6.2 向心力：探究向心力大小的表达式 讲义-2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第二册

目录 第08课时　探究向心力大小的表达式 1 考点一　向心力 1 考点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 2 题型1：原型实验 3 题型2：拓展实验 5 考点三　用圆锥摆验证向心力的表达式 7 巩固训练·提升能力 9 第08课时　探究向心力大小的表达式 考点一　向心力 必备知识·回顾梳理 1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2.方向：始终沿半径指向圆心，且与速度方向垂直，方向时刻在改变，所以向心力是变力。 3.作用效果：只改变速度的方向，不改变速度大小。 4.效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 5.当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图所示，小物块与水平圆盘保持相对静止，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动。关于小物块的受力情况，下列说法正确的是(    ) A. 受重力、支持力 B. 受重力、支持力和摩擦力 C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力 D. 受到的合外力为零 【变式训练1】（单选）.如图所示，在洗衣机竖直圆桶内，有一件衣服贴着内壁随圆桶先以一定的角速度做匀速圆周运动，后以更大的角速度做匀速圆周运动，则角速度增大后(    ) A. 衣服受重力、弹力、摩擦力、向心力的作用 B. 衣服受到的弹力增大，摩擦力不变 C. 衣服受到的弹力和摩擦力均增大 D. 衣服受到的弹力和摩擦力均减小 【变式训练2】（多选）如图所示，甲图描绘的是用细线拴住小球在光滑水平面上做匀速圆周运动的情形，乙图描绘的是物块相对转盘静止，随转盘一起做匀速圆周运动的情形。在这两种情景中，关于小球做圆周运动的向心力的分析，下列说法正确的是(    ) A. 甲图中，小球做匀速圆周运动的向心力由细线对小球的拉力提供 B. 甲图中，小球做匀速圆周运动的向心力不变 C. 乙图中，物块做匀速圆周运动的向心力由转盘对它的静摩擦力提供 D. 乙图中，物块所受静摩擦力与线速度方向相反 考点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 必备知识·回顾梳理 1.实验原理 如图为向心力演示器，匀速转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。 2.实验过程（控制变量） （1）保持ω和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m之间的关系。 （2）保持m和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度ω之间的关系。 （3）保持ω和m相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径r之间的关系。 3.实验结果 小球做匀速圆周运动所需向心力的大小，在半径和角速度一定时，与质量成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在质量和角速度一定时，与半径成正比。 例题分析·考点题型 题型1：原型实验 【例题1】用图甲所示装置可探究做匀速圆周运动的物体所需向心力的大小与哪些因素有关。乙为装置剖面图，丙为俯视图，、槽分别与、轮同轴固定，且、轮半径相同。当、两轮在皮带的带动下匀速转动时： 两槽转动的角速度          填“大于”、“等于”或“小于”。 现有两个质量相同的钢球、分别放在槽、槽的横臂挡板处，若它们到各自转轴的距离之比为，则钢球、的线速度之比为          当钢球、各自对应的标尺露出的格数之比为          时，向心力公式得到验证。 【变式训练1】如图甲所示为向心力演示仪，可验证小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的挡板、和短槽的挡板分别到各自转轴中心距离之比为。变速塔轮自上而下有三种组合方式，如图乙所示。 下列实验中与本实验所采用的实验方法相同的是          填正确答案标号。 A.探究小车速度随时间变化的规律 B.探究两个互成角度的力的合成规律 C.探究平抛运动的特点 D.探究加速度与力、质量的关系 在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在、位置，为验证向心力的大小与半径成正比的关系，则需要将传动皮带调至第          填“一”“二”或“三”层塔轮。 在的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出个格，右边标尺露出          个格，若其他条件不变，增大手柄转动的速度，则左、右两标尺露出的格数          填“变大”“变小”或“不变”，两标尺露出格数的比值          填“变大”“变小”或“不变”。 【变式训练2】用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系。两个变速轮塔通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的钢球就同时做匀速圆周运动，横臂的挡板对球的弹力提供向心力。球对挡板的反作用力通过横臂的扛杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。 本实验采用的科学方法是          ； A.控制变量法       等效替代法       微元法       放大法 在研究向心力的大小与角速度关系时，要保持          相同； A.和       ．和       ．和       ．和 若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值为，运用圆周运动知识和上图中信息，可以判断与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为          。 A.                      题型2：拓展实验 【例题1】某实验小组想验证向心力公式表达式，实验装置如图所示，一个半圆形光滑轨道，右侧所标记的刻度为该点与圆心连线和竖直方向的夹角，圆弧轨道最低点固定一个力传感器，小球达到该处时可显示小球在该处对轨道的压力大小，小球质量为，重力加速度为。 实验步骤如下： 将小球在右侧轨道某处由静止释放，记录该处的角度 小球到达轨道最低点时，记录力传感器的示数 改变小球释放的位置，重复以上操作，记录多组、的数值 以为纵坐标，为横坐标，作出的图像，如图所示。 回答以下问题： 若该图像斜率的绝对值          ，纵截距          ，则可验证在最低点的向心力表达式。 某同学认为小球运动时的轨道半径为圆轨道半径与小球半径的差值，即小球球心到轨道圆心的距离才为圆周运动的半径，因此图像斜率绝对值的测量值与真实值相比          填“偏大”“偏小”或“相等”。 【变式训练1】某兴趣小组利用自制“向心力定量探究仪”研究向心力与物体质量、转动半径、角速度的关系．装置如图：可调速电机驱动水平旋转杆匀速转动，旋转杆的一端固定光滑有机玻璃圆管，另一端固定拉力传感器．质量为、半径为的小球通过不可伸长细绳与传感器连接，手机可实时读取细绳拉力旋转杆上反光纸配合铁架台上竖直固定的红外转速计测得转速实验中保持旋转杆中心到小球距离和到传感器距离不变． 小球做匀速圆周运动的转动半径          用题中物理量符号表示； 在探究向心力大小与角速度的关系时，保持小球质量和转动半径不变，根据实验数据分别做和图像如下： 实验结论：由和图像可知，向心力与          选填“”或“”成正比． 在探究向心力大小与小球转动半径的关系时，以向心力为纵坐标，以为横坐标作出图像如图所示，则图像的斜率          ，横截距          结果均选用、、、、和表示． 【变式训练2】为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，某实验小组通过如图甲所示装置进行实验。滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小。滑块上固定一遮光片，宽度为，光电门可以记录遮光片通过的时间，测得旋转半径为。滑块随杆匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力和角速度的数据。 为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量和          保持不变，某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为，则角速度          。 以为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，图线斜率为，则滑块的质量为          用、、表示图线不过坐标原点的原因是          。 考点三　用圆锥摆验证向心力的表达式 【例题1】某实验小组用如图所示的装置来探究圆锥摆运动的规律，轻质细线穿过竖直固定的细圆管内壁以及管口均光滑并跨越光滑的定滑轮，一端连接物块质量为，另一端连接直径为的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动并通过光电门小球通过光电门的时间为，物块静止不动，用秒表来记录小球做圆周运动的时间，重力加速度大小为，忽略空气阻力。 小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小           用、表示，从小球某次通过光电门开始计时，若测得连续次从开始计数通过光电门的时间间隔为，则小球做圆周运动的周期            用、表示，若测得细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差为，圆弧轨迹的半径为、则小球受到的向心力          用H、、、表示。 实验发现当两次圆锥摆实验的圆弧半径不间，而细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差相同时。两种圆周运动的周期相同，这说明圆锥摆的周期与有关，则有           用H、表示。 【变式训练1】为验证向心力公式，某实验探究小组设计了如图所示的实验装置，在贴近刻度尺的下边缘处钻一个小孔，细绳上端固定于点，下端挂着一质量为的钢球，点到钢球长度为，钢球半径远小于，当地重力加速度为。实验方案如下：将直尺固定在水平桌面上，使钢球在水平面内绕圆心做匀速圆周运动，待钢球的运动稳定后： 从直尺上方，保持视线与直尺            往下看，视线与钢球运动圆周边缘相切时，记录视线与刻度尺交点，测量之间距离即可估测圆周运动的半径； 利用秒表测得钢球运动一周的时间即为圆周运动周期，可利用公式计算钢球运动时需要的向心力大小； 对于步骤测量钢球周期，为减小误差，可进行如下改进：            ； 对钢球进行受力分析，可估算钢球受到的合力            用，，，表示； 若向心力与合力在误差范围内相等，便粗略验证了向心力公式的正确性。 【变式训练2】在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径为的圆周运动，钢球的质量为，重力加速度为。 用秒表记录运动圈的总时间为，那么小球做圆周运动中需要的向心力表达式为          。 通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为，那么小球做圆周运动中外力提供的向心力表达式为          ； 改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图象，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为          。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.图甲是滑板运动的滑道，图乙是其理想简化示意图，人和滑板均可视为质点，滑道看成半径为的圆弧轨道，、两点等高，为圆心，是最低点。当人和滑板整体从点由静止释放后，在、两点之间来回滑动，且高度越来越低，忽略空气阻力。对于人和滑板整体，下列说法正确的是(    ) A. 受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 B. 受到的向心力由合力来提供 C. 受到的向心力由重力、支持力的合力来提供 D. 从点到点的过程中，需要的向心力先增大后减小 2.如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力说法正确的是(    ) A. 只受重力 B. 只受拉力 C. 受重力、拉力和向心力 D. 受重力和拉力 3.关于下图四个情境中的向心力，下列说法正确的是(    ) A. 甲图中，小球在光滑半球形碗内沿碗壁在某一水平面做圆周运动，其向心力方向指向球心点 B. 乙图中，旋转木马的飞椅在某一水平面做圆周运动，其受重力、拉力和向心力的作用 C. 丙图中，波轮洗衣机脱水筒脱水时，衣服紧贴筒壁做圆周运动，其向心力由重力和摩擦力的合力提供 D. 丁图中，、两物体跟随水平转动的圆盘做圆周运动，其向心力方向均指向圆盘的轴心 二、实验题。 4.用如图所示的实验装置探究影响向心力大小的因素。已知长槽上的挡板到转轴的距离是挡板的倍，长槽上的挡板和短槽上的挡板到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，塔轮边缘处的          大小相等；选填“线速度”或“角速度” 探究向心力和角速度的关系时，应将皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板          和挡板          处选填“”或“”或“” 皮带套左右两个塔轮的半径分别为，。某次实验使，则、两处的角速度之比为          。 5.如图所示为向心力演示仪，某实验小组用该装置来完成“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验。 该实验采用的实验方法是           A.等效替代法  控制变量法  理想实验法  演绎法 在探究“向心力大小与半径之间的关系”时，传动皮带缠绕的左右塔轮半径          填“相同”或“不同”，将质量相同的两个小球分别放在          填“、”“、”或“、”位置，然后摇动手柄进行观察和记录。 6.实验室用下图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系两个变速塔轮通过皮带连接，实验时，将两个小球分别放在短槽的处和长槽的或处，、分别到左右塔轮中心的距离相等，到左塔轮中心的距离是到左塔轮中心距离的倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值如图所示是探究过程中某次实验时装置的状态． 通过本实验探究向心力大小与小球质量、角速度和半径之间关系，应用的思想方法是          填标号 A.理想实验法 B.等效替代法 C.控制变量法 D.模型建构法 图中所示是在探究向心力的大小与          填标号 A.质量的关系 B.半径的关系 C.角速度的关系 若图中标尺和标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则与皮带连接的变速塔轮和变速塔轮的半径之比为          填标号． A. B. C. D. 7.某实验小组通过如图所示的装置验证向心力的表达式，滑块套在水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小，滑块上固定一遮光片，宽度为，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的角速度、旋转半径为，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力和角速度的数据。 某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为，则角速度          ； 以为纵坐标，以          填“”“”或“”为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线；若所得图像的斜率为，则滑块的质量为          用所测物理量、、、表示。 8.某兴趣小组利用智能手机验证向心加速度与角速度、半径的关系。如图甲所示，用双股细绳将手机竖直悬挂，手机平面与水平面平行，用手搓动细绳带动手机旋转。利用手机内置传感器得到角速度和向心加速度。图乙为某次实验中利用手机软件绘制的图像。 仅由图乙中的图像可以得到的结论是：半径一定时，增大转动的角速度，向心加速度          选填“增大”“减小”或“不变” 半径一定时，为了研究向心加速度和角速度的定量关系，利用软件生成了图丙所示的图像，则横坐标应为          选填“”或“” 下列哪种操作，可能对图丙中直线的斜率产生较大影响           A.增大手机的转速 B.更换不同大小的手机 C.改变手机转动的总时间 D.改变细绳的长度 9.如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力，速度传感器测量圆柱体的线速度大小，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力与线速度大小的关系。 该同学采用的实验方法是           。 A.等效替代法 B.控制变量法 C.理想化模型法 改变线速度大小，多次测量，该同学测出了五组、数据，对数据分析后，在坐标纸上描出了五个点，作出图线如图乙所示。若圆柱体运动半径，由作出的的图线可得圆柱体的质量           。结果保留两位有效数字 10.在“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验中，细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定在铁架台上。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使悬点正好位于圆心的正上方。现用手拉起钢球并给它一个初速度，使它沿纸上的某个圆做匀速圆周运动钢球恰不触及纸面。 在该实验中，可以用秒表测量钢球运动圈所用的时间，则小球做圆周运动的周期为          ；通过纸上的圆测出钢球做匀速圆周运动的半径，再用天平测出钢球的质量。即可利用公式计算出所需的向心力          用所测物理量符号表示； 求小球受到的合力：结合上一问的测量，再测出悬点与小球间的竖直高度，查表得出当地重力加速度为，则可计算出小球所受的合力          用所测物理量符号表示。 若与在误差范围相等，便粗略验证了向心力表达式正确性。 11.某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩擦的水平直杆固定在竖直转轴上，竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动，套在水平直杆上的滑块，通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为的边缘处安装了宽度为的遮光片，光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。 本实验主要用到的科学方法是          ； A.控制变量法  等效替代法  微小量放大法 若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为，测得到竖直转轴距离为，宽度为的遮光片的挡光时间为，则遮光片的线速度          ，滑块的角速度          ；这两空用题目给的字母表示 实验小组保持滑块质量和运动半径不变，探究向心力与线速度的关系时，以为纵坐标，以为横坐标，根据测量数据作一条倾斜直线如图乙所示，已测得遮光片的宽度，遮光片到竖直转轴的距离，滑块到竖直转轴的距离，则滑块的质量          。保留两位有效数字 使用方法前提下，小明认为实际的水平直杆肯定有摩擦，考虑摩檫力后滑块质量计算结果会偏大。你          选填“同意”或“不同意”该观点，理由是          ． 12.在研究做匀速圆周运动的物体所受向心力大小与质量、角速度和半径的关系实验中： 小明同学用如图甲所示装置进行实验。在探究向心力大小与圆周运动半径的关系时，将两个相同质量的小球，分别放在挡板处与          选填“”或“”挡板处，同时将传动皮带套在半径          选填“相同”或“不同”的两个塔轮上。 小红同学用如图乙所示装置验证向心力大小与角速度的关系。长度为的细线上端固定，下端悬挂质量为的小球视为质点，将画有几个同心圆的白纸置于悬点下方的平台上，其圆心在细线悬挂点的正下方。现给小球一初速度，使其恰沿纸面上半径为的圆做匀速圆周运动，此时小球对纸面恰好无压力，用秒表记录小球转动圈所用的总时间为。不计空气阻力，重力加速度大小为。 小球做匀速圆周运动的角速度为          用给出的字母表示。 保持的取值不变，改变和进行多次实验，可获取不同的。若以为纵轴，作出的图像为一条直线，则横轴为          选填选项前的字母。 A. B. C. D. 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第08课时　探究向心力大小的表达式 1 考点一　向心力 1 考点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 3 题型1：原型实验 4 题型2：拓展实验 6 考点三　用圆锥摆验证向心力的表达式 9 巩固训练·提升能力 13 第08课时　探究向心力大小的表达式 考点一　向心力 必备知识·回顾梳理 1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2.方向：始终沿半径指向圆心，且与速度方向垂直，方向时刻在改变，所以向心力是变力。 3.作用效果：只改变速度的方向，不改变速度大小。 4.效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 5.当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图所示，小物块与水平圆盘保持相对静止，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动。关于小物块的受力情况，下列说法正确的是(    ) A. 受重力、支持力 B. 受重力、支持力和摩擦力 C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力 D. 受到的合外力为零 【答案】B  【解析】小物块在竖直方向上受重力和支持力，由于小物块在水平面内做匀速圆周运动，则还一定受到摩擦力从而提供其向心力，所以小物块受到的合力不为零。向心力是效果力，受力分析时不能将其与其他性质力并列分析，故ACD错误，B正确。 故选B。 【变式训练1】（单选）.如图所示，在洗衣机竖直圆桶内，有一件衣服贴着内壁随圆桶先以一定的角速度做匀速圆周运动，后以更大的角速度做匀速圆周运动，则角速度增大后(    ) A. 衣服受重力、弹力、摩擦力、向心力的作用 B. 衣服受到的弹力增大，摩擦力不变 C. 衣服受到的弹力和摩擦力均增大 D. 衣服受到的弹力和摩擦力均减小 【答案】B  【解析】A.向心力是效果力，可以由单个力充当，也可以由其他力的合力提供，或者由某个力的分力提供，不是性质力，因此，衣服受重力、弹力和摩擦力的作用，故A错误； 衣服做匀速圆周运动，合力指向圆心，对衣服可看成质点受力分析如图所示 可知衣服的重力与摩擦力平衡，即 根据弹力提供向心力有 可知当角速度增大后，衣服受到的弹力增大，摩擦力仍与衣服的重力平衡大小不变，故B正确，CD错误。 故选B。 【变式训练2】（多选）如图所示，甲图描绘的是用细线拴住小球在光滑水平面上做匀速圆周运动的情形，乙图描绘的是物块相对转盘静止，随转盘一起做匀速圆周运动的情形。在这两种情景中，关于小球做圆周运动的向心力的分析，下列说法正确的是(    ) A. 甲图中，小球做匀速圆周运动的向心力由细线对小球的拉力提供 B. 甲图中，小球做匀速圆周运动的向心力不变 C. 乙图中，物块做匀速圆周运动的向心力由转盘对它的静摩擦力提供 D. 乙图中，物块所受静摩擦力与线速度方向相反 【答案】AC  【解析】、图甲中，小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，细线的拉力提供向心力，向心力大小不变而方向始终指向圆心，向心力是变力，故A正确，B错误； 、乙图中，物块相对转盘静止，随转盘一起做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，静摩擦力指向圆心，物块的线速度方向沿圆的切线方向，静摩擦力的方向与线速度方向垂直，故C正确，D错误。 故选：。 考点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 必备知识·回顾梳理 1.实验原理 如图为向心力演示器，匀速转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。 2.实验过程（控制变量） （1）保持ω和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m之间的关系。 （2）保持m和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度ω之间的关系。 （3）保持ω和m相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径r之间的关系。 3.实验结果 小球做匀速圆周运动所需向心力的大小，在半径和角速度一定时，与质量成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在质量和角速度一定时，与半径成正比。 例题分析·考点题型 题型1：原型实验 【例题1】用图甲所示装置可探究做匀速圆周运动的物体所需向心力的大小与哪些因素有关。乙为装置剖面图，丙为俯视图，、槽分别与、轮同轴固定，且、轮半径相同。当、两轮在皮带的带动下匀速转动时： 两槽转动的角速度          填“大于”、“等于”或“小于”。 现有两个质量相同的钢球、分别放在槽、槽的横臂挡板处，若它们到各自转轴的距离之比为，则钢球、的线速度之比为          当钢球、各自对应的标尺露出的格数之比为          时，向心力公式得到验证。 【答案】等于 【解析】因、两轮通过皮带相连，且、两轮半径相同，故两轮角速度相同；而、槽分别与、轮同轴固定，故两槽的角速度分别与两轮的角速度相等，综上可知两槽转动的角速度相等，即； 钢球、的角速度相同，做匀速圆周运动的半径之比为，根据可知，钢球、的线速度之比为，根据向心力公式可知，钢球、受到的向心力之比为，则当它们各自对应的标尺露出的格数之比为时，向心力公式得到验证。 【变式训练1】如图甲所示为向心力演示仪，可验证小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的挡板、和短槽的挡板分别到各自转轴中心距离之比为。变速塔轮自上而下有三种组合方式，如图乙所示。 下列实验中与本实验所采用的实验方法相同的是          填正确答案标号。 A.探究小车速度随时间变化的规律 B.探究两个互成角度的力的合成规律 C.探究平抛运动的特点 D.探究加速度与力、质量的关系 在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在、位置，为验证向心力的大小与半径成正比的关系，则需要将传动皮带调至第          填“一”“二”或“三”层塔轮。 在的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出个格，右边标尺露出          个格，若其他条件不变，增大手柄转动的速度，则左、右两标尺露出的格数          填“变大”“变小”或“不变”，两标尺露出格数的比值          填“变大”“变小”或“不变”。 【答案】 一 变大 不变 【解析】解：、在该实验中，通过控制质量、半径、角速度中两个物理量相同，验证向心力与另外一个物理量之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。探究小车速度随时间变化的规律，是利用极限思想计算小车的速度，故 A错误 B、探究两个互成角度的力的合成规律，应用了等效替代法，故B错误 C、探究平抛运动的特点，例如两球同时落地，两球在竖直方向上的运动效果相同，应用了等效思想，故C错误 D、探究加速度与力、质量的关系，应用了控制变量法，故D正确。 根据可知，验证向心力的大小与半径成正比的关系时，需要保证小球的质量和角速度不变，根据可知将传动皮带调至第一层塔轮时两塔轮边缘处线速度相同，半径相同，则它们的角速度也相同； 左边标尺露出个格，两钢球的质量、角速度相等，半径之比为，由可知向心力的大小之比为，则右边标尺露出个格其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则两塔轮的角速度随之增大，但其比值保持不变，两小球所受向心力也随之增大，则左、右两标尺露出的格数变大，两标尺露出格数的比值不变。 【变式训练2】用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系。两个变速轮塔通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的钢球就同时做匀速圆周运动，横臂的挡板对球的弹力提供向心力。球对挡板的反作用力通过横臂的扛杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。 本实验采用的科学方法是          ； A.控制变量法       等效替代法       微元法       放大法 在研究向心力的大小与角速度关系时，要保持          相同； A.和       ．和       ．和       ．和 若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值为，运用圆周运动知识和上图中信息，可以判断与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为          。 A.                      【答案】 【解析】本实验通过控制质量、角速度和半径中两个物理量相同，探究向心力与另外一个物理量之间的关系，采用的科学方法是控制变量法。 故选A。 在研究向心力的大小与角速度关系时，要保持和相同。 故选C。 由图可知两钢球做匀速圆周运动的半径相同，根据可知二者角速度之比为 两变速塔轮边缘的线速度大小相等，所以有 所以与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为 故选C。 题型2：拓展实验 【例题1】某实验小组想验证向心力公式表达式，实验装置如图所示，一个半圆形光滑轨道，右侧所标记的刻度为该点与圆心连线和竖直方向的夹角，圆弧轨道最低点固定一个力传感器，小球达到该处时可显示小球在该处对轨道的压力大小，小球质量为，重力加速度为。 实验步骤如下： 将小球在右侧轨道某处由静止释放，记录该处的角度 小球到达轨道最低点时，记录力传感器的示数 改变小球释放的位置，重复以上操作，记录多组、的数值 以为纵坐标，为横坐标，作出的图像，如图所示。 回答以下问题： 若该图像斜率的绝对值          ，纵截距          ，则可验证在最低点的向心力表达式。 某同学认为小球运动时的轨道半径为圆轨道半径与小球半径的差值，即小球球心到轨道圆心的距离才为圆周运动的半径，因此图像斜率绝对值的测量值与真实值相比          填“偏大”“偏小”或“相等”。 【答案】 相等 【解析】解：小球从出发点到达最低点，由动能定理得； 由牛顿第三定律可知，最低点轨道对小球的支持力大小等于。 小球在最低点，由受力分析可得：， 联立上述二式可得， 整理可得：，即斜率的绝对值，纵截距； 通过上述方程发现，表达式与轨道半径无关，故图像斜率的绝对值不变。 【变式训练1】某兴趣小组利用自制“向心力定量探究仪”研究向心力与物体质量、转动半径、角速度的关系．装置如图：可调速电机驱动水平旋转杆匀速转动，旋转杆的一端固定光滑有机玻璃圆管，另一端固定拉力传感器．质量为、半径为的小球通过不可伸长细绳与传感器连接，手机可实时读取细绳拉力旋转杆上反光纸配合铁架台上竖直固定的红外转速计测得转速实验中保持旋转杆中心到小球距离和到传感器距离不变． 小球做匀速圆周运动的转动半径          用题中物理量符号表示； 在探究向心力大小与角速度的关系时，保持小球质量和转动半径不变，根据实验数据分别做和图像如下： 实验结论：由和图像可知，向心力与          选填“”或“”成正比． 在探究向心力大小与小球转动半径的关系时，以向心力为纵坐标，以为横坐标作出图像如图所示，则图像的斜率          ，横截距          结果均选用、、、、和表示． 【答案】   【解析】由图可知：小球做匀速圆周运动的转动半径 ； 由图可知：向心力与 成正比； 在探究向心力大小与小球转动半径的关系时，由受力分析可知：向心力     ，式中转速的单位时间为，可知：图像的斜率  ，横截距 。 【变式训练2】为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，某实验小组通过如图甲所示装置进行实验。滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小。滑块上固定一遮光片，宽度为，光电门可以记录遮光片通过的时间，测得旋转半径为。滑块随杆匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力和角速度的数据。 为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量和          保持不变，某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为，则角速度          。 以为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，图线斜率为，则滑块的质量为          用、、表示图线不过坐标原点的原因是          。 【答案】旋转半径  滑块受到摩擦力 【解答】根据控制变量法，为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量和旋转的半径不变； 物体转动的线速度为 又 解得 根据向心力公式可知 联立解得 由于 可得滑块的质量为 由图线可知，当 而 可知图线不过坐标原点的原因是滑块受到摩擦力的原因。 考点三　用圆锥摆验证向心力的表达式 【例题1】某实验小组用如图所示的装置来探究圆锥摆运动的规律，轻质细线穿过竖直固定的细圆管内壁以及管口均光滑并跨越光滑的定滑轮，一端连接物块质量为，另一端连接直径为的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动并通过光电门小球通过光电门的时间为，物块静止不动，用秒表来记录小球做圆周运动的时间，重力加速度大小为，忽略空气阻力。 小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小           用、表示，从小球某次通过光电门开始计时，若测得连续次从开始计数通过光电门的时间间隔为，则小球做圆周运动的周期            用、表示，若测得细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差为，圆弧轨迹的半径为、则小球受到的向心力          用H、、、表示。 实验发现当两次圆锥摆实验的圆弧半径不间，而细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差相同时。两种圆周运动的周期相同，这说明圆锥摆的周期与有关，则有           用H、表示。 【答案】 【解析】小球直径为，通过光电门的时间为， 则小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小  从小球某次通过光电门开始计时， 若测得连续次从开始计数通过光电门的时间间隔为 则小球做圆周运动的周期 若测得细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差为 圆弧轨迹的半径为， 根据几何关系有 解得小球受到的向心力； 小球受到的向心力 解得。 【变式训练1】为验证向心力公式，某实验探究小组设计了如图所示的实验装置，在贴近刻度尺的下边缘处钻一个小孔，细绳上端固定于点，下端挂着一质量为的钢球，点到钢球长度为，钢球半径远小于，当地重力加速度为。实验方案如下：将直尺固定在水平桌面上，使钢球在水平面内绕圆心做匀速圆周运动，待钢球的运动稳定后： 从直尺上方，保持视线与直尺            往下看，视线与钢球运动圆周边缘相切时，记录视线与刻度尺交点，测量之间距离即可估测圆周运动的半径； 利用秒表测得钢球运动一周的时间即为圆周运动周期，可利用公式计算钢球运动时需要的向心力大小； 对于步骤测量钢球周期，为减小误差，可进行如下改进：            ； 对钢球进行受力分析，可估算钢球受到的合力            用，，，表示； 若向心力与合力在误差范围内相等，便粗略验证了向心力公式的正确性。 【答案】垂直 利用秒表测得钢球运动周的时间，求出圆周运动周期，其中尽可能多一些 【解析】从直尺上方，保持视线与直尺垂直往下看，视线如果与直尺不垂直，会造成读数偏大或偏小； 对于步骤测量钢球周期，为减小误差，应利用秒表测得钢球运动周的时间，求出圆周运动周期，其中尽可能多一些； 钢球受重力和拉力，如图 则合力为。 【变式训练2】在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径为的圆周运动，钢球的质量为，重力加速度为。 用秒表记录运动圈的总时间为，那么小球做圆周运动中需要的向心力表达式为          。 通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为，那么小球做圆周运动中外力提供的向心力表达式为          ； 改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图象，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为          。 【答案】 【解析】解：根据向心力公式：，而， 得：； 如图由几何关系可得：； 由上面分析得：， 整理得： 故斜率表达式为：； 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.图甲是滑板运动的滑道，图乙是其理想简化示意图，人和滑板均可视为质点，滑道看成半径为的圆弧轨道，、两点等高，为圆心，是最低点。当人和滑板整体从点由静止释放后，在、两点之间来回滑动，且高度越来越低，忽略空气阻力。对于人和滑板整体，下列说法正确的是(    ) A. 受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 B. 受到的向心力由合力来提供 C. 受到的向心力由重力、支持力的合力来提供 D. 从点到点的过程中，需要的向心力先增大后减小 【答案】D  【解析】、人和滑板整体受到重力、支持力和摩擦力，做变速圆周运动，支持力和重力垂直圆弧切线的分力的合力提供向心力，人和滑板整体所受合力大于向心力，故 ABC错误 D、由于滑板与轨道间存在阻力，人和滑板整体从点到点的过程中，速率先增大后减小，由可知向心力先增大后减小，故D正确。 2.如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力说法正确的是(    ) A. 只受重力 B. 只受拉力 C. 受重力、拉力和向心力 D. 受重力和拉力 【答案】D  【解析】该小球在运动中受到重力和绳子的拉力，拉力和重力的合力提供了小球在水平面上做匀速圆周运到的向心力，选项ABC错误，选项D正确。  故选D。 3.关于下图四个情境中的向心力，下列说法正确的是(    ) A. 甲图中，小球在光滑半球形碗内沿碗壁在某一水平面做圆周运动，其向心力方向指向球心点 B. 乙图中，旋转木马的飞椅在某一水平面做圆周运动，其受重力、拉力和向心力的作用 C. 丙图中，波轮洗衣机脱水筒脱水时，衣服紧贴筒壁做圆周运动，其向心力由重力和摩擦力的合力提供 D. 丁图中，、两物体跟随水平转动的圆盘做圆周运动，其向心力方向均指向圆盘的轴心 【答案】D  【解析】A.小球在光滑半球形碗内沿碗壁在某一水平面做圆周运动，其向心力是碗壁的支持力和重力的合力，方向应指向该水平面圆周的圆心，而不是球心点，故A错误； B.旋转木马的飞椅在某一水平面做圆周运动，飞椅受重力和拉力，向心力是重力和拉力的合力，不能说物体受到向心力的作用，向心力是效果力，故B错误； C.波轮洗衣机脱水筒脱水时，衣服紧贴筒壁做圆周运动，其向心力由筒壁对衣服的弹力提供，而不是由重力和摩擦力的合力提供，故C错误； D.、两物体跟随水平转动的圆盘做圆周运动，其向心力方向均指向圆盘的轴心，这是因为它们做圆周运动的圆心在圆盘的轴心，故D正确。 二、实验题。 4.用如图所示的实验装置探究影响向心力大小的因素。已知长槽上的挡板到转轴的距离是挡板的倍，长槽上的挡板和短槽上的挡板到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，塔轮边缘处的          大小相等；选填“线速度”或“角速度” 探究向心力和角速度的关系时，应将皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板          和挡板          处选填“”或“”或“” 皮带套左右两个塔轮的半径分别为，。某次实验使，则、两处的角速度之比为          。 【答案】线速度 ： 【解析】皮带传动的两塔轮边缘处的线速度大小相等； 该实验采用“控制变量法”进行研究，所以在探究向心力和角速度的关系时，要保持其余的物理量不变，则需要半径、质量都相同，则需要将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板和挡板处； 根据皮带套上各点的线速度大小相等，根据公式有：，解得：，又由于，；故：：。 5.如图所示为向心力演示仪，某实验小组用该装置来完成“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验。 该实验采用的实验方法是           A.等效替代法  控制变量法  理想实验法  演绎法 在探究“向心力大小与半径之间的关系”时，传动皮带缠绕的左右塔轮半径          填“相同”或“不同”，将质量相同的两个小球分别放在          填“、”“、”或“、”位置，然后摇动手柄进行观察和记录。 【答案】 相同 A、 【解析】本实验通过控制小球质量、运动半径和角速度这三个物理量中两个量相同，探究向心力与另一个物理量之间的关系，采用的主要实验方法为控制变量法。 在探究“向心力大小与半径之间的关系”时，需要控制和相同，即把两个相同质量的小球放到半径不等的长槽和短槽上，使传动皮带缠绕的左右塔轮半径相同以保证角速度相同，故选半径相同，放在、位置。 6.实验室用下图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系两个变速塔轮通过皮带连接，实验时，将两个小球分别放在短槽的处和长槽的或处，、分别到左右塔轮中心的距离相等，到左塔轮中心的距离是到左塔轮中心距离的倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值如图所示是探究过程中某次实验时装置的状态． 通过本实验探究向心力大小与小球质量、角速度和半径之间关系，应用的思想方法是          填标号 A.理想实验法 B.等效替代法 C.控制变量法 D.模型建构法 图中所示是在探究向心力的大小与          填标号 A.质量的关系 B.半径的关系 C.角速度的关系 若图中标尺和标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则与皮带连接的变速塔轮和变速塔轮的半径之比为          填标号． A. B. C. D. 【答案】 【解析】在探究向心力大小与小球质量、角速度和半径之间的关系时，因为要分别研究与、与、与的关系，每次只改变一个物理量，而控制其他物理量不变，这种思想方法是控制变量法。答案为：。 观察可知，两球质量相同，转动半径相同，而连接两球的变速塔轮半径不同，由于皮带传动线速度相同，根据，变速塔轮半径不同则角速度不同，所以图中所示是在探究向心力的大小与角速度的关系。答案为：。 根据向心力公式，两球质量相同，转动半径相同，已知两球所受向心力之比为，即，则。因为皮带传动线速度相同，由可得：，那么，，即与皮带连接的变速塔轮和变速塔轮的半径之比为。答案为：。 7.某实验小组通过如图所示的装置验证向心力的表达式，滑块套在水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小，滑块上固定一遮光片，宽度为，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的角速度、旋转半径为，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力和角速度的数据。 某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为，则角速度          ； 以为纵坐标，以          填“”“”或“”为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线；若所得图像的斜率为，则滑块的质量为          用所测物理量、、、表示。 【答案】 【解析】解：物体转动的线速度为 由 解得 根据向心力公式可知 联立解得 故以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线 根据函数表达式可知 解得： 故答案为：；， 8.某兴趣小组利用智能手机验证向心加速度与角速度、半径的关系。如图甲所示，用双股细绳将手机竖直悬挂，手机平面与水平面平行，用手搓动细绳带动手机旋转。利用手机内置传感器得到角速度和向心加速度。图乙为某次实验中利用手机软件绘制的图像。 仅由图乙中的图像可以得到的结论是：半径一定时，增大转动的角速度，向心加速度          选填“增大”“减小”或“不变” 半径一定时，为了研究向心加速度和角速度的定量关系，利用软件生成了图丙所示的图像，则横坐标应为          选填“”或“” 下列哪种操作，可能对图丙中直线的斜率产生较大影响           A.增大手机的转速 B.更换不同大小的手机 C.改变手机转动的总时间 D.改变细绳的长度 【答案】增大 【解析】由图乙可知：半径一定时，增大转动的角速度，向心加速度也增大； 半径一定时根据可知，与成正比，图中横坐标为； 由可知图丙中直线的斜率与有关，改变细绳的长度可能对图丙中直线的斜率产生较大影响，故ABC错误，D正确，故选D。 9.如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力，速度传感器测量圆柱体的线速度大小，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力与线速度大小的关系。 该同学采用的实验方法是           。 A.等效替代法 B.控制变量法 C.理想化模型法 改变线速度大小，多次测量，该同学测出了五组、数据，对数据分析后，在坐标纸上描出了五个点，作出图线如图乙所示。若圆柱体运动半径，由作出的的图线可得圆柱体的质量           。结果保留两位有效数字 【答案】 【解析】通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力与线速度大小的关系，采用的是控制变量法，故选B。 由向心力公式得： 整理得： 故斜率： 由图像可知斜率，代入题目中的数据得：。 10.在“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验中，细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定在铁架台上。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使悬点正好位于圆心的正上方。现用手拉起钢球并给它一个初速度，使它沿纸上的某个圆做匀速圆周运动钢球恰不触及纸面。 在该实验中，可以用秒表测量钢球运动圈所用的时间，则小球做圆周运动的周期为          ；通过纸上的圆测出钢球做匀速圆周运动的半径，再用天平测出钢球的质量。即可利用公式计算出所需的向心力          用所测物理量符号表示； 求小球受到的合力：结合上一问的测量，再测出悬点与小球间的竖直高度，查表得出当地重力加速度为，则可计算出小球所受的合力          用所测物理量符号表示。 若与在误差范围相等，便粗略验证了向心力表达式正确性。 【答案】  【解答】钢球做圆周运动的周期，则钢球的向心力 ； 根据平行四边形定则知，钢球所受的合力。 11.某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩擦的水平直杆固定在竖直转轴上，竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动，套在水平直杆上的滑块，通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为的边缘处安装了宽度为的遮光片，光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。 本实验主要用到的科学方法是          ； A.控制变量法  等效替代法  微小量放大法 若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为，测得到竖直转轴距离为，宽度为的遮光片的挡光时间为，则遮光片的线速度          ，滑块的角速度          ；这两空用题目给的字母表示 实验小组保持滑块质量和运动半径不变，探究向心力与线速度的关系时，以为纵坐标，以为横坐标，根据测量数据作一条倾斜直线如图乙所示，已测得遮光片的宽度，遮光片到竖直转轴的距离，滑块到竖直转轴的距离，则滑块的质量          。保留两位有效数字 使用方法前提下，小明认为实际的水平直杆肯定有摩擦，考虑摩檫力后滑块质量计算结果会偏大。你          选填“同意”或“不同意”该观点，理由是          ． 【答案】  不同意 考虑摩擦力后，对图像的斜率没有影响，因此对滑块质量的计算没有影响 【解析】本实验要探究向心力大小与质量、线速度和半径的关系，分别控制其中两个量不变，研究另外一个量与向心力的关系，这是典型的控制变量法，故选 A。 根据线速度公式，遮光片经过光电门的位移为其宽度，时间为，所以。 因为滑块和遮光片同轴转动，角速度相同，根据， 可得，将代入，即。 由滑块的向心力为 代入解得由图乙所示，结合上式有解得 不同意；考虑摩擦力后，对图像的斜率没有影响，因此对滑块质量的计算没有影响 12.在研究做匀速圆周运动的物体所受向心力大小与质量、角速度和半径的关系实验中： 小明同学用如图甲所示装置进行实验。在探究向心力大小与圆周运动半径的关系时，将两个相同质量的小球，分别放在挡板处与          选填“”或“”挡板处，同时将传动皮带套在半径          选填“相同”或“不同”的两个塔轮上。 小红同学用如图乙所示装置验证向心力大小与角速度的关系。长度为的细线上端固定，下端悬挂质量为的小球视为质点，将画有几个同心圆的白纸置于悬点下方的平台上，其圆心在细线悬挂点的正下方。现给小球一初速度，使其恰沿纸面上半径为的圆做匀速圆周运动，此时小球对纸面恰好无压力，用秒表记录小球转动圈所用的总时间为。不计空气阻力，重力加速度大小为。 小球做匀速圆周运动的角速度为          用给出的字母表示。 保持的取值不变，改变和进行多次实验，可获取不同的。若以为纵轴，作出的图像为一条直线，则横轴为          选填选项前的字母。 A. B. C. D. 【答案】 相同 【解析】在探究向心力大小与圆周运动半径的关系时，需要保证两小球质量相同、做圆周运动的角速度相等，分析向心力和小球做圆周运动半径之间的关系，故实验时，将两个相同质量的小球，分别放在挡板处与挡板处，同时将传动皮带套在半径相同的两个塔轮上； 小球做圆周运动的周期，故小球运动的角速度； 设细线与竖直方向夹角为，则对小球有：，化简可得，故应以为纵轴，以为横轴。故C正确。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第08课时　探究向心力大小的表达式 1 考点一　向心力 1 考点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 2 题型1：原型实验 2 题型2：拓展实验 4 考点三　用圆锥摆验证向心力的表达式 6 巩固训练·提升能力 8 第08课时　探究向心力大小的表达式 考点一　向心力 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图所示，小物块与水平圆盘保持相对静止，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动。关于小物块的受力情况，下列说法正确的是(    ) A. 受重力、支持力 B. 受重力、支持力和摩擦力 C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力 D. 受到的合外力为零 【变式训练1】（单选）.如图所示，在洗衣机竖直圆桶内，有一件衣服贴着内壁随圆桶先以一定的角速度做匀速圆周运动，后以更大的角速度做匀速圆周运动，则角速度增大后(    ) A. 衣服受重力、弹力、摩擦力、向心力的作用 B. 衣服受到的弹力增大，摩擦力不变 C. 衣服受到的弹力和摩擦力均增大 D. 衣服受到的弹力和摩擦力均减小 【变式训练2】（多选）如图所示，甲图描绘的是用细线拴住小球在光滑水平面上做匀速圆周运动的情形，乙图描绘的是物块相对转盘静止，随转盘一起做匀速圆周运动的情形。在这两种情景中，关于小球做圆周运动的向心力的分析，下列说法正确的是(    ) A. 甲图中，小球做匀速圆周运动的向心力由细线对小球的拉力提供 B. 甲图中，小球做匀速圆周运动的向心力不变 C. 乙图中，物块做匀速圆周运动的向心力由转盘对它的静摩擦力提供 D. 乙图中，物块所受静摩擦力与线速度方向相反 考点二　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 例题分析·考点题型 题型1：原型实验 【例题1】用图甲所示装置可探究做匀速圆周运动的物体所需向心力的大小与哪些因素有关。乙为装置剖面图，丙为俯视图，、槽分别与、轮同轴固定，且、轮半径相同。当、两轮在皮带的带动下匀速转动时： 两槽转动的角速度          填“大于”、“等于”或“小于”。 现有两个质量相同的钢球、分别放在槽、槽的横臂挡板处，若它们到各自转轴的距离之比为，则钢球、的线速度之比为          当钢球、各自对应的标尺露出的格数之比为          时，向心力公式得到验证。 【变式训练1】如图甲所示为向心力演示仪，可验证小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的挡板、和短槽的挡板分别到各自转轴中心距离之比为。变速塔轮自上而下有三种组合方式，如图乙所示。 下列实验中与本实验所采用的实验方法相同的是          填正确答案标号。 A.探究小车速度随时间变化的规律 B.探究两个互成角度的力的合成规律 C.探究平抛运动的特点 D.探究加速度与力、质量的关系 在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在、位置，为验证向心力的大小与半径成正比的关系，则需要将传动皮带调至第          填“一”“二”或“三”层塔轮。 在的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出个格，右边标尺露出          个格，若其他条件不变，增大手柄转动的速度，则左、右两标尺露出的格数          填“变大”“变小”或“不变”，两标尺露出格数的比值          填“变大”“变小”或“不变”。 【变式训练2】用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系。两个变速轮塔通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的钢球就同时做匀速圆周运动，横臂的挡板对球的弹力提供向心力。球对挡板的反作用力通过横臂的扛杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。 本实验采用的科学方法是          ； A.控制变量法       等效替代法       微元法       放大法 在研究向心力的大小与角速度关系时，要保持          相同； A.和       ．和       ．和       ．和 若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值为，运用圆周运动知识和上图中信息，可以判断与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为          。 A.                      题型2：拓展实验 【例题1】某实验小组想验证向心力公式表达式，实验装置如图所示，一个半圆形光滑轨道，右侧所标记的刻度为该点与圆心连线和竖直方向的夹角，圆弧轨道最低点固定一个力传感器，小球达到该处时可显示小球在该处对轨道的压力大小，小球质量为，重力加速度为。 实验步骤如下： 将小球在右侧轨道某处由静止释放，记录该处的角度 小球到达轨道最低点时，记录力传感器的示数 改变小球释放的位置，重复以上操作，记录多组、的数值 以为纵坐标，为横坐标，作出的图像，如图所示。 回答以下问题： 若该图像斜率的绝对值          ，纵截距          ，则可验证在最低点的向心力表达式。 某同学认为小球运动时的轨道半径为圆轨道半径与小球半径的差值，即小球球心到轨道圆心的距离才为圆周运动的半径，因此图像斜率绝对值的测量值与真实值相比          填“偏大”“偏小”或“相等”。 【变式训练1】某兴趣小组利用自制“向心力定量探究仪”研究向心力与物体质量、转动半径、角速度的关系．装置如图：可调速电机驱动水平旋转杆匀速转动，旋转杆的一端固定光滑有机玻璃圆管，另一端固定拉力传感器．质量为、半径为的小球通过不可伸长细绳与传感器连接，手机可实时读取细绳拉力旋转杆上反光纸配合铁架台上竖直固定的红外转速计测得转速实验中保持旋转杆中心到小球距离和到传感器距离不变． 小球做匀速圆周运动的转动半径          用题中物理量符号表示； 在探究向心力大小与角速度的关系时，保持小球质量和转动半径不变，根据实验数据分别做和图像如下： 实验结论：由和图像可知，向心力与          选填“”或“”成正比． 在探究向心力大小与小球转动半径的关系时，以向心力为纵坐标，以为横坐标作出图像如图所示，则图像的斜率          ，横截距          结果均选用、、、、和表示． 【变式训练2】为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，某实验小组通过如图甲所示装置进行实验。滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小。滑块上固定一遮光片，宽度为，光电门可以记录遮光片通过的时间，测得旋转半径为。滑块随杆匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力和角速度的数据。 为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量和          保持不变，某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为，则角速度          。 以为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，图线斜率为，则滑块的质量为          用、、表示图线不过坐标原点的原因是          。 考点三　用圆锥摆验证向心力的表达式 【例题1】某实验小组用如图所示的装置来探究圆锥摆运动的规律，轻质细线穿过竖直固定的细圆管内壁以及管口均光滑并跨越光滑的定滑轮，一端连接物块质量为，另一端连接直径为的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动并通过光电门小球通过光电门的时间为，物块静止不动，用秒表来记录小球做圆周运动的时间，重力加速度大小为，忽略空气阻力。 小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小           用、表示，从小球某次通过光电门开始计时，若测得连续次从开始计数通过光电门的时间间隔为，则小球做圆周运动的周期            用、表示，若测得细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差为，圆弧轨迹的半径为、则小球受到的向心力          用H、、、表示。 实验发现当两次圆锥摆实验的圆弧半径不间，而细圆管下管口与圆弧轨迹圆心间的高度差相同时。两种圆周运动的周期相同，这说明圆锥摆的周期与有关，则有           用H、表示。 【变式训练1】为验证向心力公式，某实验探究小组设计了如图所示的实验装置，在贴近刻度尺的下边缘处钻一个小孔，细绳上端固定于点，下端挂着一质量为的钢球，点到钢球长度为，钢球半径远小于，当地重力加速度为。实验方案如下：将直尺固定在水平桌面上，使钢球在水平面内绕圆心做匀速圆周运动，待钢球的运动稳定后： 从直尺上方，保持视线与直尺            往下看，视线与钢球运动圆周边缘相切时，记录视线与刻度尺交点，测量之间距离即可估测圆周运动的半径； 利用秒表测得钢球运动一周的时间即为圆周运动周期，可利用公式计算钢球运动时需要的向心力大小； 对于步骤测量钢球周期，为减小误差，可进行如下改进：            ； 对钢球进行受力分析，可估算钢球受到的合力            用，，，表示； 若向心力与合力在误差范围内相等，便粗略验证了向心力公式的正确性。 【变式训练2】在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径为的圆周运动，钢球的质量为，重力加速度为。 用秒表记录运动圈的总时间为，那么小球做圆周运动中需要的向心力表达式为          。 通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为，那么小球做圆周运动中外力提供的向心力表达式为          ； 改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图象，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为          。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.图甲是滑板运动的滑道，图乙是其理想简化示意图，人和滑板均可视为质点，滑道看成半径为的圆弧轨道，、两点等高，为圆心，是最低点。当人和滑板整体从点由静止释放后，在、两点之间来回滑动，且高度越来越低，忽略空气阻力。对于人和滑板整体，下列说法正确的是(    ) A. 受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 B. 受到的向心力由合力来提供 C. 受到的向心力由重力、支持力的合力来提供 D. 从点到点的过程中，需要的向心力先增大后减小 2.如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力说法正确的是(    ) A. 只受重力 B. 只受拉力 C. 受重力、拉力和向心力 D. 受重力和拉力 3.关于下图四个情境中的向心力，下列说法正确的是(    ) A. 甲图中，小球在光滑半球形碗内沿碗壁在某一水平面做圆周运动，其向心力方向指向球心点 B. 乙图中，旋转木马的飞椅在某一水平面做圆周运动，其受重力、拉力和向心力的作用 C. 丙图中，波轮洗衣机脱水筒脱水时，衣服紧贴筒壁做圆周运动，其向心力由重力和摩擦力的合力提供 D. 丁图中，、两物体跟随水平转动的圆盘做圆周运动，其向心力方向均指向圆盘的轴心 二、实验题。 4.用如图所示的实验装置探究影响向心力大小的因素。已知长槽上的挡板到转轴的距离是挡板的倍，长槽上的挡板和短槽上的挡板到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，塔轮边缘处的          大小相等；选填“线速度”或“角速度” 探究向心力和角速度的关系时，应将皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板          和挡板          处选填“”或“”或“” 皮带套左右两个塔轮的半径分别为，。某次实验使，则、两处的角速度之比为          。 5.如图所示为向心力演示仪，某实验小组用该装置来完成“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验。 该实验采用的实验方法是           A.等效替代法  控制变量法  理想实验法  演绎法 在探究“向心力大小与半径之间的关系”时，传动皮带缠绕的左右塔轮半径          填“相同”或“不同”，将质量相同的两个小球分别放在          填“、”“、”或“、”位置，然后摇动手柄进行观察和记录。 6.实验室用下图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系两个变速塔轮通过皮带连接，实验时，将两个小球分别放在短槽的处和长槽的或处，、分别到左右塔轮中心的距离相等，到左塔轮中心的距离是到左塔轮中心距离的倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值如图所示是探究过程中某次实验时装置的状态． 通过本实验探究向心力大小与小球质量、角速度和半径之间关系，应用的思想方法是          填标号 A.理想实验法 B.等效替代法 C.控制变量法 D.模型建构法 图中所示是在探究向心力的大小与          填标号 A.质量的关系 B.半径的关系 C.角速度的关系 若图中标尺和标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则与皮带连接的变速塔轮和变速塔轮的半径之比为          填标号． A. B. C. D. 7.某实验小组通过如图所示的装置验证向心力的表达式，滑块套在水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小，滑块上固定一遮光片，宽度为，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的角速度、旋转半径为，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力和角速度的数据。 某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为，则角速度          ； 以为纵坐标，以          填“”“”或“”为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线；若所得图像的斜率为，则滑块的质量为          用所测物理量、、、表示。 8.某兴趣小组利用智能手机验证向心加速度与角速度、半径的关系。如图甲所示，用双股细绳将手机竖直悬挂，手机平面与水平面平行，用手搓动细绳带动手机旋转。利用手机内置传感器得到角速度和向心加速度。图乙为某次实验中利用手机软件绘制的图像。 仅由图乙中的图像可以得到的结论是：半径一定时，增大转动的角速度，向心加速度          选填“增大”“减小”或“不变” 半径一定时，为了研究向心加速度和角速度的定量关系，利用软件生成了图丙所示的图像，则横坐标应为          选填“”或“” 下列哪种操作，可能对图丙中直线的斜率产生较大影响           A.增大手机的转速 B.更换不同大小的手机 C.改变手机转动的总时间 D.改变细绳的长度 9.如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力，速度传感器测量圆柱体的线速度大小，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力与线速度大小的关系。 该同学采用的实验方法是           。 A.等效替代法 B.控制变量法 C.理想化模型法 改变线速度大小，多次测量，该同学测出了五组、数据，对数据分析后，在坐标纸上描出了五个点，作出图线如图乙所示。若圆柱体运动半径，由作出的的图线可得圆柱体的质量           。结果保留两位有效数字 10.在“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验中，细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定在铁架台上。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使悬点正好位于圆心的正上方。现用手拉起钢球并给它一个初速度，使它沿纸上的某个圆做匀速圆周运动钢球恰不触及纸面。 在该实验中，可以用秒表测量钢球运动圈所用的时间，则小球做圆周运动的周期为          ；通过纸上的圆测出钢球做匀速圆周运动的半径，再用天平测出钢球的质量。即可利用公式计算出所需的向心力          用所测物理量符号表示； 求小球受到的合力：结合上一问的测量，再测出悬点与小球间的竖直高度，查表得出当地重力加速度为，则可计算出小球所受的合力          用所测物理量符号表示。 若与在误差范围相等，便粗略验证了向心力表达式正确性。 11.某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩擦的水平直杆固定在竖直转轴上，竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动，套在水平直杆上的滑块，通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为的边缘处安装了宽度为的遮光片，光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。 本实验主要用到的科学方法是          ； A.控制变量法  等效替代法  微小量放大法 若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为，测得到竖直转轴距离为，宽度为的遮光片的挡光时间为，则遮光片的线速度          ，滑块的角速度          ；这两空用题目给的字母表示 实验小组保持滑块质量和运动半径不变，探究向心力与线速度的关系时，以为纵坐标，以为横坐标，根据测量数据作一条倾斜直线如图乙所示，已测得遮光片的宽度，遮光片到竖直转轴的距离，滑块到竖直转轴的距离，则滑块的质量          。保留两位有效数字 使用方法前提下，小明认为实际的水平直杆肯定有摩擦，考虑摩檫力后滑块质量计算结果会偏大。你          选填“同意”或“不同意”该观点，理由是          ． 12.在研究做匀速圆周运动的物体所受向心力大小与质量、角速度和半径的关系实验中： 小明同学用如图甲所示装置进行实验。在探究向心力大小与圆周运动半径的关系时，将两个相同质量的小球，分别放在挡板处与          选填“”或“”挡板处，同时将传动皮带套在半径          选填“相同”或“不同”的两个塔轮上。 小红同学用如图乙所示装置验证向心力大小与角速度的关系。长度为的细线上端固定，下端悬挂质量为的小球视为质点，将画有几个同心圆的白纸置于悬点下方的平台上，其圆心在细线悬挂点的正下方。现给小球一初速度，使其恰沿纸面上半径为的圆做匀速圆周运动，此时小球对纸面恰好无压力，用秒表记录小球转动圈所用的总时间为。不计空气阻力，重力加速度大小为。 小球做匀速圆周运动的角速度为          用给出的字母表示。 保持的取值不变，改变和进行多次实验，可获取不同的。若以为纵轴，作出的图像为一条直线，则横轴为          选填选项前的字母。 A. B. C. D. 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $