简单的三角恒等变换讲义-2026届高三数学一轮复习

2026届高三数学一轮复习《三角函数、解三角形》（复习讲义） 第3节 三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换 类型一 三角函数式的化简 1. 等于( ) A. B. C. D. 2. 化简： 。 3. 化简： 。 4．2等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 5．化简：＝ ． 6．化简：－tan )·＝ ． 反思总结 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征． 2．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 类型二 三角函数式的求值 1. ( ) A. B. C. D. 2.已知 ，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知 。若 ，则 ( ) A. , B. , C. , , D. , , 4.若 , ,且 ， ，则 的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 5.＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 6.计算：＝ ． 7.已知sin ＋cos α＝，则sin 等于(　　) A． B． C．－ D．－ 8.已知角θ满足sin θcos θ(sin θ＋cos θ)＝，则tan ＝ ． 9.若＜β＜π＜α＜，且cos (α＋β)＝－，sin 2β＝，则α－β＝ ． 10.＝(　　) A．－ B．1 C． D．2 11.若tan α＋，α∈，则sin ＋2cos cos2α＝ ． 反思总结 1．给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． 2．给值求角问题的解题策略 (1)求相关角的某一个三角函数值． (2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解． 类型三 三角恒等变换的应用 1.已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 2.已知函数f(x)＝2sin x，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数f(x)在上的最大值与最小值． 3.已知函数 。 （1） 求函数 的最小正周期及单调递减区间； （2） 若 ,且 ,求 的值。 4.已知函数 。 （1） 求函数 在区间 上的最值； （2） 若 ， ,求 的值。 反思总结 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝ sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 基础通关练（测试时间：15分钟） 1.已知 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 2. 已知 ， ，则 的值是( ) A. B. C. D. 3. 已知 , ，且 , ，则 的值为 。 4. 已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 5．已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝－2cos 13°·cos 103°，c＝ ，则有(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 7．计算：等于(　　) A． B． C． D．－ 8．若α∈且cos2α＝，则tan α＝(　　) A．－7 B．－ C． D．7 重难突破练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是(　　) A．[，kπ－](k∈Z) B．[，kπ＋](k∈Z) C．[，2kπ＋](k∈Z) D．[，kπ＋](k∈Z) 2．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　) A． B． C． D． 3．已知锐角α的终边上一点P的坐标为，则α＝ . 4．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ． 5．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则sin2α＝ ，cos ＝ ． 6．已知0<α<，0<β<，cos α＝，cos (β＋α)＝. (1)求sin β的值； (2)求 综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知函数f(x)＝m·n，向量m＝，n＝(sin x－cos x，cos x)，在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1. (1)求角A的大小； (2)求f的取值范围． 2.(多选题)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下命题正确的有(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ 3．如图所示的直角坐标系中，角α，角β的终边分别交单位圆于A，B两点．若点B的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin ·sin )＋的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 4．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan = 5.已知cos 2θ＝－＜θ＜，求sin 4θ= ，cos 4θ= 6.已知sin (α－2β)＝，cos (2α－β)＝－，且0＜β＜＜α＜，求α＋β= ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学一轮复习《三角函数、解三角形》（复习讲义) 第三节三角恒等变换 第2课时简单的三角恒等变换 类型一三角函数式的化简 cos2a 1. sin(180°+2a) 1+cos 2a cos(90°+a) 等于(D) A-sina B.-cosa C.sina D.cosa 【解折]原式=电ao-2=c0sa。 2cos2a(-sina) 2 cos2a(-sina) 2.化简： 2 cosx-2 cos2x+ = 2tam(合—sinm2(+x) o2正· [解析]原式= (4cos'x-4cos2x+1) (2cos2x-1)2 cos2 2x sin 2× 3.化简：（位-tan到(1+-tandtan吟=盖 [解标（位一a)(1+tane tam月=（僵-）·(+二 = cossin cosa co+sinc sin 2 cosc sin.cos? cosc cos sina 2 cosa cos号sina 4.2v1+sin4+√2+2cos4等于( A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2 解析：B原式=2√sin2+cos2+V2:2cos22=2lsin2+cos2+2lcos21.由f2, 所以cos2<0,sin2+cos2>0.故原式=2(sin2+cos2)-2cos2=2sin2. 5.化简： 2c0s4x-26os2x号 2tam(仔m2(行+ 解析：原式= (4cos1x-4cos2x+1)(2cos2x-1)2 =o22==092 4sim(任)o(行2m(台2 ）2cos2x 2×- cos2传-) 答案：0s2x 6.化简：（品tan受·(1+tan dtan月 解析：（位tan身·1+tana.tan明（僧-）：(1+ =o82号m3登.cosacos2升+sina sin_2os4. 2 sinzcos? cos cos sina cos a cos sina 答案：品 反思总结 1。三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征。 2。三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数 公式之间的共同点。 类型二三角函数式的求值 1.sin40°(tan10°-V3=（B) A- B.-1 C 2 D.、3 3 [解折]sin40°(tan10°-V3=血40r(sm10-5cos102=m40r2sim(10-602--2sim40cos40 =_sin80° c0s10° 0s10° cos10° c0s10 co810° cos 10* =-1。故选B。 2已知an(+会)=，且-2<a<0,则2a2=(A) cos(a) A 5 B.、36 C、3v0 10 10 D26 5 [解折]因为an(a+）--专，所以a败=-，因为ama=二-一言，snm2a+cosa=1,ae cosa (2,0），所以sima=-。所以2an丝-2m+m=4ate2=2V2sina=22× 10 cos(a-) cos(任a v2(sina+cosa) (← -25 。故选A。 5 3.己知0∈(0，)。若cos20+cos226=1,则0=（D) A号 B [解析]由c0s29+c0s220=1+c20+c0s228=1,整理可得2c0s220+cos20-1=0,解得c0s28=-1 2 或c0s20=号因为9e(0,),所以20e(0,2),所以20=1或20=专或20=5号，解得9=三或 名或号 4若sim2a=9,sin(B-)-,且a∈[原，]，Be[,],则+B的值是(A) A7 B c4或 D.号或 解折]因为a∈[片，]，所以2a∈[宁2]，因为sin2a=号，所以2a∈[，]。所以ae[片]且 cos2a=普，又因为sin(0-0=-.Be[,21,所以B-ae后1.cos(0-)=e,所 以 cos(a+B)=cosB-W+2al=cos(B-a0cos2a-sin(B-a)sin2a=(3)×(29）-× 9-号，又a+Be片2，所以a+B=华。故选 5 os100simi70。=（） 1 A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析：D3 1 V3 cos10 sim170com10 sin10 1=5sm10-os10°=2n10°-302--4 sin10°cos10° 2sin20° 6.计算： V3tan120-3 sin12(4cos212-2) 解析：原式 V33 V3sin12°-3cos12。 25（Gim1z9cos1225ma2-60m=-4V5 sin12(4cos212。-22sin12°cos12(2cos212-1) sin24°cos24o 2sin48° 答案：-43 7.已知sin(a-)+3cosa=3则sin(2a+)等于( B. C.-g D.一9 解桥：D“sin(a-）HVcos=y-点osat5cosa=ino=sin(a+》 sin(+）号则os2(a+）)=1-2sin(a+）号sin(2a+)sin(2a+） =-cos(2a+- 8.已知角9满足sin0cosg(sin0+cos0)=号，则tan(台-日)- 解桥：由思设，得sin20V2sin(0+)=V反.sin20·sin(0+)=1 则sin20=sin(0+）1.①或sin20=sin(0+）-1.② 由①得0=2k1+千，k∈Z,由②，无解.因此8=2kn+年，k∈Z, 故am侣晋）an(k+后号）tan()-1 答案：-1 9.若<B<I<a<经，且cos(a+)=-语sin2B=告则a-B= 解析：因为<B<,所以片<2B<2元 因为sin2B=含0，所以2B<元，所以好<B<经所以--月<-子 因为<a<受所以子u-B<号，号<u+月<2.因为<2A<,sin2B青 所以c0s2B=一号因为co(a+B)=一号所以sin(a+)=-0 10 sin (a-B)=sin [(a+B)-28]=sin (a+B)cos 28-cos (a+B)sin 28 =沿×（←）-（周×=号所以。-B=￥ 答案：号 10.2cos58+sm28°=（ C0s28° A.-3 B.1 C.3 D.2 解析：C原式=2cos30+29+n28°_(5cos28-m28+sim28.5o828 =V3 c0s28 c0s280 c0s280 11若tama+=号a∈(（后，}则sn(2a+)+2o8cosa= 解析：：ana+品=吕ae(（任，》tana=3或ana-舍. 则sin (2++2cos coa=sin2 acoscos 2asin 2 in 2a+cos acs+co)+ 22 -V3 2sinacoa.vv 2am+v 2 sin2a+cos2a sin2a+cos2a 22tam2g+1 tan2 a+1 2 1+92 答案：0 反思总结 1。给值（角）求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找 转化方法。 2。给值求角问题的解题策略 (1)求相关角的某一个三角函数值。 (2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和 已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解。 类型三三角恒等变换的应用 1.己知函数f(x)=2V3 sin x cosx+2cos2x-1(x∈R), (1)求函数(x)的最小正周期及在区间0，)上的最大值和最小值： ②若)=x∈（任，） ,求cos2x的值 (1)f(x)=2v3sin x cos x+2cos'x-1=V3(2sinx cos+(2cos'x-1) =√3sin2x+cos2x=2sin (2x+) 所以函数f(x)的最小正周期为π。 因为f(x）=2sin （2x+)在区间(0，)上单调递增 在区间石，)上单调递减。 又o=1,()2,)=-1 所以函数f()在区间(0，)上的最大值为2，最小值为一1 (2)由(1)可知f(x)=2sin (2+) 又因为f()=, 所以sin(2x。+)月 由∈（作引得2+（侣，） 从而co(2o+--m(2x+日=专 所以c0s2x=c0s (2+)=o(2o+}as+sin(2+}in名- 2.已知函数f(x)=2(V3cosx-sinx)sinx,x∈R (1)求函数f()的最小正周期与单调递增区间： (②)求函数()在0，)上的最大值与最小值。 解：(0由题意，f0=2W3 inco8-2sin=V3si2x+cos2x-1=2(停1n2x+克cos2x)-1 =2sin(2z+), f切的最小正周期为==， 2 令-+2kr≤2x+若≤2+2kme2, 62 得子十红≤石+k红(keZ, 所以函数fx)的单调递增区间是[-了十k元，G+kπ]k∈Z. ②)因为0≤K子 所以后≤2x+后≤号 所华sin(2+)下1， 则0≤2sin (2x+1≤1， 所以0≤f(x)≤1， 当且仅当x=0时，f(x)取得最小值，f(x)n=f(O)=0, 当且仅当2x+名=之即=名时，r(动取得最大值，f闭=（合）=1 3.已知函数f()=(2cos2x-1)sin2x+2cos4x。 (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间： (2)若ae(o,),且f(任-)=竖，求tam(a+)的值。 解（①）因为f)=(2cos2x-1)sin2x+5cos4x=cos2xsin2x+5cos4x=(sin4x+cos4) =9sm(x+) ,所以函数f)的最小正周期7=三。 令2km+≤4k+片≤2k第+号，keZ,得安+名≤x≤号+名，keZ。 所以函数f)的单调通减区间为[号+云，号+名1，k∈乙。 ②)因为f(任-）=受，所以m(a-)=1· 又a(@,x),所以-<a-<号，所以a-=，故a=华 因此am(a+) an+tam吃 1-tama =1+=2-3。 1+v3 4已知函数f)=导sim(任-×+cos(任-刘。 (1)求函数f)在区间[，]上的最值： (2)若cos8=言，0e(:,2),求f(20+）的值。 解ω由题忘f=号n(传-+cos(任-)=号×m(任-+9cos(（任-力=-号sinx- )。 因为xe[子1，所以x-∈[-是1，所以sm(k-日)e[-9山，所以-号sm(x-)e[ 91, 即函数f网在区间[行受]上的最大值为9，最小值为三。 ②因为cos0=言，0e(受，2r）,所以sin0=-号，所以sin20=2sin0cos0=-若 所以os20-c0s30-sin20-尝-名-舌， 所以f(20+）=-号sm(20+号-7日）=-号sim(20-）=-(sn20-cos20)-(os20-sin20)= 匠+)=器· 反思总结 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和 变形使用。 2。形如y=as1n十cos化为y=Va2+b2sin(+中)，可进一步研究函数的周期性、单调性、 最值与对称性. 基础通关练（测试时间：15分钟） 1.已知V3tan20°+1cos70°=3，则2的值为(D) A.3 B.2V3 C.3v3 D.4w3 [解析]由已知， 5s20+1sin20°=3，则V3sin20°+1sin20°cos20°=3cos20°，从而2sin40°= c0s20° 3cos20°-√3sin20°=2v3sin(60°-20)=2V3sin40°，所以1=4W5。故选D。 2.已知cos(任-a=号，-：<a<,则sin2a的值是(c) A-9 B.y c.- D.日 [解析]因为cos(任-c）-号，所以(cosa+sina)-号，即cosa十sina=9，两边平方，得1+ 3 2 sin co=号，所以sin2a=2 sinao=-号。故选C 3.已知a,Bc(0,),且tan(a-)=,ta8=-,则2a-B的值为=号。 =或号>0，所以0<a<行。又因为am2a [解析]因为tana=-tan[(a-)+1=naeg=号 2 tana -aa1- 0心0ca所m2a温苹1因为五 0,所以号<B<元，-T<2a-B<0,所以2a-B=-3 4 4.已知x∈(0，) sinx cos3x-cosx sin3x=君，则tan4x=(c) A 3 D.1 [解折]sinx cos3x-cosx sin3x=sinx cosx((cos2x-sim2x)=2sim2xcos2x=子in4x,则sim4x=日，得 sin4=支。因为xe(o,) 1 所以k∈(0，)，所以x=名，所以an秋=tam后-兰。故选C 5.已知2tan 8-tan(+)=,则tan=( A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：D依题设，2tan日一共m9=7.(tang-2)°=0，则tan9=2 1-tan 6.设a0s6°9in6°，6-20813*·c0s103,0 1-c0s50 则有() 2 A.<<a B.KKc C.axb D.KKa 解析：c40s6”9in6°=sin80-6)=9in24, b=-2c0s13°·c0s103°=s1n26°，c 1-cos50 1-(1-2sin2259 2 2 =sin25°.∴.ac<b 不计第：0而等于() A号 c号 D.-② 2 解析：A 1-c0s2100 sin210 sim210°_V2 cos80√1-cos20°sin100√1-(1-2sin210可 V2sin210°2 8.若a∈（，）且os2a= ,则tana=（ A.-7 B月 c D.7 解析：Bcos2a=cos2a-sina=4 cos2 a-sin2a 1-tan2 a24 51 cos2 a+sin2a 1+tan2 a 25' :',tan a=-7 重难突破练（测试时间：15分钟） 1.(多选题)函数f(x=sin x cosx的单调递减区间可以是() A.[k元-3至，km-∈7 B.[kn+吾m+3](k∈z C.[2kn+年，2kr+](k∈z) D.[k+年，km+(k∈Z 解析：Bf6=s1 cos之in2十2kr≤2≤2+号，k∈Z, 得+红≤≤红十华，eZ “函数f)=-sinxc0sx的单调递减区间是[k+行，k红十](keZ,则B正确. ,函数的周期是π(k≠0)，故A也正确。 2.在斜三角形ABC中，sinA=-V2cosB·cosC,且tanB·tanC=1-V2,则角A的值为() A.子 B.号 C. D. 解析：A,sinA=-√2cosB·cosC-sin(B+C, .-√2 cos B cos C-sin B cos C+cos B sin c,则-√2=tanB+tanC 又tanB:tanG=1-V2,tan(B叶g=anB+aC=-l, 1-tan BtanC 因此tan(n一用=一1，则tan4仁l,A仁片 3.已知锐角a的终边上一点P的坐标为( 1-c0s80° 1+cos80 ),则a=」 2 2 1+c0880 解析：依题意tana=义= 2 VCos240 1-c0s809 √sim240° =eos4o=sim50:tan50°，又a为锐角，所以a=50° sin40° c0s50° 答案：50 4.c0s20°·c0s40°·c0s100°= 解析：c0s20°·c0s40°·c0s100°=-c0s20°·c0s40°·c0s809 =-sin20°cos20°cos40°c0s80° sin400cos40°，cos80° 1 sin80°，cos80° gsin160° sin20 sin 20 sin20° sin 20 m0=-音 sin200 答案：一日 5.已知cosa-sina-号且a∈(0，》则si2a=一，cos(2a+） 解析：：cosa-sina=(cos2a-sina)(cosa十sina)-子∴cos2a= 又ae(0,）则sin2a=v-osza=9eos(2a+）cos2acos7-gia2asin号 6 答案：普匹 6 6.已知0a分，0<B<分，co8a=是c0s(B+a)= (1)求sinB的值： ②求oeaa 解：（①由0a令0<B学c0sa=是c0s(B+a)=是得sina=营sin(B+a)=号 13 所以sin月=9in【(B+a）-a]=sin(月+a)cosa-cos(n+a)sina普×号-音xg器 ②因为cosa-是sina-=吉 所以in2a 2sinacos a 2x2 cos2a+cos2a2os2a-m2a2x目)'-（周 =12. 综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知函数f(x)=m·n,向量m=(cosx+sinx,2V5sinx),n=(sinx-cosx,cos),在锐角△ABC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A=1. (1)求角A的大小： ②求B-)的取值范围。 解：(1)f(x)=m·n=(cosx+sin)(sinx-cosd+2W3 sin x cosx -sincos2sinx cosVsin 2x-cos 2x-2(icos 2x)=2sin (2x A=2sin(2A-合)1，又4为锐角，所以4云 ②由1)知，8叶C名又8C均为锐角，所以8受，28号 9sin(2B-1,所以8-2sin(2B-)e(5,斗 故(B-司)的取值范国是(3，习 2(多选题)已知cos(a+B)=一S,cos2a=一台其中a,B为锐角，则以下命慰正确的有() A.sin2a-=是 B.cos (a-B)=25 5 C.cos acos B= 10 D.tan atan B-月 解析：ABC:c0s(a+)=一号c082a=台且，B为锐角， sn(a+月)-5sin2a-号A正确：又cos(a-)=cos[2g-(a+B] =c0s2aco9(a+)+sin2asin(a+B)=专×(9×9-5B正确： 则cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=25,① 51 又：cos(a+B)=cos acos B-sin asin B=-5, 5 ② 由02联立，得cosc8B-焉sina9inB-g -沿，.tan atanB=gme-3, cosa cosB 因此C正确，D错误 3.如图所示的直角坐标系中，角a(0<a<)角（三<B<0)的终边分别交单位圆于A8两点，若 点B的纵坐标为一点且满足S子则sin·(cos号-V3sin9+的值为( B.-号 c吕 解析：C依题意sinB=一吾且一兰B<0,所以cos月=T一sm2B=号 又a。-X1X1·s1n∠A0B-子所以sin∠A0B-3则∠A0B=君 因此a-B=石所以a=B+后所以sin(cos号V3ain9+9 -安na马1-casa)+9-na+9o8a=sin(+）=sin(0+)co8B=号 4.已知tan(a+B)=是tan(B -)京求tan(a+)月 解：因为tam(a+)=是tam(-)所以tam(a+)-tan(a+)-(-》 禁 5.已知cos29=-,<0<2,求sin40 Γ5’41 cos 40= 解：0<分相<20<，sin20=1-cos220= sin40=2sin29co820=2××(-)=-若c0949=2os20-1=2×(-)-1=器-1=号 6.已知sin(a-2B)=45,c0s2a-)=是且0<月<<a<分求a+B 解：由0<B<<a<分得0<2B<子-<-2B<0,则-<a-2B<号 因为sina-2)-90,所以co8(a-2)=-(9=-8月 7 由0<月<六a<行得<2a<,一-B<0,则2a-B<, 因为cos2a-)=-普所以sin2a-)-5 14 因为<a+B<4,又cos(a+B)=cos[2a-B)-(a-2B)] =os2a-B)cos(a-2)+sin但a-B)sin(a-2)=-×+9×9= 14 7 所以a+B=号 2026届高三数学一轮复习《三角函数、解三角形》（复习讲义） 第3节 三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换 类型一 三角函数式的化简 1. 等于( D ) A. B. C. D. [解析]原式 。 2. 化简： 。 [解析]原式 。 3. 化简： 。 [解析] 。 4．2等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 解析：B　原式＝2＋ ＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|.由于<2<π， 所以cos 2<0，sin 2＋cos 2>0.故原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. 5．化简：＝ ． 解析：原式＝＝＝cos 2x. 答案：cos 2x 6．化简：－tan )·＝ ． 解析：－tan )·＝· ＝＝. 答案： 反思总结 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征． 2．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 类型二 三角函数式的求值 1. ( B ) A. B. C. D. [解析] 。故选B。 2.已知 ，且 ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]因为 ,所以 ，因为 , , ，所以 。所以 。故选A。 3.已知 。若 ，则 ( D ) A. , B. , C. , , D. , , [解析]由 ，整理可得 ，解得 或 。因为 ,所以 ，所以 或 或 ，解得 或 或 。 4.若 , ,且 ， ，则 的值是( A ) A. B. C. 或 D. 或 [解析]因为 ，所以 ，因为 ,所以 。所以 且 ，又因为 , ，所以 , ，所以 ，又 ，所以 。故选A。 5.＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：D　＝＝－4. 6.计算：＝ ． 解析：原式＝=＝=. 答案：－4 7.已知sin ＋cos α＝，则sin 等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：D　∵sin ＋cos α＝cos α＋cos α＝sin α＋cos α＝sin ， ∴sin ＝，则cos 2＝1－2sin2＝，∴sin＝sin [－] ＝－cos ＝－. 8.已知角θ满足sin θcos θ(sin θ＋cos θ)＝，则tan ＝ ． 解析：由题设，得sin 2θ·sin ＝.∴sin 2θ·sin ＝1. 则sin 2θ＝sin ＝1，①或sin 2θ＝sin ＝－1.② 由①得θ＝2kπ＋，k∈Z，由②，无解．因此θ＝2kπ＋，k∈Z， 故tan ＝tan ＝tan ＝－1. 答案：－1 9.若＜β＜π＜α＜，且cos (α＋β)＝－，sin 2β＝，则α－β＝ ． 解析：因为＜β＜π，所以＜2β＜2π. 因为sin 2β＝＞0，所以＜2β＜π，所以＜β＜，所以－＜－β＜－. 因为π＜α＜，所以＜α－β＜，＜α＋β＜2π.因为＜2β＜π，sin 2β＝， 所以cos 2β＝－.因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝－. 所以sin (α－β)＝sin [(α＋β)－2β]＝sin (α＋β)cos 2β－cos (α＋β)sin 2β ＝－－，所以α－β＝. 答案： 10.＝(　　) A．－ B．1 C． D．2 解析：C　原式＝＝＝. 11.若tan α＋，α∈，则sin ＋2cos cos2α＝ ． 解析：∵tanα＋，α∈，∴tan α＝3或tan α＝(舍)， 则sin ＋2cos cos2α＝sin2αcos ＋cos 2αsin ＝sin 2α＋cos 2α＋＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋ ＝＝·+ ＝＝0. 答案：0 反思总结 1．给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． 2．给值求角问题的解题策略 (1)求相关角的某一个三角函数值． (2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解． 类型三 三角恒等变换的应用 1.已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 解：(1)f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1＝(2sinx cos x)＋(2cos2x－1) ＝sin2x＋cos 2x＝2sin ， 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin 在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 又f(0)＝1，f＝2，f＝－1， 所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f(x0)＝2sin . 又因为f(x0)＝，所以sin ＝. 由x0∈，得2x0＋∈， 从而cos ＝－ ＝－， 所以cos2x0＝cos [－]＝cos cos ＋sin sin . 2.已知函数f(x)＝2sin x，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数f(x)在上的最大值与最小值． 解：(1)由题意，f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＝sin2x＋cos 2x－1＝2sin 2x＋)－1 ＝2sin －1， f(x)的最小正周期为T＝＝π， 令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间是[＋kπ，](k∈Z)． (2)因为0≤x≤， 所以， 所以≤sin ≤1， 则0≤2sin －1≤1， 所以0≤f(x)≤1， 当且仅当x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝0， 当且仅当2x＋，即x＝时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f＝1. 3.已知函数 。 （1） 求函数 的最小正周期及单调递减区间； （2） 若 ,且 ,求 的值。 解(1)因为 ,所以函数 的最小正周期 。 令 , ,得 , 。 所以函数 的单调递减区间为 , 。 (2)因为 ,所以 。 又 ,所以 ,所以 ,故 。 因此 。 4.已知函数 。 （1） 求函数 在区间 上的最值； （2） 若 ， ,求 的值。 解(1)由题意 。 因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 即函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 。 (2)因为 ， ,所以 ,所以 , 所以 , 所以 。 反思总结 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝ sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 基础通关练（测试时间：15分钟） 1.已知 ,则 的值为( D ) A. B. C. D. [解析]由已知， ,则 ,从而 ，所以 。故选D。 2. 已知 ， ，则 的值是( C ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ，即 ，两边平方，得 ，所以 。故选C。 3. 已知 , ，且 , ，则 的值为 。 [解析]因为 ，所以 。又因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 , ，所以 。 4. 已知 ， ，则 ( C ) A. B. C. D. [解析] ，则 ，得 。因为 ，所以 ，所以 ，所以 。故选C。 5．已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　依题设，2tan θ－＝7. ∴(tan θ－2)2＝0，则tan θ＝2. 6．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝－2cos 13°·cos 103°，c＝ ，则有(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 解析：C　a＝cos 6°－sin 6°＝sin (30°－6°)＝sin 24°， b＝－2cos 13°·cos 103°＝sin 26°，c＝ ＝ ＝sin25°.∴a<c<b. 7．计算：等于(　　) A． B． C． D．－ 解析：A　=＝＝. 8．若α∈且cos2α＝，则tan α＝(　　) A．－7 B．－ C． D．7 解析：B　∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝，∴， ∵α∈，∴tanα＝－. 重难突破练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是(　　) A．[，kπ－](k∈Z) B．[，kπ＋](k∈Z) C．[，2kπ＋](k∈Z) D．[，kπ＋](k∈Z) 解析：AB　f(x)＝sin x cos x＝sin 2x，由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z， 得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间是[，kπ＋](k∈Z)，则B正确． ∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确． 2．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　) A． B． C． D． 解析：A　∵sin A＝－cos B·cos C＝sin (B＋C)， ∴－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C，则－＝tan B＋tan C. 又tan B·tan C＝1－，∴tan (B＋C)＝＝－1， 因此tan (π－A)＝－1，则tan A＝1，A＝. 3．已知锐角α的终边上一点P的坐标为，则α＝ . 解析：依题意tan α＝＝=tan 50°，又α为锐角，所以α＝50°. 答案：50° 4．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ． 解析：cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－＝－＝－＝－. 答案：－ 5．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则sin2α＝ ，cos ＝ ． 解析：∵cos4α－sin4α＝(cos2α－sin2α)(cos2α＋sin2α)＝，∴cos2α＝. 又α∈，则sin 2α＝，cos＝cos 2αcos －sin 2αsin ＝. 答案： 6．已知0<α<，0<β<，cos α＝，cos (β＋α)＝. (1)求sin β的值； (2)求 解：(1)由0<α<，0<β<，cos α＝，cos (β＋α)＝，得sin α＝，sin (β＋α)＝. 所以sin β＝sin [(β＋α)－α]＝sin (β＋α)cos α－cos (β＋α)sin α＝. (2)因为cos α＝，sin α＝，所以=＝12. 综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知函数f(x)＝m·n，向量m＝，n＝(sin x－cos x，cos x)，在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1. (1)求角A的大小； (2)求f的取值范围． 解：(1)f(x)＝m·n＝(cos x＋sin x)(sin x－cos x)＋2sin x cos x ＝sin2x－cos2x＋2sinx cos x＝sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－)＝2sin ， f(A)＝2sin ＝1，又A为锐角，所以A＝. (2)由(1)知，B＋C＝，又B，C均为锐角，所以<B<<2B－<， <sin ≤1，所以f＝2sin ∈. 故f的取值范围是. 2.(多选题)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下命题正确的有(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ 解析：ABC　∵cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，且α，β为锐角， ∴sin (α＋β)＝，sin 2α＝，A正确；又cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝－＋，B正确； 则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，　① 又∵cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，　② 由①②联立，得cos αcos β＝，sin αsin β＝，∴tan αtan β＝＝3， 因此C正确，D错误． 3．如图所示的直角坐标系中，角α，角β的终边分别交单位圆于A，B两点．若点B的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin ·sin )＋的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：C　依题意sin β＝－，且－<β<0，所以cos β＝. 又S△AOB＝×1×1·sin∠AOB＝，所以sin ∠AOB＝，则∠AOB＝. 因此α－β＝，所以α＝β＋.所以sin sin )＋ ＝sin α－(1－cos α)＋＝sin α＋cos α＝sin ＝sin ＝cos β＝. 4．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan = 解：因为tan (α＋β)＝，tan ＝，所以tan ＝tan ＝. 5.已知cos 2θ＝－＜θ＜，求sin 4θ= ，cos 4θ= 解：由＜θ＜，得＜2θ＜π，∴sin 2θ＝， sin4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2×＝－，cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×2－1＝. 6.已知sin (α－2β)＝，cos (2α－β)＝－，且0＜β＜＜α＜，求α＋β= ． 解：由0＜β＜＜α＜，得0＜2β＜，－＜－2β＜0，则－＜α－2β＜. 因为sin(α－2β)＝＞0，所以cos (α－2β)＝ ＝ . 由0＜β＜＜α＜，得＜2α＜π，－＜－β＜0，则＜2α－β＜π， 因为cos (2α－β)＝－，所以sin (2α－β)＝. 因为＜α＋β＜，又cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)] ＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－， 所以α＋β＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学一轮复习《三角函数、解三角形》（复习讲义) 第三节三角恒等变换 第2课时简单的三角恒等变换 类型一三角函数式的化简 sin(180°+2a) cos2a 1. 等于() 1+cos 2a cos(90°+) A-sina B.-cosa C.sina D.cosa 2cos4x-2 cos2x+ 2.化简： 2tam(任-sim2(行+) 3.化简：（位-tan写(1+tanc tan) 4.2W1+sin4+√2+2cos4等于() A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2 5.化简： 2cos4x-2cos2x4号 2tam(行xsm2(任+) 6.化简：（tang tan会·(+tandtan)- 反思总结 1。三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征。 2。三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数 公式之间的共同点 类型二三角函数式的求值 1.sin40°(tan10°-V3=() A-2 B.-1 c号 D.-9 2已知am(a+）=,且-三<a<0,则2a“=(） cos(a-) A-25 2w5 5 B.-35 10 C-3西 10 D. 3.已知0∈(0，)。若cos20+cos228=1,则8=（) A后，g c 4若sim2a=9,simB-)=,且a∈[，]，B∈[，]，则a+B的值是() A牙 丑 c5或7 D.5或 1 =() cos10 sin1700 A.4 B.2 C.-2 D.-4 V3 tan12-3 6.计算： sin12(4cos212-2) 7.已知sin(a-)+3cosa-子则sin(2a+)等于(） A. c.-号 D. 8.已知角9满足sin9c30(sin0+cos0)=受，则tan(侵-智） 9.若<月<1<a<号且c8s(a+)=-号，sin2B-专则a-B 102c0s58+sin28 =() cos28° A.-V3 B.1 C.v3 D.2 11若tana+品e=号a∈(（行，引则sin(2a+}+2 2cos= 反思总结 1.给值（角）求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找 转化方法 2。给值求角问题的解题策略 (1)求相关角的某一个三角函数值： (②)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和 已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解。 类型三三角恒等变换的应用 1.己知函数f(x)=2V3 sin x cos x+2cos2x-1(x∈R). (1)求函数()的最小正周期及在区间(0，)上的最大值和最小值： (2)若f(x)=x∈（任，），求cos2x的值. 2.己知函数f(x)=2(V3cosx-sinx)sinx,x∈R (1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间： (2)求函数()在0，日)上的最大值与最小值。 3.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x。 (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若a∈(o,),且f(任-)=9，求am(a+)的值。 4已知函数f)=号sin(任-x)+cos(任-x。 (1)求函数f()在区间[匠，2]上的最值： (2)若cos9=,9∈(：，2n),求f(20+的值。 反思总结 1。进行三角恒等变换要抓住；变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系：注意公式的逆用和 变形使用. 2.形如y=a sinx十b cosx化为y=Va2+b2sin(x十)，可进一步研究函数的周期性、单调性、 最值与对称性。 基础通关练（测试时间：15分钟） 1.已知V3tan20°+1cos70°=3，则2的值为() A.3 B.2V3 C.3v3 D.4v3 2.已知cos(任-a=专，-4<a<,则sin2a的值是() A-9 B.9 C.-7 D. 3.已知a,B∈(0，r),且tan(a-B)=3,tanB=-号，则2a-B的值为 4已知x∈(0，，sin co3x-in3x=吉，则tan4x=（) A3 C.V3 3 D.1 5.已知2tang-tan(（g+）=7,则tan9=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.设a=0s6°月n6°，6-2c0818·c0s108，c= 1-cos50 则有() 2 A.<Ka B.Kc C.axb D.KKa 1-c0s210° cos80VT-c0s20元等于() 7.计算： A. B.月 C. D.-2 2 8.若a∈（合，n)且cos2a=器则tana=() A.-7 B.月 c.号 D.7 重难突破练（测试时间：15分钟) 1.(多选题)函数f(x)=sin x cosx的单调递减区间可以是() A.[k元-3子，本m-一中∈2刃 B.[kT+年，kr+](k∈Z) C.[2km+4,2kn+2](k∈2) D.[kr+F,kT+]k∈Z 2.在斜三角形ABC中，sinA=-V2cosB·cosC,且tanB·tanC=1一√2，则角A的值为() 4 B. C. 1+cos80° 3.已知锐角α的终边上一点P的坐标为( 1-c0s80° 则a= 2 2 4.c0s20°·c0s40°·c0s100° 5.已知csa-sina-号且a∈(0.》则sin2a=一，cos(（2a+)F 6.已知0Ka<经，0B经cosa=cos(B+a)=哥 (1)求sinB的值： ②求 --------------…---------------…---…-------------…-----4------- 综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.己知函数f()=m·n,向量m=(cosx+sinx,2V3sinx),n=(sinx-cosx,cos),在锐角△ABC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A=1. (1)求角A的大小： ②)求8-)的取值范围。 2.(多选题)已知cos(a+B)=一5c0s2a=手其中a,B为锐角，则以下命思正确的有() A.sin2a-月 B.cos (a-B)=2v5 5 C.cos acos B= 10 D.tan atanB- 0 VB 3.如图所示的直角坐标系中，角“(0<a<)角B(三<B<0)的终边分别交单位圆于4，B两点.若 点B的纵坐标为一点且满足S子则sin·(cos号-V3sin孕+的值为(） A.一吾 B。号 c号 4.已知tan(a+)=是tan(g-）子求tan(a+) 5已知c0820=一手，<0<分求sin40 _,c0s40= 6,已知sin(a-2B)=49,cos2a-)=是且0<B<<a<受求a+B