专题14.1全等三角形及其性质（知识点总结+10大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.1全等三角形及其性质 【题型1】全等图形的判定与特征辨析 1.核心知识点总结 定义：能够完全重合的两个图形，需同时满足“形状相同”和“大小相等”，与平移、翻折、旋转后的位置无关。 特征：对应线段长度相等（如)、对应角度数相等(如)，面积和周长也相等；反之，仅形状相同(相似)或仅大小相等(等面积)的图形不全等。 2.高频考点梳理 基础识别：判断生活场景(同底片等尺寸照片)、网格中的全等图形。 简单应用：补全不完整的全等图形(如网格中补画另一半)。 3.易错点警示 混淆“全等”与“相似”：误将放大后的图形当作全等图形。 忽略“大小相等”：误将等面积但形状不同的图形当作全等图形。 4.解题技巧拆解 叠合法：想象折叠图形，判断是否完全重合。 特征对比法：先看形状(边数、角的类型)，再验证关键线段长度或角度。 【例题1】．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形，根据定义逐项判断即可．能够重合的两个图形是全等图形． 【详解】解：A.选项中的两个图形的大小不相等，不是全等图形，所以不符合题意． B.选项中的两个图形能够重合，是全等图形，所以符合题意． C.选项中的两个图形的大小不相等，形状不相同，不是全等图形，所以不符合题意． D.选项中的两个图形的大小不相等，不是全等图形，所以不符合题意． 故选：B． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）下列图形中与已知图形全等的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形全等的定义，能够重合的平面图形为全等图形，将各个选项图形与已知图形就行对比即可得到答案． 【详解】解：B选项的图形和已知图形能够重合，故两个图形全等，其他选项的图形均不能与已知图形完全重合． 故选：B． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）在下列各组图形中，属于全等形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．形状相同的两个三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．面积相等的两个图形 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题的关键，能够完全重合的两个图形叫做全等形．根据全等图形的定义分别判断得出即可． 【详解】解：A、两个周长相等的三角形，不一定属于全等形，故此选项不符合题意； B、形状相同的两个三角形，不一定属于全等形，故此选项不符合题意； C、能够完全重合的两个图形，一定属于全等形，故此选项符合题意； D、面积相等的两个图形，不一定属于全等形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个周长相等的图形一定是全等图形 C．全等三角形的角平分线相等 D．两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形：“能够完全重合的两个图形叫做全等形”根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B、两个周长相等的图形不一定是全等图形，故B错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角平分线的长度相等，故C错误，不符合题意； D、两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是等边三角形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【题型2】全等三角形对应元素的精准识别 1.核心知识点总结 对应元素：重合的顶点(如)、边(如)、角(如)，三者相互关联。 确定方法：①字母顺序法(，顶点按顺序对应)；②图形特征法(公共边/角为对应边/角，最长边最长边)；③位置关系法(对顶角为对应角)。 2.高频考点梳理 直接识别：根据符号找对应边(如，)、对应角。 图形推导：利用公共边(如，公共边为对应边)确定元素。 3.易错点警示 字母顺序错误：忽略中顶点顺序，如误将的对应。 漏找隐含关系：未发现公共边、公共角，如中漏认公共边。 4.解题技巧拆解 标字母法：用相同符号标注对应顶点(如和标“Δ”)，顺次连边确定对应关系。 排除法：先找最长边、最大角，再推导剩余元素。 【例题2】．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念．根据全等三角形的概念求解即可． 【详解】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 【变式题2-1】．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【变式题2-3】．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【题型3】全等三角形性质与线段长度计算 1.核心知识点总结 性质：全等三角形对应边相等(若，则，，)。 应用：结合线段和差(如、)计算未知线段。 2.高频考点梳理 直接计算：已知对应边，求另一组对应边(如，，则)。 间接计算：利用线段和差推导(如，，，求)。 3.易错点警示 混淆“对应边”与“对边”：误将单个三角形的“对边”(如的对边)当作对应边。 线段和差错误：忽略点的位置(如点在延长线上时，)。 4.解题技巧拆解 步骤化：①列对应边；②标已知长度；③用和差建等式求解。 验证法：计算后验证对应边是否相等，排除矛盾。 【例题3】．（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，已知（与，与分别对应），，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：5． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·期中）若，且的周长为20，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．6或9 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．先求出的长，再根据全等三角形的性质，对应边相等，得出的长即可． 【详解】解：的周长为20，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差． 根据全等三角形的性质得出，，再由线段的和差即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 【题型4】全等三角形与内角和的角度推导 1.核心知识点总结 性质：全等三角形对应角相等(若，则，，)。 关联定理：结合“三角形内角和”“平角”推导未知角。 2.高频考点梳理 直接推导：已知对应角，求另一组对应角(如，，则)。 综合推导：用内角和算未知角(如，，，则)。 3.易错点警示 漏用内角和：仅靠对应角相等，未验证。 对应角转化错：复杂图形中误将非对应角当作对应角(如，误认与对应)。 4.解题技巧拆解 标注法：用相同颜色标已知角和对应角。 公式化：先写“全等→对应角相等”，再列“”方程求解。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，边过点A且平分交于点D，，，求的度数． 【答案】36° 【分析】本题考查了全等三角形的性质，角平分线定义，对顶角相等，三角形内角和定理，通过全等三角形的性质证明是解题的关键．根据对顶角相等和三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和求出，最后根据全等三角形的性质求得． 【详解】， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题4-2】．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解， 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型5】全等三角形与周长的关联计算(提升) 1.核心知识点总结 性质：全等三角形周长相等()，因对应边之和相等；反之，周长相等的三角形不一定全等。 推导：未知对应边。 2.高频考点梳理 直接求周长：已知一个三角形周长，求全等三角形周长(如，则)。 间接求周长：已知部分对应边，求另一三角形周长(如，，，，则)。 3.易错点警示 周长组成错：漏加或重复加边(如误算)。 对应边匹配错：误将非对应边当作已知边(如，误认对应)。 4.解题技巧拆解 列表法：列对应边(等)，填已知边长，算未知边再求和。 逆向法：未知边已知对应边之和，验证对应边相等。 【例题5】．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形周长相等填空即可． 【详解】解：∵， ∴与形状和大小一致，能重合， ∴它们周长相等， 若的周长为 ，则的周长为 ． 故答案为：． 【变式题5-1】．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）若，，，，则的周长为 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求出、，根据三角形的周长公式计算．解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，是边上的高，点在上．若，，则的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据可得进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：48． 【变式题5-3】．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形组成一个大正方形．若，，则小正方形的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质和正方形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵是四个全等的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的周长为， 故答案为：4． 【题型6】全等三角形与面积的间接求解(提升) 1.核心知识点总结 性质：全等三角形面积相等()，因对应边相等且对应边上的高相等()；对应高、中线、角平分线相等。 转化：将不规则图形面积转化为全等的规则图形面积。 2.高频考点梳理 直接求面积：已知一个三角形面积，求全等三角形面积(如，则)。 间接求面积：已知对应边和高，求面积(如，，边上的高，则)。 3.易错点警示 高与边不对应：用非对应边上的高计算面积(如用的高算的面积)。 公式混淆：误将(忽略)。 4.解题技巧拆解 对应匹配：明确“底高”(如对应，则的高对应的高)。 转化法：，结合全等简化计算。 【例题6】．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 【变式题6-1】．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形，关键是由全等三角形的性质推出，． （1）由全等三角形的性质推出,,由邻补角的性质得到, 求出, 推出是等腰直角三角形； （2）求出的面积的面积, 得到的面积的面积,即可求出四边形的面积. 【详解】（1）证明: ∵, ∴,, ∵, ∴, ∴是等腰直角三角形； （2）解：， ∴的面积的面积, ∵, ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积． 【变式题6-2】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【答案】(1)90， (2)①；② 【分析】（1）根据旋转以及平移的性质即可作答； （2）①根据平移的性质得出，可得，即可作答； ②先得出是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质得出，最后根据四边形的面积代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，   绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）解：①∵，周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即 ∴， ∴四边形的面积 ， 【点睛】本题主要考查了旋转和平移的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及完全平方公式的应用等知识，掌握这些性质是解题的关键． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 【题型7】全等三角形与线段位置关系证明(提升) 1.核心知识点总结 关联性质：用对应角相等，结合平行(同位角/内错角相等)、垂直(夹角)的判定定理推导线段关系。 模型：“全等→对应角相等→同位角/内错角相等→平行”“全等→对应角相等→夹角→垂直”。 2.高频考点梳理 证明平行：如，(同位角)，故。 证明垂直：如，，故。 3.易错点警示 位置判定漏条件：仅证对应角相等，未说明是同位角/内错角。 角度转化错：误将对应角转化为同旁内角(导致平行判定错)。 4.解题技巧拆解 分步推导：①写“”；②指角的位置关系(同位角等)；③用判定定理得结论。 辅助线法：延长线段构造同位角/内错角，再结合全等推导。 【例题7】．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点D是上一点，交于点E． (1)探索与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ； （2）， ； ． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （3）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图1，已知，，点是上一点，且．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若把沿直线向左移动，使的顶点与点重合，与交于点． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2) ，理由见解析； . 【分析】根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，因为，可知，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可得：，从而可知； 仿照可得，从而可知； 根据平移的性质可知，根据，，可知． 【详解】（1）解：， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ； 解： ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用、平移的性质的运用、垂直的判定及性质的运用，解决本题的关键是利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 【题型8】全等三角形多结论判断问题(培优) 1.核心知识点总结 综合性质：需验证“对应边相等(如)”“对应角相等(如)”“平行/垂直(如)”“面积/周长相等(如)”等结论，结合公共边、对顶角等隐含条件。 2.高频考点梳理 多结论选择：如，判断①；②；③；④是否正确。 多结论填空：如，写3个正确结论(，，)。 3.易错点警示 结论推导不完整：漏验证延伸性质(如仅判对应边相等，漏)。 忽略隐含条件：漏认公共边(如中漏)。 4.解题技巧拆解 逐一验证：假设结论正确，用“全等性质+已知条件”推导(如①，，)。 排除法：先判明显错误的结论(如，若与非同位角则错)，再验证剩余结论。 【例题8】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 【变式题8-1】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【详解】解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴即． 故①②③④正确，正确结论的个数有4个 故选：D． 【变式题8-3】．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】连接，利用等边三角形的性质易得，由全等三角形的性质来判断；作于，利用三角形的面积得到随的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，来求解；利用得到进而求解；利用得到，当时，最小，的周长最小来求解． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ． ∵点是的中心， 分别平分和， ∴， ，即， 而，即， ． 在和中 ，故①正确； 作于，如上图，则． ， ， .，， , 即随的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ，故错误； ， ， ∴四边形的面积，保护不变，故正确； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，所以④正确. 故正确的有：． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 【题型9】全等三角形中的动点问题分析(培优) 1.核心知识点总结 动点模型：线段长度(为线段长，为速度，为时间)，结合“全等→对应边相等”列方程，需分情况讨论动点位置(线段上/延长线上)。 2.高频考点梳理 求时间：如长方形中，，从以向运动，从运动，当时，求(，得)。 求速度：已知时，求(，)。 3.易错点警示 漏分情况：未考虑动点在延长线上的位置(如过后，)。 单位混淆：忽略()与()的统一。 4.解题技巧拆解 动态画图：标不同时刻动点位置，用表示线段长度(如，)。 方程法：按“对应边相等”列方程(如，)，分情况验证(，线段非负)。 【例题9】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当 秒时，与全等． 【答案】4或或12． 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， 当时，则， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， 当时，则， 即， 解得； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：4或或12． 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论与全等的情况，根据全等三角形的对应边相等列方程求解． 先求出的长度，再分两种情况讨论与全等：当时；当，时．分别根据路程、速度、时间的关系求出时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：点为的中点，， ． 设运动时间为秒，点的速度为，则． 情况一：当时 此时． 由可得：， 解方程：． 则， 点的运动速度为； 情况二：当时 此时． 由可得：， 解方程：． 则， 点的运动速度为． 综上，点的运动速度为2或． 35．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6/6或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 36．（20-21八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一、下列每组剪纸是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的全等；根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：能够完全重合的两个图形，且大小和形状完全相同的图形是C， ∴全等图形的是C， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可直接求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 由图可知； 故选C． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，，，则为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，结合，，即可求解． 【详解】解： ， ， ，即， ，， ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，且，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的对应角相等求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，， ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质可得进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 8．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/ 度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据得到，在中，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得，， ∴， 故答案为： 9．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）图中的两个三角形全等，则等于 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据三角形的内角和定理求出角的度数，然后根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角度数为， 根据全等三角形的性质得， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·北京丰台·期中）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，，； (1)求证：； (2)若，求的度数？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用角角边即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，根据全等的性质，三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，点在边上，，连结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质．根据全等三角形的性质，可得，再由平行线的性质可得，即可求证． 【详解】证明：， ， ， ， ． 13．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点A，C，D，B在一条直线上，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质（对应边相等），运用直接推理思想．解题关键是利用全等三角形对应边相等得出，再结合线段的和差关系计算；易错点是对线段之间的位置关系判断错误，导致的计算式列错． 首先根据，由全等三角形对应边相等得．其次观察图形，，代入，最后计算得． 【详解】解：，，， ， ． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“全等三角形的性质”“三角形外角的性质”，利用全等三角形的性质求出所需边、角的大小是解题关键． 根据，可知，． （1）是的外角，故，代入即可求出的度数． （2）由，代入即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）解：∵， ∴． ∴． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？为什么？ 【答案】(1)的长为1； (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ．即是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1全等三角形及其性质 【题型1】全等图形的判定与特征辨析 1.核心知识点总结 定义：能够完全重合的两个图形，需同时满足“形状相同”和“大小相等”，与平移、翻折、旋转后的位置无关。 特征：对应线段长度相等（如)、对应角度数相等(如)，面积和周长也相等；反之，仅形状相同(相似)或仅大小相等(等面积)的图形不全等。 2.高频考点梳理 基础识别：判断生活场景(同底片等尺寸照片)、网格中的全等图形。 简单应用：补全不完整的全等图形(如网格中补画另一半)。 3.易错点警示 混淆“全等”与“相似”：误将放大后的图形当作全等图形。 忽略“大小相等”：误将等面积但形状不同的图形当作全等图形。 4.解题技巧拆解 叠合法：想象折叠图形，判断是否完全重合。 特征对比法：先看形状(边数、角的类型)，再验证关键线段长度或角度。 【例题1】．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）下列图形中与已知图形全等的是（） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）在下列各组图形中，属于全等形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．形状相同的两个三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．面积相等的两个图形 【变式题1-3】．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个周长相等的图形一定是全等图形 C．全等三角形的角平分线相等 D．两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是全等图形 【题型2】全等三角形对应元素的精准识别 1.核心知识点总结 对应元素：重合的顶点(如)、边(如)、角(如)，三者相互关联。 确定方法：①字母顺序法(，顶点按顺序对应)；②图形特征法(公共边/角为对应边/角，最长边最长边)；③位置关系法(对顶角为对应角)。 2.高频考点梳理 直接识别：根据符号找对应边(如，)、对应角。 图形推导：利用公共边(如，公共边为对应边)确定元素。 3.易错点警示 字母顺序错误：忽略中顶点顺序，如误将的对应。 漏找隐含关系：未发现公共边、公共角，如中漏认公共边。 4.解题技巧拆解 标字母法：用相同符号标注对应顶点(如和标“Δ”)，顺次连边确定对应关系。 排除法：先找最长边、最大角，再推导剩余元素。 【例题2】．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【变式题2-1】．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【题型3】全等三角形性质与线段长度计算 1.核心知识点总结 性质：全等三角形对应边相等(若，则，，)。 应用：结合线段和差(如、)计算未知线段。 2.高频考点梳理 直接计算：已知对应边，求另一组对应边(如，，则)。 间接计算：利用线段和差推导(如，，，求)。 3.易错点警示 混淆“对应边”与“对边”：误将单个三角形的“对边”(如的对边)当作对应边。 线段和差错误：忽略点的位置(如点在延长线上时，)。 4.解题技巧拆解 步骤化：①列对应边；②标已知长度；③用和差建等式求解。 验证法：计算后验证对应边是否相等，排除矛盾。 【例题3】．（25-26八年级上·海南三亚·期中）如图，已知（与，与分别对应），，则的值为 ． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·期中）若，且的周长为20，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．6或9 【变式题3-2】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式题3-3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 【题型4】全等三角形与内角和的角度推导 1.核心知识点总结 性质：全等三角形对应角相等(若，则，，)。 关联定理：结合“三角形内角和”“平角”推导未知角。 2.高频考点梳理 直接推导：已知对应角，求另一组对应角(如，，则)。 综合推导：用内角和算未知角(如，，，则)。 3.易错点警示 漏用内角和：仅靠对应角相等，未验证。 对应角转化错：复杂图形中误将非对应角当作对应角(如，误认与对应)。 4.解题技巧拆解 标注法：用相同颜色标已知角和对应角。 公式化：先写“全等→对应角相等”，再列“”方程求解。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，边过点A且平分交于点D，，，求的度数． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【变式题5-2】．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，则 ． 【题型5】全等三角形与周长的关联计算(提升) 1.核心知识点总结 性质：全等三角形周长相等()，因对应边之和相等；反之，周长相等的三角形不一定全等。 推导：未知对应边。 2.高频考点梳理 直接求周长：已知一个三角形周长，求全等三角形周长(如，则)。 间接求周长：已知部分对应边，求另一三角形周长(如，，，，则)。 3.易错点警示 周长组成错：漏加或重复加边(如误算)。 对应边匹配错：误将非对应边当作已知边(如，误认对应)。 4.解题技巧拆解 列表法：列对应边(等)，填已知边长，算未知边再求和。 逆向法：未知边已知对应边之和，验证对应边相等。 【例题5】．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，若的周长为，则的周长为 ． 【变式题5-1】．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）若，，，，则的周长为 【变式题5-2】．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，是边上的高，点在上．若，，则的周长为 ． 【变式题5-3】．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形组成一个大正方形．若，，则小正方形的周长为 ． 【题型6】全等三角形与面积的间接求解(提升) 1.核心知识点总结 性质：全等三角形面积相等()，因对应边相等且对应边上的高相等()；对应高、中线、角平分线相等。 转化：将不规则图形面积转化为全等的规则图形面积。 2.高频考点梳理 直接求面积：已知一个三角形面积，求全等三角形面积(如，则)。 间接求面积：已知对应边和高，求面积(如，，边上的高，则)。 3.易错点警示 高与边不对应：用非对应边上的高计算面积(如用的高算的面积)。 公式混淆：误将(忽略)。 4.解题技巧拆解 对应匹配：明确“底高”(如对应，则的高对应的高)。 转化法：，结合全等简化计算。 【例题6】．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【变式题6-1】．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式题6-2】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【题型7】全等三角形与线段位置关系证明(提升) 1.核心知识点总结 关联性质：用对应角相等，结合平行(同位角/内错角相等)、垂直(夹角)的判定定理推导线段关系。 模型：“全等→对应角相等→同位角/内错角相等→平行”“全等→对应角相等→夹角→垂直”。 2.高频考点梳理 证明平行：如，(同位角)，故。 证明垂直：如，，故。 3.易错点警示 位置判定漏条件：仅证对应角相等，未说明是同位角/内错角。 角度转化错：误将对应角转化为同旁内角(导致平行判定错)。 4.解题技巧拆解 分步推导：①写“”；②指角的位置关系(同位角等)；③用判定定理得结论。 辅助线法：延长线段构造同位角/内错角，再结合全等推导。 【例题7】．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点D是上一点，交于点E． (1)探索与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图1，已知，，点是上一点，且．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若把沿直线向左移动，使的顶点与点重合，与交于点． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求四边形的面积． 【题型8】全等三角形多结论判断问题(培优) 1.核心知识点总结 综合性质：需验证“对应边相等(如)”“对应角相等(如)”“平行/垂直(如)”“面积/周长相等(如)”等结论，结合公共边、对顶角等隐含条件。 2.高频考点梳理 多结论选择：如，判断①；②；③；④是否正确。 多结论填空：如，写3个正确结论(，，)。 3.易错点警示 结论推导不完整：漏验证延伸性质(如仅判对应边相等，漏)。 忽略隐含条件：漏认公共边(如中漏)。 4.解题技巧拆解 逐一验证：假设结论正确，用“全等性质+已知条件”推导(如①，，)。 排除法：先判明显错误的结论(如，若与非同位角则错)，再验证剩余结论。 【例题8】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题8-1】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【变式题8-2】．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题8-3】．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【题型9】全等三角形中的动点问题分析(培优) 1.核心知识点总结 动点模型：线段长度(为线段长，为速度，为时间)，结合“全等→对应边相等”列方程，需分情况讨论动点位置(线段上/延长线上)。 2.高频考点梳理 求时间：如长方形中，，从以向运动，从运动，当时，求(，得)。 求速度：已知时，求(，)。 3.易错点警示 漏分情况：未考虑动点在延长线上的位置(如过后，)。 单位混淆：忽略()与()的统一。 4.解题技巧拆解 动态画图：标不同时刻动点位置，用表示线段长度(如，)。 方程法：按“对应边相等”列方程(如，)，分情况验证(，线段非负)。 【例题9】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当 秒时，与全等． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【变式题9-3】．（20-21八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一、下列每组剪纸是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知，，，那么（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，，，则为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，且，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，，则 ． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，， ． 8．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，，若，，则的度数为 ． 9．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）图中的两个三角形全等，则等于 ．    10．（23-24八年级上·北京丰台·期中）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，，； (1)求证：； (2)若，求的度数？ 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，点在边上，，连结．求证：． 13．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点A，C，D，B在一条直线上，，，，求的长． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，． (1)求的度数； (2)求的长． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $