专题提优7 显圆及隐圆的最值问题（9大类型10篇动图视频讲解）2025-2026学年九年级数学上册（人教版）【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

欢迎来到勾3股4微课堂，勾三股四微课堂为您推出初中数学难顶突破动图精讲课程。我们学习醒源及引源的最值问题。今天学习构造辅助源，解决引源最值问题。首先学习定脚定型构造辅作用，再利用一箭穿心求进求最值。我们先学定角为直角的情况，如图，在平面直角坐标系中，以点G01为圆心，半径为R的圆上，半径为R的圆交X轴于AB2点与Y轴交于CD2点。点E为圆机上一动，点CF垂直AE于点F则。点E在。圆柱上运动过程中，FG长的最小值为多少？由于CF垂直AE所以角AFC等于90度，所以点F。而角AFC所对的边AC是电电长是定边，所以点F在以ac为直径的圆上运动。颠覆在一。Ac为直径的圆上运动，我们CAC的中点为M则M即为圆心。根据一箭穿心，我们知道当FGM3点功勋的时候，FG最小。FG等于。FM减MG也就是说FG的最小值。等于FM减GM，FM怎么求呢？FM就是圆M的半径就等于2分之1. AC减GM. 那GM怎么求呢？我们来看AC。G点坐标是01，所以OG等于1。半圆半径是2，所以CG等于2。要求AC我们还要求AO。AO怎么求呢？我们连接GA，连接GA那么GA就等于2，GA等于GC等于2，所以OA等于。根号下二的平方减一的平方等于根号3，OA等于根号3，OC等于3，所以AC等于。根号下三的平方加根号3的平方。等于二根号3，这里面也可以得到角GAO等于30度，用1比根号3比2去做. A. C等于二根号3，所以FM就等于根号3。MA就等于根号3，所以MG就可以求到。MG就等于根号下二的平方减去根号三的平方就等于一。所以FG的最小值就等于2分之1AC减GM。就等于根号32分之1AC等于根号3GM等于一的根号3减1，所以选择B。好，下面我们来继续学习定角为直角的类型。我们来看便是第一题。如图，在矩形ABCD中，AB等于10，BC等于12，一是支行的一动点，且AE垂直BE则现在CE的最小值为多少？因为角AEB90度对着定边AB时，所以点E在以AB为直径的圆上运动。所以CE的最小值。就是当C点1点和圆心三点公心的时候最小。C圆心为F当CEF30更新的时候，CE最小，CE的最小值等于CF减EF。CF等于根号下。BF的平方。加上BC的平方。DF等于半径。等于2分之1个AB。BF也等于2分之1，AB等于5。BC等于12。减去二分之ABAB是十，所以等于13减5就等于8，所以C的最小值为八，所以选择B。好，下面我们看第二题。如图，在边长为四的正方形ABCD中，ACBD相交于点O一是同平面内的一动点角BED等于90度，F是DE的中点，连接CF。连接CF则CF的最小值为多少？因为角E等于。90度，因为角BED等于90度，并且它对着定边BD所以点E在以BD为直径的圆上运动。也就是说点E在四边形ABCD在正方形ABCD的外接圆上。点E在正方形ABC的外接圆上运动。F为DE的终点。现在我们要求CF的最小值。因为F为。DE的终点。所以我们想可以考虑构造中微信。延长dc到H。使得CH等于CD。EF又等于FD，所以FC即为三角形DEH的中位性，也就是说FC它等于2分之1EH。因为点一直在圆上运动，所以我们要想一箭穿心，就要找一个点和E连接起来。这个点就是H零要求CF的最小值，我们只要求到一H的最小值。那么要求EH最小值，当点E运动的时候，运动到HO的终点之间，运动到HEO3点更新的时候，原来HEO30更新的时候。HE最小。所以H一的最小值它就等于OH仅是故意。如何求OH和O1呢？U一是圆的半径。因为正方形的边长为四。所以BD等于4根O2。所以OE等于2分之1BD。等于2跟O2，要如何求OH呢？我们要求OH就要构造一个直角三角形，所以可以做OM垂直CD这样OM等于2分之1，AD等于2，MC等于2分之1，CD也等于2，CH等于CD等于4，所以OH它就等于根号下OM的平方加上CH的平方，等于根号下R的平方，加上六的平。等于二根号10。所以H一的最小值就等于二根号10减去OE2根号2。所以FC的最小值就等于2分之1个EH的最小值就等于2分之1乘以2根号10减2根号2，结果等于根号10减根号2，所以选择C。好，下面我们看第三题。如图，圆O的半径为二。四边形ABCD内接于圆O角ABC等于30度。若点E是ac上一动点做CF垂直OE于点F则F的最小值为多少？因为CF垂直OE，所以角OFC等于90度。角OFC对的线段OC半径OC是一是一定边，所以点F在一个以OC为直径的圆上运动。DF在以OC为直径的圆上运动。所以我们要求AF. 的最小值。根据一箭穿心。就是当AFP3点共线的时候最小，而且就等于AP减6半径。在AFP3顶。高兴的时候最小。那么AP怎么求呢？半径是多少？半径是2，所以就等于AP减1，所以我们关键还是要求半径AP因为角B是30度，所以我们考虑连接OI。这样圆心角AOC就等于60度，等于二角B等于60度。角AOC等于二倍的，角B等于60度。OA等于OC所以三角形OAC是等边三角形。所以SOA等于。OC等于AC等于2。所以APPC等于1，AP等于根号3。所以AF的最小值。就等于根号三减去1，所以选D。好，下面我们继续学习第四题。如图，在矩形ABCD中，AB等于3，BC等于八点，E是CB延长线上的动点，连接AE。DF垂直EA于点F连接BF求BF的最大值。因为DF垂直于A所以角AFD等于90度。因为角AFD对应的定边AD所以点F在以AAD为直径的圆上运动。DF在以AB为直径的圆上运动，所以BF的最大值就是当BOF3点共线，并且O在BF之间的时候取得所以BF最大值。它就等于BO加上OF。我们怎么去求BO和OF呢？AO等于2分之1，AD等于4，所以BO等于根号下三的平方加4的平方。BO等于5，OF等于3，OF等于OA等于OD所以BO加OF等于加三等于8，所以BF的最大值为八。 欢迎来到勾3股4微课堂，高三股四微课堂为您推出初中数学难点突破洞图精讲课程。我们现在学习颈源及引源的最值问题，今天我们学习利用一中同城构造辅助圆，再利用一箭穿心求最值。如图，在平行四边形ABCD中，已知AB等于4。BC等于。六角。ABC等于60度。点P是BC上一动点连接AP做点B关于直线AP的对称点Q则现在CQ的最小值是多少？因为点B关于AB的对称点是Q所以AB等于AQ等于4，所以点Q在以点A为圆心，AB为半径的圆上。有一箭穿心可知CQ的最小值就是当CQD3点共线时。最小CQ的。最小值就等于CA减去AQ。那么怎么求CA和AQ呢？AQ等于。半径。就等于AB等于4。要求AC。我们可以。得到一个直角三角形。做AH垂直于BC。因为角ABC是60度，AAB等于4，所以BH等于。2分之1AB direr。BH等于2，H等于二根号3。HC等于。BC减BH等于6，减二等于4。所以ac等于根号下AH的平方加上HC的平方，就是二根号3的平方加上四的平方。二根号3的平方加上四的平方等于二根号7。所以QC的最小值就等于。AC减AQ。等于2根号7减去4。好，下面我们继续学习利用一中通常构造辅助源，再用一箭穿心求最值。如图，在边长为二的菱形ABCD中，角A等于60度，M是AB边的中点，N是AB上1.1动点将三角形AMN沿着MN所在的直线翻折得到APMA连接APC求ABC长度的最小值是多少？因为M是AB的中点，所以MA等于MD等于2分之1，AD等于1。因为由翻折可知，MAP等于MA等于1。所以点AP在以点M为圆心，MA为半径的圆上。要求CAP的最小值，由一箭穿心可知，ABC的最小值就等于。CM减MAP当CAPM30更新时取得。那么怎么求CM和MAPM呢？APM就等于1，所以关键是要求CM我们还要构造直角三角形，可以做MH垂直CD，做MH垂直CD，所以那个角HDM等于角A等于60度，MD等于1，所以DH等于2分之1。DH等于2分之1. DM等于。2分之1。MH等于。根号。3DH。就等于二分之根号3。CH等于。MD加CD等于。H. D加CD。HD是2分之1，CD是。二等于。2分之5，所以CM等于写字CM等于。根号下CH的平方是2分之5的平方，加上MH的平方，二分之根号3的平方。等于2分之25加2分之3。等于。等于4分之28. 等于根号7CM. 等于根号7APC的最小值。等于A等于CM减去。M. AP。就等于根号7减1。所以ABC最小值就是根号7减1。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为您推出初中数学难顶突破动图精讲课程。我们开始学习第二篇九年级数学上醒源及引源的这个问题。今天我们学习类型4。利用原先切实张角最大解决角的最值问题。如图，已知线段OI交圆O于点BOB等于AB点P是云雾山的一个动力。求角OAP的最大值。我们连接OP。通过观察可以发现，当AP是原物气性的时候，角OAP最大，这个时候角OPA等于90度。因为OA等于OB，OB等于OP，所以OA等于二倍的OP，所以角A等于30度，所以角OAB的最大值是30度，选D。好，下面我们来看辨识。如图，点A在半径为三的圆O内，P为云雾上的一点。当角OPA最大的时候，PA的长是多少？因为OA始终等于根号3，所以点A的运动轨迹就是以O为圆心，根号三为半径的一个圆。那么什么时候叫OPA最大呢？就是当PA垂直OA的时候，当PA为七星的时候，叫OPA最大。当PH7星的时候，OA等于根号3，OPA等于3，所以PA等于根号下三的平方减根号三的平方等于根号6，所以选B。 专题7 显圆及隐圆的最值问题（9大类型10篇动图视频讲解） 专题解读： 最值问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将与圆有关的最值问题进行了海选和筛选，并归类总结了突破方法或解题思路，共分两大板块九大类型。每一类型都精选一个例题和若干变式训练，每一题老师都制作了精美的动图，并用视频的方法讲解，从而让难题变得简单，让同学们理解变得容易，思维变得深刻，学习变得轻松。欢迎下载使用。 目录预览： 板块一 显圆最值问题解题技巧 类型一 利用将军饮马模型结合圆的性质解决两条线段和的最小值问题 类型二 利用直径是圆的最大弦求一条线段的最大值 类型三 利用等量代换结合垂线段最短求一条线段的最小值 类型四 利用与圆相切时张角最大解决角的最大值问题 类型五 利用“一箭穿心”求最值 板块二 构造辅助圆解决隐圆最值问题 类型一 定角定弦构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 （一）定角为直角 （二）定角为非直角的其他特殊角 类型二 利用一中同长构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 类型三 利用瓜豆原理构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 类型四 利用对角互补构造辅助圆，再利用垂线段最短求一条线段的最小值 典例剖析+变式训练 板块一 显圆最值问题解题技巧 类型一 利用将军饮马模型结合圆的性质解决两条线段和的最小值问题 【典例1】（2025•南充）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　） A．4 B． C．6 D． 【变式训练】 1．（2024秋•沾化区期末）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A．4 B．8 C． D． 2．（2025秋•岳麓区月考）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB＝8，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是　 ． 3．（2025•古丈县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长； （3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值． 类型二 利用直径是圆的最大弦求一条线段的最大值 【典例2】（2025秋•西湖区月考）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM最大值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式训练】 1．（2024•东莞市一模）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（　　） A．10.5 B．73.5 C．11.5 D．73.5 2．（2025秋•建邺区月考）如图，AB是⊙O的一条弦，AB＝4，点C为平面内一点．∠ACB＝90°，若点D为⊙O上任意一点，连接CD，若⊙O的半径是4，则CD长的最大值为（　　） A． B． C． D． 类型三 利用等量代换结合垂线段最短求一条线段的最小值 【典例3】（2025•龙马潭区一模）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（　　） A．2 B． C．1 D．2 【变式训练】 1．（2024•凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 ． 类型四 利用与圆相切时张角最大解决角的最大值问题 【典例4】（2024•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【变式训练】 1．（2025•邯郸模拟）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（　　） A． B． C． D．2 类型五 利用“一箭穿心”求最值 【典例5】（2024秋•鄂州期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） A．9 B．10 C． D． 【变式训练】 1．（2024•凉州区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为（　　） A．14 B．15 C．16 D．8 板块二 构造辅助圆解决隐圆最值问题 类型一 定角定弦构造辅助圆，再利用一箭穿心求最值 （一）定角为直角 【典例1】（2025•金安区开学）如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 1．（2025•南陵县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 2．（2025•淮南模拟）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，且∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•淄博二模）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝30°，若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 4．（2025秋•秦都区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点E是CB延长线上的动点，连接AE，DF⊥EA交EA的延长线于点F，连接BF，则BF的最大值为　 　 ． （二） 定角为非直角的其他特殊角 【典例1】（2025秋•南京月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝90°，，E为AC上一点，∠CED＝45°，则BE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 类型二 利用一中同长构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 【典例3】（2024秋•钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　 ． 【变式训练】 1．（2024•越秀区期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 　 　 ． 类型三 利用瓜豆原理构造辅助圆，再利用一箭穿心求最值 【典例3】（2024秋•麻章区期末）已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 　 ． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是___． 类型四 利用对角互补构造辅助圆，再利用垂线段最短求一条线段的最小值 【典例4】（2024•曲江区三模）如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　 ． 【变式训练】 1．（2024秋•广水市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝4，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同学您好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为您推出初中数学难点突破动图精讲课程。今天开始学习第二篇九年级数学上信源及引源的最值问题。今天我们学习类型3，利用等量代换结合垂线段最短求一条线段的最小值。如图，在RT3角形AOB中，OA等于OB等于四根号2。圆O的半径为二点P是AB上的动点，过点P作圆O的气性PQ则线段PQ长的最小值是多少？由于Q为基点，所以要求PQ产生最小值，我们就连接OQ，这样的话PPQ就垂直于OQ。所以。PQ的长它就等于根号下OP的平方减去OQ平方。由于OQ是定长2，所以等于根号下OP平方减4。所以要求PQ的最小值只要求到OP的最小值。OP的最小值怎么求呢？显然当OP垂直AB的时候，OP最小。由于三角形AOB是等腰直角三角形，OA等于OB等于4根O2，所以AB就等于。AB等于根号2OB。就等于根号2乘以4，根号2就等于8。ROP它就等于2分之1. AB所以O. P的最小值就等于4，所以PQ的最小值。就等于根号下OP的最小值，4的平方减4等于根号12，就等于二根号3。所以选A。好，下面我们来看辨识训练。第一题如图，圆M的圆心为M40，半径为2P是直线Y等于X加4上的一个动点。过点P作圆M梦的气性起点为Q则PQ的最小值为多少？要求PQ的最小值。我们还是连接OQ，连接MQ。在0GPM，因为PQ与圆M相切，所以角PQM等于90度，所以PQ等于根号下PM的平方减去OQ平方。因为圆M的半径为R所以O所以MQ等于2减去MQ的平方，所以就等于根号下。PM平方。减去4。所以要求PQ的最小值，我们就要先求到PM的最小值。M是定点，P是直线在动点，所以当MP垂直于直线AB的时候最小。因为Y等于X加4，它与X轴的交点A为。-40与Y轴交点比为04。所以OA等于4。因为M为40，所以AM就等于8。因为APM是等腰直角三角形，所以MP就等于8除以根号2。我们要1比1比根号二来做，MP等于四根号2，也就是说PM的最小值是四根号2。PM的最小值是四根号2，所以PQ的最小值所以PQ的最小值就等于根号下四根号2的平方。再减44根号2的平方是32，等于根号28。等于二根号7。所以PQ的最小值就是二根号7，其实这个时候那个P0就是和必定重合的。 同学您好，欢迎来到高354微课堂。今天为您推出初中数学难点突破动图精简课程。今天我们学习第二篇九年级数学上醒源及引源的最值问题。我们学习类型2，利用直径是圆的最大弦，求一条线段的最大值。如图CD是以AB为直径的圆上的两个动点，在运动过程中嫌CD保持不变，M4弦CD的终点。过点C作CP垂直AB于点P若CD等于3，AB等于5，那么PM的最大值是多少？由于C由于M是CD的中点，CPU垂直AB我们联想到垂径定理，所以延长CP交AB圆A于点A交圆于点A连接DN这样P是C眼影的中点，M是CD这种中点，所以PM它就等于2分之1DA所以要求MP的最大值就只要求到DN的最大值。那么DN的最大值是多少？我们来看在行CD运动过程中，电影的大小在不停的变化。显然当滴眼液经过圆形物的时候，滴眼液最大。也就是说当滴眼液成为直径的时候，DAN最大。所以DAN的最大值就等于直径，AB就等于5，所以PM的最大值就等于2分之1，DA就等于2分之5。好，下面我们看来看辨识。如图，AB是圆O的一条弦，点C是圆O的一个动点角ACB等于30度，点EF分别是ACBC的中点，直线EF与圆O交于GH2点，若原物的半径为七，求GE加FH的最大值。第一点。F点是AC和BC的中点，所以EF是三角形CAB的中位线，它就等于2分之1AB。就是一个定长。所以要求EGE加FH最大值，我们就要求到GH的最大值，那么截止最大值是多少呢？我们看在点C运动过程中，戒指大小也在不断不停的变化。但是戒指始终是原物的一条形。所以当。坚持是直径的时候。坚持最大。这个时候E点和M点重合，或者F点和M点重合。我们连接。OAOB. 因为角C是30度，所以角AOB是60度。OA等于OB所以三角形OAB是等边三角形。因为圆O的半径等于7，所以AB也等于7，所以EF就等于3.5。JH的最大值，它就等于直径等于14。所以GE加FH的最大值就等于14减03.5。对，10.5。所以选A好，下面我们来继续学习辨识二，如图。AB是圆O的一条弦，AB等于四点，C是平面的一点角，ACB等于90度。若点D为圆O上任意一点连接CD圆O的半径是4CD层的最大值是多少？我们看到点C在圆M上运动，因为角ACB等于90度，所以点C在圆上运动，所以CD长的最大值就是当DMC3点共线的时候最大。又因为低廉也是在云上运动会，所以当D点经过圆心O的时候，CD最大。所以当直线。C. D经过圆心O同时也要经过圆心M的时候，最大。也就是说，CD的最大值就是同时经过圆心O和M。那么如何求CD的长呢？我们连接OA。连接OA因为角ACB是90度。这个时候CA等于CB是一个等腰直角三角形，AB等于4，所以AM等于MC等于2。因为圆O的半径为四，所以OA等于4，所以OM就等于。根号。下OA的平方减AM的平方。等于根号4的平方减2的平方。等于二根号3。OD等于OA等于10。OM是二根号3。MC是2，所以CD的最大值。就等于4加2根号3，再加二等于6加2根号3，所以选择B。 你好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为您推出初中数学难点突破精简课程，今天开始学习第二篇九年级数学上醒源及引源的最值问题。我们先学习板块一，醒源最值问题类型一，利用将军饮马模型，结合圆的性质解决两条线的和的最小值问题。如图，AB是圆O的直径，AD垂直ABOD交圆O于点CAE垂直ODF为FBC的中点，P为线段ab上一动点，若CD等于4则P1加PF的最小值为多少？P1加PF的最小值。我们可以考虑是一个坚决已码模型，坚决已码模型就要做F的对称点与一年级。这样的话就可能就要证明对称。点OE3点. 共性比较烦，所以我们选择延长DO交圆于点M。试图证明FFM关于AB对称。云南DO胶原日M我们连接PFPM。PE那么P1加PF就等于PM加PF。P加。PM它大于等于1M所以BE加PF的最小值就是EM那么M是不是F关于AB的对称点？我们来证明一下，因为AF它垂直于COD，所以ACF等于CF湖。又因为F负F为负BC的中点，所以CFF等于BF负，所以角AOC等于角COF等于角FOB等于60度，所以角BOM就等于角，AOC也等于60度，所以角BOM等于角BOF，所以M是F的对称点，所以。PE加PF就等于P1加PM它就大于等于1M。所以P1加PF的最小值。就是EM如何。求EM呢？我们看角D是多少度。角AOD是60度，所以角D是30度，所以AOD等于OD等于ROA我们COA等于X那么OC也就是X所以X。OD就是X加4，所以X加四等于2X这样可以得到X等于4，所以OA也等于4。EM它等于EO加OM。其中OM等于。41M等于. 多少呢？EM等于2分之1AO。EO等于二分之1AOEO等于2分之1AO再加OM，OM是4，AO也等于4，所以2分之1乘以4再加4。所以等于6. 所以选C。好，下面我们看电视。如图，CD是原物的直径，CD. 是。八角，ACD是20度，B是ADF的中点点，P是CD上一个动力，求PA加PF的最小值。要求PA加PB的最小值，我们可以做A的对称点和B连接，做A的对该关于CD的对称点Q。那么AP就等于PQPA加PB的最小值就等于BD。就等于BQ。当BPQ30公心。的时候最小。那BQ怎么求呢？我们连接OBOQ，连接OB的OQ，因为AQ关于CD对称，所以角QCD也等于20度，所以角ACD所以角OCQOD就等于40度。因为B是ADF的中点，所以角BOD也等于20度，所以角BOQ等于60度，所以三角形BOQ是等边三角形OB的OQ，所以OBQ是等边三角形，所以BQ就等于半径等于OQ。因为直径是CD等于8，所以半径OC等于OQ等于4，所以BQ的值为四，所以PA加PB的最小值就是4，所以选A。好，下面我们继续看辨识二。如图在圆O中ab是圆O的直径，ACF等于CDF等于BDF直径AB等于8DM是AB上一个动点9CM加DM的最小值。这也是一个将军饮马的模型，我们是选择做对称点，还是找对称点呢？为了我们方便，我们还是。做连接CO并延长连接CO. 并延长。交圆于点E然后证明E是D的对称点连接CO并延长交原物点E连接ODME。因为ACF等于CDF等于BDF所以角AOC等于角COD等于角BOD等于60度，是角BOE等于角AOC也等于60度，所以角BOE等于角BOD所以D和E关于AB对称，D和E关于AB对称。也就是说MD等于ME，所以MC加MD就等于MC加ME它就大于等于CE所以CM加CD的最小值就是CE。CE就是直径就等于AB就等于8。 欢迎来到勾3股4微课堂，勾三股四微课堂为您推出初中数学难点突破动图精讲课程。今天我们开始学习第二篇九年级数学上醒源及引源的最值问题。今天我们学习第五类型5，利用一箭穿心求最值。如图，在三角形ABC中，AB等于10，AC等于8，BC等于6。以边AB的中点为圆心作半圆与ac相切，PQ分别是BC和半圆上的动点连接PQ则PQ成的最大值与最小值的和是多少？我们先假定P0不动。当Q在圆上运动的时候，PQ的最小值就是PQ5530更新的时候。PQ最小。也就是说是OP但由于P又是东陵，所以当OP垂直BC的时候，OP最短，我们做OPE垂直。做OPE垂直BC交源于QE，则PQ的最小值就是PEQE。它等于OP。减去OQ1，也就是说是OP1减半径。因为OP肯定小于OP，所以PQ的最小值就是PEQE。我们连接圆心O和G点E那么半径OE就等于2分之1的BC。就等于3。那么OPE等于多少呢？OPE等于2分之1AC。就等于4，所以PQ的最小值。就等于4减3等于一。U型人当要求PQ的最大值，我们让P点和B点重合。然后Q0。运动到AB边上的时候，并且only在PQ之间的时候PQ最大。根据那个一箭穿心POQ30公信的时候PQ最大。那么PQ的最大值是多少呢？当Q在AB边上的时候，PQ最大，它等于BO加上OQBO就是2分之1，AB就等于5。OQ就等于半径3，所以等于8，所以PQ才能最大值最小值的和就是8加1就等于9，所以选择A。好，下面我们继续学习辨识。如图，在平面直角坐标系中点C的坐标是34，以点C为圆心的圆与Y轴相切，点AB在X轴上，OA等于OBP为圆C以上的动点角APB等于90度。则AB长的最大值为多少？要求AB层的最大值。我们观察到角，APB等于90度，OA等于OB。所以我们可以。考虑。连接PO则PO就等于2分之1AB。所以你要求AB的最大值，我们先求PO的最大值。根据一箭穿心，PO的最大值就是当OCQ3OCP30更新的时候，并且C在OP之间的时候最大。那么PU的最大值怎么求呢？我们连接。圆心C和七点D。那么CD就垂直于Y轴，因为C点的坐标是34，所以OC等于3，OD等于4，OC就等于5。POPC等于CD等于3，所以PO的最大值就等于POC等于OC加PC。9.5加三等于8。所以AB的最大值。就等于2乘以8，等于16，所以选C。 欢迎来到勾3股4微课堂，勾三股四微课堂为您推出初中数学难点突破动图精简课程。今天我们学习醒源及引源的最值问题，今天我们学习顶角为非直角的其他特殊角定角定型求最值的问题。如图，四边形ABCD是圆物的内角，四边形角BAD等于90度，AB等于AD等于四根号2，E为ac上一点角，CED等于45度。则BE的最小值是多少？因为角BED是45度，所以角AED是135度角AD对着边边AD所以点E在一个圆上。要确定这个圆，关键是确定它的圆心有角AED是。135度，所以它所对的圆周角就是45度，45度所对的AED弧所对的圆心角就是90度。又因为圆心在AB的垂直平分线上。所以圆心就是以AD为直角，为斜边的等腰直角三角形的顶点。我们看一下，我们做等腰直角三角形APD。以点P为圆心。PA为半径做一个圆。因为角APD等于90度，所以角M就等于45度，而角AED是135度，说明点E就在原P上。好，我们要求BE的最小值，就是当BEP3点共线的时候取得最小值。当B1B30公顷的时候。BE的最小值就等于BP减PE。等于BP减PE其中PE就是圆的半径P1等于。PA等于PD。就等于AD除以根号2。AD是四根号2，四根号2除以根号2就等于4。那么怎么求BP呢？我们要把BP放在一个直角三角形中。可以连接BD。因为角ADB等于45度，角ADB也是45度，所以角ADB等于角，所以角BDP等于90度。角BDB等于90度，所以BP就等于高下B. BD. 的平方加上DP的平方，那么BD怎么求呢？BD是等腰直角三角形ABD的斜边，所以BD等于。根号2AB等于根号2乘以4，根号2就等于8，那么。DP等于多少呢？DP就等于AD等于DP等于BP就等于4。所以BP等于根号下8的平方，加4的平方就等于四根号5。所以BP就等于4根号。解描PE，PE是4，所以BE的最小值是四根号5减4，所以选C。好，下面我们再看辨识训练。而D3角形ABC中，角ABC等于90度，角ACB等于30度。BC等于二根号33角形ABC与三角形ABC关于ac对称点EF分别是边BCBC上的任意一点，且DE等于CF。则CP的最小值为多少？我们先连接BD。因为角ABC等于90度，角ACB等于30度，ADC是关于和ABC关于ac对称，所以叫。ACD也等于30度，CD等于CB。所以三角形BDC是等边三角形。所以DB等于DC。角BD角B. DC等于。角DCF。都等于60度，又因为DE等于CF。所以三角形BDE。所以三角形BDE全等于三角形DCF。所以角一等于角2。所以角一等于角2，所以角DPE。等于角2加角3就等于角1加角3，所以角DPE等于60度，所以角DPB就等于120度。因为角DBB等于120度为顶角，又对着电边DB所以点P在圆上。点P的是120度角，所以它的那个对角就是60度。60度所对的弧的圆心角就是120度，而角BAD正好是120度。点P所在圆的圆心在直线CI上，在BD的垂直平分线上，也就是在AC上，所以圆心记为A。半径就是AP也就是AD。可以看到当点E在CDB上运动的时候。点P在以A为圆心的圆上运动。要求CP的最小值。就是当CPA30公心时最小。CP的最小值就等于。CA减AP。CA减AP。其中AP是半径就等于AB。在RD3角形ABC中，角ABC90度，角ACB30度，BC等于二根号3，所以AB等于AB等于二根号3除以根号三等于2。AC等于4。AP等于AC等于2。所以CP的最小值。等于CA减CP减AP。CA等于4，AB等于2，所以等于4减2就等于2。 欢迎来到勾3股4微课堂，勾三股四微课堂为您推出初中数学难顶突破动图精讲课程，我们学习醒源及引源的最值问题。我们先学习。利用瓜豆原理构造辅助圆，再利用一箭穿星球最迟的方法。已知如图，二次函数Y等于-9分之4，X平方加四图像与Y轴交于点A与X轴交于点B点P在以A点为圆心，两个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，求OQ的最小值。点P运动的时候，Q也随之运动。点P在圆上运动。根据瓜豆原理，我们猜想点Q也在圆上运动，那么点Q的圆心在哪呢？由于Q是BP的终点。所以我们可以考虑连接AB。是AB的中点C。连接AP。因为C是AB的中点，Q是BP的中点，所以CQ就是三角形ABP的装微信，所以CQ等于2分之1AP。AP等于2，所以CQ等于1，所以点Q就在以点C为圆心，半径为一的圆上。我们现在要求OQ的最小值就是当OQC3点共线，且点Q在OC之间间时。OQ. 最小。OQ的最小值就等于OC解除CQ。其中CQ是半径等于一，也就是等于OC减1。OC等于多少呢？因为C是斜边AB的中点，所以OC等于2分之1AB。所以等于2分之1AB几。怎么求AB呢？点A的坐标是04。因为抛物线的C等于4，所以A点的坐标是04，所以OA等于4。我们令。-9分之4. X平方加四等于0。就可以求到X一等于3，X2等于-3，所以B点的坐标就是30，所以OB等于3。所以AB就等于5，AB等于根号下三的平方加4的平方就等于5，所以OC等于2分之1AB。就等于2分之5，所以OK的最小值等于2分之5减1。就等于2分之3。好，下面我们看辨识。如图，在三角RT3角形ABC中，角ACB等于90度，角BAC等于30度，BC等于2。现在BC绕点B转动到BD0，ADE为AD的中点，连接CE求CE的最大值。点D再以点B为圆心，BD长为半径的圆上运动，由瓜豆原理，点E也在一个圆上运动。因为E点是AB的中点，所以点E在以BA的终点。为圆心2分之1BD长为半径的圆上运动。我们取A. B的中点O. 连接OE，因为E是AB的中点。所以OE等于所以AE等于DE，AB等于AO等于BO所以OE是三角形ADB的中位线，所以OE等于2分之1个。BD. BD等于BC等于2，所以等于2分之1乘以二等于一。由一箭穿心可以知道，要求CE的最大值就是当COE3点工序且点O在CE之间时取得。并且CE的最大值等于CO加ROE。其中O一我们已经求到等于2分之1BD等于1，那么如何求CO呢？CO是直角三角形ABC斜边的中心，CO就等于2分之1个AB所以等于2分之1AB加1。BC等于2，所以A角BAC是30度，所以AB等于4。所以就等于2分之1乘4，加一就等于2，加一就等于3，所以CE的最大值为三。 欢迎来到勾3股4微课堂，勾三股四微课堂为您推出初中数学难点突破动图精讲课程。我们学习引醒源及引源的最值问题。今天我们学习利用对角互补构造辅助圆，再利用垂线段最短求一条线段的最小值。如图，等边三角形ABC中，AB等于6P是ab上一动点，PD垂直BC则DE的最小值为多少？因为PE垂直ACPD垂直BC所以角PEC等于角PDC等于90度，所以角PBC加角PDC180度。根据对角互补的四边形四点公圆，所以。点PECD4点公圆，并且圆的直径即为PC我们设圆心为O连接ODOE。因为角。ACB. 等于60度. 所以角DOE. 等于二倍的角ACB就等于120度角DOE等于R角ACB等于120度，OD等于OE120度的等腰三角形，三边之比是1比1比根号3，所以D. E就等于。根号3OE。所以要求DE的最小值就要求EO的最小值。而EO它是圆的半径，它就等于2分之1CP，所以DE就等于二分之根号3OPACP。所以要求DE的最小值就要求CP的最小值。CP的最小值怎么求呢？我们看点C是定理，P在线段AB上动，根据垂线段最短，所以当CP垂直AB时CP最短。当CP垂直AB时。CB就是等边三角形，AB. C的高。也是中线，所以AP就等于3，CP就等于三根号3。所以DE的最小值就等于二分之根号。3乘以3根号3。等于2分之9。好，下面我们继续学习利用对角互补构造辅助圆。再利用垂线段最短求一条线段最小值。如图，正方形ABCD的边长为六，EF分别在线段BCCD上，并且CF等于4，C一等于。二点。MN分别在ABAD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中始终保持角PEB等于角PFC。P1B等于角PFC。则线段PN的最小值为多少？因为角PEB等于角PFC，角PEB加角PEC等于180度，所以角PEC加角PFC等于180度，对角互补，所以PECF4点公圆。又因为角C等于90度，所以圆的直径就是EF。好，我们现在是要求PN的最小值。我们当M不动的时候，我们可以发现PN的最小值，就是当PNO30公顷时pin最小。由于A0U是动力，所以当OAN垂直AD时当OA垂直AD时。OA音最小。但当OPN30公顷时，PA最小。所以当OA云垂直AD的时候，P点在OY云上的时候，闭眼睛最小。PAN的最小值为ON减OP。其中OP就是圆的半径。EC等于2，CF等于4，所以EF等于。根号下二的平方。加4的平方. 等于根号20. 等于二根号5。所以OP等于2分之1，EF就等于根号。那么如何求OA呢？做OH垂直EC。做OH垂直EC。那么ANH就等于边长6。BH等于HC等于1。根据垂径定理EH等于HC就等于2分之1，C等于1，所以OH等于。根号下OE的平方O减掉1H的平方OE就是半径。就等于OP就等于根号5，所以等于根号5的平方。减去一的平方就等于2，OH等于2，所以OA0。等于6减2就等于4，所以PAN的最小值就等于4减根号5。 专题7 显圆及隐圆的最值问题（9大类型10篇动图视频讲解） 专题解读： 最值问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将与圆有关的最值问题进行了海选和筛选，并归类总结了突破方法或解题思路，共分两大板块九大类型。每一类型都精选一个例题和若干变式训练，每一题老师都制作了精美的动图，并用视频的方法讲解，从而让难题变得简单，让同学们理解变得容易，思维变得深刻，学习变得轻松。欢迎下载使用。 目录预览： 板块一 显圆最值问题解题技巧 类型一 利用将军饮马模型结合圆的性质解决两条线段和的最小值问题 类型二 利用直径是圆的最大弦求一条线段的最大值 类型三 利用等量代换结合垂线段最短求一条线段的最小值 类型四 利用与圆相切时张角最大解决角的最大值问题 类型五 利用“一箭穿心”求最值 板块二 构造辅助圆解决隐圆最值问题 类型一 利用定角定弦构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 （一）定角为直角 （二）定角为非直角的其他特殊角 类型二 利用一中同长构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 类型三 利用瓜豆原理构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 类型四 利用对角互补构造辅助圆，再利用垂线段最短求一条线段的最小值 典例剖析+变式训练 板块一 显圆最值问题解题技巧 类型一 利用将军饮马模型结合圆的性质解决两条线段和的最小值问题 【典例1】（2025•南充）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　） A．4 B． C．6 D． 【分析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，由垂径定理得，进而得∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP， ∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF， ∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF， ∴点F关于AB的对称点为点M， ∴PM＝PF， ∴PE+PF＝PE+PM≥EM， 当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝30°， ∴OD＝2OA， ∵CD＝4， ∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4， ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4， ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴， ∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•沾化区期末）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A．4 B．8 C． D． 【分析】作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，则根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，先求出∠BOD＝∠ACD＝20°，再求出∠QCD＝∠ACD＝20°，进而由圆周角定理得到∠QOD＝40°，则∠BOQ＝60°．证明△BOQ是等边三角形，即可得到BQ＝OQ＝4，据此可得答案． 【详解】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB， 根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度， 连接OQ，OB， ∵点B为弧AD的中点， ∴∠BOD＝∠ACD＝20°， ∵A、Q关于CD对称， ∴∠QCD＝∠ACD＝20°， ∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°， ∴∠BOQ＝20°+40°＝60°． ∵OB＝OQ， ∴△BOQ是等边三角形， ∴，即PA+PB的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出PA+PB能取得最小值的情形是解题的关键． 2．（2025秋•岳麓区月考）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB＝8，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是　8　 ． 【分析】连接并延长CO交⊙O于点E，连接OD、DE、EM，则CE是⊙O的直径，所以CE＝AB＝8，由，得∠AOC＝∠COD＝∠BOD，而∠AOC＝∠BOE，则∠BOD＝∠BOE，所以，则AB垂直平分DE，所以EM＝DM，由CM+EM≥CE，得CM+DM≥8，则CM+DM的最小值是8，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接并延长CO交⊙O于点E，连接OD、DE、EM，则CE是⊙O的直径， ∵AB是⊙O的直径，AB＝8， ∴CE＝AB＝8， ∵， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠BOD＝∠BOE， ∴， ∴AB垂直平分DE， ∵M是AB上一动点， ∴EM＝DM， ∵CM+EM≥CE， ∴CM+DM≥8， ∴CM+DM的最小值是8， 故答案为：8． 【点睛】此题重点考查在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、两点之间线段是短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．（2025•古丈县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长； （3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值． 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OFBC＝3，然后计算OD﹣OF即可； （3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值． 【详解】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠OFA＝90°， ∴OF⊥AC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， 而OA＝OB， ∴OF为△ACB的中位线， ∴OFBC＝3， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2； （3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC＝PC′， ∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′， ∴此时PC+PD的值最小， ∵， ∴∠COD＝∠AOD＝80°， ∴∠BOC＝20°， ∵点C和点C′关于AB对称， ∴∠C′OB＝20°， ∴∠DOC′＝120°， 作OH⊥DC′于H，如图， 则∠ODH＝30°， 则C′H＝DH， 在Rt△OHD中，OHOD， ∴DHOH， ∴DC′＝2DH＝5， ∴PC+PD的最小值为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 类型二 利用直径是圆的最大弦求一条线段的最大值 【典例2】（2025秋•西湖区月考）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM最大值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】延长CP交⊙O于点N，连接DN，根据垂径定理得CP＝PN，结合CM＝DM，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：延长CP交⊙O于点N，连接DN， ∵AB⊥CN， ∴CP＝PN． ∵点M是弦CD的中点， ∴CM＝DM， ∴， ∴当DN为⊙O的直径时，DN的值最大，此时PM的值取最大值，最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•东莞市一模）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（　　） A．10.5 B．73.5 C．11.5 D．73.5 【分析】连接OA，OB，可证△AOB是等边三角形，由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EFAB＝3.5为定值，则GE+FH＝GH﹣EF＝GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5＝10.5． 【详解】解：连接OA，OB， ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝7， 当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值． 当GH为直径时，E点与O点重合， ∴AC也是直径，AC＝14． ∵∠ABC是直径上的圆周角， ∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴ABAC＝7． ∵点E、F分别为AC、BC的中点， ∴EFAB＝3.5， ∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5． 故选：A． 【点睛】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键． 2．（2025秋•建邺区月考）如图，AB是⊙O的一条弦，AB＝4，点C为平面内一点．∠ACB＝90°，若点D为⊙O上任意一点，连接CD，若⊙O的半径是4，则CD长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据圆周角定理画出隐含的圆，得到CD的最大值是连接两个圆的圆心的线段上，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图，画出以AB为直径的圆，连接AO， ∵∠ACB＝90°， ∴点C在以AB为直径的圆上运动， ∵若点D为⊙O上任意一点， 要使CD长取得最大值，则过点M，O作直线OM分别交⊙O和⊙M于点D和点C， 即此时的CD最长， ∵M是AB的中点，DM在直径所在的直线上， ∴DM⊥AB， ∴∠AMO＝90°， ∵⊙O的半径是4，AB＝4， ∴AO＝4，AM＝2， 在Rt△AMO中，AM2+OM2＝AO2， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识点，解决此题的关键是理解使CD长的最大值是连接两个圆的圆心组成的线段上的长度． 类型三 利用等量代换结合垂线段最短求一条线段的最小值 【典例3】（2025•龙马潭区一模）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（　　） A．2 B． C．1 D．2 【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵OQ为定值， ∴当OP的值最小时，PQ的值最小， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4， ∴ABOA＝8， ∴OP4， ∴PQ2． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 【变式训练】 1．（2024•凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　2　 ． 【分析】连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ，根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再根据垂线段最短计算即可． 【详解】解：如图，连接MP、MQ， ∵PQ是⊙M的切线， ∴MQ⊥PQ， ∴PQ， 当PM最小时，PQ最小， 当MP⊥AB时，MP最小， 直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠BAO＝45°，AM＝8， 当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝84， ∴PQ的最小值为：2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质、垂线段最短，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 类型四 利用与圆相切时张角最大解决角的最大值问题 【典例4】（2024•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，根据切线的性质得OP⊥AP，由OB＝AB得OA＝2OP，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时∠OAP的度数． 【详解】解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，如图， 则OP⊥AP， ∵OB＝AB， ∴OA＝2OP， ∴∠PAO＝30°． 故选：D． 【变式训练】 1．（2025•邯郸模拟）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（　　） A． B． C． D．2 【分析】作OH⊥PA于H，根据正弦的定义得到sin∠OPA，由于OP＝3，则当OH最大时，即OH＝OA时，∠OPA最大，利用勾股定理求出PA即可． 【详解】解：作OH⊥PA于H，如图， ∴当OH最大时，即OH＝OA时，∠OPA最大， 此时PA． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了锐角三角函数． 类型五 利用“一箭穿心”求最值 【典例5】（2024秋•鄂州期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） A．9 B．10 C． D． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题． 【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1， ∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠C＝90°， ∵∠OP1B＝90°， ∴OP1∥AC ∵AO＝OB， ∴P1C＝P1B， ∴OP1AC＝4， ∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1， 如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长， P2Q2最大值＝5+3＝8， ∴PQ长的最大值与最小值的和是9． 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型． 【变式训练】 1．（2024•凉州区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为（　　） A．14 B．15 C．16 D．8 【分析】作CD⊥y轴于点D，连接OC、OP、CP，由C（3，4），得CP＝CD＝3，OD＝4，求得OC＝5，则OP≤8，而OPAB，所以AB≤8，求得AB的最大值为16，于是得到问题的答案． 【详解】解：作CD⊥y轴于点D，连接OC、OP、CP，则∠ODC＝90°， ∵C（3，4）， ∴D（0，4）， ∴CP＝CD＝3，OD＝4， ∴OC5， ∵OP≤OC+CP，且OC+CP＝5+3＝8， ∴OP≤8， ∵∠APB＝90°，OA＝OB， ∴OPAB， ∴AB≤8， ∴AB≤16， ∴AB的最大值为16， 故选：C． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、两点之间线段最短、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 板块二 构造辅助圆解决隐圆最值问题 类型一 利用定角定弦构造辅助圆，再利用一箭穿心求最值 （一）定角为直角 【典例1】（2025•金安区开学）如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，作GM⊥AC，连接AG，由CF⊥AE可知，点F在以AC为直径的圆M上移动，当点F在的MG延长线上时，FG的长最小，根据含30°角直角三角形及勾股定理求出FM，MG，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接AC，过点G作GM⊥AC于点M，连接AG． ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB． 在Rt△AGO中，AG＝2OG，， ∴∠GAO＝30°，，∠AGO＝60°． 由条件可知∠GCA＝∠GAC．∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴，． ∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝90°， 点F在以AC为直径的⊙M上运动， ∴． 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30°角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025•南陵县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 【分析】由AE⊥BE，得到E在以AB为直径的⊙O上，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小，由勾股定理求出，即可得到CE′＝OC﹣OE′＝8，于是得到线段CE的最小值为8． 【详解】解：如图，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴E在以AB为直径的⊙O上， ∵AB＝10， ∴OB＝OA＝OE′＝5， ∵BC＝12， ∴， ∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣5＝8， ∴线段CE的最小值为8． 故选答案为：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 2．（2025•淮南模拟）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，且∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，可得点E为正方形外接圆上一点，延长DC至H，使DC＝CH＝4，由F是DE中点，可得CF为△DEH的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，EH最小，利用勾股定理即可求出EH最小值，进而求解． 【详解】解：∵E是同平面内的一动点，∠BED＝90°， ∴点E为正方形外接圆⊙O上一点， 延长DC至H，使DC＝CH＝4， 由题意可得：CF为△DEH的中位线， ∴， 当点O，E，H三点共线时，EH最小， 过点O作OM⊥CD于M， ∵ABCD为正方形，边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴CF的最小值． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的外接圆，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，画出图形，正确找到CF取最小值时点E的位置是解题的关键． 3．（2025•淄博二模）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝30°，若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，根据CF⊥OE得当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动，再根据点与圆的位置关系得当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF，然后分别求出PF＝1，AP，则可得AF的最小值是1 【详解】解：连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，如图3所示： ∵CF⊥OE， ∴∠OFC＝90°， ∴当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动， 根据点与圆的位置关系得：当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF， ∵△OAC是等边三角形且边长为2，点P是OC的中点， ∵PO＝PC＝PFOC＝1，AP⊥OC， 在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP， ∴AP＝PF1， ∴AF的最小值是1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理是解决问题的关键． 4．（2025秋•秦都区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点E是CB延长线上的动点，连接AE，DF⊥EA交EA的延长线于点F，连接BF，则BF的最大值为　9　 ． 【分析】设AD的中点为O，连接OB，OF，先求出OF，OB，再根据三角形的三边关系求出BF的最大值． 【详解】解：设AD的中点为O，连接OB，OF． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝8， ∴AD＝BC＝8，∠BAO＝90°， ∵DF⊥EA，AD的中点为O， ∴， 在Rt△ABO中， ∵OB2＝AB2+AO2， ∴． ∴BF≤OB+OF＝5+4＝9， 当且仅当B，O，F三点共线时，BF取得最大值9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的关系以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 类型二 定角为非直角的其他特殊角 【典例1】（2025秋•南京月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝90°，，E为AC上一点，∠CED＝45°，则BE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，以AD边为斜边，在AD的下方构造等腰直角△ALD，以L为圆心，AL为半径作⊙L，在⊙L的优弧AD上取一点M，连接AM、DM，连接BD，AL，DL，BL，由勾股定理及圆周角定理的推论得，BD是⊙O的直径，根据等腰直角三角形的性质得，∠ADL＝∠DAL＝45°，从而∠AED+∠ALD＝180°，点E在定圆⊙L的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【详解】解：如图，以AD边为斜边，在AD的下方构造等腰直角△ALD，以L为圆心，AL为半径作⊙L，在⊙L的优弧AD上取一点M，连接AM、DM，连接BD，AL，DL，BL， ∵∠BAD＝90°，， ∴BD是⊙O的直径，BD8， ∴∠AED＝180°﹣∠CED＝135°， ∵AL＝AD，∠ALD＝90°， ∴∠AMD∠ALD＝45°，∠ADL＝∠DAL＝45°， ∴∠AED+∠ALD＝180°， ∴点E在定圆⊙L的上运动， ∴根据三角形的两边之差小于第三边得，当B、E、L三点共线时，BE最小， ∵∠ALD＝90°，AL＝AD， ∴， ∴AL＝DL＝4， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∴BE的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值． 【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°， 因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形， 所以BD＝DC 因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°， 所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC， 因为∠FDC＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上， 直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4， 所以AP＝2 当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值， CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2 故选D． 【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 类型二 利用一中同长构造辅助圆，再利用“一箭穿心”求最值 【典例3】（2024秋•钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　　 ． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用解直角三角形得AH＝AB•sin∠ABC＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝2，CH＝BC﹣BH＝4，由勾股定理得AC＝2，再由AQ＝AB＝4，可得点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24． 【详解】解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，连接AC， ∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°， 则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2， ∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4， 在Rt△ACH中，AC2， ∵点B与点Q关于直线AP对称， ∴AQ＝AB＝4， ∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上， ∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024春•越秀区期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 　1　 ． 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【详解】解：如图所示：过点M作MF⊥DC，交CD的延长线于点F， ∵MA′是定值，A′C长度取最小值时， ∴A′在MC上时， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FDMD， ∴FM＝DM×cos30°， ∴MC， ∴A′C＝MC﹣MA′1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，找到当点A'是BM上，A'B的长度最小是本题的关键． 类型三 利用瓜豆原理构造辅助圆，再利用一箭穿心求最值 【典例3】（2024秋•麻章区期末）已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 　　 ． 【分析】连结AB，取AB的中点C，连结OC、CQ、AP，如图，先解方程x2+4＝0得B（3，0），再确定A（0，4），则利用勾股定理计算出AB＝5，接着根据直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线性质得到OC，CQ＝1，然后根据三角形三边的关系得到OQ≥OC﹣CQ（当且仅当点O、C、Q共线时取等号），从而确定OQ的最小值为OC﹣CQ． 【详解】解：连结AB，取AB的中点C，连结OC、CQ、AP，如图， 当y＝0时，x2+4＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣3， ∴B（3，0）， 当x＝0时，yx2+4＝4， ∴A（0，4）， ∴AB5， ∵OC为斜边AB上的中线， ∴OCAB， ∵Q点为PB的中点， ∴CQ为△ABP的中位线， ∴CQAP2＝1， ∵OQ≥OC﹣CQ（当且仅当点O、C、Q共线时取等号）， ∴OQ的最小值为OC﹣CQ1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征和三角形三边的关系． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是___． 【答案】3 【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值． 【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD， ∴BD＝2， ∴． 由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动， ∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动， CE的最大值即C到BA中点的距离加上长． ∵，，BC＝2， ∴C到BA中点的距离即， 又∵， ∴CE的最大值即． 故答案为3． 【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键． 类型四 利用对角互补构造辅助圆，再利用垂线段最短求一条线段的最小值 【典例4】（2024•曲江区三模）如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　　 ． 【分析】如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于H．首先证明△ODE是顶角为120°的等腰三角形，当OE的值最小时，DE的值最小，求出PC的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于H． ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6， ∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PEC＝∠PDC＝90°， ∵OP＝OC， ∴OE＝OP＝OC＝OD， ∴C，D，P，E四点共圆， ∴∠EOD＝2∠ECD＝120°， ∴当OE的值最小时，DE的值最小， 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，PC＝3，此时OE的值最小，OE， ∵OE＝OD，OH⊥DE， ∴DH＝EH，∠DOH＝∠EOH＝60°， ∴DH＝EH， ∴DE＝2DH， ∴DE的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP⊥AB时DE最小是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•广水市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝4，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为 　　 ． 【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取EF的中点为O，以EF为直径作⊙O，连接OP，ON，根据三角形三边关系可知：PN≥ON﹣OP，因为OP为定值，根据垂线段最短，得出当O、P、N三点共线，且ON⊥AD时，ON最小，则PN最小，根据垂径定理和勾股定理求出OH长，最后根据线段间的和差关系求P'N'长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接EF， ∵∠PEB＝∠PFC，∠PEC+∠PEB＝180°， ∴∠PEC+∠PFC＝180°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，∠EPF＝360°﹣180°﹣90°＝90°， ∵△EFC和△EPF为直角三角形， 取EF的中点为O， ∴OP＝OE＝OF＝OC， ∴C、E、P、F四点共圆， ∵PN≥ON﹣OP， ∵OP为定值， ∴当ON最小，且O、P、N三点共线时，PN最小， 过O作OH⊥BC于H，延长HO交⊙O于P’，交AD于N'，而CE＝2， ∴， ∵∠ECF＝90°，CF＝4， ∴， ∴， ∵∠OHE＝90°， ∴， ∴ON'＝HN'﹣OH＝CD﹣OH＝6﹣2＝4， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，圆的确定及基本性质等知识点，解题的关键是根据题意作出辅助圆，利用垂线段最短找出ON最小值时ON的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $