16.2 整式的乘法-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十六章 整式的法么 16.2整式的乘法 重点和难点 课标要求 1.掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式 重点：单项式相乘、单项式与多项式相 与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用这些法则进行有关 乘的法则。 计算. 难点：单项式相除、多项式除以单项式 2.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能 的法则. 进行简单的计算，理解零指数幂的意义， 」01必备知识梳理。 知识点1单项式间的运算 掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相 1.单项式相乘的法则 除的法则.为此，不妨将二者进行归纳、比较 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同 运算 单项式 底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 乘法 在一个单项式里含有的字母，则连同它的指 的一个因式 数作为积的一个因式 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律 把它们的系数与同底数幂分别相除作为商 及同底数幂的乘法法则。 除法 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 特别提醒 连同它的指数作为商的一个因式 单项式相乘的法则说明进行单项式的乘法分 例①计算： 三个部分： (1)积的系数等于各个因式系数的积，通常是 (D4y) 先确定符号，再计算其绝对值 (2)(-5a2bc2)2÷(-ab2c)2; (2)相同字母相乘，应用同底数暴的乘法法则 (3)8x3y2÷[(-4x5y3)÷(-2x3y2)]. (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它 的指数一起写到积里去，千万不要漏掉 解析(1①D4y2.(-r) 单项式乘单项式的结果仍是一个单项式 =4x(-2) ·x+2y2+1 2.单项式相除的法则 =-2x3y3x. 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除 (2)(-5a2b3c2)2÷(-ab2c)2 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字 =(25a4bc4)÷(a2b4c2) 母，则连同它的指数作为商的一个因式 =25a2b2c2. 3.单项式乘除法的比较 (3)8x3y2÷[(-4x5y3)÷(-2x3y2)] 跟整式的乘法一样，整式的除法的关键是 =8x3y2÷{[(-4)÷(-2)]x5-3y3-2} 79 重难点手册人年级数学上册划 =8x3y2÷2x2y 项除以这个单项式，再把所得的商相加. =(8÷2)x3-2y2-1 多项式除以单项式的运算方法： =4xy. 对于每一项含字母较多，且项数超过三项 总结在运用单项式除以单项式法则时， 的多项式除以单项式时，由于算式较长，运算 要善于将被除式和除式中的系数、同底数幂进 易出错，有时我们可以采用列成竖式的运算 行分类，并要特别注意系数的符号，且按照运 方法. 算顺序计算。 3.多项式与多项式相乘的法则 易错点指数的运算错误 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 例计算：号a62.(-a6月 每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加。 错解 该法则的指导思想是将多项式相乘的问 题转化为单项式与多项式相乘的问题.如 (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) 错因前面易把(b3)2(幂的乘方)与同 -amanomon, 底数幂的乘法法则相混淆，写成b3+2,后面 省掉中间步骤，用图示表示，即 易把a3·a2,b5·b2(同底数幂相乘)与暴的 (a+b)(m+y)=am+an+bm+bn. 乘方法则混淆，分别写成a3x2,b5x2.正确使 用公式是解决这类题的关键 特别提醒 多项式乘多项式，仍得多项式，但通常有同类 正解 原式=号a.(-)a26 项可合并.在合并同类项之前，积的项数应等于两 号e6.a6 个多项式的项数之积.如(a十b)(m十n)的积的项 数为2×2=4.这是检查多项式相乘是否漏乘的方法. 22a+2b2+69 3 gab8 例②先化简，再求值：ab(2a一b)一2a(ab一 知识点2单项式与多项式间的运算 b'),其中a= 2b=-2. 1.单项式与多项式相乘的法则 解析原式=2a2b-ab2-2a2b十2ab2= 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 ab2,当a=- 是6=-2时，原式=-昌× 3 多项式的每一项，再把所得的积相加， (-2)2=-6. 该法则的理论依据是分配律，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 知识点3同底数幂的除法法则 结果：非零单项式乘以不含同类项的多项 1.同底数幂的除法法则 式，其积仍是多项式，并且积的项数与所乘多 数学语言：am÷a”=amn(a≠0，m,n都 项式的项数相等， 是正整数，并且m>n) 2.多项式除以单项式的法则 文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数 多项式除以单项式，先把这个多项式的每相减。 80 第十六章 整式的乘法么出 法则的理论依据：除法是乘法的逆运算， 知识点4零指数幂 由am-”·a”=am得am÷a”=am-" 1.零指数幂 特别提醒 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除 注意法则运用的条件 式的指数，例如am÷am,根据除法的意义可知 (1)a≠0.若a=0,则a”=0,但0作除数无 所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的 意义 (2)m,n都是正整数，且m>n.当m,n都是正 除法来计算，又有am÷am=am-m=a°. 整数时，与同底数幂的乘法一样；若m<n,则 2.规定 m一n为负整数，而我们暂时还没有接触负指数幂 a°=1(a≠0). 问题， 特别提醒 例3计算： 在a°=l(a≠0)中，“a≠0”是规定中不可缺的 (1)(-a)8÷(-a)3; 一部分，也是极易被忽略的问题，同时不要误认为 (2)5m·1252m÷252m-1; a°=0. (3)(a+b)3m÷(a十b)m-1÷(a+b)m-2÷ 3.语言叙述 (a+b)m+1 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 解析(1)原式=（一a)8-3=(一a)5=一a5. 例5若(2m-1)°=1，则(). (2)原式=5m·(53)2m÷(52)2m-1 =5m·56m÷54m-2 B.m=0 =5m+6m-(4m-2) Cm≠号 D.m≠0 =53m+2 (3)原式=(a十b)3m-m-1)-(m-2)-(m+1) 解析，a°=1成立的条件是a≠0， =(a十b)2. 2m-1≠0，即m≠2 总结作同底数幂的除法时，确定底数时 答案C 一定要慎重.有些底数貌似相同，实则不同；有 例6若(x+1)r+4=1,求x的值. 些底数貌似不同，但稍作变形又相同. 解析①由x十4=0得x=一4，此时x十 例④先化简，再求值：[(ab+1)(ab一2) 1≠0，∴.(x十1)x+4=(-3)°=1，符合题意； -2a26+2]÷(-ab,其巾a=多6= ②由x+1=1得x=0,此时x+4=4, 解析原式=[(ab2-ab-2)-2ab2+2]÷ ∴.(x十1)x+4=14=1,符合题意； (-ab)=(-a2b2-ab)÷(-ab)=ab+1. ③由x+1=-1得x=一2，此时x十4= 当a=6=-8时， 2, ∴.(x十1)x+4=(-1)2=1,符合题意， 综上所述，若(x十1)x+4=1,则x的值为 原式=号×()+1=-3. -4或0或-2. 81 重难点手册人年级数学上册) 02一关健能力提升。 题型1单项式间的乘除运算 =3ab(-a2b2+4 6) 例回计算：(-3xy)·(号zy）- =-3a3b3+4a2b4. 总结直接利用合并同类项法则以及单项 式乘以单项式的运算法则和同底数幂的除法 解析原式=(-3×)2·x)0‘y) 运算法则化简计算即可. =-x3y3. ◆变式2已知2x一3=0，求代数式x(x2 答案-x3y3. -x)十x2(5-x)-10的值 总结直接利用单项式乘以单项式的运算 题型3多项式乘多项式要“循序遍 法则计算得出答案。 乘”“不重不漏” 9变式1已知(-2x3y)3÷(-2xy2) 多项式与多项式相乘，就是先用一个多项 =一mxy°，求n,m,p的值. 式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再 题型2计算中遵循先乘方后乘法的运 把所得的积相加.在运算的时候要注意，多项 式乘以多项式就是运用乘法的分配律将其转 算顺序 化为单项式乘多项式，进而转化为单项式乘单 在进行整式的乘法运算时，要注意运算的 项式，最终转化为数乘和同底数幂相乘.运算 顺序当单项式中含有幂的运算时，应先进行 时要注意连同每一项前面的符号一起相乘来 幂的运算，再进行单项式的乘法运算.如果运 确定结果的符号 算中含有括号，先运算括号内的算式，然后再使 例9计算：(2x-3)(x2-x+2), 用乘法的分配律进行单项式与单项式的运算， 解析原式=2x·x2十2x·(-一x)十2x· 例8化简：(1)(-2ab2)2·(-3ab); 2-3x2-3·(-x)-3×2 2)3ab(-ab)2-2b2(a2-3ab) =2x3-2x2+4x-3x2+3x-6 解析(1)原式=[(-2)2·a2·(b2)2]· =2x3-5.x2+7x-6. (-3ab) 总结在进行较简单的多项式与多项式乘 =4a2b4·(-3ab) 法时，上面计算过程的第一步可以省略，只需 =-12a3b5. 写出每一项相乘的结果，然后合并同类项即 可.但初学者可保留第一步运算，避免出错 2原式=3aba6-2a82+青ab) ◆变式3化简：(x十y)(x2十2xy+1)(x-y). □-03热点考向聚焦一。 考向1整式乘法的运算 (-3ab)2. 例10(2022·青海西宁中考)计算：2ab2· 解析2ab2·(-3ab)2 82 第十六章 整式的柔法底出型 =2ab2·9a2b2 式放置（图2、图3中两张正方形纸片均有部分 =18a3b4. 重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖 考向2整式乘法的化简求值 的部分用阴影表示.设图2中阴影部分的面积 例1(2024·陕西中考)先化简，再求 为S1,图3中阴影部分的面积为S2,当AD一 值：(x+y)2+x(x-2y),其中x=1,y=-2. AB=2时，S2一S1的值为(). 解析(x+y)2+x(x-2y) A.2a B.26 =x2+2xy+y2+x2-2xy C.2a-2b D.-2b =2x2+y2. 当x=1,y=-2时， 原式=2X12+(一2)2=2+4=6. 总结根据单项式乘多项式法则可以先化 图1 图2 图3 简题目中的式子，然后将x,y的值代入化简后 解析.S1=AB·AD-[a2+b2-b(a+ 的式子即可解答本题 6-AD)], 考向3整式乘法的综合运用 S2=AB AD-[a2+62-6(a+6- 例12(2025·湖北武汉汉阳区模拟)在 AB)], 长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a ..S2-S=6(AD-AB)=26. >b)的正方形纸片（如图1）按图2、图3两种方 答案B 83