6.4 专题：竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 讲义-2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第二册

目录 第12课时　竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 1 考点一　竖直平面内圆周运动的两种模型 1 题型1：轻绳模型 2 题型2：轻杆模型 5 考点二　水平面内圆周运动的临界问题 7 题型1：圆盘问题 8 题型2：圆锥摆问题 11 巩固训练·提升能力 13 第12课时　竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 考点一　竖直平面内圆周运动的两种模型 必备知识·回顾梳理 1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动，如水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。 2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动，如小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。 3.两种基本模型的比较 项目 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力 受力示意图 力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，即mg＝m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力(压力)还是支持力的临界速度 过最高点的条件 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0 过最低点受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m 存在对杆拉力或对管压力的最大值 特别提醒 （1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能提供支持力，而杆可以提供支持力。 （2）对杆模型，在无法确定位于最高点时杆对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列平衡方程，然后根据结果的正、负确定力的方向。 （3）解答竖直平面内的圆周运动问题时，首先要搞清楚是什么模型，再根据不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。 例题分析·考点题型 题型1：轻绳模型 【例题1】（单选） 如图所示，竖直平面内的圆轨道半径为，、点分别为轨道的最左侧、最高点一小球在轨道内运动且始终未离开轨道，重力加速度为，则(    ) A. 若小球运动到点，小球在该位置所受的合力指向圆心 B. 若小球运动到点，小球在该位置的速度一定大于 C. 若小球运动到点，小球在该位置一定受到轨道弹力 D. 若小球运动到点，小球在该位置的速度一定大于等于 【答案】D  【解析】A、小球运动到点受重力和弹力，弹力充当向心力，合力为重力和弹力的合力，A错误； B、运动到点速度可以为零，B错误； 、在点小球做圆周运动可以由重力充当向心力，也可以由重力和弹力的合力充当向心力，当重力充当向心力时，，C错误，D正确。故答案选D． 【变式训练1】（多选）如图所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，速度大小为，绳对小球的拉力为，其图像如图所示。不计一切阻力，小球可视为质点，则(    ) A. 轻质绳长为 B. 当地的重力加速度大小为 C. 当时，轻质绳的拉力大小为 D. 当时，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动 【答案】AD  【解析】在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：，解得：，由图像知，时，图像的斜率，由此分析： A.由上分析可得：，得绳长 ，故A正确； B.当时，，由，得：，得：，故B错误； C.当时，得：，故C错误； D.当时，在最高点绳子的拉力，小球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动，故D正确。 故选AD。 【变式训练2】一名同学看过“水流星”表演后，用一盛水的小杯子和细绳也制作了一个“水流星”。如图所示，他抡动细绳让杯子在竖直平面内做圆周运动。已知杯子与水的总质量为，细绳的长度为，杯子做圆周运动的圆心离地的高度为，细绳能承受的最大拉力为，重力加速度为，忽略空气阻力，小杯子可视为质点。结果可用根号表示 若杯子恰好通过最高点，则通过最高点时的速度为多大？ 若杯子通过最低点时细绳恰好被拉断，细绳断后杯子做平抛运动，如图所示，求水平距离； 仅改变细绳的长度，重复上述运动，细绳仍在杯子通过最低点时断掉，要使杯子抛出的水平距离最大，细绳的长度应为多少？杯子抛出的最大水平距离为多少？ 【答案】杯子在竖直平面内做圆周运动，恰好通过最高点，即通过最高点时细绳的拉力为零，根据牛顿第二定律可得 解得 杯子在竖直面做圆周运动，运动到最低点时，重力和细绳拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 细绳断后，杯子做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 联立可得 多次改变细绳的长度，杯子抛出的水平距离 当且仅当 即  时，杯子抛出的最大水平距离为。 题后反思·方法与技巧 流程法分析绳模型的临界问题 　 题型2：轻杆模型 【例题1】（多选）如图所示，轻杆的一端与小球相连，另一端可绕过点的水平轴转动，杆长为，小球质量为。现给小球一初速度使它在竖直面内做圆周运动，若小球通过轨道最低点的速度为，通过轨道最高点的速度为，重力加速度取，则小球通过最低点和最高点时对轻杆作用力的情况是(    ) A. 在处为拉力，方向竖直向下，大小为 B. 在处为拉力，方向竖直向下，大小为 C. 在处为拉力，方向竖直向上，大小为 D. 在处为压力，方向竖直向下，大小为 【答案】AD  【解析】、小球经过最低点时，受重力和杆的弹力，如图， 由于合力提供向心力，即合力向上，故杆对球有竖直向上的拉力，则小球对杆有竖直向下的拉力，由牛顿第二定律得，得，故B错误，A正确； 、在处，假设细杆对球的作用力竖直向下，如图。由牛顿第二定律得，得，即方向竖直向上，则小球对细杆的作用力为压力，方向竖直向下，故C错误，D正确。 【变式训练1】如图所示，长的轻杆一端固定在过点的水平转轴上，另一端固定质量为的小球可视为质点。小球在竖直平面内做圆周运动，点是圆周上的最高点，点是最低点，重力加速度。 若小球恰好能通过点，求通过点的速度大小 若小球经过点时的速度，求此时杆对小球的作用力 若小球经过点时的速度，求此时杆对小球的作用力。 