15.3.2等边三角形同步训练-2025－2026学年人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形 同步训练 一、单选题 1．如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 4．和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在中，，，是的角平分线，如果点到的距离为2，那么的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，一棵树与地面垂直，在一次强台风中于离地面4m处折断倒下，倒下的部分与地面成夹角．这棵树在折断前的高度为（   ） A．4m B．8m C．12m D．16m 9．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 12．如图，，为等边三角形，，则的度数为 ． 13．如图在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点，若，则的长为 ． 14．如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为 ． 15．如图，是等边三角形的角平分线，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 如 16．如图，在中，，且为边的中点，，则的值为 ． 17．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 18．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 19．如图，在中，，，平分，交于点，则的周长是 ． 20．如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    三、解答题 21．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． (1)求证： (2)若相交于点O，求的度数． 22．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 23．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 24．如图，在中，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABD、等边三角形ACE，CD与BE相交于点P． (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接AP，求证：AP平分． 第6页，共6页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A B C C C B 1．A 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、线段中点的有关计算，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质得出，结合点是的中点，即可得解． 【详解】解：等边的边，点是的中点， ，， ， ， ． 故选：． 2．B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 3．C 【分析】先证明平分，再证明是等边三角形，接着利用平行线的性质，求得，，从而可证明，根据等腰三角形的判定，可得，再利用，求出． 【详解】解：连接交于点，   ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，． ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 4．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握运用以上知识是解决本题的关键．首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角之间的关系可得最终结果． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ， ， 又， ， ， ， 则 解得， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，由此即可计算． 【详解】解：∵等边三角形的边长是， ∴的周长． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，进而得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴（米） ∴这棵树在折断前的高度=（米）， 故选：C． 9．C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 10．B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得到，由线段中点的定义得到的长，求出的度数，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．/20度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据等边三角形的性质求得的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，连接，证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：连接，由作图可知：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：4． 14．/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形外角的性质等，先由等边三角形的性质得到，，再根据三角形外角的性质和等边对等角证明即可． 【详解】解：和都是边长为的等边三角形， ，， ∴， ∵， ． 故答案为：． 15．/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可． 【详解】解：是等边三角形的角平分线， ． 以为斜边作等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形，为等边三角形，进一步求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴，， 为等边三角形， 为的中点， ∴， ， 故答案为： 17．/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．/30度 【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由为等边三角形，可得，再由，可得，从而得出，再根据等腰三角形的性质得，最后求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．15 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行线的性质，邻补角的定义，熟练运用以上知识解题是解题的关键． 先求解 再证明为等边三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是15． 故答案为：15． 20．/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，而，，即可根据证明，得，，所以是等边三角形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在上， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 21．(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得出，然后利用三角形的外角性质定理求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 在和中 ； （2）解：由（1）得， ∴， ． 22．(1)证明见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据可知是直角三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状． （1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到； （2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． （2）证明：， ， 即， ， 为等边三角形． 24．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）通过证明来证明； （2）利用（1）中全等得角相等，结合三角形内角和求； （3）通过作垂线，证明，得到，结合角平分线的判定定理证明． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形 ∴ ∴，即 ∵在和中： ∴ ∴ （2）解：由（1）知 ∴ 在中： 将代入： 则 ∵是等边三角形 ∴ ∴ （3）解：过点A作于M，于N ∴ 由（1）知， ∴， 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴平分（到角两边距离相等的点在角的平分线上） 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及角平分线的判定定理，掌握等边三角形的各边相等、各角都是，三角形全等的判定定理和全等三角形的对应边、对应角、对应边上的高相等的性质，以及角平分线的判定定理是解题的关键． 答案第6页，共16页 答案第5页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $