16.3.2 完全平方公式-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册划 16.3.2完全平方公式 重点和难点 课标要求 重点：(a+b)2=a2+2ab+b,(a-b)2 1.理解完全平方公式的推导过程和结构特征. =a2-2ab+b2. 2.掌握添括号法则，会利用完全平方公式进行简便运算， 难点：利用完全平方公式进行运算 01必备知识梳理 知识点1完全平方公式 的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的 1.公式的推导 关键. (a+b)2=(a+b)(a+6)=a2+ab+ab+62 易错点未能正确识别完全平方公式 =a2+2ab+b2; 例计算：(-2m-3n)2. (a-b)2=(a-8)(a-8)=a2-ab-ab+62 错解原式=(-2m)2-2X(2m)× =a2-2ab+b2. (3n)+(3n)2=4m2-12mn+9n2. 2.两种表述方式 错因 在套用公式时没有正确识别公式 数学语言：(a士b)2=a2士2ab十b2 的形式 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等 正解方法一 于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍. 原式=(-2m)2-2X(-2m)×3n十(3n)2 例1用完全平方公式计算： =4m2+12mn+9n2. (1)(a+3b)2; 方法二 (2)(-x+3y)2; 原式=[-(2m+3n)]2=(2m+3n)2 (3)(-m-n)2; =4m2+12mn+9n2. (4)(2x+3)(-2x-3). 解析(1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2 特别提国 =a2+6ab+9b2. 特别要注意字母前的符号，并依据公式的形式 作相应的变形. (2)(-x+3y)2=(3y-x)2 =(3y)2-2X3yXx+x2 知识点2完全平方公式常用的变式 =9y2-6xy+x2. 完全平方公式常用的变式有以下几种： (3)(-m-n)2=(m十n)2 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; =m2+2mn十n2. (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2 =-(4x2+12x+9) (3)a2+b2=2[a+b)2+a-b)]: =-4x2-12x-9. (4)2ab=(a+b)2-(a2+b2); 总结此题主要考查了完全平方公式和幂 (5)4ab=(a+b)2-(a-b)2. 86 第十六章 整式的秉法么出 划重点 再加上它们两两乘积的2倍 (1)公式中的字母a,b可以表示数、单项式和 将(*)式中的b换成一b,则 多项式 (a-b+c)2=a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac. (2)尤其应注意项数、符号、字母及其指数 将()式中的b换成一b,c换成一c,则 例②已知a+b=7,a2+b2=29,求： (a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac. (1)ab的值；(2)a-b的值 例④计算：(x十2y-z)2, 解析（1).a十b=7,∴.(a十b)2=49. 解析方法一(x十2y-z)2=(x十2y)2 ∴.a2+2ab+b2=49. 2(x+2y)z十z2=x2+4xy十4y2-2cz-4yz十z2. .a2+b2=29,.ab=10. 方法二(x十2y-之)2=x2+(2y)2十 (2).'a2+b2=29,ab=10,(a-b)2=a2 (-z)2+2x·2y+2·2y·(-z)+2(-x)· -2ab+b2, x=x2+4y2+z2+4xy-4yz-2xz. ∴.(a-b)2=9.∴.a-b=±3. 总结如能熟记三个数和的平方公式，则 知识点3添括号法则 可直接写出结果，大大减少运算的时间. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括 易错点不能灵活应用完全平方公式 号里的各项都不变符号；如果括号前面是负 例已知a=1999x十2000，b=1999x+ 号，括到括号里的各项都要改变符号 2001,c=1999x+2002,求多项式a2+b2十 运用添括号法则，我们可以作某些两个三 c2-ab-bc-ac的值. 项式积的相关运算 错解-a2十b2+c2-ab-bc-ac= 例3计算：(1)(a+b一c)(a+b+c); (a-b-c)2. (2)(a+b-c)(a-b+c). 错解二将已知直接代入a2+b十c2 解析(1)原式=[(a十b)-c][(a十b)+c] ab一bc一ac,虽可计算，但是太繁琐. =(a+b)2-c2 错因1.误用三项的完全平方公式 =a2+2ab+b2-c2. 2.若直接计算，不仅运算量大，还容易出错. (2)原式=[a十(b-c)][a-(b-c)] 正解(a-b)2=a2+b2-2ab,(b-c)2 =a2-(b-c)2 =b2+c2-2bc,(c-a)2=c2+a2-2ca. =a2-(b2-2bc+c2) 由于a-b=-1,b-c=-1,c-a=2, =a2-b2-c2+2bc. 我们有a2+b2-2ab=1,b2+c2-2bc= 总结正确运用添括号法则是解题的关键， 1,c2+a2-2ca=4. 知识点4完全平方公式的拓展 三式相加，可得2a2+2b2+2c2-2ab (a+b+c)2=[(a+b)+c]2 2bc-2ca=6. =(a+b)2+2(a+b)c+c2 从而得原式=3. =a2+62+2ab+2ac+2bc+c2 特别提醒 =a2+62+c2+2ab+2bc+2ac, a,b2,ab同时出现，提示我们运用完全平方 (a+b+c)2=a2462+c2+2ab+26c+ 公式 2ac （*) 由于有a,b,c三个字母，且所求式子关于a, 即三个数和的平方，等于各个数的平方和 b,c轮换对称，因此我们可以尝试平等对待a,b,c. 87 重难点手册人年级数学上册) 02关键能力提升。 题型1直接套用完全平方公式 总结先整体观察，再合理裂项，最后套用 完全平方公式(a±b)2=a2士2ab+b2中 公式. 的字母a,b可以是具体的数，也可以是单项式 题型3 整体观察，优先应用平方差 或多项式.在套用公式时，要注意公式右边共 公式 有三项，首、末两项是两个数的平方，且符号相 公式的运用需要根据题目的形式合理选 同，中间项是两个数乘积的2倍，且符号与等 择，使用公式的目的是简化计算，将复杂的形式 式左边连接的两个数的符号相同. 利用公式化简，哪种公式能够达到化简的目的 例⑤若x2+2(m-3)x+16(m是常数) 就使用哪种公式.整体思想在使用乘法公式的 是完全平方式，则m的值是 问题中经常用到，同时需要适当地添加括号， 解析依题意得x2十2(m一3)x十16= (x±4)2， 例口计算：(2a+2b)(2a-2b) 比较对应项的系数，得2(m一3)=士8，解 解析原式=【(2a+2b)(2a-2b) 得m=7或一1. 总结根据完全平方公式即可求出答案. =(a2-b2 ◆变式1若x2+6.x十k2是完全平方公 式，则常数= =16a-2a262+16b. 题型2综合运用完全平方公式与平 总结若先应用完全平方公式，项数会增 方差公式 多，使计算复杂；若先应用平方差公式，通常会 完全平方公式和平方差公式的形式有本 减少项数，使计算更简便， 质的区别.在解决实际问题时，要注意依据题 题型4利用乘法公式间的关系求值 目的条件合理选择，有时题目的形式不能直接 由(x+y)2=x2十2xy十y2, 套用公式，需要先对式子进行变形.如例6，两 (x-y)2=x2-2xy十y2, 个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找 可得(x+y)2=(x-y)2+4xy. 到合适的公式套用，这时就需要作合理的裂 例8已知x2十y2=25,x+y=7,且x> 项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这是 y,则x一y= 应用乘法公式解题的基本技巧. 解析将等式x十y=7两边平方得 例6计算： x2+y2+2xy=49, ① (1)(x+5y-9)(x-5y+9); x2+y2=25, ② (2)(2a-b+3c)(2a+b-3c) .2xy=24. ③ 解析(1)原式=[x+(5y-9)门[x ②-③得x2-2xy十y2=1, (5y-9)]=x2-(5y-9)2=x2-(25y2- 即(x-y)2=1,即x-y=士1， 90y+81)=x2-25y2+90y-81. x>y,∴.x-y=1. (2)原式=[2a-(b-3c)][2a+(b-3c)] 答案1. =4a2-(b-3c)2=4a2-b2-9c2+6bc. 总结先求xy的值，再求(x一y)2的值 88 第十六章 整式的乘法么出型 口-03热点老向聚焦。 考向1完全平方公式的应用 (1求下列各式的值：①x-2@+ 例⑨如图1、图2，两个正方形的边长分别 为a,b,且a+b=7,ab=7,求阴影部分的 (2)直接写出x3-2x2-2x十3的值. 面积. 解析(1①：（女-）》-(+)°-4 D 32-4=5,x-1=±5. a Cb G 图1 图2 ②x+是--8=3-9=7， 解析设图1中阴影部分的面积为S1, 则S1=a2+b2=(a+b)2-2ab=49一 +=2+2=-2=4 14=35. 设图2中阴影部分的面积为S2, (2x+是-3，e+1-3x 则5：=a+公-号a:-6a十6) ∴.x2=3x-1. 原式=x(3x-1)-2(3x-1)-2x+3= 2a2+b2-ah)=2[a+6)2-3ab]=14 3x2-x-6x+2-2x+3=3(3x-1)-9x+5=2. 考向2运用完全平方公式求值 考向3运用乘法公式化简求值 例四例：世知x一=3，求产一子 例11先化简，再求值：[(2a+b)2一(2a +b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 的值. 解析[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)门÷ 解析：因为x-上3，所以女-=9， 2b=[(4a2+4ab+b2)-(4a2-b2)]÷2b= 即2-2+=9，所以x+ x211. (4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b=(4ab+2b2)÷ 2b=2a+b, 观察以上解答，回答下列问题. 当a=2,b=-1时，原式=2×2+(-1) 已知x+1 =3, =3. 89