精品解析：吉林省延吉市第四中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第一学期八年级数学学科期中考试试题 一 、选择题( 每题3分，共1 8分 ) 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，D选项符合题意． 故选：D． 2. 如果三角形的两条边的长分别是和， 那么第三条边的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：，即， 选项中，只有4在范围内， 故选：C． 3. 如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加． 【详解】解：∵，， ∴， .，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 4. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及直角三角形的性质，准确利用相关性质求解是解题的关键． 根据轴对称的性质可知对应角相等，再结合直角三角形的两锐角互余的性质进行求解即可． 【详解】解：，， ， 与关于直线对称， ， ， ， ． 故选：． 5. 如图是由一副常规直角三角板摆放得到的图形，图中的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，由三角形的外角性质即可求． 【详解】解：由题意得：， ∵，是的外角， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 6. 如图，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，以及平行线的性质，根据题意得出平分是解题关键．根据平行线的性质得到，由角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：由题意得：平分， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 二、填空题( 每题3分，共15分 ) 7. 点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 【答案】（﹣3，2）． 【解析】 【详解】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n）， 所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）． 故答案为（﹣3，2）． 8. 如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是____________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性及其应用，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，几何原理是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 9. 如图，点在同一直线上，，要使，则只需添加一个适当的条件是_________（添加一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据，推出，结合，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：添加， ， ， ，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点N，若，．那么的周长是___________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 11. 如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点E，轴于点F，则，所以，即可证明，得，从而得到，则A． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 三 、解答题(本大题共11小题，共87分) 12. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据，证明，再根据“”证明，得出即可． 【详解】略 13. 如图，在中，于点D，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先利用角平分线的定义求得，在利用直角三角形的两锐角互余求得，最后在中利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解∶∵平分，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 14. 已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理． 【答案】 解：AD//BC．理由： ∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC， ∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角， ∴∠EAC＝∠B+∠C， ∴ ， ∴∠CAD＝∠C， ∴AD//BC． 【解析】 【分析】根据AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，利用三角形的外角性质，∠B+∠C＝∠EAC，得出∠C＝∠CAD解题即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 15. 如图坐标系中，，，． （1）在图中作出 关于 轴对称的 ； （2）写出点，，的坐标(直接写答案)． 【答案】（1） 即为所求； （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 根据轴对称的性质，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到 ，即为所求； 根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等写出点，，的坐标即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到 ， 【小问2详解】 解：点，，是点、、关于轴的对称点， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． 16. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，垂足分别为E、F． （1）试说明：BE＝BF； （2）若△ABC的面积为75，AB＝15，DE＝6,则BC等于多少? 【答案】（1） 证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴∠DBE＝∠DBF，∠BED＝∠BFD＝90°， 在△BDE和△BDF中， ， ∴△BDE≌△BDF（AAS）， ∴BE＝BF． （2）10 【解析】 【分析】（1）根据AAS证明△BDE≌△BDF即可解决问题． （2）利用，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵△BDE≌△BDF， ∴DE＝DF， 又DE＝6， ∴DE＝DF＝6， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴75＝×15×6+， ∴BC＝10． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是得到，属于中考常考题型． 17. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B 所在河岸同侧的平地上取点C 和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为．请根据以上方案求出A、B两点间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 18. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质证明即可； （2）先根据等边对等角得到，再由三角形外角的性质求出即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 19. 如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD． 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是∠BAC的平分线． 【答案】 证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）； （2）由（1）得：△BDE≌△CDF， ∴DE=DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线． 【解析】 【分析】（1）由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可； （2）由全等三角形的性质得DE=DF，再由角平分线的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键． 20. 【问题发现】 如图1，已知中，，，点是线段上一点，过点A作交延长线于点，过点作于点． （1）若，，则______． （2）在图1中，线段、、有怎样的数量关系?请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图2，已知中，，，点是内部一点，且，连接，若，求的面积． 【答案】（1）5 （2）， 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ，， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）由可证，可得，，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论； （3）过点A作，交的延长线于点D，由可证，可得，由三角形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，， ，， ， 在与中， ， ，， ， 故答案为：5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，过点A作，交的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的和差，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如 下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到 M，使，连接． 【探究发现】∶（1）图①中，判断与的数量关系和位置关系并证明． 【初步应用】∶（2）如图②，在中，若，求边上的中线的取值范围． 【探究提升】∶（3）如图③，是的中线，过点A 分别向外作，使得，延长交于点P，直接写出线段与的数量关系． 【答案】 （1）与的数量关系为，位置关系为， 证明如下： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）证明，可得，在中，利用三角形的三边关系解答即可； （3）延长到 M，使，连接，由（1）得：，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）延长到 M，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴， 即边上的中线的取值范围为； （3）如图，延长到 M，使，连接， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 22. 如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， （1）当时 ， ， ． （2）若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． （3）如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【答案】（1）2，4 （2） 证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论； ②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级数学学科期中考试试题 一 、选择题( 每题3分，共1 8分 ) 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果三角形的两条边的长分别是和， 那么第三条边的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 15 3. 如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由一副常规直角三角板摆放得到的图形，图中的的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题( 每题3分，共15分 ) 7. 点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 8. 如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是____________． 9. 如图，点在同一直线上，，要使，则只需添加一个适当的条件是_________（添加一个即可）． 10. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点N，若，．那么的周长是___________. 11. 如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为______． 三 、解答题(本大题共11小题，共87分) 12. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 13. 如图，在中，于点D，平分，，，求的度数． 14. 已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理． 15. 如图坐标系中，，，． （1）在图中作出 关于 轴对称的 ； （2）写出点，，的坐标(直接写答案)． 16. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，垂足分别为E、F． （1）试说明：BE＝BF； （2）若△ABC的面积为75，AB＝15，DE＝6,则BC等于多少? 17. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B 所在河岸同侧的平地上取点C 和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为．请根据以上方案求出A、B两点间的距离． 18. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD． 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是∠BAC的平分线． 20. 【问题发现】 如图1，已知中，，，点是线段上一点，过点A作交延长线于点，过点作于点． （1）若，，则______． （2）在图1中，线段、、有怎样的数量关系?请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图2，已知中，，，点是内部一点，且，连接，若，求的面积． 21. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如 下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到 M，使，连接． 【探究发现】∶（1）图①中，判断与的数量关系和位置关系并证明． 【初步应用】∶（2）如图②，在中，若，求边上的中线的取值范围． 【探究提升】∶（3）如图③，是的中线，过点A 分别向外作，使得，延长交于点P，直接写出线段与的数量关系． 22. 如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， （1）当时 ， ， ． （2）若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． （3）如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $