九年级数学上学期期中模拟押题卷（进阶卷）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 进阶卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第1~3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 2．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）有四个命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线相等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④中，，，，则边上的中线中，正确的有（   ） A．① ③ B．② ③ C．② ④ D．① ② ③ 5．（2024九年级下·浙江·期中）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口向运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为足够长，多少秒后他们再次取得联系？（    ） A． B． C． D．不会再取得联系 8．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，，，，，点P在边上运动且不与点A、D重合，连接，取的中点E，过点P作，垂足为点F，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 13．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，，将线段绕点D逆时针旋转至位置，连接，的面积为 ． 14．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）已知方程的两个根分别为，设（n为自然数），则的值为 ． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是 ． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是 ． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是方程的两个实数根，则 ， ，求代数式的值． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数为m，乙转盘中指针所指区域内的数为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）． (1)请你用画树状图法或列表法求出的概率． (2)点在函数图象上的概率为______． 19．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 20．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 21．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 22．（25-26九年级上·福建泉州·期中）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 23．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． (1)如图1，当点F恰好落在边上时，的长为 ； (2)如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为 ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； (3)设的面积为S，则S的取值范围为 ． 24．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，连接、，判断与的关系，并证明． (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 进阶卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第1~3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，未知数表示出这三个连续偶数列出方程是解题的关键．设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、，然后根据它们的平方和等于56列出方程，解之即可． 【详解】解：设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、， 根据题意可得， 解得， ∴这三个数分别为、、或2、4、6． 故选：C． 2．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理；掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可求，根据勾股定理求出长解题即可． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度是， 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）有四个命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线相等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④中，，，，则边上的中线中，正确的有（   ） A．① ③ B．② ③ C．② ④ D．① ② ③ 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理判断①，根据矩形的性质判断②，根据正方形的判定定理判断③，根据勾股定理逆定理，直角三角形的性质判断④． 【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①错误； ②矩形的对角线相等，②正确； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③错误； ④中，，，，因为，即， 所以是直角三角形，是斜边，边上的中线，④正确； 综上，正确的有② ④． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，矩形的性质，正方形的判定理，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，掌握菱形、正方形的判定定理，勾股定理逆定理，直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2024九年级下·浙江·期中）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．设 ，，则，证明四边形是平行四边形，可得 ，再根据三角形的面积公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴可设 ，，则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴  ， ∴ 与 的面积之和为 ； 与 的面积之和为 ； 四边形 与 的面积之和为 ； 的面积为 ； 故选：A． 6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口向运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为足够长，多少秒后他们再次取得联系？（    ） A． B． C． D．不会再取得联系 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；设秒后他们再次取得联系，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设秒后他们再次取得联系，依题意得，米，再次取得联系时他们相距米， ， 解得：（舍去） 答：秒后他们再次取得联系， 故选：B． 8．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故①符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故②不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，一元二次方程的解法，数字的变化规律等，解题的关键是根据题意分别确定，第一项至第四项，再总结规律，利用规律解题． 9．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可． 【详解】解：菱形， ∴， 连接， 当P为中点时，则：， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ，， ∴， ∴；故②正确； ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； 连接，过点作，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④错误； 连接，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的最大值为；故⑤错误； 故选B． 10．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，，，，，点P在边上运动且不与点A、D重合，连接，取的中点E，过点P作，垂足为点F，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据平行线的判定和性质得出，根据如果两个三角形中有两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，，推得当的值最小时，的值最小；根据等腰直角三角形的定义和性质得出，设，求得，，，，根据勾股定理得出，推得当时，的值最小为，即可求出的最小值为，的最小值为． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， 故， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， 故， ∵，，， ∴， ∴，， 故， 当的值最小时，的值最小； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ， ， 在中，， 故， 整理得：， 当时，的值最小为， 此时的最小值为， 故， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系；利用方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． 则 ． 代入 ，得 ． 原式 ． 由根与系数的关系，方程 的两根之和为 ． ∴ 原式 ． 故答案为：． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 【答案】8 【分析】本题考查了列举法列举所有等可能结果，解题的关键是理解“蜜蜂只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行”． 本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所有可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法． 【详解】解：本题可分两种情况： ①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有： 一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4； 共有3种爬法； ②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有： 一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4； 三、0⇒1⇒2⇒4；四、0⇒1⇒3⇒4；五、0⇒1⇒3⇒2⇒4； 共5种爬法； 因此不同的爬法共有3+5=8种． 故答案为8． 13．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，，将线段绕点D逆时针旋转至位置，连接，的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题重点考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识．作于点G，作交的延长线于点F，可证明四边形是矩形，得，，则，，由旋转得，，即可证明，得，即可求得． 【详解】解：作于点G，作交的延长线于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：2． 14．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）已知方程的两个根分别为，设（n为自然数），则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，因式分解的应用，根据一元二次方程根的定义得出，，根据题意，得，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴，， 根据题意，得，，， ∴ ， 故答案为：0． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为1，即可得到答案． 【详解】解：连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，则小正方形的边长为，正方形的边长为b，正方形的边长为a，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，则小正方形的边长为，正方形的边长为b，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴，，． ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴． ∴． ∴．故②错误； ∵，， ∴．即． ∴． ∴，故③正确； ∵点A是线段的中点， ∴，即， ∴． ∴． ∴，故④不正确； 综上，正确的是①③． 故答案是①③． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是方程的两个实数根，则 ， ，求代数式的值． 【答案】；； 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根与系数的关系求出，，将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数为m，乙转盘中指针所指区域内的数为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）． (1)请你用画树状图法或列表法求出的概率． (2)点在函数图象上的概率为______． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、反比例函数，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据题意列表，然后求得所有等可能情况数，以及符合题意的情况数，根据概率公式求解即可； （2）根据（1）中的表格，找出符合题意的情况数，由概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意列表如下： -1 0 1 2 -1 (-1，-1) (-1，0) (-1，1) (-1，2) -2 (-2，-1) (-2，0) (-2，1) (-2，2) 1 (1，-1) (1，0) (1，1) (1，2) 由表格可知，所有等可能的结果有种，其中的结果有种， 的概率． （2）解：点在函数图象上的有：，，共种情况， ∴点在函数图象上的概率为． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 20．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质以及平行线的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质和菱形的性质． 21．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【答案】(1)0.58 (2)0.6 (3) 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【详解】（1）解：表中， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 22．（25-26九年级上·福建泉州·期中）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 【答案】(1)第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克 (2)m的值为10 【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，根据购买的总价列出方程求解即可； （2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克， 依题意得， 解得 当时，． 答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克； （2）解：依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：m的值为10． 23．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． (1)如图1，当点F恰好落在边上时，的长为 ； (2)如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为 ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； (3)设的面积为S，则S的取值范围为 ． 【答案】(1)1 (2)，，证明见解析 (3) 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出即可解决问题． （2）首先证明，设，则，在中，，构建方程求出m即可解决问题． （3）如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长，求解，可得的最大面积为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长， ∵矩形，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴的最大面积为， 当共线时，面积记为， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理，圆的基本性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，连接、，判断与的关系，并证明． (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 【答案】(1)且；证明见详解 (2)①； ②的值为或 【分析】（1）连接、后延长至，交于点，根据正方形的性质和全等三角形的性质和判定可得，再根据推出，即可证明． （2）①∵根据题意结合正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，再根据当时，正方形与重合部分为五边形，可列式，代入数值化简即可． ②分成，，，，五种情况时，令重合部分面积等于，即可求解． 【详解】（1）且． 证明：连接、后延长至，交于点，如图： ∵四边形是正方形，顶点，，点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故且． （2）解：①∵，，， ∴，， 由平移知，四边形是正方形，得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，正方形与重合部分为五边形， ， ∴． ②当时，则有， 由题意得， 解得：，不符题意； 当时， 由题意得， 解得或（不符题意，舍去）； 当时，有， ∴， ∴， ， 解得：（不符题意，舍去）和（不符题意，舍去）； 当时，点与点重合， 此时，不符合题意； 当时， ∴， 由题意得， 解得：或（舍去）； 综上，的值是或． 【点睛】本题考查了平移，正方形的性质，解一元二次方程，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 进阶卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第1~3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 2．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）有四个命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线相等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④中，，，，则边上的中线中，正确的有（   ） A．① ③ B．② ③ C．② ④ D．① ② ③ 5．（2024九年级下·浙江·期中）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口向运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为足够长，多少秒后他们再次取得联系？（    ） A． B． C． D．不会再取得联系 8．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，，，，，点P在边上运动且不与点A、D重合，连接，取的中点E，过点P作，垂足为点F，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 13．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，，将线段绕点D逆时针旋转至位置，连接，的面积为 ． 14．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）已知方程的两个根分别为，设（n为自然数），则的值为 ． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是 ． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是 ． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是方程的两个实数根，则 ， ，求代数式的值． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数为m，乙转盘中指针所指区域内的数为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）． (1)请你用画树状图法或列表法求出的概率． (2)点在函数图象上的概率为______． 19．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 20．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 21．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 22．（25-26九年级上·福建泉州·期中）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 23．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． (1)如图1，当点F恰好落在边上时，的长为 ； (2)如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为 ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； (3)设的面积为S，则S的取值范围为 ． 24．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，连接、，判断与的关系，并证明． (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 进阶卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D C A A B D B B 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．2028 12．8 13．2 14．0 15.1 16．①③ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分） 【答案】；； 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根与系数的关系求出，，将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 18． （本题8分） 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、反比例函数，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据题意列表，然后求得所有等可能情况数，以及符合题意的情况数，根据概率公式求解即可； （2）根据（1）中的表格，找出符合题意的情况数，由概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意列表如下： -1 0 1 2 -1 (-1，-1) (-1，0) (-1，1) (-1，2) -2 (-2，-1) (-2，0) (-2，1) (-2，2) 1 (1，-1) (1，0) (1，1) (1，2) 由表格可知，所有等可能的结果有种，其中的结果有种， 的概率． （2）解：点在函数图象上的有：，，共种情况， ∴点在函数图象上的概率为． 故答案为：． 19．（本题8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 20．（本题8分） 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质以及平行线的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质和菱形的性质． 21．（本题8分） 【答案】(1)0.58 (2)0.6 (3) 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【详解】（1）解：表中， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 22．（本题10分） 【答案】(1)第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克 (2)m的值为10 【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，根据购买的总价列出方程求解即可； （2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克， 依题意得， 解得 当时，． 答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克； （2）解：依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：m的值为10． 23．（本题10分） 【答案】(1)1 (2)，，证明见解析 (3) 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出即可解决问题． （2）首先证明，设，则，在中，，构建方程求出m即可解决问题． （3）如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长，求解，可得的最大面积为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长， ∵矩形，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴的最大面积为， 当共线时，面积记为， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理，圆的基本性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24．（本题12分） 【答案】(1)且；证明见详解 (2)①； ②的值为或 【分析】（1）连接、后延长至，交于点，根据正方形的性质和全等三角形的性质和判定可得，再根据推出，即可证明． （2）①∵根据题意结合正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，再根据当时，正方形与重合部分为五边形，可列式，代入数值化简即可． ②分成，，，，五种情况时，令重合部分面积等于，即可求解． 【详解】（1）且． 证明：连接、后延长至，交于点，如图： ∵四边形是正方形，顶点，，点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故且． （2）解：①∵，，， ∴，， 由平移知，四边形是正方形，得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，正方形与重合部分为五边形， ， ∴． ②当时，则有， 由题意得， 解得：，不符题意； 当时， 由题意得， 解得或（不符题意，舍去）； 当时，有， ∴， ∴， ， 解得：（不符题意，舍去）和（不符题意，舍去）； 当时，点与点重合， 此时，不符合题意； 当时， ∴， 由题意得， 解得：或（舍去）； 综上，的值是或． 【点睛】本题考查了平移，正方形的性质，解一元二次方程，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $