九年级数学上学期期中模拟押题卷（基础卷）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 基础卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第1~3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若，且千米，在上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图是一块大正方形地板砖，其图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成，若大正方形地板砖的边长为，是的中点，则图案中小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 6．（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·北京·阶段练习）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图1，乳钉纹方鼎是商代的铜鼎，现收藏于山西省博物馆，通高，口边长为的正方形(图2)，为对角线的交点，则 ．(结果保留根号) 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 13．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，边的长是方程的一个根．点在边上，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，设运动时间为秒()，当时， 秒． 15．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 16．（24-25八年级下·浙江·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在①；②4；③中任选两个代数式用“”连接组成方程．选择你喜欢的一个方程求解． 18．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）因国产游戏《黑神话：悟空》和电影《浪浪山小妖怪》中山西元素带动，文化IP效应快速转化为旅游热度，古建大省山西成为热门旅游目的地．晋祠，云冈石窟，忻州古城，五台山作为山西的地标建筑颇受游客们的喜爱．初三某班开展以“华夏古文明，山西好风光”为主题的班会，请学生们从以上四个景点中随机抽出两个景点介绍，求小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 19．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知． (1)如图，是上一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，连结，．求证：四边形是平行四边形． (2)图中的四个顶点在的边上，这样的四边形叫的内接四边形．在图中用直尺和圆规作一个的内接菱形保留作图痕迹． 20．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 21．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式．配方法在解最值方面有广泛应用．如：． 应用：空地上有一段长为20米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为80米． (1)如图1，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏，且围成的矩形菜园面积为512平方米．求所利用旧墙的长； (2)按图2方式也可围成一个矩形菜园．要使所围成的矩形菜园的面积最大，图1、图2两种方式应采用哪种方式，并求面积的最大值． 22．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某农户准备利用一面长为的墙，用总长度为的篱笆围成一个矩形养鸡场．鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成矩形的鸡场四周不能有空隙． (1)若要围成鸡场的面积为，求鸡场的长和宽； (2)某超市购进该农户养的鸡，其成本价为每只鸡元．该超市计划以每只鸡元的价格出售，预计每天可售出只．经过市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出只鸡．若该超市希望每天销售鸡的利润达到元，那么每只鸡的售价应定为多少元？ 23．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，矩形纸片中，将它沿折叠，使C与A重合，若，且，试求：    (1)线段、的长； (2)若将折叠后的纸片平放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？ 24．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 基础卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C C C B A B D 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13．/60度 14． 15.3 16．①③ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，任选两个代数式用“”连接组成方程再解方程即可· 【详解】解：选择一、由①②组成方程组得：， ， ， 选择二、由②③组成方程组得：， ∴， ∴，， 选择三、由①③组成方程组得：， ，， 方程无实数解 18．（本题8分） 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先理解题意，再运用列表法把所有情况表达出来，得出一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小明恰好抽到晋祠和五台山景点的结果有2种，即可求出小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 【详解】解：依题意，小明抽取景点的结果列表如下： 第一次第二次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小明恰好抽到晋祠和五台山景点的结果有2种， ∴（小明介绍晋祠和五台山景点的概率）． 19．（本题8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 对于（1），由题意可知，再根据平行四边形的性质可得，则可知四边形是平行四边形． 对于（2），结合平行四边形的性质、菱形的性质画图即可． 【详解】（1）证明：由作图可得， 四边形为平行四边形， ∴，即， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， 则菱形即为所求答案不唯一． 由作图可知： ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 20．（本题8分） 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求． （2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求： （2）解：设交于点O， 由（1）可得，，． ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴ ∴ ∴， ∴四边形AFCE的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（本题8分） 【答案】(1)所利用旧墙的长为16米 (2)应采用图2方式，面积的最大值为625平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键． （1）设的长为x米，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意表示出图1和图2方式所围成矩形的面积，然后求解判断即可． 【详解】（1）设的长为x米， 依题意得， 整理得， 解得（舍去） 答：所利用旧墙AD的长为16米； （2）图1方式所围成矩形的面积为： 当越小，面积越大． ∵， ∴， ∴当时，面积最大，最大面积为：（平方米）， 图2方式所围成矩形面积为： 同理可得，当时，面积最大为625 又∵，符合题意． 综上所述，应采用图2方式，面积的最大值为625平方米． 22．（本题10分） 【答案】(1)长为，宽为 (2)元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）设的长为 ，则，根据围成鸡场的面积为，建立一元二次方程，解方程，并根据题意取舍的值，即可求解； （2）设售价降低元，则售价定为元，根据天销售鸡的利润达到元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为 ，则， 得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 所以，鸡场的长为，宽为； （2）解：设售价降低元，则售价定为元， 得． 解得．此时． 所以，每只鸡的售价应定为元． 23．（本题10分） 【答案】(1)线段AB、EF的长分别为4cm、 (2)纸片覆盖桌面的面积是 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠得垂直平分AC，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，可证明四边形是菱形，由，求得 （2）设点D的对应点为点H，连结、，则，，可根据“”证明，由，，求得，由，，求得，则，所以纸片覆盖桌面的面积是 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， 将矩形沿折叠，C与A重合，且， 垂直平分AC， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得， 线段、的长分别为、 （2）设点D的对应点为点，连结、，则，，   ， ， ， ，， ， ，， ， ， 纸片覆盖桌面的面积是 24．（本题12分） 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 基础卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第1~3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若，且千米，在上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图是一块大正方形地板砖，其图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成，若大正方形地板砖的边长为，是的中点，则图案中小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 6．（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·北京·阶段练习）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图1，乳钉纹方鼎是商代的铜鼎，现收藏于山西省博物馆，通高，口边长为的正方形(图2)，为对角线的交点，则 ．(结果保留根号) 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 13．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，边的长是方程的一个根．点在边上，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，设运动时间为秒()，当时， 秒． 15．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 16．（24-25八年级下·浙江·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在①；②4；③中任选两个代数式用“”连接组成方程．选择你喜欢的一个方程求解． 18．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）因国产游戏《黑神话：悟空》和电影《浪浪山小妖怪》中山西元素带动，文化IP效应快速转化为旅游热度，古建大省山西成为热门旅游目的地．晋祠，云冈石窟，忻州古城，五台山作为山西的地标建筑颇受游客们的喜爱．初三某班开展以“华夏古文明，山西好风光”为主题的班会，请学生们从以上四个景点中随机抽出两个景点介绍，求小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 19．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知． (1)如图，是上一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，连结，．求证：四边形是平行四边形． (2)图中的四个顶点在的边上，这样的四边形叫的内接四边形．在图中用直尺和圆规作一个的内接菱形保留作图痕迹． 20．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 21．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式．配方法在解最值方面有广泛应用．如：． 应用：空地上有一段长为20米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为80米． (1)如图1，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏，且围成的矩形菜园面积为512平方米．求所利用旧墙的长； (2)按图2方式也可围成一个矩形菜园．要使所围成的矩形菜园的面积最大，图1、图2两种方式应采用哪种方式，并求面积的最大值． 22．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某农户准备利用一面长为的墙，用总长度为的篱笆围成一个矩形养鸡场．鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成矩形的鸡场四周不能有空隙． (1)若要围成鸡场的面积为，求鸡场的长和宽； (2)某超市购进该农户养的鸡，其成本价为每只鸡元．该超市计划以每只鸡元的价格出售，预计每天可售出只．经过市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出只鸡．若该超市希望每天销售鸡的利润达到元，那么每只鸡的售价应定为多少元？ 23．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，矩形纸片中，将它沿折叠，使C与A重合，若，且，试求：    (1)线段、的长； (2)若将折叠后的纸片平放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？ 24．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟押题卷 基础卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第1~3章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：∵菱形的对角线分别为和， 则菱形的面积是， 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若，且千米，在上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵水源D到A，C两个村庄的距离相等， ∴（千米）， 故选：C． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图是一块大正方形地板砖，其图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成，若大正方形地板砖的边长为，是的中点，则图案中小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，推导出是解题的关键． 设，、、为大正方形的三个顶点，、为五边形的顶点，因为大正方形由四个全等的五边形和一个小正方形组成，大正方形的边长为，所以，，，，则四边形是矩形，所以，，可证明，由，得，则，求得，所以小正方形的边长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，、、为大正方形的三个顶点，、为五边形的顶点，则， 大正方形由四个全等的五边形和一个小正方形组成，大正方形的边长为， ，，，， 四边形是矩形， ，， ，，且， ， ， ， 是的中点， ， ， 解得， 小正方形的边长为， 故选：B． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 【答案】C 【分析】根据四边形周长及面积公式即可解答本题，注意两四边形底边为同边AD 【详解】∵沿方向平移得到． ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∵． ∴四边形与四边形周长不相等． ∵四边形与四边形底边同为AD，且高相等． ∴四边形与四边形面积相等． 故本题选择C 【点睛】本题考查了平移的性质及四边形的周长、面积公式，正确掌握上述知识点是解答本题的关键． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 6．（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 【详解】解：， ； 按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解． 故选：B 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据已知列表得出所有结果，进而得出满足条件的点的个数为8个，即可求出点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率． 【详解】解：根据题意列表得出： 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ∵数对对应平面直角坐标系内的点Q，点Q落在以原点为圆心， 半径为的圆上或圆内的横坐标、纵坐标的平方和小于或等于5， ∴满足横、纵坐标的平方和小于或等于5的点有、、、、、、、， ∴满足条件的点的个数为：8个，且所有的点由表可得共计36个， ∴点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为：． 故选：A． 9．（25-26八年级上·北京·阶段练习）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程判别式的应用．将已知方程展开并整理成关于a的一元二次方程，结合判别式分析得出的比例关系，代入的表达式比较大小即可． 【详解】解：原方程展开并整理为：， 将方程视为关于a的一元二次方程：， ， 由题可知方程有解，故判别式非负，故， 此时方程的解为， 设，则，则： ， ， ， 因此，， 故选：B． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图1，乳钉纹方鼎是商代的铜鼎，现收藏于山西省博物馆，通高，口边长为的正方形(图2)，为对角线的交点，则 ．(结果保留根号) 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 根据正方形性质得，，，再根据勾股定理求出，进而即可得出的长． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方及零次幂，熟练掌握有理数的乘方运算及零次幂是解题的关键．根据 进行求解即可． 【详解】解：， ，解得． 故答案为： ． 13．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍，可得，结合菱形的性质，得到，即是等边三角形，即可得到． 【详解】解： 当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍， ， 又 四边形是菱形， ，， ，即是等边三角形， ， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，边的长是方程的一个根．点在边上，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，设运动时间为秒()，当时， 秒． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，全等三角形的性质，先解方程可得，即得，又可知当时，，即得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：解方程，得，（不合，舍去）， ∴， ∵， ∴， 如图，当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 16．（24-25八年级下·浙江·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程进行验证，从而判断③． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在①；②4；③中任选两个代数式用“”连接组成方程．选择你喜欢的一个方程求解． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，任选两个代数式用“”连接组成方程再解方程即可· 【详解】解：选择一、由①②组成方程组得：， ， ， 选择二、由②③组成方程组得：， ∴， ∴，， 选择三、由①③组成方程组得：， ，， 方程无实数解 18．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）因国产游戏《黑神话：悟空》和电影《浪浪山小妖怪》中山西元素带动，文化IP效应快速转化为旅游热度，古建大省山西成为热门旅游目的地．晋祠，云冈石窟，忻州古城，五台山作为山西的地标建筑颇受游客们的喜爱．初三某班开展以“华夏古文明，山西好风光”为主题的班会，请学生们从以上四个景点中随机抽出两个景点介绍，求小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先理解题意，再运用列表法把所有情况表达出来，得出一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小明恰好抽到晋祠和五台山景点的结果有2种，即可求出小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 【详解】解：依题意，小明抽取景点的结果列表如下： 第一次第二次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小明恰好抽到晋祠和五台山景点的结果有2种， ∴（小明介绍晋祠和五台山景点的概率）． 19．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知． (1)如图，是上一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，连结，．求证：四边形是平行四边形． (2)图中的四个顶点在的边上，这样的四边形叫的内接四边形．在图中用直尺和圆规作一个的内接菱形保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 对于（1），由题意可知，再根据平行四边形的性质可得，则可知四边形是平行四边形． 对于（2），结合平行四边形的性质、菱形的性质画图即可． 【详解】（1）证明：由作图可得， 四边形为平行四边形， ∴，即， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， 则菱形即为所求答案不唯一． 由作图可知： ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 20．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求． （2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求： （2）解：设交于点O， 由（1）可得，，． ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴ ∴ ∴， ∴四边形AFCE的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式．配方法在解最值方面有广泛应用．如：． 应用：空地上有一段长为20米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为80米． (1)如图1，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏，且围成的矩形菜园面积为512平方米．求所利用旧墙的长； (2)按图2方式也可围成一个矩形菜园．要使所围成的矩形菜园的面积最大，图1、图2两种方式应采用哪种方式，并求面积的最大值． 【答案】(1)所利用旧墙的长为16米 (2)应采用图2方式，面积的最大值为625平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键． （1）设的长为x米，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意表示出图1和图2方式所围成矩形的面积，然后求解判断即可． 【详解】（1）设的长为x米， 依题意得， 整理得， 解得（舍去） 答：所利用旧墙AD的长为16米； （2）图1方式所围成矩形的面积为： 当越小，面积越大． ∵， ∴， ∴当时，面积最大，最大面积为：（平方米）， 图2方式所围成矩形面积为： 同理可得，当时，面积最大为625 又∵，符合题意． 综上所述，应采用图2方式，面积的最大值为625平方米． 22．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某农户准备利用一面长为的墙，用总长度为的篱笆围成一个矩形养鸡场．鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成矩形的鸡场四周不能有空隙． (1)若要围成鸡场的面积为，求鸡场的长和宽； (2)某超市购进该农户养的鸡，其成本价为每只鸡元．该超市计划以每只鸡元的价格出售，预计每天可售出只．经过市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出只鸡．若该超市希望每天销售鸡的利润达到元，那么每只鸡的售价应定为多少元？ 【答案】(1)长为，宽为 (2)元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）设的长为 ，则，根据围成鸡场的面积为，建立一元二次方程，解方程，并根据题意取舍的值，即可求解； （2）设售价降低元，则售价定为元，根据天销售鸡的利润达到元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为 ，则， 得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 所以，鸡场的长为，宽为； （2）解：设售价降低元，则售价定为元， 得． 解得．此时． 所以，每只鸡的售价应定为元． 23．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，矩形纸片中，将它沿折叠，使C与A重合，若，且，试求：    (1)线段、的长； (2)若将折叠后的纸片平放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？ 【答案】(1)线段AB、EF的长分别为4cm、 (2)纸片覆盖桌面的面积是 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠得垂直平分AC，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，可证明四边形是菱形，由，求得 （2）设点D的对应点为点H，连结、，则，，可根据“”证明，由，，求得，由，，求得，则，所以纸片覆盖桌面的面积是 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， 将矩形沿折叠，C与A重合，且， 垂直平分AC， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得， 线段、的长分别为、 （2）设点D的对应点为点，连结、，则，，   ， ， ， ，， ， ，， ， ， 纸片覆盖桌面的面积是 24．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $