15.3.2 等边三角形-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学同步练习册（人教版·新教材）

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 A 基础过关练 测试时间：15分钟 7.如图，已知△BDE是等边三角形，∠ABD= ∠ADB=15°，∠BDC=30°，∠CBD=45°. 1.给出下列几种三角形：①有两个角为60°的三 求证：△ABC是等边三角形 角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上 的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一 个角为60°的等腰三角形.其中是等边三角形 的有(). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.如图，△ABC是等边三角形， 且BD=CE,∠1=15°，则∠2 的度数为( ). A.15° B.30° C.45° D.60° 乃中考提能练 测试时间：30分钟 3.已知直线1∥几2，将等边三角形按如图所示方 8.(经典·广西玉林中考) 式放置，若∠α=40°，则∠3等于 如图，∠AOB=60°，OA =OB,动点C从点O出 发，沿射线OB的方向移O 动，以AC为边在右侧作等边△ACD,连接 BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置 第3题图 第4题图 关系是( 4.如图，点P是等边△ABC内的一点，若将 A.平行 B.相交 △PAC绕点A逆时针旋转到△P'AB的位 C.垂直 D.平行、相交或垂直 置，则∠AP'P= 9.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条 5.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP 边长度的一半，则其顶角等于(). =12,点M,N在边OB上，PM=PN,若MN A.30° B.30°或150° =2,则OM= C.30°或120° D.30或120°或150 10.如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平 分线，BE平分∠ABD交AD于点E,连接 CE,有下列结论：①BE=AE;②BD=AE; 0人60° -B ③AE=2DE;④S△ABE=S△CBE.其中正确的 第5题图 第6题图 结论是 (填序号)： 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，AB=6.点D在AB边上，点E在BC边上 (不与点B,C重合)，且DA=DE,则AD的取 值范围是 33 重难点手册人年级数学上册) 11.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠EDC=∠BAC, (2)拓展探究： 且D为BC的中点，DE=CE,则AE:AB= 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直 线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接 BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE, BE之间的数量关系，并说明理由、 第11题图 第12题图 12.如图，∠A=60°，BDLAC于点D,CE⊥AB于 D 点E,BD,CE相交于点F,若FD=1cm,FE 图 图2 =2cm,则BD= ,CE= 13.如图，△ABD与△CDE都是等边三角形，若 BE与AC相交于点F. (1)求∠BFA的度数； (2)连接FD,求证：FD平分∠AFE, 15.如图，在等边△ABC中，AE=CD,AD,BE 交于点P,BQ⊥AD于点Q, (1)求证：BP=2PQ; (2)连接PC,若BPLPC,求 PQ的值 14.请回答下列问题： (1)问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形， 点A,D,E在同一直线上，连接BE,则： ①∠AEB的度数为 ②线段AD,BE之间的数量关系是 34 第十五章 釉对称么出超 C 培优突破练 测试时间：30分钟 17.请回答下列问题： (1)探究：如图1，△ABC和△ADE都是等边 16.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 点M,N在底边BC上，且∠ANB=45°，∠MAN 三角形，点D在边BC上. =60° ①求∠DCE的大小； ②直接写出线段CD,CE,AC之间的数 (1)画出△AMN关于直线AN对称的△ADN; 量关系。 （②水器的值 (2)应用：如图2，在四边形ABCD中，AB= BC,∠ABC=60°，P是四边形ABCD内 一点，且∠APC=120°，求证：PA+PC+ PD≥BD. (3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（一4,0），点B是y轴上一个动 点，以AB为边在AB的下方作等边 △ABC,求OC的最小值 D 图1 图2 图3 35重难点手册人年级数学上册凡则 (2)①如图，过点E作EH⊥AB于点H,则△BEH (2)如图2，连接OA,过点O作OT⊥ON交AB于点T. 是等腰直角三角形， 证△ONA≌△OTB,得AN=BT,OT=ON. .HE=BH,∠BEH=45°. 证△OTM≌△ONM,∴.MN=MT. ,AE平分∠BAD,AD LBC, ..BM=MT+BT=MN+AN. ..DE=HE...DE=BH=HE. (3)结论：MN=BM+AN.如图3，连接OA,过点O .BM=2DE, 作OR⊥ON交AB的延长线于点R. ..HE=HM. 证△OBR≌△OAN,得OR=ON,证△OMN≌△OMR, ,△HEM是等腰直角三角形. ..MN=MR=BM+BR=BM+AN. .∠MEH=45°. 18.①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况：如图1， ∴.∠BEM=45°+45°=90°.∴.ME⊥BC. ∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，AD=BD=BC. E D ②由题意得∠CAE=90°-2×45=67.5 ∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°. 图1 图2 图3 ∴∠CAE=∠CEA=67.5. ②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况：如 ..AC=CE 图2，∠ABC=90°，∠A=36°，AD=CD=BD. (CM=CM, 在Rt△ACM和Rt△ECM中， ③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况：如 AC=CE, 图3，∠BAC=108°，∠B=36°，BD=AB,AD=DC. '.Rt△ACM≌Rt△ECM(HL). ④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况：如 ∴∠ACM=∠BCM=2×45=25时 图4，∠ABC=126°，∠C=36°，AD=BD=BC. 又：∠DAE=2×45=2.5, ⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况：如 图5，∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD,CD=CB. .∠DAE=∠ECM. 故原三角形的最大内角的所有可能值为72°，90°， ∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC, 108°，126°，132° ∴AD=CD=2BC (∠DAE=∠DCN, 在△ADE和△CDN中，AD=CD, ∠ADE=∠CDN, .△ADE≌△CDN(ASA). .'.DE=DN. 图4 图5 17.(1)如图1，连接OA,易证△ONA≌△OMB, 15.3.2等边三角形 ∴.AN=BM..AM=CN. 1.B 2.D提示：易证△ABD≌△BCE,则∠1=∠EBD,∠2 =∠1+∠ABE=∠EBD+∠ABE=60°. 3.20°.提示：过点A作AD九1. 图 4.60°.提示：∠PAP'=60°，AP=AP,△AP'P为等 16 练习册参考答案与提示么线 边三角形 点，得AD平分∠BAC,∠ADE=30°，E为AC的中 5.5.提示：过点P作PCLOB于点C. 点，所以AE:AB=AE:AC=1:2. 6.2≤AD<3.提示：由于DA=DE,要使AD最长，即 12.5cm;4cm.提示：利用含30°角的直角三角形三边 DE最长 的关系求解。 当DC=AD时，由于∠A=60°， 13.(1)60. 故△ACD为等边三角形，若D为AB的中点，则AD=3. (2)作DM⊥BE,DN⊥AC.证明DM=DN即可. 但点E不与点B,C重合， 14.(1)①60°.②AD=BE 所以AD<3. (2)∠AEB=90°，AE=2CM+BE.理由如下： 当DE LBC时，DE最短， ,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB= 由∠B=30知DE=2BD, ∠DCE=90, .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ACD+∠DCB, AD+BD=AD+2AD=6,AD=2. ∠DCE=∠BCE+∠DCB, 故AD的取值范围为2≤AD<3. 即∠ACD=∠BCE. 7.如图，连接AE. .△ACD≌△BCE(SAS) :∠ABD=∠ADB, ∴.AD=BE,∠BEC=∠ADC=135° ..AB-AD .∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. BE=DE, 在△BAE和△DAE中，AE=AE, 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， AB=AD, ∴.CM=DM=ME.∴.DE=2CM. ..AE=DE+AD-2CM+BE ∴.△BAE≌△DAE(SSS) 15.(1)在等边△ABC中， .∠BEA=∠DEA=30°.∴.∠BEA=∠BDC. AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°， .∠ABD=15°，∠EBD=60°，.∠EBA=45. 可证△BAE≌△ACD,则可得∠BPQ=60°， ∴.∠EBA=∠CBD. BQ LAD于点Q, I∠CBD=∠EBA, ∴∠PBQ=30°..BP=2PQ. 在△BCD和△BAE中，BD=BE, (2)可证△BAQ≌△CBP(AAS), ∠BDC=∠BEA, 则AQ=BP=2PQ, ∴.△BCD≌△BAE(ASA)..AB=CB, ∴.AP=PQ..比值为1. .∠ABD=15°，∠CBD=45°，.∠ABC=60° 16.(1)如图，△AND为所求三角形. ,.△ABC是等边三角形 8.A提示：证△ABD≌△AOC 9.D提示：当顶角为30°或150°时，此高等于腰的一 半；当顶角为120°时，高在三角形外，且等于底边的 B 一半 (2)如图，连接CD. 10.①③④ .△AND与△AMN关于直线AN对称， 11.1:2.提示：在△ABC和△EDC中，∠C为公共角， .∴.AM=AD,∠MAD=2∠MAN=120°. ∠EDC=∠BAC,所以∠DEC=∠B=60°.因为DE .∠BAC=∠MAD=120°，.∠BAM=∠CAD. =CE,所以△CDE为等边三角形，∠C=60°，∠B= 又.AB=AC,∴.△ABM≌△ACD(SAS). 60°，所以△ABC也为等边三角形.又D为BC的中 ∴.BM=DC,∠ACD=∠B=∠ACB=30°. 17 重难点手册人年级数学上册W :∠AND=∠ANB=45°，∴.∠DNC=90°. .BD=BC=b.,∴，AD=b...DC=AC-AD= 在R△DNC中，∠NDC=30,CN-2DC a-b. 10.C提示：分不同的边为新等腰三角形的腰. 器器 11.12.提示：△A'B'C为等边三角形 17.(1)①易证△ABD≌△ACE, 12.120°，30°，30°.提示：设底角为x°，则6x=180,得 ∠ACE=∠B=60°.∴.∠DCE=120°. x=30. ②如图1，在CA上取一点Q,使CQ=CD. 13.3. :∠ACB=60°，.△DCQ是等边三角形 14.1. 提示：a=-2021,b=2022. .△DAQ≌△DEC(SAS) 15.2.提示：如图，延长AD到 ..CE=AQ...CD+CE=CQ+AQ=AC. 点E,使DE=CD,连接CE. (2)如图2，延长CP至点E,使PE=PA,则△PAE .∠ADC=120°， 为等边三角形，再证△PAB≌△EAC, ∴.∠CDE=60°. ..PB=CE=PC+PE=PC+PA, ∴△CDE是等边三角形. PA+PC+PD=PB+PD≥BD. ∴.∠DCE=60°，CD=CE. (3)如图3，以AO为边向下构造等边△AOD, ∠ACB=60°，.∠BCD=∠ACE. 则△ADC≌△AOB,∴.∠ADC=∠AOB=90° .BC=AC,.△BCD≌△ACE(SAS). :∠AD0=60°，∠ODH=30° ..BD=AE. BD=5,AD=3,.DE=2..CD=2. 作OH⊥CD于点H,则OH= 20D=2, 16.(4,0)或(2,0) '.OC≥OH=2,即OC的最小值为2. 17.如图，作出点A关于11的对称点E,点B关于L2的 对称点F,连接EF,分别交l1,l2于点C,D,连接 AC,BD,则A→CD→B是山娃走的最短路线，其 中点C是羊吃草的位置，点D是羊饮水的位置. 图1 图2 图3 草地 第十五章单元学能测评 1.D2.B D 小河 3.B提示：只能腰长为4，底长为3，否则周长为偶数 18.(1)(2)如图所示，M(-2,一1.5). 4.B提示：三边不相等. 5.A6.D 7.A提示：注意满足OP=OA的点P有两种取法， 8.D提示：可动手操作，注意折叠边 9.C提示：.AB=AC=a,∠A=36° ∴∠ABC=∠C=2(180°-∠A)=72.又BD平分 ∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=7∠ABC=36'=∠A, (3)如图所示，取点H(0,1),连接BH,交AC于点 .∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠C,BD=AD. F,则线段BF即为所求作的高. 18