，． 【变式3-3】已知函数与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，，然后表示出、的函数关系式，再把两组数据代入函数解析式进行计算即可得解； （2）把自变量代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）y与成正比例， 设， 与成反比例， 设， ， ， 当时，；当时，． ， 解得， ； （2）当时， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量求函数值的方法，是基础题，表示出、的函数关系式是解题的关键． 【题型四】利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小 【典例4-1】在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质与图象，掌握相关知识是解决问题的关键．因为， 所以图象过一、三象限，画出函数图象，利用图象数形结合的解决问题． 【详解】解：， ∴图象过一、三象限，如图， 由图象可知， 故选：C． 【典例4-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）点都在双曲线上，则的大小关系（用“”表示）是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入反比例函数，求出的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：∵点都在双曲线上， 则 ∵， ∴， 故答案为： 【典例4-3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象． （1）将点代入，求出k的值即可； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得； （2）解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 当，y随x的增大而减小， ∵，是该反比例函数图象上的两点，， ∴． 【变式4-1】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的表达式，结合各点的纵坐标计算对应的横坐标，比较大小即可．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 【详解】由得． 由得． 由得． 故：． 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知是反比例函数的图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出，的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点是反比例函数的图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】已知反比例函数，当时，. (1)求的值. (2)当时，的取值范围为______ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据反比例数的性质，得出在每一个象限内，随的增大而减小，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得. （2）解：∵，则在每一个象限内，随的增大而减小 又 当时，，当时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【题型五】利用反比例函数的性质求字母的取值范围 【典例5-1】反比例函数的图像经过二四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像经过二四象限列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：∵反比例函数的图像经过二四象限， ∴， 解得：， 故选：A； 【点睛】本题考查反比例函数的性质：图像在一三象限，图像在二四象限． 【典例5-2】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例5-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的取值范围为． 【变式5-1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若双曲线图象的一支位于第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握系数与图象的关系是解题关键．由反比例函数图象过第二象限可知，，即可求出的取值范围． 【详解】解：双曲线图象的一支位于第二象限， ， ， 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，即：， 故答案为：． 【变式5-3】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【题型六】比例系数k的几何意义的应用 【典例6-1】（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， 轴． ∵点在函数的图象上， ． ∵轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 【典例6-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得，然后利用菱形的面积公式求得即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对角线的中点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 菱形的面积． 故答案为：． 【典例6-3】如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C． (1)求k的值； (2)求的面积； 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）将点，代入反比例函数即可求出，然后将A的坐标代入直线即可求出k的值． （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴点，代入反比例函数即可求出， ∴， 将代入，得． （2）设点B的坐标为， ∴， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值． 【变式6-1】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．根据的面积，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设A、B两点的坐标分别是，， 则，， ∵△ABC的面积为4，即， ， ． 故选：D． 【变式6-2】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形的性质得到点E为的中点，则为的中位线，可证明，得到，进一步可证明；根据三角形中线平分三角形面积得到，由平行四边形的性质得到，则，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，且交于点E， ∴点E为的中点， ∵，即点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵点F为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点E在反比例函数图象上，且反比例函数图象经过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式6-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． (1)求k的值； (2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 【答案】(1) (2)点D 的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点． （1）得到的面积为3，则可得； （2）求得点坐标，再求、坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点， ， 的面积为6， ， 根据反比例函数的几何意义可得， 反比例函数图象为第一、三象限， ∴； （2）解：反比例函数解析式为， 把代入，可得， ∴点A的坐标为， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式， 当时，， ∴点D的坐标为． 【题型七】反比例函数与一次函数的综合 【典例7-1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 【典例7-2】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，反比例函数与直线：交于点A，点B为中点，过点B作的垂线交x轴于点C，若，则k的值是 ． 【答案】 【分析】过作轴于H，利用垂直平分线的性质证明 利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵反比例函数与直线：交于点A， 设， ∴，， ∵点B为中点，过点B作的垂线交x轴于点C，， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 【典例7-3】（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的性质： （1）根据反比例函数的解析式求出A和B的坐标，代入一次函数的解析式求出k和b即可； （2）根据即可求解； （3）数形结合即可求解． 【详解】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 【变式7-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：D． 【变式7-2】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据图形面积求反比例函数的比例系数，正确利用对称性得到点B的坐标为是解题的关键． 设点A的坐标为，由对称性可知点B的坐标为，再由轴，得到，再由进行求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵直线与双曲线的图象交于A、B两点， ∴点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）先将代入，求出的值即可确定反比例函数的解析式，从而确定点的坐标，再将、的坐标代入得到关于、的二元一次方程组，求解后可确定一次函数的解析式； （2）先求出点坐标得到，再根据三角形面积公式计算即可； 确定函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， 将点，代入一次函数， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）∵一次函数的图象与轴交于点， 当时，得， ∴，即， ∵， ∴到轴的距离为， ∴， 即的面积为． 【题型八】反比例函数与几何问题的综合 【典例8-1】（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，矩形对角线的交点M在x 轴上，边平行于x轴，， ，反比例函数经过B、D两点，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．连接，根据矩形的性质证明，，得到，再结合已知条件，得到，进而得出，求出，即可求出k的值． 【详解】解：如图，连接， 矩形对角线的交点M在x轴上， ，，， 又， ， 边平行于x轴， ， ， ，, , ， ， ， ， ， ， ， ∵反比例函数经过点B、D两点， ， ， ， 故选：C． 【典例8-2】如图，点M是函数图象上的任一点，直线，过点M分别作轴，，点A、B为垂足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数，涉及到正比例函数、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键． 延长交l于点D，设，可得，， ，再证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：延长交l于点D， 设， ∵轴， ∴， ∵直线， ∴，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 【典例8-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为 (2)4 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． （1）把、代入，求出k、n，再把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可求出一次函数解析式； （2）求出一次函数图象与y轴的交点，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵点，点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴，即， ∵点A，B在一次函数图象上， ∴， 解得， 综上，一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：设一次函数图象与y轴交于点C， 对于一次函数，当时，， ∴C点坐标为，即， ∴ ． 【变式8-1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键．依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积可得，从而可得，即可判断得解． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线，轴． 设点，则， ， ． ∵， 直线：． ， 直线：． ，． 的面积． ． ． ． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式8-3】（2024九年级下·山西·专题练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、解一元二次方程、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点的坐标为代入反比例函数解析式求解即可； （2）设，再由正方形，建立关于a的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为在反比例函数图象上， ∴，解得：． ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点E在反比例函数图象上， ∴设， ∴， ∴，即，解得：或2，， ∵， ∴． ∴． 一、单选题 1．（23-24九年级下·广西钦州·阶段练习）下列关系式中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，A、B、D中的函数都不是反比例函数，C中的函数是反比例函数， 故选：C． 2．（24-25九年级下·河南郑州·期末）下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．将各个选项的点代入反比例函数解析式，计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故在反比例函数的图象上，符合题意； B、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意． C、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； 故选：C． 4．已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 5．（23-24九年级下·四川自贡·期中）若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象可得，，从而得到一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，即可求解． 【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限， ∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是 故选：C 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（    ）    A．18 B．36 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数的几何意义．根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【详解】解：连接，   点是点关于轴的对称点， ， ， ∵的面积为18， ， ． 又∵反比例函数的图象在第二象限， ． 故选：C． 7．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 8．点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据反比例函数的解析式，确定其增减性，再分象限，分别比较相关函数值的大小，再得出结论． 【详解】解：∵， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点，，在反比例函数图象上， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 9．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）给出下列函数：①；②；③；④．符合条件“当时，函数值y随自变量值x的增大而增大”的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数增减性，解题的关键在于熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的性质． 根据一次函数、反比例函数、二次函数的解析式，以及其函数性质逐个分析，即可解题． 【详解】解：①∵， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而增大； ②∵， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而减小； ③∵， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而减小； ④∵，对称轴为轴， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而增大． 综上所述，符合条件“当时，函数值y随自变量值x的增大而增大”的是①④． 故选：C． 10．（24-25九年级下·吉林·期中）反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像的位置确定系数符号，进而求出k的取值范围，再判断点的坐标符号确定所在象限． 【详解】解： ∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴， 解得； ∴点的横坐标（正数），纵坐标为负数； 即横坐标正、纵坐标负的点位于第四象限； 故选D． 11．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 12．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在 边上，且，连接轴，则的值为（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】依次可证明和为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值． 【详解】解：∵点，，x轴 轴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴ ，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 13．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则可能小于0也可能大于0 C．若，点，在同一象限，则 D．若，点，在不同象限，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【详解】A、若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故A错误； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于0也可能大于0，故B正确； C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，所以，故C错误； D．若，点，在不同象限，则，故D错误； 故选：B 14．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，点为双曲线上任意一点，连接，，则四边形的面积的最小值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形的面积是关键．连接，先求出反比例函数解析式，再设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解． 【详解】解：依题意，连接，如图所示： ∵点是双曲线上点， ∴ ∴ ∵过作轴于点，作轴于点， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为双曲线上任意一点， ∴设， 则四边形的面积的面积的面积 ， ∵， ∴， 即， ∴， 当且仅当时，取等号， 此时四边形的面积， 故选：D． 二、填空题 15．（24-25九年级下·全国·期中）反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为：． 16．已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】12 【分析】把代入解析式，就可以得到k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标适合解析式． 17．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第 象限． 【答案】四 【分析】由点在反比例函数上，可得，由可得，进而得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键． 18．（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．把各点代入反比例函数的解析式，进而可得出结论． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上， ，， ∵， ． 故答案为：>． 19．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，可知反比例函数的图像在第二象限，所以可得不等式，只要写一个小于的数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像，当时，随的增大而增大， 反比例函数的图像在第二象限， ， ， 只要写一个小于的数即可， 的值为(答案不唯一)． 故答案为： ． 20．已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得点坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， 根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得第一象限内点坐标为，在第三象限内点坐标为或， 点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点坐标满足反比例函数的解析式． 21．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 22．（2024九年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 23．反比例函数图象与矩形的边，交于点，为的中点，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及矩形的性质，解题的关键是正确设出点的坐标来表示线段的长． 设，则，然后根据反比例函数图象经过点表示出，最后由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， ∵反比例函数经过，F为的中点， 设， ∴， 把代入，则， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24．（24-25九年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，通过交点和象限求系数的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． 先求出临界交点的坐标，然后根据反比例函数图象的性质求解，通过反比例函数图象所在的象限得出另一种情况． 【详解】解：把代入，得， 把代入得，， ∵当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ∴； 当时，反比例函数图象位于第二和第四象限，也满足要求； 故答案为：或． 25．（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 26．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，证明出，得到，然后根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，全等三角形的性质和判定，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在和中， ， ， ， ∵的面积为， ， ， 故答案为：． 27．如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积为， ∴， ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 28．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．设点横坐标，进而表示出点坐标，数形结合找到等量关系，即可解答． 【详解】解：延长交轴于点， 设点的横坐标为， ∵点是直线上一点， ∴，即：点的坐标， ∵平行于轴，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方， ∴点的坐标， ∵的面积为， 由图可得：， 即：， 解得：， ∴ 点的坐标， 故答案为：． 三、解答题 29．当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 【答案】-1 【分析】根据反比例函数的定义即可求解． 【详解】∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键要注意x的指数为-1，系数不等于0要同时成立． 30．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【答案】图象的另一支在第四象限， 【分析】先根据反比例函数图象的一支所在象限，确定另一支所在象限，再依据反比例函数性质求出常数的取值范围． 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数（）中，当时图象在第二、四象限是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，一支在第二象限， ∴另一支在第四象限． ∵在二、四象限， ∴， 解得． 31．已知反比例函数的图象经过点． (1)试确定此反比例函数的解析式； (2)若点，是上述反比例函数图象上的点，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法将点代入求解即可； （2）首先根据反比例函数的解析式确定函数图像在第一，三象限，然后根据增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点 ∴将点代入得，，解得： ∴； （2）解：∵ ∴反比例函数的图像在第一，三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数的图像和性质． 32．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴． 33．（24-25九年级下·河南郑州·期末）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量求函数值， （1）设，将，代入求出即可； （2）将代入解析式求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵当时，， ， 与的函数解析式为； （2）当时，． 34．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 35．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又∵， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 36．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可； （2）由反比例函数的图象可得当时，y随x的增大而增大，结合即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴． ∴． （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 37．（2024九年级下·江西九江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求出，即可得出，，，即反比例函数的解析式为，再利用待定系数法计算即可得解； （2）根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，即反比例函数的解析式为， 将，代入一次函数可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得，不等式的解集为或． 38．（2025九年级下·江西·专题练习）如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求解函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． （1）先求出B的坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）先根据题意得到，再求出，，再根据三角形面积求出B点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上，， ，解得 ，      设直线的解析式为，将A，B 的坐标分别代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为． （2）根据题意，可得，      ∵轴，， ，， ，     ，即， ． 39．（24-25九年级下·辽宁鞍山）如图，一次函数与反比例函数图像交于点、点，且点的纵坐标为3． (1)填空：一次函数解析式为______，反比例函数解析式为______； (2)结合图形，直接写出时的取值范围； (3)在梯形中，，且下底在轴上，轴于点，和反比例函数的图象交于点，当梯形的面积为12时，求此时点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）设点的坐标为，则，，即可得出，，，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标． 【详解】（1）将代入得， 解得 ∴反比例函数 将代入得， 解得 ∴ 将，代入 得， 解得 ∴一次函数； （2）由图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴时的取值范围是或； （3）设点的坐标为． ∵轴于， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键． 40．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)的面积不发生变化．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，熟练利用题中的关系表示出各点坐标是解题的关键． （1）先求得点坐标，再用待定系数法即可解答； （2）设点，再表示出两点坐标，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设点B的坐标为， ∵B为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ∵， ，解得． 经检验，是分式方程的解， 点B的坐标为， 代入，解得． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 设点B的坐标为 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ∴，点B到的距离为a， ∴△ABC的面积， ∴△ABC的面积不发生变化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $