15.3.1 等腰三角形-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学同步练习册（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册) 15.3等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 A基础过关练 测试时间：20分钟 6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向， 距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30° 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC的 方向航行 海里后，到达位于灯塔P的 中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为( ) 正东方向的B处， A.35° B.45° C.55° D.60° D 7.如图，在△ABC中，BF,CF是角平分线，DE∥ 第1题图 第2题图 BC,分别交AB,AC于点D,E,DE经过点F. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，以B 求证： 为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D,连 (I)△BDF和△CEF都是等腰三角形； 接BD,则∠ABD=( ). (2)DE=BD+CE. A.30° B.45° C.60° D.90° 3.等腰三角形的一个外角等于100°，那么这个三 角形的三个内角分别是(). D A.50°，50°，809 B.80°，80°，20° C.100°，100°，20° D.50°，50°，80°或80°，80°，20° 4.如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若 8.(2023·湖北武汉四调)已知点A,B,C均在格 △EDF是等腰三角形，则∠BDC=( 点上，只用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，AB=5,作出∠BAC的角平分线 AP; (2)如图2，已知BD是△ABC的角平分线，作 B A.45° B.60° C.67.5°D.75 ∠BCA的角平分线CE; 5.回答下列问题： (3)如图3，点D在AC上，AB=5,在AB上画 (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和 出点P,使AP=AD 4,则该等腰三角形的周长为 (2)已知一个等腰三角形两内角的度数比为 1：4,则这个等腰三角形顶角的度数为 图 图2 图3 30 第十五章轴对称么 乃中考提能练 测试时间：30分钟 14.如图，在△ABC中，AB=BC,F为AC的中 点，FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,若 9.如图，在△ABC中，AB=AC=6,点D在边 ∠BDE=2∠CFD,求∠ABC的度数， AC上，AD的中垂线交BC于点E.若∠AED =∠B,CE=3BE,则CD等于(). A B.2 c D.3 D B B E 第9题图 第10题图 10.如图，在6×6的正方形网格中，点A,B均在 正方形格点上，若在网格中的格点上找出一 点C,使△ABC为等腰三角形，这样的点C 一共有(). A7个 B.8个 C.10个 D.12个 11.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD 15.如图，在△AEC中，∠AEC=90°，点D在边 =DE=EB,则∠A= EC上，AD=DC,DF⊥AD交AC于点F, FM⊥CD,垂足为M.求证： (1)∠EAD=∠FDM; (2)AE=DF+FM. 第11题图 第12题图 12.如图所示，在平面直角坐标系中有等腰 Rt△ABC,∠ABC=90°，点E是点C关于点 B的对称点，A(0,3),B(一1,0)，则点E的 坐标是 13.如图，在△ABC中，AB=AC,EF为过点A 的任一直线，CF⊥BC,BE⊥BC.求证：AE=AF. 31 重难点手册人年级数学上册凡W 16.(经典·重庆中考)如图，在△ABC中，∠BAC (3)当a=45°时，旋转∠MON至图3所示位 =90°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AE平 置，请你直接写出线段BM,MN,AN之 分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点 间的数量关系 F,使FA⊥AE,FC⊥BC A (1)求证：BE=CF. M (2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接 MC,交AD于点N,连接ME.求证： O 图1 图2 ①ME⊥BC; ②DE=DN. 图3 18.已知一个三角形可以被分成两个等腰三角 形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角 形的最大内角的所有可能值. C培优突破练 测试时间：20分钟 17.在Rt△ABC中，AB=AC,OB=OC,∠A= 90°，∠MON=a,分别交直线AB,AC于点 M,N. (1)如图1，当a=90°时，求证：AM=CN; (2)如图2，当a=45时，求证：BM=AN+MN; 32重难点手册人年级数学上册) 12.5.提示：△PMN的周长为PM+MN+NP=P,M 图1 图2 +MN+NP2=PP2=5 cm. 13.40°.提示：依据反射角等于入射角及三角形内角和 为180°，得∠a+(180°-2∠β)+∠y=180°， 即∠y=2∠B一∠a=2×50°-60°=40°. 14.6.提示：如图所示，有6条对称轴，可作6个格点三 图3 图4 角形与△ABC成轴对称. 17.(1)如图，.·∠DEB=∠DAB,∠1=∠DEB+ ∠ADE=∠DAB+∠EBA, .∴.∠EBA=∠EDA=a=∠ABC 过点A作AC1⊥BE于点C1,即得△ABC1. 15.(1)对称轴m如图1所示. (2)垂直平分线n如图2所示. D B C A (2)BE-BC=DC.证明如下： ∠ABE=∠ABC=a,AC⊥DC于点C,AC1⊥BE 于点C, ..AC=AC. 图1 图2 又AB=AB, 16.(1)如图1，作AB的垂直平分线交AB于点M,则M .'.Rt△ABC,≌Rt△ABC(HL): 为AB的中点. ∴BC=BC1. (2)作AD的垂直平分线，交AC于点N,连接ND, 又AE=AD, 如图2.，AN=ND,∴.∠NAD=∠NDA ,∴.Rt△AEC,≌△Rt△ADC(HL). 又.AD是△ABC的角平分线， .'.EC=DC. ∴∠BAD=∠DAC=∠NDA..NDAB. ..BE-BC=BE-BCI=EC=DC. (3)如图3，过点B作BO⊥AD,交AD于点O,使BO 15.3等腰三角形 =OP,则点P与点B关于AD对称. 15.3.1等腰三角形 (4)如图4，满足△QAB是等腰三角形的Q点有4个. 1.C提示：AB=AC,DB=DC,由“三线合一”得AD 理由如下： 平分∠BAC,∠B=∠C,∴∠BAC=2∠BAD=70°. 如图4，AQ为底，满足△QAB是等腰三角形的Q点 有2个；AB为底，满足△QAB是等腰三角形的Q点 ∴∠C=号×(180°-70)=5 有1个；BQ为底，满足△QAB是等腰三角形的Q点 2.B提示：由等腰三角形的性质得∠ABC=75°，∠CBD 有2个. =30°，∴.∠ABD=75°-30°=45° 综上所述，满足△QAB是等腰三角形的Q点有5个.3.D提示：将外角分为顶角的外角和底角的外角两种情 14 练习册参考答案与提示 么型 况讨论 14.如图，连接BF, 4.C :AB=BC,F为AC的中点， 5.(1)10.(2)20或120°.提示：，2十2=4，.腰长 ∴.BF⊥AC,∠ABF=∠CBF. 为4，周长为4+4+2=10. FD⊥BC,..∠CFD+∠C=∠CBF+∠C=90°」 6.4.提示：易得∠APB=∠ABP=60°， .∠CFD=∠CBF ..AB=AP=4海里. :∠BDE=2∠CFD, 7.(1).DEBC, ∴.∠BDE=2∠CBF=∠ABC. ,∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB, :DE⊥AB,∠ABC=45°. 'BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， 15.(1)∠AEC=90°，.∠EAD+∠ADE=90° ∴∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB. AD⊥DF,,∴.∠ADF=90°， ∴.∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF. ∴.∠FDM+∠ADE=90°，∴.∠EAD=∠FDM. 即△DFB和△FEC都是等腰三角形. (2)如图，在AE上截取AN=DF,连接DN. (2)由(1)知DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE= :∠EAD=∠FDM,AD=DC, DB+EC. ∴.△AND≌△DFC(SAS), 8.(1)如图1. (2)如图2.(3)如图3. ∴.∠ADN=∠C,DN=FC. AD=CD,.∠ADN=∠C=∠DAC, .DN∥AC,.∠NDE=∠C. :∠E=∠FMC=90, 图1 图2 3 ∴.△NDE≌△FCM(AAS), 9.B10.C ..NE=FM,..AE=AN+NE=DF+FM. 11.45. 12.(2,一1).提示：过点C作CF⊥x轴于点F,过点E 作EH⊥x轴于点H,则△ABO≌△BCF≌△BEH. ∴.BH=A0=3,EH=B0=1.∴.OH=3-1=2. 点E的坐标为(2，一1). E D 13.如图，延长BA交CF于点P. 16.(1),∠BAC=90°，AB=AC, 由AB=AC知∠1=∠2. .∠B=∠ACB=45° ,∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°， .FC⊥BC,.∴.∠BCF=90° .∠3=∠4，AP=AC=AB. ∴.∠ACF=90°-45°=45. BEFC,∴∠E=∠F ∴∠B=∠ACF. 又.∠BAE=∠FAP,AB=AP, :∠BAC=90°，FA⊥AE, .△ABE≌△APF(AAS).∴.AE=AF」 ∴.∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°. ∴.∠BAE=∠CAF 「∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，AB=AC, ∠B=∠ACF, .∴.△ABE≌△ACF(ASA). 第13题图 第14题图 ∴.BE=CF 15 重难点手册人年级数学上册凡则 (2)①如图，过点E作EH⊥AB于点H,则△BEH (2)如图2，连接OA,过点O作OT⊥ON交AB于点T. 是等腰直角三角形， 证△ONA≌△OTB,得AN=BT,OT=ON. .HE=BH,∠BEH=45°. 证△OTM≌△ONM,∴.MN=MT. ,AE平分∠BAD,AD LBC, ..BM=MT+BT=MN+AN. ..DE=HE...DE=BH=HE. (3)结论：MN=BM+AN.如图3，连接OA,过点O .BM=2DE, 作OR⊥ON交AB的延长线于点R. ..HE=HM. 证△OBR≌△OAN,得OR=ON,证△OMN≌△OMR, ,△HEM是等腰直角三角形. ..MN=MR=BM+BR=BM+AN. .∠MEH=45°. 18.①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况：如图1， ∴.∠BEM=45°+45°=90°.∴.ME⊥BC. ∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，AD=BD=BC. E D ②由题意得∠CAE=90°-2×45=67.5 ∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°. 图1 图2 图3 ∴∠CAE=∠CEA=67.5. ②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况：如 ..AC=CE 图2，∠ABC=90°，∠A=36°，AD=CD=BD. (CM=CM, 在Rt△ACM和Rt△ECM中， ③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况：如 AC=CE, 图3，∠BAC=108°，∠B=36°，BD=AB,AD=DC. '.Rt△ACM≌Rt△ECM(HL). ④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况：如 ∴∠ACM=∠BCM=2×45=25时 图4，∠ABC=126°，∠C=36°，AD=BD=BC. 又：∠DAE=2×45=2.5, ⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况：如 图5，∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD,CD=CB. .∠DAE=∠ECM. 故原三角形的最大内角的所有可能值为72°，90°， ∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC, 108°，126°，132° ∴AD=CD=2BC (∠DAE=∠DCN, 在△ADE和△CDN中，AD=CD, ∠ADE=∠CDN, .△ADE≌△CDN(ASA). .'.DE=DN. 图4 图5 17.(1)如图1，连接OA,易证△ONA≌△OMB, 15.3.2等边三角形 ∴.AN=BM..AM=CN. 1.B 2.D提示：易证△ABD≌△BCE,则∠1=∠EBD,∠2 =∠1+∠ABE=∠EBD+∠ABE=60°. 3.20°.提示：过点A作AD九1. 图 4.60°.提示：∠PAP'=60°，AP=AP,△AP'P为等 16