精品解析：山东省德州市开发区崇德中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026年八上第一次月考试卷（崇德） 一、选择题 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，第三边长， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 3. 点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为( ) A. (﹣3，2) B. (3，﹣2) C. (﹣3，﹣2) D. (3，2) 【答案】C 【解析】 【分析】关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数. 【详解】点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为(-3，-2) 故选C. 【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标对称问题，比较简单，解题的关键是记住对称特点：关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变横坐标变为相反数. 4. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=25°， ∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°． 故选B． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 全等三角形的周长相等 C. 任何一个直角三角形中，都没有钝角 D. 对应角相等的三角形是全等三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断逆命题的真假，全等三角形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是根据相应的概念判断选项． 分别写出各选项的逆命题，并判断其真假即可． 【详解】解：选项A：逆命题为“若，则”， 当时，但，故逆命题为假； 选项B：逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”， 反例：边长为3、4、5的三角形与边长为4、4、4的三角形周长均为，但二者不全等，故逆命题为假； 选项C：逆命题为“没有钝角的三角形是直角三角形”， 反例：三个角均为的等边三角形无钝角，但不是直角三角形，故逆命题为假； 选项D：逆命题为“全等三角形的对应角相等”， 根据全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，故逆命题为真． 故选：D． 6. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 8. 如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（ ） A. 以点E为圆心，长为半径的弧 B. 以点G为圆心，长为半径的弧 C. 以点B为圆心，长为半径的弧 D. 以点F为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 以点为圆心为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，然后以点为圆心为半径画弧交前弧于点，作射线，则即为所求作，其中弧是以点为圆心为半径画的弧． 【详解】解：弧是以点为圆心为半径画的弧． 故选：D． 10. 如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 二、选择题 11. 请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 12. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，再由的周长，由此即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：20． 14. 如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PG=PH，从而得解． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H， ∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P， ∴PF=PG=5，PG=PH， ∴PF=PG=PH=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键． 15. 如图，在△中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得，再根据角平分线的性质得到，整理得，由此得到规律，据此解题． 【详解】解：平分，平分 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和的性质、角平分线的性质，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题 16. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF． 求证：（1） ；（2）． 【答案】 （1）∵， ， 又∵，， ∴ （2）∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出，结合，得出三角形全等；（2）根据三角形全等得出，根据同位角相等，两直线平行得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的性质与应用，平行线的判定，熟练掌握以上定理是解答本题的关键. 17. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形 （2）写出关于y轴的对称图形的坐标． 【答案】（1） 解：如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出点的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到点的坐标； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据（1）中图形可得：． 18. 甲､乙两名学生为了测量一池塘两端A，B的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】 选择甲同学的方案： 在和中， ， ∴， ∴， 故测出的长即为的距离． 选择乙同学的方案： ∵，点在的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故测出的长即为的距离． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： 甲同学的方案：利用证明即可； 乙同学的方案：利用证明即可． 【详解】略 19. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 20. 如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证： （2）判断和的位置关系并证明． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴； （2） 解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB． （1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC△BEF． 【答案】 （1）如图，射线BD即为所求． （2）证明：∵BD∥AC， ∴∠EBD＝∠A， ∵BE＝AB，BF＝AC， ∴△EBF△BAC（SAS）． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作∠CBD=∠C即可． （2）根据SAS证明三角形全等即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 【答案】（1） ∵， ∴， 即 ． 在和中， ∵， ∴≌（）． （2） ∵≌， ∴，． ∵，于点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴≌（）． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）由可得出，从而可证△ABF≌△ACG； （2）由（1）的结论可得AF=AG，BF=CG，再由AB=AC及AD⊥BC易得∠2=∠3，从而可得≌，则易得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是本题的关键． 23. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， °． （2）在（1）条件下，求证： （3）当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） 证明：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3） 解：， 理由：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； （3）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八上第一次月考试卷（崇德） 一、选择题 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为( ) A. (﹣3，2) B. (3，﹣2) C. (﹣3，﹣2) D. (3，2) 4. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 全等三角形的周长相等 C. 任何一个直角三角形中，都没有钝角 D. 对应角相等的三角形是全等三角形 6. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（ ） A. 以点E为圆心，长为半径的弧 B. 以点G为圆心，长为半径的弧 C. 以点B为圆心，长为半径的弧 D. 以点F为圆心，长为半径的弧 10. 如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 二、选择题 11. 请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：________． 12. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为___________． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是 __________________． 14. 如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为________． 15. 如图，在△中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则_____． 三、解答题 16. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF． 求证：（1） ；（2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形 （2）写出关于y轴的对称图形的坐标． 18. 甲､乙两名学生为了测量一池塘两端A，B的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 19. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 20. 如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证： （2）判断和的位置关系并证明． 21. 如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB． （1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC△BEF． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 23. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， °． （2）在（1）条件下，求证： （3）当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $