专题14.3角的平分线（知识点总结+10大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3角的平分线 【题型1】尺规作角平分线 1.核心知识点总结 依据：SSS全等判定（△OMC≌△ONC，OM=ON、MC=NC、OC公共边）。 步骤：①以O为圆心画弧交OA于M、OB于N；②以M、N为圆心，大于画弧交于C；③作射线OC。 2.高频考点梳理 直接作角平分线；结合三角形作角平分线；综合作图（作平分线+证平行）。 3.易错点警示 半径小于导致无交点；遗漏作图痕迹；误将射线画为线段。 4.解题技巧拆解 复杂作图先构造目标角（如补角）；用“距离相等”验证作图正确性。 【例题1】．（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图，以点___________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边___________，___________于点___________，___________．分别以C、D为圆心，以大于的一半为半径作弧交于点P． (2)求证：平分． 【变式题1-1】．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式题1-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，作于点．若，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式题1-3】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用角平分线性质求线段长度 1.核心知识点总结 性质+面积：(高相等，面积比=底边长比)。 公式：(h为角平分线上的垂线段)。 2.高频考点梳理 已知面积与边长求h；已知h与边长求另一边；结合中线求线段。 3.易错点警示 面积公式漏；混淆三角形的底与高对应关系。 4.解题技巧拆解 设h为未知数，用面积和列方程求解；标记角平分线与垂线段明确关系。 【例题2】．（23-24八年级下·广西·期中）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点在的平分线上，于，于，若，则 的长度为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【变式题2-3】．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为 ． 【题型3】利用角平分线性质求三角形面积 1.核心知识点总结 内心性质：内心到三边距离相等(设为r)，。 面积比：。 2.高频考点梳理 已知周长与r求面积；已知面积与边长求r；利用边长比求面积比。 3.易错点警示 混淆内心(到边距离相等)与外心(到顶点距离相等)；周长计算漏边。 4.解题技巧拆解 普通三角形用求r；面积比直接用边长比推导，无需算具体值。 【例题3】．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是 ． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E．    (1)与全等吗？说明理由； (2)当，，，时，求的面积． 【变式题3-2】．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（　　） A．6 B．9 C．15 D．18 【变式题3-3】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【题型4】角平分线性质证明(证线段相等) 1.核心知识点总结 逻辑：“点在平分线+垂线段”→证垂线段相等(可直接用性质定理，无需重复证全等)。 2.高频考点梳理 证垂线段相等；证非垂线段相等(结合全等)；多角平分线综合证明。 3.易错点警示 缺失“垂线段”或“点在平分线”条件；全等判定条件错误(如误用SSS证直角三角形)。 4.解题技巧拆解 模板：∵平分线(已知)+垂线段(已作)→∴线段相等(性质)；需证其他线段时结合HL/AAS全等。 【例题4】．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，，于M，于N，求证：． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【题型5】角平分线判定定理的应用(证角平分线) 1.核心知识点总结 判定：角内部到两边距离相等的点在角平分线上(P在∠AOB内，PD⊥OA、PE⊥OB且，则OP平分∠AOB)。 2.高频考点梳理 证射线是角平分线；证三角形内/外角平分线；实际应用中判定选址。 3.易错点警示 忽略“角内部”条件(外部点不适用)；误将斜线段长度当作“距离”。 4.解题技巧拆解 三步法：作垂线段→证→下结论；区分性质(平分线→距离相等)与判定(距离相等→平分线)。 【例题5】．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，中，，于点E，F在上，且，，求证：是的平分线． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【变式题5-2】．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）在四边形中，点E、F分别在边上，且平分． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 【题型6】角平分线与三角形内角和结合求角度 1.核心知识点总结 分角关系：AD平分∠BAC，则。 内心角度：(ΔABC中，O为内心)。 2.高频考点梳理 求内心处角度；求平分线分角后的角度；内外角平分线结合求角度。 3.易错点警示 分角倍数错误(如误将写成)；记错内心角度公式。 4.解题技巧拆解 设未知数(如设)，结合内角和列方程；用“内心角=90^\circ+对角”速算。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，和的平分线交于点O，． (1)如图①，连接AO．求证：AO平分． (2)如图②，P为BO延长线上一点，连接CP．若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式题6-1】．（19-20七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【变式题6-2】．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【题型7】角平分线与平行线结合的综合题 1.核心知识点总结 模型：角平分线+平行线→等腰三角形(AD平分∠BAC，DE∥AB，则，故)。 2.高频考点梳理 证等腰三角形；求线段长度；证线段和差。 3.易错点警示 未识别“平分线+平行线”模型；找错等腰三角形的腰(如误将AD=DE当作腰)。 4.解题技巧拆解 标记等角(平分线→∠1=∠2，平行线→∠2=∠3，故)；分离基本模型逐步推导。 【例题7】．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 【变式题7-1】．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，已知线段与直线平行．    (1)作的角平分线交直线于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的中点为F，连接并延长交直线于点G，请用等式表示线段之间的数量关系　 　． 【变式题7-2】．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点为的延长线上的一点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法），作的角平分线； (2)在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）实践小组探究角平分线与平行线或垂线的有关联系，有两位同学提出以下两种思路： 小星：如图1已知：，点在上，过M作． 求作：平分，射线交于点P． 小红：如图2已知：，点在上，过作于M 求作：平分，射线交于点P． (1)请你选择一位同学方法，使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)若你选择图1，当时，求长是多少？若你选择图2，当时，求点到的距离是多少？ 【题型8】角平分线性质的实际应用(选址问题) 1.核心知识点总结 选址：到两直线距离相等→在夹角平分线上；到三直线距离相等→1个内心+3个旁心(共4点)。 比例尺：实际距离=图上距离×比例尺。 2.高频考点梳理 两直线间选址(如公路/铁路间建市场)；三直线间选址(如三条公路间建加油站)。 3.易错点警示 漏算旁心(仅考虑内心)；比例尺单位换算错误(如cm误作m)。 4.解题技巧拆解 两直线：作平分线+按比例尺定位置；三直线：明确“区域内”(仅内心)或“不限区域”(4点)。 【例题8】．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短；请你通过作图确定健身场所的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式题8-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 【变式题8-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式题8-3】．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【题型9】角平分线与全等三角形的综合证明(证线段和差) 1.核心知识点总结 辅助线：截长补短法(证，截长：在AB截；补短：延长AC至)。 2.高频考点梳理 证线段和(如)；证线段差(如)。 3.易错点警示 辅助线描述不清(如未说明“延长AC至F使”)；全等条件缺失。 4.解题技巧拆解 截长法：截→证ΔAED≌ΔACD→证→得。 【例题9】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·吉林·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”，是黄金角． (1)如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为　　　　； (2)图2中，在（1）的条件下，若，点到直线的距离是2，的面积是　　　　． (3)如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若点在上，且，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 【题型10】三角形内心的综合计算(含周长、面积、距离) 1.核心知识点总结 公式：，；RtΔ中。 2.高频考点梳理 直角三角形求r；已知面积与周长求r；求内心分割的小三角形面积。 3.易错点警示 记错RtΔ内心公式；面积公式漏。 4.解题技巧拆解 普通三角形用；RtΔ优先用简化计算。 【例题10】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【变式题10-3】．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（  ） A．15 B．30 C．20 D．10 4．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 二、填空题 6．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，若点到的距离为2，则 ． 7．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是 ． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，平分，，若，则的面积为 ． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 10．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 14．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 15．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3角的平分线 【题型1】尺规作角平分线 1.核心知识点总结 依据：SSS全等判定（△OMC≌△ONC，OM=ON、MC=NC、OC公共边）。 步骤：①以O为圆心画弧交OA于M、OB于N；②以M、N为圆心，大于画弧交于C；③作射线OC。 2.高频考点梳理 直接作角平分线；结合三角形作角平分线；综合作图（作平分线+证平行）。 3.易错点警示 半径小于导致无交点；遗漏作图痕迹；误将射线画为线段。 4.解题技巧拆解 复杂作图先构造目标角（如补角）；用“距离相等”验证作图正确性。 【例题1】．（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图，以点___________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边___________，___________于点___________，___________．分别以C、D为圆心，以大于的一半为半径作弧交于点P． (2)求证：平分． 【答案】(1)O，，，， (2)见详解 【分析】该题考查了尺规作图-作角平分线，全等三角形的性质和判定． （1）根据题意解答即可； （2）证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图，以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边，于点，．分别以C、D为圆心，以大于的一半为半径作弧交于点P． 故答案为：O，，，，． （2）证明：如图，连接， 根据作图可知， ∴， ∴， ∴平分． 【变式题1-1】．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，作于点．若，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据题意得出平分，作于点，得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于点， 由题意得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义，等腰三角形的性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【题型2】利用角平分线性质求线段长度 1.核心知识点总结 性质+面积：(高相等，面积比=底边长比)。 公式：(h为角平分线上的垂线段)。 2.高频考点梳理 已知面积与边长求h；已知h与边长求另一边；结合中线求线段。 3.易错点警示 面积公式漏；混淆三角形的底与高对应关系。 4.解题技巧拆解 设h为未知数，用面积和列方程求解；标记角平分线与垂线段明确关系。 【例题2】．（23-24八年级下·广西·期中）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线的性质得出是解决本题的关键．利用角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点在的平分线上，于，于，若，则 的长度为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可得． 【详解】解：∵点在的平分线上，于，于，且， ∴， 故选：C． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和三角形的面积．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于，如图： 是的角平分线，， ， ， 的面积为36， 的面积为， ， ， ， 故答案为： 【题型3】利用角平分线性质求三角形面积 1.核心知识点总结 内心性质：内心到三边距离相等(设为r)，。 面积比：。 2.高频考点梳理 已知周长与r求面积；已知面积与边长求r；利用边长比求面积比。 3.易错点警示 混淆内心(到边距离相等)与外心(到顶点距离相等)；周长计算漏边。 4.解题技巧拆解 普通三角形用求r；面积比直接用边长比推导，无需算具体值。 【例题3】．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于，过点作于，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得 ， 从而可得，求得的面积，最后利用三角形的中线定义可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作于，过点作于， 是的角平分线， ， ，， ， 的面积是， ， 是边上的中线， ． 故答案为： ． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E．    (1)与全等吗？说明理由； (2)当，，，时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质． （1）由平行线的性质得到，直接利用即可判定； （2）由（1）得，由垂直的定义得出，即可根据判定，即可得到，再由平行线的性质及角平分线的定义即得出平分，再根据角平分线的性质结合三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，过点D作于点M，    由（1）得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， 的面积． 【变式题3-2】．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（　　） A．6 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线性质，过E作于F，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为． 故选：C． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)的面积为54 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理． （1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可； （2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，理由如下： 在和中， 是的角平分线． （2）解：过P作于点H， 于点Q，平分 的面积的面积+的面积， 的面积 答：的面积为． 【题型4】角平分线性质证明(证线段相等) 1.核心知识点总结 逻辑：“点在平分线+垂线段”→证垂线段相等(可直接用性质定理，无需重复证全等)。 2.高频考点梳理 证垂线段相等；证非垂线段相等(结合全等)；多角平分线综合证明。 3.易错点警示 缺失“垂线段”或“点在平分线”条件；全等判定条件错误(如误用SSS证直角三角形)。 4.解题技巧拆解 模板：∵平分线(已知)+垂线段(已作)→∴线段相等(性质)；需证其他线段时结合HL/AAS全等。 【例题4】．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2）∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定证明进而即可得证． 【详解】证明：已知，，如图，连接， 在和中， ， 又于，于， ． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）先结合图1写出已知、求证，然后证明 ，从而得到， （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明 ，从而得到 【详解】（1）解：已知：平分，于E点，于D点，如图1， 求证： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， 【题型5】角平分线判定定理的应用(证角平分线) 1.核心知识点总结 判定：角内部到两边距离相等的点在角平分线上(P在∠AOB内，PD⊥OA、PE⊥OB且，则OP平分∠AOB)。 2.高频考点梳理 证射线是角平分线；证三角形内/外角平分线；实际应用中判定选址。 3.易错点警示 忽略“角内部”条件(外部点不适用)；误将斜线段长度当作“距离”。 4.解题技巧拆解 三步法：作垂线段→证→下结论；区分性质(平分线→距离相等)与判定(距离相等→平分线)。 【例题5】．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，中，，于点E，F在上，且，，求证：是的平分线． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，首先利用证明，得到，即可得到平分． 【详解】证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ∴是的平分线． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 【变式题5-2】．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用三角形的外角性质结合已知求得，再利用可证明，即可推出； （2）由，推出，，得到，再根据可证明，推出，然后证明，推出，即可证明平分； （3）作于点，利用角平分线的性质求得，再求得，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即平分； （3）解：作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）在四边形中，点E、F分别在边上，且平分． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理以及全等的性质和HL综合（），作出辅助线是解题关键． （1）过点A作于H， 推出，进而得，证即可； （2）由（1）可得计算 【详解】（1）证明：如图，过点A作于H， 由题意得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得 ∵ ∴ 【题型6】角平分线与三角形内角和结合求角度 1.核心知识点总结 分角关系：AD平分∠BAC，则。 内心角度：(ΔABC中，O为内心)。 2.高频考点梳理 求内心处角度；求平分线分角后的角度；内外角平分线结合求角度。 3.易错点警示 分角倍数错误(如误将写成)；记错内心角度公式。 4.解题技巧拆解 设未知数(如设)，结合内角和列方程；用“内心角=90°+对角”速算。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，和的平分线交于点O，． (1)如图①，连接AO．求证：AO平分． (2)如图②，P为BO延长线上一点，连接CP．若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，过点作，垂足分别为，证出即可解答； （2）根据角平分的定义，角的和差转化即可解答． 【详解】（1）（1）证明：如图，过点作，垂足分别为． ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴平分． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵和的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【变式题6-1】．（19-20七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 【变式题6-2】．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积公式的计算，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解的度数； （2）根据角平分线的性质，作于于，由此可得，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：过点D作，垂足为F，过点D作，垂足为H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 的面积， 故的面积为2． 【题型7】角平分线与平行线结合的综合题 1.核心知识点总结 模型：角平分线+平行线→等腰三角形(AD平分∠BAC，DE∥AB，则，故)。 2.高频考点梳理 证等腰三角形；求线段长度；证线段和差。 3.易错点警示 未识别“平分线+平行线”模型；找错等腰三角形的腰(如误将AD=DE当作腰)。 4.解题技巧拆解 标记等角(平分线→∠1=∠2，平行线→∠2=∠3，故)；分离基本模型逐步推导。 【例题7】．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过P作于Q，根据角平分线的性质可得出，根据证明，得出，同理得出，则，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：过P作于Q， ∵平行，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式题7-1】．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，已知线段与直线平行．    (1)作的角平分线交直线于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的中点为F，连接并延长交直线于点G，请用等式表示线段之间的数量关系　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线； （2）利用等腰三角形的判定和性质先说明，再利用“”说明，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论． 【详解】（1）就是的角平分线； （2）如图， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵的中点为F， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 【变式题7-2】．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点为的延长线上的一点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法），作的角平分线； (2)在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】（1）以点为圆心、任意长度为半径，画弧交、，再分别以两交点为圆心，以相同半径画弧相交，连接点与该交点即为角平分线； （2）由两直线平行内错角相等可得，再结合角平分线定义、外角性质即可求得． 【详解】（1）解：作的角平分线如下图： （2）解：， ， 是的角平分线， ， 是的外角， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图—角平分线，平行线性质、角平分线的相关计算、外角性质，解题关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）实践小组探究角平分线与平行线或垂线的有关联系，有两位同学提出以下两种思路： 小星：如图1已知：，点在上，过M作． 求作：平分，射线交于点P． 小红：如图2已知：，点在上，过作于M 求作：平分，射线交于点P． (1)请你选择一位同学方法，使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)若你选择图1，当时，求长是多少？若你选择图2，当时，求点到的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)选择图1，；选择图2， 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的判定； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）选择图1，证明，可得．选择图2，过作于，证明即可． 【详解】（1）解：选择小星的， 作图如下： 或选择小红的， 作图如下： ． （2）解：选择小星的： ∵， ∴， 由作图可得：， ∴， ∵， ∴． 选择小红的： 过作于， 平分， ，， ， ， ． 【题型8】角平分线性质的实际应用(选址问题) 1.核心知识点总结 选址：到两直线距离相等→在夹角平分线上；到三直线距离相等→1个内心+3个旁心(共4点)。 比例尺：实际距离=图上距离×比例尺。 2.高频考点梳理 两直线间选址(如公路/铁路间建市场)；三直线间选址(如三条公路间建加油站)。 3.易错点警示 漏算旁心(仅考虑内心)；比例尺单位换算错误(如cm误作m)。 4.解题技巧拆解 两直线：作平分线+按比例尺定位置；三直线：明确“区域内”(仅内心)或“不限区域”(4点)。 【例题8】．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短；请你通过作图确定健身场所的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题就属于尺规作图中的四种基本作图之一：作角平分线，旨在通过画图，培养学生的作图能力及动手能力，明确尺规作图的意义，体会数学作图语言和图形的和谐统一． 作的角平分线，连接，与角平分线的交点即为健身场所的位置． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 【答案】（1）图见解析，点O在的角平分线上；三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等；（2）图见解析，点O在的角平分线上；点O到三角形三条边的距离相等；（3）图见解析，4个 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答的关键． （1）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上； （2）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上； （3）分别画出三角形内角的平分线，再画出三角形外角的平分线，角平分线的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图①，点O在的角平分线上，说明如下： 过O作，，， ∵O在的平分线上， ∴， ∵O在的平分线上， ∴， ∴， ∴O也在的平分线上； 新发现：三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等； （2）如图②，点O在的角平分线上． 过O作，，， ∵O在的平分线上， ∴， ∵O在的平分线上， ∴， ∴， ∴O也在的平分线上； 新发现：点O到三角形三条边的距离相等； （3）如图③，符合条件的点有4个：点G，H，I，J． 【变式题8-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【变式题8-3】．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得，如图点为所求， 【题型9】角平分线与全等三角形的综合证明(证线段和差) 1.核心知识点总结 辅助线：截长补短法(证，截长：在AB截；补短：延长AC至)。 2.高频考点梳理 证线段和(如)；证线段差(如)。 3.易错点警示 辅助线描述不清(如未说明“延长AC至F使”)；全等条件缺失。 4.解题技巧拆解 截长法：截→证ΔAED≌ΔACD→证→得。 【例题9】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 【变式题9-1】．（25-26八年级上·吉林·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”，是黄金角． (1)如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为　　　　； (2)图2中，在（1）的条件下，若，点到直线的距离是2，的面积是　　　　． (3)如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】(1) (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“共边黄金三角形”的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得点到直线的距离是2，再由三角形的面积公式解答即可； （3）证明，可得，再结合“共边黄金三角形”的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，与是“共边黄金三角形”，， ∴， ∵， ∴， 即与的“黄金角”的度数为； 故答案为： （2）解：∵，点到直线的距离是2， ∴点到直线的距离是2， ∵， ∴的面积是； 故答案为：5 （3）解：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∴． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若点在上，且，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的综合应用，结合角平分线的性质证明是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，证明，即可得证． （2）根据已知条件证明，得到，根据等量代换求解即可． 【详解】（1）证明： 平分，， ，，， 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： 由（1）知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可得：， ． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）过点作于点，于点，证明推出，利用角平分线的判定定理即可证明平分； （2）在上截取，连接．证明推出，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点， ． ，， ， ． ，， 平分； （2）证明：在上截取，连接． 由（1）得平分， ． ， ， ． ， ． ，， ， ． 【题型10】三角形内心的综合计算(含周长、面积、距离) 1.核心知识点总结 公式：，；RtΔ中。 2.高频考点梳理 直角三角形求r；已知面积与周长求r；求内心分割的小三角形面积。 3.易错点警示 记错RtΔ内心公式；面积公式漏。 4.解题技巧拆解 普通三角形用；RtΔ优先用简化计算。 【例题10】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)60 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是40，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是40， ∴， ∴． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 【答案】定理证明：见解析；定理应用：18． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； 定理证明：由题意易得，然后可得，进而问题可求证； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，点D，， ∴， ∴， ∵的周长是12，即， ∴； 故答案为18． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)小民的发现正确，理由见解析 (3)同意小兴， 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的性质定理和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点D，在和中，根据三角形三边关系列不等式，即可求解； （2）过点P作于点D,于点E,于点F，根据角平分线的性质定理及判定定理即可求解； （3）根据角平分线的性质定理，可得点P到，的距离也是，再根据 即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点D， 在中，①， 在中，②， 得：， ∴， 即； （2）解：小民的发现正确，理由如下： 过点P作于点D,于点E,于点F, ∵是的平分线，，， ∴， 同理∵是的平分线，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）解：同意小兴的看法， ∵点P到的距离为，分别是，，的平分线， ∴点P到，的距离也是， ∴ ． 【变式题10-3】．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（  ） A．15 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算即可； 【详解】过点作， 平分，， ， ， ． 故选． 4．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，是的角平分线，然后根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是内一点，且点到三边，，的距离相等，即， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，若点到的距离为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上点到角两边距离相等． 【详解】解：点是的角平分线交点， 点到的距离等于点到的距离， 到的距离为2， ， 故答案为：2． 7．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是中的角平分线，，，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，平分，，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据角平分线的性质作出辅助线，根据三角形的面积公式即可得到答案； 【详解】解：如图，过点D作交于点E， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， 的面积为； 故答案为：12． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 故答案为：32． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用证明，即可证明； （2）利用证明，可得，设，则，，即可建立方程求解． 【详解】（1）证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中 ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， 由（1）可知， 设， ，， ，， ， 解得：， 即． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 证明，可得，再由角平分线的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂线，角平分线的作图是解题的关键．根据高、角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：和即为所求． 14．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）过点E作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； （2）证明和，得，，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ∵，平分， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的平分线， 即平分； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由，，，得到，即可证明出，进而即可得到结论； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴，即； （3）如图所示，连接，过点作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识并应用． 学科网（北京）股份有限公司 $