【答案】解：小球在竖直面内做圆周运动，恰好能通过点，重力和支持力等大反向，此时向心力为零， 则， 解得； 在最高点，以向下为正方向，有， 代入数据解得，即大小，方向竖直向上； 当小球运动到最低点时，有， 代入数据解得，方向竖直向上。  【变式训练2】（单选）某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球可视为质点直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，已知细圆管和小球的质量相等，细圆管半径为，重力加速度大小取，不计空气阻力．则小球在最高点的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 根据题意，对圆管受力分析，由平衡条件可知，小球在最高点给圆管竖直向上的作用力，大小等于圆管的重力，由牛顿第三定律可知，圆管给小球竖直向下的作用力，大小等于圆管的重力，在最高点，对小球，由牛顿第二定律有，代入数据解得，选项B正确。 故选B。 题后反思·方法与技巧 有关小球通过杆的最高点，要抓住两点 (1)刚好能过最高点的条件，速度为0 (2)通过最高点，小球刚好不受弹力的临界速度为v0＝，若速度v>v0，弹力向下，若速度v<v0，弹力向上。　　　　 考点二　水平面内圆周运动的临界问题 必备知识·回顾梳理 1.常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2.解题关键 (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 (3)范围的求解:先针对临界状态根据圆周运动的知识求解临界值，再按题意要求指出物理量的合理取值范围。 关键能力·规律方法 两类情况分析 （1）恰好不相对滑动 质量为m的物体随圆盘一起转动时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝m，解得vm＝。 （2）绳子恰好不被拉断 质量为m的物体被长为l的轻绳拴着，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得vm＝。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。 例题分析·考点题型 题型1：圆盘问题 【例题1】（多选）如图所示，两个质量均为的木块和均可视为质点放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 A. 一定比先开始滑动 B. 、所受的摩擦力始终相等 C. 是开始滑动的临界角速度 D. 当时，所受摩擦力的大小为 【答案】AC  【解析】解：、根据知，物块发生滑动的临界角速度，木块转动的半径较大，则临界角速度较小，可知先发生滑动，故A正确。 B、都未滑动前，靠静摩擦力提供向心力，根据知，木块转动的半径较大，则所受的摩擦力较大，故B错误。 C、的临界角速度，故C正确。 D、的临界角速度为，当时，没有发生滑动，所受摩擦力大小为：，故D错误。 故选AC。 【变式训练1】（多选）如图所示，质量为的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，用轻绳通过光滑的定滑轮与质量为的物块相连，悬于空中，与都处于静止状态。已知与轴的距离为，与平台的最大静摩擦力为重力的倍，重力加速度取。现平台开始绕轴转动，在转速由零开始逐渐增大，直至与平台即将相对滑动的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 物体受到的摩擦力一直增大 B. 物体受到的摩擦力先减小后增大 C. 平台转动的角速度等于时，物体受到的摩擦力最小 D. 若要物体与平台始终保持相对静止，平台转动的角速度不能超过 【答案】BD  【解析】物体所受的最大静摩擦力，绳子拉力。 开始时，静止，静摩擦力方向指向圆心，大小为，随着转速增大，当需要的向心力小于绳子拉力时，由可知，随着转速增大，摩擦力方向背离圆心且逐渐减小，当需要的向心力大于绳子拉力时，由可知，随着转速增大，摩擦力方向指向圆心且逐渐增大，所以物体受到的摩擦力先减小后增大，故A错误，B正确； C.当摩擦力为零时，向心力，根据，可得，此时摩擦力最小，故C错误； D.当与平台即将相对滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力且方向指向圆心，此时向心力，根据，可得，即若要物体与平台始终保持相对静止，平台转动的角速度不能超过，故D正确。 【变式训练2】（单选）如图所示，两完全相同的滑块、用长为的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心与、在同一条直线上，，两滑块的质量均为，与转台间的动摩擦因数为现让转台的角速度从逐渐增加，当角速度为时，所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为下列说法正确的是(    ) A. 滑块、所受的摩擦力大小之比始终等于 B. C. D. 转台的角速度为时，轻绳的拉力大小为 【答案】B  【解析】A、当绳子未拉紧时，、的角速度相等，根据可知滑块、所受的摩擦力大小之比始终等于。但是当绳子拉紧后，对于：，对于： 不再满足滑块、所受的摩擦力大小之比始终等于，故A错误； B、转台的角速度从逐渐增加，当角速度为时，所受的摩擦力达到最大静摩擦力， 故，解得：，故B正确； 、当角速度为时，滑块刚好相对转台滑动，将、视为一个整体则有 ，解得 再对分析：，解得：转台的角速度为时，轻绳的拉力大小为 故CD错误。 题型2：圆锥摆问题 【例题1】（单选）图甲为某游乐园飓风飞椅，图乙、丙为飓风飞椅结构简图。其中图乙为具有相同锥度角、长度不同的圆锥摆，图丙为具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，四个圆锥摆在水平面内均做匀速圆周运动，不计空气阻力。则下列说法正确的是(    ) A. 的向心加速度比的向心加速度大 B. 的线速度比的线速度大 C. 的角速度比的角速度小 D. 的向心加速度比的向心加速度小 【答案】B  【解析】A.根据牛顿第二定律知 得 知、的向心加速度大小相等，故A错误； B.由  知，故B正确； C.根据牛顿第二定律知 得 的角速度等于的角速度，故C错误； D.对和有 ，  ，  可知，故D错误。 故选B。 【变式训练1】（单选）如图所示，质量为的摆球在水平面上做圆周运动已知摆长为，摆角恒为，小球可视为质点，则(    ) A. 摆球的向心力为 B. 摆球的向心加速度为 C. 摆球运动的周期为 D. 摆球运动的线速度为 【答案】D  【解答】A.小球的受力如图所示： 小球受重力和绳子的拉力，因为小球在水平面内做匀速圆周运动，靠合力提供向心力，根据平行四边形定则知，向心力为：  ，故A错误； B.拉力与重力沿水平方向的合力提供向心加速度，根据牛顿第二定律得：，解得：，故B错误； C.小球做圆周运动，根据牛顿第二定律得：。小球运动的周期为：，故C错误； D.摆球运动的线速度为，半径为，联立解得：，D正确。 故选D。 【变式训练2】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为。一长为的轻绳一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小物体。物体绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动时，计算中取，，求： 物体角速度至少多大时，才能飞离圆锥体？ 若物体以角速度转动时，物体受到斜面和绳子的力分别为多大？ 【答案】当物体做圆周运动时所受的圆锥体的支持力恰好为时，对应着飞离圆锥体的临界状态，此时重力和轻绳的拉力提供向心力，即， 解得； 由于，所以物体与斜面间存在弹力，对物体受力分析，则有 水平方向： 竖直方向： 代入数据解得，。  巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，一小球在轻杆的作用下绕点做竖直面内的匀速圆周运动，线速度大小为，其中、两点与点等高。已知轻杆的长度为，小球的质量为且可视为质点，重力加速度大小为，则 A. 轻杆在、两点对小球的作用力相同 B. 小球所需向心力大小恒定为 C. 在最高点轻杆对小球的作用力一定竖直向下 D. 若，小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向上 【答案】B  【解析】C.在最高点，杆对小球的作用力方向可能竖直向上，也可能竖直向下，故C错误； A.轻杆在、两点对小球作用力大小相等，但方向不同，故A错误； B.根据向心力公式可知，小球所需向心力大小恒定为，故B正确； D.若，则小球所需向心力，小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，故D错误。 故选B。 2.如图所示，质量为的小球视为质点用长度为的轻质直杆连接，在竖直平面内做圆周运动。若小球在最高点时的速度大小为，取重力加速度大小，则此时小球所受杆的作用力是(    ) A. 大小为的拉力 B. 大小为的支持力 C. 大小为的支持力 D. 大小为的拉力 【答案】B  【解析】设小球在最高点时所受杆的作用力为拉力，有  解得  可知此时小球所受杆的作用力是大小为的支持力。 故选B。 3.如图所示，小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为的圆周运动，小球过最高点速度为，则下列说法中正确的是(    ) A. 的最小值为 B. 小球通过最高点时一定受到管壁向上的弹力 C. 若由减小，则小球在最高点受到的管壁弹力也减小 D. 若由增大，则小球在最高点受到的管壁弹力也增大 【答案】D  【解析】【解答】、小球在最高点，由于细管对小球的弹力可以向上，也可以向下，则的最小值为零，故A错误。 B、在最高点，若，细管对小球的弹力方向向下，若，细管对小球的弹力方向向上，故B错误。 C、若由减小，细管对小球的弹力方向向上，根据牛顿第二定律得，，速度减小，弹力变大，故C错误。 D、若由增大，细管对小球的弹力方向向下，根据牛顿第二定律得，，速度增大，弹力变大，故D正确。 故选：。 4.如图所示，将一质量为的摆球用长为的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，此时细绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 摆球受重力、拉力和向心力的作用 B. 摆球的加速度为 C. 摆球运动的角速度为 D. 摆球运动周期为 【答案】D  【解析】A.摆球受重力和拉力作用，重力和拉力的合力提供向心力，故A错误； B.重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，解得摆球的加速度为，故B错误； C.重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，解得，故C错误； D.摆球运动周期为，故D正确。 故选D。 5.如图所示，质量为、的两个小球、套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】．、套在光滑圆环上，各自受到重力和环对其弹力作用，弹力方向指向环心，设与竖直方向夹角为，两球各自在水平面内作匀速圆周运动，合力指向轴心，所以不可能在圆环上半部，BD错误 根据，则，由于两球角速度相同，相同，相当于同一水平面内的两个圆锥摆，故C正确，A错误。 6.游乐场有一种游乐设施叫“疯狂”，如图所示。游玩者坐在圆盘上，圆盘周围有安全栏杆，圆盘启动时游玩者可以感受振动、正转、反转等刺激过程。假设有两位游玩者坐在水平旋转的圆盘上，其中游玩者坐在圆盘中间的某位置，游玩者背靠着栏杆坐在圆盘上，如图乙所示。现将圆盘的角速度增大到某值后，、两位游玩者均未滑动，继续做匀速圆周运动。下列说法正确的是(    ) A. 游玩者的质量一定大于游玩者的质量 B. 游玩者的动摩擦因数一定大于游玩者的动摩擦因数 C. 增大角速度后，游玩者的摩擦力一定增大 D. 增大角速度后，游玩者的摩擦力一定增大 【答案】C  【解析】根据图中位置和向心力公式：，游玩者距离圆心较远，且背靠栏杆，未知是否受到栏杆的弹力，所以两位游玩者的质量和摩擦因数未知，故A、选项错误 当增大角速度后，游玩者所需的向心力增大，即摩擦力增大，故C选项正确 游玩者是否达到了最大静摩擦力，栏杆是否有弹力未知，故D选项错误。 7.如图所示，绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上放一质量为的物块，与圆盘保持相对静止。则物块(    ) A. 受个力作用 B. 加速度保持不变 C. 离轴越远越容易滑动 D. 离轴越近摩擦力越大 【答案】C  【解析】A.物块与圆盘保持相对静止，物块做匀速圆周运动，受重力、支持力与静摩擦力个力作用，故A错误； B.物块做匀速圆周运动，加速度方向始终指向圆心，可知，加速度方向发生变化，故B错误； D.结合上述可知可知，越靠近转轴摩擦力越小，故D错误； C.结合上述可知，物块越远离转轴摩擦力越大，由于物块与圆盘保持相对静止，摩擦力不能够大于最大静摩擦力，可知，物块越远离转轴越容易滑动，故C正确。 故选C。 二、多选题。 8.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为的两个物体和，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 此时绳子张力为 B. 此时圆盘的角速度为  C. 此时所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D. 此时烧断细线，仍相对盘静止，将做离心运动 【答案】AB  【解答】、当、与圆盘间静摩擦力都达到最大值时，则有：，，解得：，，故AB正确； C、此时所受的绳子拉力和摩擦力提供向心力，摩擦力方向沿半径向外，故C错误； D、此时角速度，所需向心力为，剪断绳子后其最大静摩擦力不足以提供向心力，故A也要做离心运动，故D错误。 故选：。 9.如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心为的位置有一个质量为的小物块，其上方放着质量为的小物块，圆盘的角速度为。物块与圆盘之间摩擦因数均为两物块之间摩擦因数为，重力加速度为，下列说法中正确的是(    ) A. 当时，物块将从物块上滑离 B. 当时，物块将从物块上滑离 C. 无论多大，物块与物块都不会相对滑动 D. 当物块、随圆盘一起匀速转动时，物块对物块的摩擦力方向沿半径方向向外 【答案】CD  【解析】当物块所受的静摩擦力达到最大时，对物块 、整体，由牛顿第二定律 ， 解得：此时圆盘的角速度大小 ， 当物块所受的静摩擦力达到最大时，对物块，由牛顿第二定律  此时圆盘的角速度大小 ，由于 ，则 ， 即物块所受的静摩擦力达到最大时，物块所受的静摩擦力未达到最大，则无论  多大，物块与物块都不会相对滑动，故AB错误，C正确； D.当物块、随圆盘一起匀速转动时，物块对物块的静摩擦力提供物块做圆周运动所需的向心力，则物块对物块的静摩擦力方向沿半径向里，由牛顿第三定律知，物块对物块的摩擦力方向沿半径方向向外，故D正确。 故选CD。 10.如图所示，表面光滑的圆锥体底面水平固定，长为的轻质细线一端固定在圆锥的顶点，另一端连接质量为的小球，细线与竖直方向的夹角为小球随圆锥绕着轴线做圆周运动，角速度缓慢增大重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球静止时，圆锥面对小球的支持力为 B. 细线的拉力跟成正比 C. 小球刚要离开圆锥面时，角速度为 D. 小球刚要离开圆锥面时，细线对小球的拉力为 【答案】AC  【解析】小球受到重力、圆锥面的支持力、细线的拉力作用，静止时三力平衡，有，A正确 小球离开斜面前，竖直方向，水平方向，可得，B错误 小球刚要离开圆锥面时，可得，，可得，C正确，D错误。 故选AC． 11.如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的转速为，此时绳子的拉力大小为，与关系如图乙所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是 A. 圆周运动半径 B. 小球的质量 C. 图乙图线的斜率只与小球的质量有关，与圆周运动半径无关 D. 若小球恰好能做完整圆周运动，则经过最高点的转速为 【答案】AD  【解析】A、当时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则，解得，故，圆周运动半径为：，故A正确； B.当时，对物体受力分析，根据牛顿第二定律得：，解得小球的质量为：，故B错误； C.小球经过最高点时，根据牛顿第二定律得：，解得：，图乙图线的斜率为：，所以图乙图线的斜率与小球的质量和圆周轨道半径有关，故C错误； D.若小球恰好能做完整圆周运动，即小球在最高点有：，由图知：，即，故D正确。 三、计算题。 12.如图所示，为竖直光滑圆弧的直径，其半径，端沿水平方向。水平轨道与半径的光滑圆弧轨道相接于点，为圆轨道的最低点，圆弧轨道、对应的圆心角。一质量为的物块视为质点从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，取，，。求： 物块到达点时的速度大小； 在点受到的弹力大小； 物体对点的压力大小； 【答案】经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，对于到的平抛运动过程 根据 解得 根据 在点 解得 在点 解得 根据牛顿第三定律可知 13.如图甲所示，一长的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度取，不计空气阻力。 小球运动到最高点时，求杆对球的作用力； 小球运动到水平位置时，求杆对球的作用力大小； 若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度抛出，如图乙所示。求从抛出小球到绳再次伸直的时间。 【答案】解：小球做匀速圆周运动，由合力提供向心力，小球运动到最高点时，设杆对小球的作用力方向竖直向下，则有： 代入数据解得：， 故杆对小球的作用力大小，方向竖直向上； 小球在点时，竖直方向有： 水平方向有： 故杆对小球的作用力方向斜向右上方，大小为：； 小球将做平抛运动，运动轨迹如图中实线所示，有：  解得：。  14.某同学为了感受向心力，设计了一个简易的装置。如图，在竖直细杆的、点分别系上长度、的轻绳，两绳的另一端均系在小球上。现轻摇细杆，使小球绕细杆在水平面内做匀速圆周运动。已知、两点的距离为，小球的质量为且可看作质点，两轻绳均不可伸长，不计空气阻力，重力加速度大小取，。 若连接点和小球的轻绳与竖直方向的夹角为，求小球做匀速圆周运动的角速度大小结果可用根号表示； 若小球做匀速圆周运动的角速度大小为，求两轻绳上的拉力大小。 【答案】轻绳恰好拉直时与竖直方向为，则，则， 与竖直方向夹角为时，对小球，由牛顿第二定律得 代入数据解得； 轻绳恰好拉直时，对小球，由牛顿第二定律得 代入数据解得 当时，两轻绳都拉直，小球受力如图所示 对小球，在竖直方向，由平衡条件得 对小球，由牛顿第二定律得 代入数据解得，。  15.如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心的光滑圆筒后悬挂一小球，木块与点间距离。木块可视为质点，重力加速度取。 若转台光滑，当角速度时，木块与转台保持相对静止，求此小球的质量 若转台与木块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使木块与转台间保持相对静止，求转台转动的角速度范围。 【答案】解：转台转动时，木块做圆周运动，小球处于静止，根据平衡条件和牛顿第二定律，对，有 ， 对，有： ， 联立解得：。 木块受到的最大静摩擦力 ， 当较小时，木块有近心趋势，静摩擦力沿半径向外有： ， 解得： ； 当较大时，木块有离心趋势，静摩擦力沿半径向里有： ， 解得： ； 为使木块与转台保持相对静止，转台转动的角速度范围为 。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第12课时　竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 1 考点一　竖直平面内圆周运动的两种模型 1 题型1：轻绳模型 1 题型2：轻杆模型 2 考点二　水平面内圆周运动的临界问题 3 题型1：圆盘问题 4 题型2：圆锥摆问题 5 巩固训练·提升能力 6 第12课时　竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 考点一　竖直平面内圆周运动的两种模型 例题分析·考点题型 题型1：轻绳模型 【例题1】（单选） 如图所示，竖直平面内的圆轨道半径为，、点分别为轨道的最左侧、最高点一小球在轨道内运动且始终未离开轨道，重力加速度为，则(    ) A. 若小球运动到点，小球在该位置所受的合力指向圆心 B. 若小球运动到点，小球在该位置的速度一定大于 C. 若小球运动到点，小球在该位置一定受到轨道弹力 D. 若小球运动到点，小球在该位置的速度一定大于等于 【变式训练1】（多选）如图所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，速度大小为，绳对小球的拉力为，其图像如图所示。不计一切阻力，小球可视为质点，则(    ) A. 轻质绳长为 B. 当地的重力加速度大小为 C. 当时，轻质绳的拉力大小为 D. 当时，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动 【变式训练2】一名同学看过“水流星”表演后，用一盛水的小杯子和细绳也制作了一个“水流星”。如图所示，他抡动细绳让杯子在竖直平面内做圆周运动。已知杯子与水的总质量为，细绳的长度为，杯子做圆周运动的圆心离地的高度为，细绳能承受的最大拉力为，重力加速度为，忽略空气阻力，小杯子可视为质点。结果可用根号表示 若杯子恰好通过最高点，则通过最高点时的速度为多大？ 若杯子通过最低点时细绳恰好被拉断，细绳断后杯子做平抛运动，如图所示，求水平距离； 仅改变细绳的长度，重复上述运动，细绳仍在杯子通过最低点时断掉，要使杯子抛出的水平距离最大，细绳的长度应为多少？杯子抛出的最大水平距离为多少？ 题型2：轻杆模型 【例题1】（多选）如图所示，轻杆的一端与小球相连，另一端可绕过点的水平轴转动，杆长为，小球质量为。现给小球一初速度使它在竖直面内做圆周运动，若小球通过轨道最低点的速度为，通过轨道最高点的速度为，重力加速度取，则小球通过最低点和最高点时对轻杆作用力的情况是(    ) A. 在处为拉力，方向竖直向下，大小为 B. 在处为拉力，方向竖直向下，大小为 C. 在处为拉力，方向竖直向上，大小为 D. 在处为压力，方向竖直向下，大小为 【变式训练1】如图所示，长的轻杆一端固定在过点的水平转轴上，另一端固定质量为的小球可视为质点。小球在竖直平面内做圆周运动，点是圆周上的最高点，点是最低点，重力加速度。 若小球恰好能通过点，求通过点的速度大小 若小球经过点时的速度，求此时杆对小球的作用力 若小球经过点时的速度，求此时杆对小球的作用力。 【变式训练2】（单选）某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球可视为质点直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，已知细圆管和小球的质量相等，细圆管半径为，重力加速度大小取，不计空气阻力．则小球在最高点的速度大小为(    ) A. B. C. D. 考点二　水平面内圆周运动的临界问题 例题分析·考点题型 题型1：圆盘问题 【例题1】（多选）如图所示，两个质量均为的木块和均可视为质点放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 A. 一定比先开始滑动 B. 、所受的摩擦力始终相等 C. 是开始滑动的临界角速度 D. 当时，所受摩擦力的大小为 【变式训练1】（多选）如图所示，质量为的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，用轻绳通过光滑的定滑轮与质量为的物块相连，悬于空中，与都处于静止状态。已知与轴的距离为，与平台的最大静摩擦力为重力的倍，重力加速度取。现平台开始绕轴转动，在转速由零开始逐渐增大，直至与平台即将相对滑动的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 物体受到的摩擦力一直增大 B. 物体受到的摩擦力先减小后增大 C. 平台转动的角速度等于时，物体受到的摩擦力最小 D. 若要物体与平台始终保持相对静止，平台转动的角速度不能超过 【变式训练2】（单选）如图所示，两完全相同的滑块、用长为的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心与、在同一条直线上，，两滑块的质量均为，与转台间的动摩擦因数为现让转台的角速度从逐渐增加，当角速度为时，所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为下列说法正确的是(    ) A. 滑块、所受的摩擦力大小之比始终等于 B. C. D. 转台的角速度为时，轻绳的拉力大小为 题型2：圆锥摆问题 【例题1】（单选）图甲为某游乐园飓风飞椅，图乙、丙为飓风飞椅结构简图。其中图乙为具有相同锥度角、长度不同的圆锥摆，图丙为具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，四个圆锥摆在水平面内均做匀速圆周运动，不计空气阻力。则下列说法正确的是(    ) A. 的向心加速度比的向心加速度大 B. 的线速度比的线速度大 C. 的角速度比的角速度小 D. 的向心加速度比的向心加速度小 【变式训练1】（单选）如图所示，质量为的摆球在水平面上做圆周运动已知摆长为，摆角恒为，小球可视为质点，则(    ) A. 摆球的向心力为 B. 摆球的向心加速度为 C. 摆球运动的周期为 D. 摆球运动的线速度为 【变式训练2】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为。一长为的轻绳一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小物体。物体绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动时，计算中取，，求： 物体角速度至少多大时，才能飞离圆锥体？ 若物体以角速度转动时，物体受到斜面和绳子的力分别为多大？ 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，一小球在轻杆的作用下绕点做竖直面内的匀速圆周运动，线速度大小为，其中、两点与点等高。已知轻杆的长度为，小球的质量为且可视为质点，重力加速度大小为，则 A. 轻杆在、两点对小球的作用力相同 B. 小球所需向心力大小恒定为 C. 在最高点轻杆对小球的作用力一定竖直向下 D. 若，小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向上 2.如图所示，质量为的小球视为质点用长度为的轻质直杆连接，在竖直平面内做圆周运动。若小球在最高点时的速度大小为，取重力加速度大小，则此时小球所受杆的作用力是(    ) A. 大小为的拉力 B. 大小为的支持力 C. 大小为的支持力 D. 大小为的拉力 3.如图所示，小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为的圆周运动，小球过最高点速度为，则下列说法中正确的是(    ) A. 的最小值为 B. 小球通过最高点时一定受到管壁向上的弹力 C. 若由减小，则小球在最高点受到的管壁弹力也减小 D. 若由增大，则小球在最高点受到的管壁弹力也增大 4.如图所示，将一质量为的摆球用长为的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，此时细绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 摆球受重力、拉力和向心力的作用 B. 摆球的加速度为 C. 摆球运动的角速度为 D. 摆球运动周期为 5.如图所示，质量为、的两个小球、套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是(    ) A. B. C. D. 6.游乐场有一种游乐设施叫“疯狂”，如图所示。游玩者坐在圆盘上，圆盘周围有安全栏杆，圆盘启动时游玩者可以感受振动、正转、反转等刺激过程。假设有两位游玩者坐在水平旋转的圆盘上，其中游玩者坐在圆盘中间的某位置，游玩者背靠着栏杆坐在圆盘上，如图乙所示。现将圆盘的角速度增大到某值后，、两位游玩者均未滑动，继续做匀速圆周运动。下列说法正确的是(    ) A. 游玩者的质量一定大于游玩者的质量 B. 游玩者的动摩擦因数一定大于游玩者的动摩擦因数 C. 增大角速度后，游玩者的摩擦力一定增大 D. 增大角速度后，游玩者的摩擦力一定增大 7.如图所示，绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上放一质量为的物块，与圆盘保持相对静止。则物块(    ) A. 受个力作用 B. 加速度保持不变 C. 离轴越远越容易滑动 D. 离轴越近摩擦力越大 二、多选题。 8.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为的两个物体和，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 此时绳子张力为 B. 此时圆盘的角速度为  C. 此时所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D. 此时烧断细线，仍相对盘静止，将做离心运动 9.如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心为的位置有一个质量为的小物块，其上方放着质量为的小物块，圆盘的角速度为。物块与圆盘之间摩擦因数均为两物块之间摩擦因数为，重力加速度为，下列说法中正确的是(    ) A. 当时，物块将从物块上滑离 B. 当时，物块将从物块上滑离 C. 无论多大，物块与物块都不会相对滑动 D. 当物块、随圆盘一起匀速转动时，物块对物块的摩擦力方向沿半径方向向外 10.如图所示，表面光滑的圆锥体底面水平固定，长为的轻质细线一端固定在圆锥的顶点，另一端连接质量为的小球，细线与竖直方向的夹角为小球随圆锥绕着轴线做圆周运动，角速度缓慢增大重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球静止时，圆锥面对小球的支持力为 B. 细线的拉力跟成正比 C. 小球刚要离开圆锥面时，角速度为 D. 小球刚要离开圆锥面时，细线对小球的拉力为 11.如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的转速为，此时绳子的拉力大小为，与关系如图乙所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是 A. 圆周运动半径 B. 小球的质量 C. 图乙图线的斜率只与小球的质量有关，与圆周运动半径无关 D. 若小球恰好能做完整圆周运动，则经过最高点的转速为 三、计算题。 12.如图所示，为竖直光滑圆弧的直径，其半径，端沿水平方向。水平轨道与半径的光滑圆弧轨道相接于点，为圆轨道的最低点，圆弧轨道、对应的圆心角。一质量为的物块视为质点从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，取，，。求： 物块到达点时的速度大小； 在点受到的弹力大小； 物体对点的压力大小； 13.如图甲所示，一长的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度取，不计空气阻力。 小球运动到最高点时，求杆对球的作用力； 小球运动到水平位置时，求杆对球的作用力大小； 若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度抛出，如图乙所示。求从抛出小球到绳再次伸直的时间。 14.某同学为了感受向心力，设计了一个简易的装置。如图，在竖直细杆的、点分别系上长度、的轻绳，两绳的另一端均系在小球上。现轻摇细杆，使小球绕细杆在水平面内做匀速圆周运动。已知、两点的距离为，小球的质量为且可看作质点，两轻绳均不可伸长，不计空气阻力，重力加速度大小取，。 若连接点和小球的轻绳与竖直方向的夹角为，求小球做匀速圆周运动的角速度大小结果可用根号表示； 若小球做匀速圆周运动的角速度大小为，求两轻绳上的拉力大小。 15.如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心的光滑圆筒后悬挂一小球，木块与点间距离。木块可视为质点，重力加速度取。 若转台光滑，当角速度时，木块与转台保持相对静止，求此小球的质量 若转台与木块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使木块与转台间保持相对静止，求转台转动的角速度范围。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第12课时　竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 1 考点一　竖直平面内圆周运动的两种模型 1 题型1：轻绳模型 2 题型2：轻杆模型 4 考点二　水平面内圆周运动的临界问题 5 题型1：圆盘问题 6 题型2：圆锥摆问题 7 巩固训练·提升能力 8 第12课时　竖直面、水平面内圆周运动及临界问题 考点一　竖直平面内圆周运动的两种模型 必备知识·回顾梳理 1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动，如水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。 2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动，如小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。 3.两种基本模型的比较 项目 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力 受力示意图 力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，即mg＝m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力(压力)还是支持力的临界速度 过最高点的条件 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0 过最低点受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m 存在对杆拉力或对管压力的最大值 特别提醒 （1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能提供支持力，而杆可以提供支持力。 （2）对杆模型，在无法确定位于最高点时杆对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列平衡方程，然后根据结果的正、负确定力的方向。 （3）解答竖直平面内的圆周运动问题时，首先要搞清楚是什么模型，再根据不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。 例题分析·考点题型 题型1：轻绳模型 【例题1】（单选） 如图所示，竖直平面内的圆轨道半径为，、点分别为轨道的最左侧、最高点一小球在轨道内运动且始终未离开轨道，重力加速度为，则(    ) A. 若小球运动到点，小球在该位置所受的合力指向圆心 B. 若小球运动到点，小球在该位置的速度一定大于 C. 若小球运动到点，小球在该位置一定受到轨道弹力 D. 若小球运动到点，小球在该位置的速度一定大于等于 【变式训练1】（多选）如图所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，速度大小为，绳对小球的拉力为，其图像如图所示。不计一切阻力，小球可视为质点，则(    ) A. 轻质绳长为 B. 当地的重力加速度大小为 C. 当时，轻质绳的拉力大小为 D. 当时，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动 【变式训练2】一名同学看过“水流星”表演后，用一盛水的小杯子和细绳也制作了一个“水流星”。如图所示，他抡动细绳让杯子在竖直平面内做圆周运动。已知杯子与水的总质量为，细绳的长度为，杯子做圆周运动的圆心离地的高度为，细绳能承受的最大拉力为，重力加速度为，忽略空气阻力，小杯子可视为质点。结果可用根号表示 若杯子恰好通过最高点，则通过最高点时的速度为多大？ 若杯子通过最低点时细绳恰好被拉断，细绳断后杯子做平抛运动，如图所示，求水平距离； 仅改变细绳的长度，重复上述运动，细绳仍在杯子通过最低点时断掉，要使杯子抛出的水平距离最大，细绳的长度应为多少？杯子抛出的最大水平距离为多少？ 题后反思·方法与技巧 流程法分析绳模型的临界问题 　 题型2：轻杆模型 【例题1】（多选）如图所示，轻杆的一端与小球相连，另一端可绕过点的水平轴转动，杆长为，小球质量为。现给小球一初速度使它在竖直面内做圆周运动，若小球通过轨道最低点的速度为，通过轨道最高点的速度为，重力加速度取，则小球通过最低点和最高点时对轻杆作用力的情况是(    ) A. 在处为拉力，方向竖直向下，大小为 B. 在处为拉力，方向竖直向下，大小为 C. 在处为拉力，方向竖直向上，大小为 D. 在处为压力，方向竖直向下，大小为 【变式训练1】如图所示，长的轻杆一端固定在过点的水平转轴上，另一端固定质量为的小球可视为质点。小球在竖直平面内做圆周运动，点是圆周上的最高点，点是最低点，重力加速度。 若小球恰好能通过点，求通过点的速度大小 若小球经过点时的速度，求此时杆对小球的作用力 若小球经过点时的速度，求此时杆对小球的作用力。 【变式训练2】（单选）某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球可视为质点直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，已知细圆管和小球的质量相等，细圆管半径为，重力加速度大小取，不计空气阻力．则小球在最高点的速度大小为(    ) A. B. C. D. 题后反思·方法与技巧 有关小球通过杆的最高点，要抓住两点 (1)刚好能过最高点的条件，速度为0 (2)通过最高点，小球刚好不受弹力的临界速度为v0＝，若速度v>v0，弹力向下，若速度v<v0，弹力向上。　　　　 考点二　水平面内圆周运动的临界问题 必备知识·回顾梳理 1.常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2.解题关键 (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 (3)范围的求解:先针对临界状态根据圆周运动的知识求解临界值，再按题意要求指出物理量的合理取值范围。 关键能力·规律方法 两类情况分析 （1）恰好不相对滑动 质量为m的物体随圆盘一起转动时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝m，解得vm＝。 （2）绳子恰好不被拉断 质量为m的物体被长为l的轻绳拴着，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得vm＝。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。 例题分析·考点题型 题型1：圆盘问题 【例题1】（多选）如图所示，两个质量均为的木块和均可视为质点放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 A. 一定比先开始滑动 B. 、所受的摩擦力始终相等 C. 是开始滑动的临界角速度 D. 当时，所受摩擦力的大小为 【变式训练1】（多选）如图所示，质量为的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，用轻绳通过光滑的定滑轮与质量为的物块相连，悬于空中，与都处于静止状态。已知与轴的距离为，与平台的最大静摩擦力为重力的倍，重力加速度取。现平台开始绕轴转动，在转速由零开始逐渐增大，直至与平台即将相对滑动的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 物体受到的摩擦力一直增大 B. 物体受到的摩擦力先减小后增大 C. 平台转动的角速度等于时，物体受到的摩擦力最小 D. 若要物体与平台始终保持相对静止，平台转动的角速度不能超过 【变式训练2】（单选）如图所示，两完全相同的滑块、用长为的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心与、在同一条直线上，，两滑块的质量均为，与转台间的动摩擦因数为现让转台的角速度从逐渐增加，当角速度为时，所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为下列说法正确的是(    ) A. 滑块、所受的摩擦力大小之比始终等于 B. C. D. 转台的角速度为时，轻绳的拉力大小为 题型2：圆锥摆问题 【例题1】（单选）图甲为某游乐园飓风飞椅，图乙、丙为飓风飞椅结构简图。其中图乙为具有相同锥度角、长度不同的圆锥摆，图丙为具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，四个圆锥摆在水平面内均做匀速圆周运动，不计空气阻力。则下列说法正确的是(    ) A. 的向心加速度比的向心加速度大 B. 的线速度比的线速度大 C. 的角速度比的角速度小 D. 的向心加速度比的向心加速度小 【变式训练1】（单选）如图所示，质量为的摆球在水平面上做圆周运动已知摆长为，摆角恒为，小球可视为质点，则(    ) A. 摆球的向心力为 B. 摆球的向心加速度为 C. 摆球运动的周期为 D. 摆球运动的线速度为 【变式训练2】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为。一长为的轻绳一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小物体。物体绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动时，计算中取，，求： 物体角速度至少多大时，才能飞离圆锥体？ 若物体以角速度转动时，物体受到斜面和绳子的力分别为多大？ 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，一小球在轻杆的作用下绕点做竖直面内的匀速圆周运动，线速度大小为，其中、两点与点等高。已知轻杆的长度为，小球的质量为且可视为质点，重力加速度大小为，则 A. 轻杆在、两点对小球的作用力相同 B. 小球所需向心力大小恒定为 C. 在最高点轻杆对小球的作用力一定竖直向下 D. 若，小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向上 2.如图所示，质量为的小球视为质点用长度为的轻质直杆连接，在竖直平面内做圆周运动。若小球在最高点时的速度大小为，取重力加速度大小，则此时小球所受杆的作用力是(    ) A. 大小为的拉力 B. 大小为的支持力 C. 大小为的支持力 D. 大小为的拉力 3.如图所示，小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为的圆周运动，小球过最高点速度为，则下列说法中正确的是(    ) A. 的最小值为 B. 小球通过最高点时一定受到管壁向上的弹力 C. 若由减小，则小球在最高点受到的管壁弹力也减小 D. 若由增大，则小球在最高点受到的管壁弹力也增大 4.如图所示，将一质量为的摆球用长为的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，此时细绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 摆球受重力、拉力和向心力的作用 B. 摆球的加速度为 C. 摆球运动的角速度为 D. 摆球运动周期为 5.如图所示，质量为、的两个小球、套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是(    ) A. B. C. D. 6.游乐场有一种游乐设施叫“疯狂”，如图所示。游玩者坐在圆盘上，圆盘周围有安全栏杆，圆盘启动时游玩者可以感受振动、正转、反转等刺激过程。假设有两位游玩者坐在水平旋转的圆盘上，其中游玩者坐在圆盘中间的某位置，游玩者背靠着栏杆坐在圆盘上，如图乙所示。现将圆盘的角速度增大到某值后，、两位游玩者均未滑动，继续做匀速圆周运动。下列说法正确的是(    ) A. 游玩者的质量一定大于游玩者的质量 B. 游玩者的动摩擦因数一定大于游玩者的动摩擦因数 C. 增大角速度后，游玩者的摩擦力一定增大 D. 增大角速度后，游玩者的摩擦力一定增大 7.如图所示，绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上放一质量为的物块，与圆盘保持相对静止。则物块(    ) A. 受个力作用 B. 加速度保持不变 C. 离轴越远越容易滑动 D. 离轴越近摩擦力越大 二、多选题。 8.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为的两个物体和，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 此时绳子张力为 B. 此时圆盘的角速度为  C. 此时所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D. 此时烧断细线，仍相对盘静止，将做离心运动 9.如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心为的位置有一个质量为的小物块，其上方放着质量为的小物块，圆盘的角速度为。物块与圆盘之间摩擦因数均为两物块之间摩擦因数为，重力加速度为，下列说法中正确的是(    ) A. 当时，物块将从物块上滑离 B. 当时，物块将从物块上滑离 C. 无论多大，物块与物块都不会相对滑动 D. 当物块、随圆盘一起匀速转动时，物块对物块的摩擦力方向沿半径方向向外 10.如图所示，表面光滑的圆锥体底面水平固定，长为的轻质细线一端固定在圆锥的顶点，另一端连接质量为的小球，细线与竖直方向的夹角为小球随圆锥绕着轴线做圆周运动，角速度缓慢增大重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球静止时，圆锥面对小球的支持力为 B. 细线的拉力跟成正比 C. 小球刚要离开圆锥面时，角速度为 D. 小球刚要离开圆锥面时，细线对小球的拉力为 11.如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的转速为，此时绳子的拉力大小为，与关系如图乙所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是 A. 圆周运动半径 B. 小球的质量 C. 图乙图线的斜率只与小球的质量有关，与圆周运动半径无关 D. 若小球恰好能做完整圆周运动，则经过最高点的转速为 三、计算题。 12.如图所示，为竖直光滑圆弧的直径，其半径，端沿水平方向。水平轨道与半径的光滑圆弧轨道相接于点，为圆轨道的最低点，圆弧轨道、对应的圆心角。一质量为的物块视为质点从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，取，，。求： 物块到达点时的速度大小； 在点受到的弹力大小； 物体对点的压力大小； 13.如图甲所示，一长的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度取，不计空气阻力。 小球运动到最高点时，求杆对球的作用力； 小球运动到水平位置时，求杆对球的作用力大小； 若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度抛出，如图乙所示。求从抛出小球到绳再次伸直的时间。 14.某同学为了感受向心力，设计了一个简易的装置。如图，在竖直细杆的、点分别系上长度、的轻绳，两绳的另一端均系在小球上。现轻摇细杆，使小球绕细杆在水平面内做匀速圆周运动。已知、两点的距离为，小球的质量为且可看作质点，两轻绳均不可伸长，不计空气阻力，重力加速度大小取，。 若连接点和小球的轻绳与竖直方向的夹角为，求小球做匀速圆周运动的角速度大小结果可用根号表示； 若小球做匀速圆周运动的角速度大小为，求两轻绳上的拉力大小。 15.如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心的光滑圆筒后悬挂一小球，木块与点间距离。木块可视为质点，重力加速度取。 若转台光滑，当角速度时，木块与转台保持相对静止，求此小球的质量 若转台与木块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使木块与转台间保持相对静止，求转台转动的角速度范围。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $