6.2 专题：向心力公式的应用 讲义-2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第二册

目录 第09课时　向心力公式的应用 1 考点一　向心力的来源与大小分析 1 考点二　匀速圆周运动的特点及解题方法 3 考点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 5 巩固训练·提升能力 7 第09课时　向心力公式的应用 考点一　向心力的来源与大小分析 必备知识·回顾梳理 1.向心力的大小：Fn=mω2r=m=mr。 2.来源：向心力可以是由某个力或几个力的合力提供，也可以是某个力的分力提供，向心力是根据力的作用效果命名的。非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向圆心的分力提供向心力。 关键能力·规律方法 几种常见的圆周运动向心力来源的实例分析 来源 实例分析 重力提供向心力 如图，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供。 弹力提供向心力 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动，向心力由筒壁的弹力提供。 摩擦力提供向心力 如图，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。 合力提供向心力 如图，细线拉住小球在竖直面内做圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线拉力和小球重力的合力提供。 分力提供向心力 如图，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） .如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(    ) A. 物体所受弹力增大，摩擦力增大 B. 物体所受弹力不变，摩擦力减小 C. 物体所受弹力减小，摩擦力不变 D. 物体所受弹力增大，摩擦力不变 【变式训练1】（单选）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则(    ) A. 物块始终受到重力，支持力，摩擦力三个力作用 B. 物块受到的合外力始终不变 C. 在、两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力相等 D. 在、两个位置，物块所受支持力相同，摩擦力为零 【变式训练2】（多选）如图是某游乐设施简化图，线长，线与垂直方向夹角为，玩客质量为，下列说法正确的是(    ) A. 玩客受重力、拉力和向心力 B. 此时的旋转半径为 C. 此时的拉力为 D. 此时的向心力为 考点二　匀速圆周运动的特点及解题方法 必备知识·回顾梳理 1.匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。 2.匀速圆周运动的三个特点 （1）线速度大小不变、方向时刻改变。 （2）角速度、周期、频率都恒定不变。 （3）向心力的大小恒定不变，但方向时刻改变。 3.匀速圆周运动问题的解题步骤 关键能力·规律方法 几种常见的圆周运动的动力学方程 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程 或mgtan θ＝mω2lsin θ 或mgtan θ＝mω2r 或mgtan θ＝mω2r 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）盘山公路转弯处路面造得外高内低，例如当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些。设路面与水平面的夹角为，某质量为的汽车，转弯时速度大小为，转弯轨迹均可视为半径为的圆弧。下列表达式正确的是(    ) A. 汽车此时所需向心力的大小 B. 汽车此时所需向心力的大小 C. 若汽车超过某速度而向外滑动时，一定受到沿转弯轨迹半径方向向外的作用力 D. 若车轮与路面的横向即垂直于前进方向摩擦力为零，则车速为 【变式训练1】（多选）如图所示，两个可视为质点的质量相同的木块和放在转盘上，且木块、与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的倍，放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是(    ) A. 当时，绳子一定有弹力 B. 当时，、会相对于转盘滑动 C. 当在范围内增大时，所受摩擦力一直变大 D. 当在范围内增大时，所受摩擦力变大 【变式训练2】如图所示，水平长杆可绕过端的竖直轴匀速转动，原长的轻弹簧一端系质量的小球视为质点，另一端连在端，已知小球与水平杆间的动摩擦因数，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 当弹簧处于原长时，求杆的最大角速度； 当弹簧伸长时，求杆的角速度的取值范围。 考点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 必备知识·回顾梳理 1.变速圆周运动：做变速圆周运动的物体所受的合力并不严格指向运动轨迹的圆心。 (1)跟圆周相切的分力Ft：只改变速度的大小，若与速度方向相同，线速度增大；若与速度方向相反，线速度减小。 (2)指向圆心的分力Fn：与速度方向垂直，只改变速度的方向。 (3)匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 运动种类 匀速圆周运动 变速圆周运动 特点 v、Fn大小不变、方向变化，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均变化 向心力来源 合力 合力沿半径方向指向圆心的分力 周期性 有 不一定有 条件 合力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合力方向与线速度方向不垂直 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝m＝mω2r都适用 2.一般曲线运动及处理方法 (1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理，如图所示。 关键能力·规律方法 一般的曲线运动：曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。 ①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大，如图甲所示。 ②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小，如图乙所示。 (1)解决圆周运动问题要注意是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，匀速圆周运动合外力总是指向圆心，非匀速圆周运动合外力有时指向圆心，有时不指向圆心。 (2)摩擦力可以与速度共线，也可以成任意夹角。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(    ) A. 物体的合外力为零 B. 物体的合力大小不变，方向始终指向圆心 C. 物体的合外力就是向心力 D. 物体的合力方向始终与其运动方向不垂直最低点除外 【变式训练1】（单选）图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前(    ) A. 受到魔盘的支持力缓慢增大 B. 受到魔盘的摩擦力缓慢减小 C. 受到的合外力大小不变 D. 受到魔盘的作用力大小变大 【变式训练2】（单选）如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针方向转动时，下列说法正确的是(　　) A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力 C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图甲所示，一名小女孩在水泥管道内踢着足球．当足球滚到水泥管最高点时，可简化为如图乙所示的模型．质量为的足球可视为质点，所需向心力大小为足球经过最高点时所受管壁的弹力大小为 A. B. C. D. 2.如图所示，小物块紧贴粗糙圆筒内壁，随圆筒一起绕竖直中心轴线做匀速圆周运动。关于小物块的向心力，下列说法正确的是(    ) A. 物块向心力为零 B. 重力提供向心力 C. 摩擦力提供向心力 D. 重力、弹力和摩擦力的合力提供向心力 3.如图所示，盘面上距圆盘中心为位置处有一个质量为的物体随圆盘一起匀速转动，线速度大小为，则物体所受的向心力大小为(    ) A. B. C. D. 4.小轮车，简称是奥运会比赛项目，中国选手邓雅文在年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，若圆周运动的轨道在同一水平面内，运动员连同各自的自行车均可视为质点，倾斜弯道可视为一个斜面，下面说法正确的是(    ) A. 质点处于平衡状态 B. 质点所受支持力竖直向上 C. 质点可能不受摩擦力作用 D. 质点所受合外力沿水平方向 5.我国有一传统民俗文化表演“抡花”，如图，竖直转轴固定在水平地面点，点固定一带有相同“花筒”、的水平杆对称分布，快速转动手柄，“花筒”随之一同在水平面内转动，筒内烧红的铁屑沿轨迹切线飞出落到地面。若水平杆长为，离地高，手摇转动的角速度为，重力加速度，忽略空气阻力且“花筒”可看作质点，则(    ) A. 手柄转动越快，铁屑飞出后在空中运动时间越长 B. 铁屑飞出后在空中运动时相等时间的速度变化量相同 C. 若“花筒”含铁屑质量为，其受水平杆的作用力为 D. 铁屑落地时的速度方向由转动速度和铁片质量决定 6.用一个水平拉力拉着一物体在水平面上绕着点做匀速圆周运动．关于物体受到的拉力和摩擦力的受力示意图，下列四个图中可能正确的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题。 7.如图，摩天轮在竖直面内匀速转动，质量为的游客坐在座舱内做半径为的匀速圆周运动，经过时间，游客转过半周，从最高点转到最低点，游客看成质点，则时间内，下列说法正确的是(    ) A. 游客运动的线速度大小为 B. 游客运动的平均速度大小为 C. 游客转动的角速度大小为 D. 游客转到最低点时做圆周运动的向心力大小为 8.如图是无人机绕拍摄主体飞行时，在水平面内做匀速圆周运动的示意图。已知无人机的质量为，轨道平面距拍摄对象高度为，无人机与拍摄对象距离为，飞行时线速度大小为，则下列说法正确的是(    ) A. 无人机受到重力，空气作用力、向心力 B. 无人机所受空气作用力大于 C. 无人机做圆周运动的向心力为 D. 无人机在相等的时间内通过的路程相等 9. 如图所示，质量相等的、两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有(    )   A. 线速度大小 B. 运动周期 C. 它们受到的摩擦力 D. 筒壁对它们的弹力大小 10.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，进而采用圆周运动的分析方法进行研究．如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图所示，则 A. 在其抛出点处的曲率半径是 B. 在其抛出点处的曲率半径是 C. 在其轨迹最高点处的曲率半径是 D. 在其轨迹最高点处的曲率半径是 11.如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个小球，质量分别为，细线的上端都系于点，两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两细线长度之比，长细线跟竖直方向的夹角为，下列说法正确的是(    ) A. 两小球做匀速圆周运动的周期相等 B. 两小球做匀速圆周运动的线速度大小相等 C. 、两小球的质量之比一定为 D. 短细线跟竖直方向成角 12.一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 物块所受合外力为零 B. 物块所受合外力越来越大 C. 物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变 D. 物块所受摩擦力大小变化 三、计算题。 13.汽车出厂前需要进行轮胎抓地实验，该实验是将一辆汽车放在一个水平圆盘上，然后使圆盘和汽车一起绕中心轴旋转，不断地调节圆盘的转速直到汽车开始滑动，记录下最高转速、汽车的质量和汽车到圆盘中心的距离，这样就可以确定汽车的抓地情况。该实验的“版”如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心处放置一小物块，其质量，与圆盘盘面间的动摩擦因数，小物块可视为质点，所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 当圆盘转动的角速度时，求物块与圆盘间的摩擦力的大小和方向； 欲使与圆盘不发生相对滑动，求圆盘转动的最大角速度。 14.如图所示，用细绳一端系着的质量为的物体静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔吊着质量为的小球，的重心到点的距离为若与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球保持静止，求转盘绕中心旋转的角速度的取值范围．取 15.如图所示，质量是的小球用长为的细线悬挂在点，点距地面高度为，如果使小球绕轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为，求： 当小球的角速度为多大时，细线将断裂； 线断裂后小球落地点与悬点的水平距离． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第09课时　向心力公式的应用 1 考点一　向心力的来源与大小分析 1 考点二　匀速圆周运动的特点及解题方法 2 考点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 3 巩固训练·提升能力 4 第09课时　向心力公式的应用 考点一　向心力的来源与大小分析 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） .如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(    ) A. 物体所受弹力增大，摩擦力增大 B. 物体所受弹力不变，摩擦力减小 C. 物体所受弹力减小，摩擦力不变 D. 物体所受弹力增大，摩擦力不变 【变式训练1】（单选）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则(    ) A. 物块始终受到重力，支持力，摩擦力三个力作用 B. 物块受到的合外力始终不变 C. 在、两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力相等 D. 在、两个位置，物块所受支持力相同，摩擦力为零 【变式训练2】（多选）如图是某游乐设施简化图，线长，线与垂直方向夹角为，玩客质量为，下列说法正确的是(    ) A. 玩客受重力、拉力和向心力 B. 此时的旋转半径为 C. 此时的拉力为 D. 此时的向心力为 考点二　匀速圆周运动的特点及解题方法 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）盘山公路转弯处路面造得外高内低，例如当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些。设路面与水平面的夹角为，某质量为的汽车，转弯时速度大小为，转弯轨迹均可视为半径为的圆弧。下列表达式正确的是(    ) A. 汽车此时所需向心力的大小 B. 汽车此时所需向心力的大小 C. 若汽车超过某速度而向外滑动时，一定受到沿转弯轨迹半径方向向外的作用力 D. 若车轮与路面的横向即垂直于前进方向摩擦力为零，则车速为 【变式训练1】（多选）如图所示，两个可视为质点的质量相同的木块和放在转盘上，且木块、与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的倍，放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是(    ) A. 当时，绳子一定有弹力 B. 当时，、会相对于转盘滑动 C. 当在范围内增大时，所受摩擦力一直变大 D. 当在范围内增大时，所受摩擦力变大 【变式训练2】如图所示，水平长杆可绕过端的竖直轴匀速转动，原长的轻弹簧一端系质量的小球视为质点，另一端连在端，已知小球与水平杆间的动摩擦因数，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 当弹簧处于原长时，求杆的最大角速度； 当弹簧伸长时，求杆的角速度的取值范围。 考点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(    ) A. 物体的合外力为零 B. 物体的合力大小不变，方向始终指向圆心 C. 物体的合外力就是向心力 D. 物体的合力方向始终与其运动方向不垂直最低点除外 【变式训练1】（单选）图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前(    ) A. 受到魔盘的支持力缓慢增大 B. 受到魔盘的摩擦力缓慢减小 C. 受到的合外力大小不变 D. 受到魔盘的作用力大小变大 【变式训练2】（单选）如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针方向转动时，下列说法正确的是(　　) A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力 C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图甲所示，一名小女孩在水泥管道内踢着足球．当足球滚到水泥管最高点时，可简化为如图乙所示的模型．质量为的足球可视为质点，所需向心力大小为足球经过最高点时所受管壁的弹力大小为 A. B. C. D. 2.如图所示，小物块紧贴粗糙圆筒内壁，随圆筒一起绕竖直中心轴线做匀速圆周运动。关于小物块的向心力，下列说法正确的是(    ) A. 物块向心力为零 B. 重力提供向心力 C. 摩擦力提供向心力 D. 重力、弹力和摩擦力的合力提供向心力 3.如图所示，盘面上距圆盘中心为位置处有一个质量为的物体随圆盘一起匀速转动，线速度大小为，则物体所受的向心力大小为(    ) A. B. C. D. 4.小轮车，简称是奥运会比赛项目，中国选手邓雅文在年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，若圆周运动的轨道在同一水平面内，运动员连同各自的自行车均可视为质点，倾斜弯道可视为一个斜面，下面说法正确的是(    ) A. 质点处于平衡状态 B. 质点所受支持力竖直向上 C. 质点可能不受摩擦力作用 D. 质点所受合外力沿水平方向 5.我国有一传统民俗文化表演“抡花”，如图，竖直转轴固定在水平地面点，点固定一带有相同“花筒”、的水平杆对称分布，快速转动手柄，“花筒”随之一同在水平面内转动，筒内烧红的铁屑沿轨迹切线飞出落到地面。若水平杆长为，离地高，手摇转动的角速度为，重力加速度，忽略空气阻力且“花筒”可看作质点，则(    ) A. 手柄转动越快，铁屑飞出后在空中运动时间越长 B. 铁屑飞出后在空中运动时相等时间的速度变化量相同 C. 若“花筒”含铁屑质量为，其受水平杆的作用力为 D. 铁屑落地时的速度方向由转动速度和铁片质量决定 6.用一个水平拉力拉着一物体在水平面上绕着点做匀速圆周运动．关于物体受到的拉力和摩擦力的受力示意图，下列四个图中可能正确的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题。 7.如图，摩天轮在竖直面内匀速转动，质量为的游客坐在座舱内做半径为的匀速圆周运动，经过时间，游客转过半周，从最高点转到最低点，游客看成质点，则时间内，下列说法正确的是(    ) A. 游客运动的线速度大小为 B. 游客运动的平均速度大小为 C. 游客转动的角速度大小为 D. 游客转到最低点时做圆周运动的向心力大小为 8.如图是无人机绕拍摄主体飞行时，在水平面内做匀速圆周运动的示意图。已知无人机的质量为，轨道平面距拍摄对象高度为，无人机与拍摄对象距离为，飞行时线速度大小为，则下列说法正确的是(    ) A. 无人机受到重力，空气作用力、向心力 B. 无人机所受空气作用力大于 C. 无人机做圆周运动的向心力为 D. 无人机在相等的时间内通过的路程相等 9. 如图所示，质量相等的、两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有(    )   A. 线速度大小 B. 运动周期 C. 它们受到的摩擦力 D. 筒壁对它们的弹力大小 10.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，进而采用圆周运动的分析方法进行研究．如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图所示，则 A. 在其抛出点处的曲率半径是 B. 在其抛出点处的曲率半径是 C. 在其轨迹最高点处的曲率半径是 D. 在其轨迹最高点处的曲率半径是 11.如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个小球，质量分别为，细线的上端都系于点，两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两细线长度之比，长细线跟竖直方向的夹角为，下列说法正确的是(    ) A. 两小球做匀速圆周运动的周期相等 B. 两小球做匀速圆周运动的线速度大小相等 C. 、两小球的质量之比一定为 D. 短细线跟竖直方向成角 12.一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 物块所受合外力为零 B. 物块所受合外力越来越大 C. 物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变 D. 物块所受摩擦力大小变化 三、计算题。 13.汽车出厂前需要进行轮胎抓地实验，该实验是将一辆汽车放在一个水平圆盘上，然后使圆盘和汽车一起绕中心轴旋转，不断地调节圆盘的转速直到汽车开始滑动，记录下最高转速、汽车的质量和汽车到圆盘中心的距离，这样就可以确定汽车的抓地情况。该实验的“版”如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心处放置一小物块，其质量，与圆盘盘面间的动摩擦因数，小物块可视为质点，所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 当圆盘转动的角速度时，求物块与圆盘间的摩擦力的大小和方向； 欲使与圆盘不发生相对滑动，求圆盘转动的最大角速度。 14.如图所示，用细绳一端系着的质量为的物体静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔吊着质量为的小球，的重心到点的距离为若与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球保持静止，求转盘绕中心旋转的角速度的取值范围．取 15.如图所示，质量是的小球用长为的细线悬挂在点，点距地面高度为，如果使小球绕轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为，求： 当小球的角速度为多大时，细线将断裂； 线断裂后小球落地点与悬点的水平距离． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第09课时　向心力公式的应用 1 考点一　向心力的来源与大小分析 1 考点二　匀速圆周运动的特点及解题方法 3 考点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 6 巩固训练·提升能力 9 第09课时　向心力公式的应用 考点一　向心力的来源与大小分析 必备知识·回顾梳理 1.向心力的大小：Fn=mω2r=m=mr。 2.来源：向心力可以是由某个力或几个力的合力提供，也可以是某个力的分力提供，向心力是根据力的作用效果命名的。非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向圆心的分力提供向心力。 关键能力·规律方法 几种常见的圆周运动向心力来源的实例分析 来源 实例分析 重力提供向心力 如图，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供。 弹力提供向心力 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动，向心力由筒壁的弹力提供。 摩擦力提供向心力 如图，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。 合力提供向心力 如图，细线拉住小球在竖直面内做圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线拉力和小球重力的合力提供。 分力提供向心力 如图，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） .如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(    ) A. 物体所受弹力增大，摩擦力增大 B. 物体所受弹力不变，摩擦力减小 C. 物体所受弹力减小，摩擦力不变 D. 物体所受弹力增大，摩擦力不变 【答案】C  【解析】解：设物体所受弹力为，圆筒半径为，转速为，根据牛顿第二定律得，，转速减小，则物体所受的弹力减小，在竖直方向上，有：，可知摩擦力不变，故C正确，ABD错误。 故选：。 【变式训练1】（单选）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则(    ) A. 物块始终受到重力，支持力，摩擦力三个力作用 B. 物块受到的合外力始终不变 C. 在、两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力相等 D. 在、两个位置，物块所受支持力相同，摩擦力为零 【答案】C  【解答】A.物块在最高点和最低点受重力和支持力两个力作用，靠两个力的合力提供向心力，在、两点，受重力、支持力和静摩擦力三个力作用，A错误； B.物块做匀速圆周运动，靠合外力提供向心力，可知合外力始终指向圆心发生改变，B错误； C.在、两个位置，物块所受静摩擦力提供向心力，支持力等于重力，则支持力相等，C正确； D.在位置，根据牛顿第二定律得，得， 在位置，根据牛顿第二定律得，得， 可见在、点摩擦力为零，且点的支持力大于点的支持力，D错误。 故选C。 【变式训练2】（多选）如图是某游乐设施简化图，线长，线与垂直方向夹角为，玩客质量为，下列说法正确的是(    ) A. 玩客受重力、拉力和向心力 B. 此时的旋转半径为 C. 此时的拉力为 D. 此时的向心力为 【答案】CD  【解析】解：玩客受重力、拉力，重力与拉力的合力提供向心力，向心力是效果力，故A错误； B.根据图中几何关系可得此时的旋转半径为 ，故B错误； C.根据共点力平衡可得此时的拉力为 ，故C正确； D.此时的向心力为 ，故D正确。 故选：。 考点二　匀速圆周运动的特点及解题方法 必备知识·回顾梳理 1.匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。 2.匀速圆周运动的三个特点 （1）线速度大小不变、方向时刻改变。 （2）角速度、周期、频率都恒定不变。 （3）向心力的大小恒定不变，但方向时刻改变。 3.匀速圆周运动问题的解题步骤 关键能力·规律方法 几种常见的圆周运动的动力学方程 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程 或mgtan θ＝mω2lsin θ 或mgtan θ＝mω2r 或mgtan θ＝mω2r 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）盘山公路转弯处路面造得外高内低，例如当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些。设路面与水平面的夹角为，某质量为的汽车，转弯时速度大小为，转弯轨迹均可视为半径为的圆弧。下列表达式正确的是(    ) A. 汽车此时所需向心力的大小 B. 汽车此时所需向心力的大小 C. 若汽车超过某速度而向外滑动时，一定受到沿转弯轨迹半径方向向外的作用力 D. 若车轮与路面的横向即垂直于前进方向摩擦力为零，则车速为 【答案】BD  【解析】根据向心力公式可知汽车此时所需向心力的大小，故B正确，A错误； C.汽车超过某速度而向外滑动时，受到重力、路面的摩擦力和路面的支持力三个力作用，其中摩擦力指向路面内侧，不可能受到沿转弯轨迹半径方向向外的作用力，故C错误； D.若车轮与路面的横向即垂直于前进方向摩擦力为零，此时车的受力分析如图所示 根据，可得车速，故D正确。 故选BD。 【变式训练1】（多选）如图所示，两个可视为质点的质量相同的木块和放在转盘上，且木块、与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的倍，放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是(    ) A. 当时，绳子一定有弹力 B. 当时，、会相对于转盘滑动 C. 当在范围内增大时，所受摩擦力一直变大 D. 当在范围内增大时，所受摩擦力变大 【答案】CD  【解析】开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，角速度继续增大，的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动。 B.当达到最大静摩擦力时，、相对于转盘会滑动，对有，对有，解得，当时，、相对于转盘会滑动，故B正确 A.当达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，解得，知时，绳子具有弹力，A正确； D.角速度，所受的摩擦力变大，在范围内增大时，所受摩擦力不变，D错误； C.当在范围内增大时，所受摩擦力一直增大，C错误。 本题选不正确的，故选 CD。 【变式训练2】如图所示，水平长杆可绕过端的竖直轴匀速转动，原长的轻弹簧一端系质量的小球视为质点，另一端连在端，已知小球与水平杆间的动摩擦因数，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 当弹簧处于原长时，求杆的最大角速度； 当弹簧伸长时，求杆的角速度的取值范围。 【答案】解：对小球受力分析，知最大静摩擦力提供其圆周运动所需向心力， 解得。 若小球有离心趋势，受力分析可得 ， 解得； 若小球有向心趋势，受力分析可得 解得， 则。  考点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 必备知识·回顾梳理 1.变速圆周运动：做变速圆周运动的物体所受的合力并不严格指向运动轨迹的圆心。 (1)跟圆周相切的分力Ft：只改变速度的大小，若与速度方向相同，线速度增大；若与速度方向相反，线速度减小。 (2)指向圆心的分力Fn：与速度方向垂直，只改变速度的方向。 (3)匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 运动种类 匀速圆周运动 变速圆周运动 特点 v、Fn大小不变、方向变化，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均变化 向心力来源 合力 合力沿半径方向指向圆心的分力 周期性 有 不一定有 条件 合力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合力方向与线速度方向不垂直 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝m＝mω2r都适用 2.一般曲线运动及处理方法 (1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理，如图所示。 关键能力·规律方法 一般的曲线运动：曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。 ①合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大，如图甲所示。 ②合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小，如图乙所示。 (1)解决圆周运动问题要注意是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，匀速圆周运动合外力总是指向圆心，非匀速圆周运动合外力有时指向圆心，有时不指向圆心。 (2)摩擦力可以与速度共线，也可以成任意夹角。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(    ) A. 物体的合外力为零 B. 物体的合力大小不变，方向始终指向圆心 C. 物体的合外力就是向心力 D. 物体的合力方向始终与其运动方向不垂直最低点除外 【答案】D  【解析】解：、据题知，物体做圆周运动，一定有外力提供向心力，合力一定不为零，故A错误。 、物体做圆周运动，一定有指向圆心的外力提供向心力，物体的速率增大，一定有沿圆弧切线方向的分力，根据平行四边形定则可知，物体的合力方向始终与其运动方向不垂直最低点除外，故BC错误，D正确。 故选：。 【变式训练1】（单选）图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前(    ) A. 受到魔盘的支持力缓慢增大 B. 受到魔盘的摩擦力缓慢减小 C. 受到的合外力大小不变 D. 受到魔盘的作用力大小变大 【答案】D  【解答】游客在滑动之前的受力分析如图所示： 游客在竖直方向上受力平衡，有， 在水平方向上由牛顿第二定律有， 由于乘客的重力保持不变，魔盘的倾斜角度不变，转速缓慢增大，所需向心力增大，因此只有摩擦力 增大，支持力减小符合实际情况，故AB错误； C.游客受到的合外力提供向心力，根据可知，魔盘转速缓慢增大，所需向心力增大，即游客受到的合外力增大，故C错误； D.游客受到魔盘的作用力在竖直方向的分力与重力相等，在水平方向的分力提供向心力，向心力缓慢增大，所以游客受到魔盘的作用力大小缓慢增大，故D正确。 故选。 【变式训练2】（单选）如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针方向转动时，下列说法正确的是(　　) A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力 C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b 答案　A 解析　转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图甲所示，一名小女孩在水泥管道内踢着足球．当足球滚到水泥管最高点时，可简化为如图乙所示的模型．质量为的足球可视为质点，所需向心力大小为足球经过最高点时所受管壁的弹力大小为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】足球经过最高点时，受到向下的重力和弹力，根据牛顿第二定律，， 解得。故选C。 2.如图所示，小物块紧贴粗糙圆筒内壁，随圆筒一起绕竖直中心轴线做匀速圆周运动。关于小物块的向心力，下列说法正确的是(    ) A. 物块向心力为零 B. 重力提供向心力 C. 摩擦力提供向心力 D. 重力、弹力和摩擦力的合力提供向心力 【答案】D  【解析】A.小物块做匀速圆周运动，速度不为零，向心力不为零，故A错误； 小物块受重力、弹力和摩擦力，三者的合力提供向心力，故BC错误，D正确。 3.如图所示，盘面上距圆盘中心为位置处有一个质量为的物体随圆盘一起匀速转动，线速度大小为，则物体所受的向心力大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据向心力的公式得：，故A正确，BCD错误． 故选：． 4.小轮车，简称是奥运会比赛项目，中国选手邓雅文在年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，若圆周运动的轨道在同一水平面内，运动员连同各自的自行车均可视为质点，倾斜弯道可视为一个斜面，下面说法正确的是(    ) A. 质点处于平衡状态 B. 质点所受支持力竖直向上 C. 质点可能不受摩擦力作用 D. 质点所受合外力沿水平方向 【答案】D  【解析】在倾斜的弯道上匀速骑行，不是匀速直线运动，是线速度大小不变的曲线运动，因此，不属于平衡状态，A错误 支持力垂直于轨道向上，B错误 质点沿半径方向可能不受摩擦力，但切线方向会受到摩擦阻力，C错误 匀速圆周运动合外力等于向心力，圆周运动的轨道在水平面上，所以向心力沿水平方向，D正确。 5.我国有一传统民俗文化表演“抡花”，如图，竖直转轴固定在水平地面点，点固定一带有相同“花筒”、的水平杆对称分布，快速转动手柄，“花筒”随之一同在水平面内转动，筒内烧红的铁屑沿轨迹切线飞出落到地面。若水平杆长为，离地高，手摇转动的角速度为，重力加速度，忽略空气阻力且“花筒”可看作质点，则(    ) A. 手柄转动越快，铁屑飞出后在空中运动时间越长 B. 铁屑飞出后在空中运动时相等时间的速度变化量相同 C. 若“花筒”含铁屑质量为，其受水平杆的作用力为 D. 铁屑落地时的速度方向由转动速度和铁片质量决定 【答案】B  【解析】、铁屑飞出后做平抛运动，空中运动的时间由高度决定，落地时速度的方向由高度及转动速度共同决定，与质量无关，故 AD错误； B、铁屑的加速度为重力加速度，根据可知铁屑飞出后在空中运动时相等时间的速度变化量相同，故B正确； C、“花筒”所需向心力大小为，其受到水平杆的作用力等于重力和向心力的合力，故C错误。 故选B。 6.用一个水平拉力拉着一物体在水平面上绕着点做匀速圆周运动．关于物体受到的拉力和摩擦力的受力示意图，下列四个图中可能正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】物体做匀速圆周运动，则合外力应指向圆心，由于物体受到摩擦力，故合外力为拉力与摩擦力的合力，即二者的合力指向圆心；由图可知，拉力与摩擦力的合力指向圆心的只有；故C正确，ABD错误。 故选C。 二、多选题。 7.如图，摩天轮在竖直面内匀速转动，质量为的游客坐在座舱内做半径为的匀速圆周运动，经过时间，游客转过半周，从最高点转到最低点，游客看成质点，则时间内，下列说法正确的是(    ) A. 游客运动的线速度大小为 B. 游客运动的平均速度大小为 C. 游客转动的角速度大小为 D. 游客转到最低点时做圆周运动的向心力大小为 【答案】AD  【解答】A、游客运动的线速度大小为，项正确； B、游客运动的平均速度大小为，项错误； C、游客转动的角速度大小为，项错误； D、游客转到最低点时做圆周运动的向心力大小为，项正确。 故选AD。 8.如图是无人机绕拍摄主体飞行时，在水平面内做匀速圆周运动的示意图。已知无人机的质量为，轨道平面距拍摄对象高度为，无人机与拍摄对象距离为，飞行时线速度大小为，则下列说法正确的是(    ) A. 无人机受到重力，空气作用力、向心力 B. 无人机所受空气作用力大于 C. 无人机做圆周运动的向心力为 D. 无人机在相等的时间内通过的路程相等 【答案】BD  【解答】A.向心力是效果力，是由其他力提供的，不是受到的，故A错误； B.无人机做匀速圆周运动，重力方向竖直向下，所需向心力水平方向，则空气对无人机的作用力斜向上方，大于重力，故B正确； C.由几何关系可得，无人机做匀速圆周运动的半径为，则无人机所需的向心力为，故C错误； D.无人机飞行时速度大小不变，在相等的时间内通过的路程相等，故D正确。 故选BD。 9. 如图所示，质量相等的、两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有(    )   A. 线速度大小 B. 运动周期 C. 它们受到的摩擦力 D. 筒壁对它们的弹力大小 【答案】AD  【解答】A、由知，相同，则线速度大小与半径成正比，的半径大，则其线速度大，故A正确； B、、两物体同轴转动，角速度相同，周期相同，故B错误； C、两个物体竖直方向都没有加速度，受力平衡，所受的摩擦力都等于重力，而两个物体的重力相等，所以可得摩擦力，故C错误； D、两个物体都做匀速圆周运动，由圆筒的弹力提供向心力，则，、相等，与成正比，所以可知，故D正确。 故选：。 10.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，进而采用圆周运动的分析方法进行研究．如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图所示，则 A. 在其抛出点处的曲率半径是 B. 在其抛出点处的曲率半径是 C. 在其轨迹最高点处的曲率半径是 D. 在其轨迹最高点处的曲率半径是 【答案】AC  【解答】物体在其轨迹处速度大小为， 物体的重力垂直的分力作为向心力， 由向心力的公式得：， 可得：； 物体在其轨迹最高点处只有水平速度，其水平速度大小为， 在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力， 由向心力的公式得：， 所以在其轨迹最高点处的曲率半径是：，故AC正确，BD错误。 11.如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个小球，质量分别为，细线的上端都系于点，两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动。已知两细线长度之比，长细线跟竖直方向的夹角为，下列说法正确的是(    ) A. 两小球做匀速圆周运动的周期相等 B. 两小球做匀速圆周运动的线速度大小相等 C. 、两小球的质量之比一定为 D. 短细线跟竖直方向成角 【答案】AD  【解析】A.两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动，设绳与竖直方向夹角为  ，水平面距悬点高为  ，对小球受力分析，由牛顿第二定律得 解得 可知  与绳长无关，只与小球到悬点的竖直高度有关，即两小球做匀速圆周运动的周期相等，故A正确； B.由公式  ，可知  正比于  ，由于两小球运动半径不相等，所以两小球做匀速圆周运动的线速度不相等，故B错误； 两球在同一水平面内做匀速圆周运动，则 解得 根据牛顿第二定律得 可知小球做匀速圆周运动与质量无关，无法求出两小球的质量比，故C错误，D正确。 故选AD。 12.一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 物块所受合外力为零 B. 物块所受合外力越来越大 C. 物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变 D. 物块所受摩擦力大小变化 【答案】CD  【解析】物块下滑过程中速率保持不变，做匀速圆周运动，加速度不能等于零，根据：  合外力不为零，且大小保持不变，、B错误； C.根据：  物块所受的合力大小不变，因做匀速圆周运动，合力指向圆心，方向不断变化，故C正确； D.对物块受力分析知物块所受摩擦力总是与重力沿切线方向的分力相等，因随物块下滑逐渐减小，故物块所受摩擦力也逐渐减小，故D正确。 故选CD。 三、计算题。 13.汽车出厂前需要进行轮胎抓地实验，该实验是将一辆汽车放在一个水平圆盘上，然后使圆盘和汽车一起绕中心轴旋转，不断地调节圆盘的转速直到汽车开始滑动，记录下最高转速、汽车的质量和汽车到圆盘中心的距离，这样就可以确定汽车的抓地情况。该实验的“版”如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心处放置一小物块，其质量，与圆盘盘面间的动摩擦因数，小物块可视为质点，所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 当圆盘转动的角速度时，求物块与圆盘间的摩擦力的大小和方向； 欲使与圆盘不发生相对滑动，求圆盘转动的最大角速度。 【答案】解：由牛顿第二定律可知，物块与圆盘间的摩擦力大小 该摩擦力提供物块做圆周运动所需的向心力，其方向指向圆心。 物块与圆盘间的最静大摩擦力 由牛顿第二定律可得 解得。  14.如图所示，用细绳一端系着的质量为的物体静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔吊着质量为的小球，的重心到点的距离为若与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球保持静止，求转盘绕中心旋转的角速度的取值范围．取 【答案】解：要使静止，必须相对于转盘静止，即具有与转盘相同的角速度； 需要的向心力由绳拉力和摩擦力提供，角速度最大时，有离心趋势，静摩擦力指向圆心；角速度最小时，静摩擦力背离圆心； 对：拉力为：； 当欲向外运动时转盘角速度最大时，根据牛顿第二定律有：； 代入数据解得：； 当欲向里运动时转盘角速度最小时，根据牛顿第二定律有：； 代入数据解得： 所以角速度的范围为：。  15.如图所示，质量是的小球用长为的细线悬挂在点，点距地面高度为，如果使小球绕轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为，求： 当小球的角速度为多大时，细线将断裂； 线断裂后小球落地点与悬点的水平距离． 【答案】解：当绳子拉力达到最大时，在竖直方向上有：， 代入数据解得：． 根据牛顿第二定律得：， 代入数据解得：； 小球转动的线速度为：， 落地时竖直位移为：， 水平位移为：， 小球落地点与悬点的水平距离为：， 代入数据解得：． 答：当小球的角速度为时，细线将断裂； 线断裂后小球落地点与悬点的水平距离为．  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $