16.1.2 幂的乘方与积的乘方-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十六章 整式的柔法么出 16.1.2幂的乘方与积的乘方 重点和难点 课标要求 1.掌握幂的乘方，并能熟练地进行有关计算. 重难点：(am)”=amm(m,n都是正整数) 2.掌握积的乘方的运算性质，并能熟练地运用这些性 (ab)"=a”b"(n为正整数). 质进行有关计算 01必备知识梳理。一 知识点1幂的乘方的运算法则 特别提围 1.法则的推导 幂的乘方的底数是括号内的部分，其特征是幂 依据乘方的定义和同底数幂的乘法法则， 的形式. 我们可以得到幂的乘方的运算法则， 知识点2幂的乘方法则的拓展 对于任意底数a与任意正整数m,n,有 m个m 1.幂的乘方的推广 A (am)=am·am…·a=am+m++m=am [(am)m]P=(amm)p=amnp(m,n,p均为 n个am 正整数). 2.两种表述方式 2.幂的乘方运算的底数的推广 数学语言：(a")”=am(m,n都是正整数). [(a十b)m]"=(a十b)m"(m,n均为正 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘 例1计算：(1)(x4)；(2)(a"+1)2; 整数). (3)[(-x)7];(4)-[(a-b)3]4. 3.幂的乘方法则的逆用 解析(1)(x4)6=x4×6=x24 amm=(a")m=(am)”(m,n均为正整数). (2)(a"+1)2=a2n+1)=a2m+2 例②计算： (3)[(-x)7]6=(-x)7X6=(-x)2=x2. (1)(-0.125)101×(-8)101; (4)-[(a-b)3]4=-(a-b)3x4=-(a-b)2 总结运用幂的乘方法则作相关运算，注 意区分同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则 解析(1)原式=[(-0.125)×(-8)]11 的不同之处 =1 易错点混淆同底数幂的乘法运算与幂的 乘方运算 例计算(a4)5. 错解(a4)5=a4+5=a. 错因与同底数幂的乘法运算混淆而 总结当底数a>1时，指数n越大，幂a” 得到错误答案a. 的值越大；当底数0<a<1时，指数n越大，幂 正解(a4)5=a4x5=a20. a”的值越小. 75 重难点手册人年级数学上册则 知识点3积的乘方运算法则 知识点4幂的三种运算 1.法则的推导 法则 运算 对于任意底数a,b与任意正整数n,有 数学语言 文字语言 同底数 (ab)"=(ab)·(ab)·…·(ab) am·a”=am+n(m, 底数不变，指数相加 幂相乘 n均为正整数) n个ab 幂的 (am）"=amm(m,n =a·a·…·a·b·b·…·b 底数不变，指数相乘 乘方 均为正整数) n个a n个b 积的每一个因式分 =a"b”. 积的 (ab)”=a"b"(n为 乘方 别乘方，再把所得的 正整数) 2.两种表述方式 幂相乘 数学语言：(ab)”=a”b"(n为正整数). 特别提国 (1)在运用幂的运算法则时，注意知识的拓展， 文字语言：积的乘方，等于把积的每一个 底数和指数可以是数，也可以是整式，对三个或三 因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 个以上因式的积的乘方也适用. 3.法则的拓展 (2)要注意运算过程，注意每一步的依据，还应 防止符号上的错误 (abc)”=a"b”c"(n为正整数)： (3)在建构新的法则时应注意前面学过的法则 例B计算：(1D(-2a6), 与新法则的区别和联系 例4计算：(1)(3×102)3×[(-10)3]4； (2)-(-3a2b3)4; (2)[3(m十n)2]3[-2(m十n)3]; (3)(-x3y2)5. (3)(-2xy2)6+(-3x2y4)3; 解析(1(-2ao) (4)(-2a)5-(-3a2)3+[-(2a)2]3. 分析按顺序进行计算，先算积的乘方，再 -(-2》ay2b2 算暴的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减。 解析(1)(3×102)3×[(-10)3]4 =33×(102)3X[(-1)3]4×(103)4 =27×106X1012 (2)-(-3a2b3)4 =27×1018 =-(-3)4·(a2)4·(b3)4 =2.7×101. =-81a8b12 (2)[3(m+n)2]3[-2(m+n)3]2 (3)(-x3y2)5 =33.[(m+n)2]3·(-2)2·[(m+n)3]2 =27·(m+n)6·4·(m十n)6 =(-1)5·(x3)5·(y2)5 =108(m+n)12. =-x15y10. (3)(-2xy2)6+(-3x2y4)3 总结直接利用积的乘方的运算法则计算. =(-2)6·x6·(y2)6+(-3)3·(x2)3·(y4)3 76 第十六章整式的秉法么出型 =64x6y12-27x6y12 [(2a)2]3 =37x6y12 =64a6-(-27)a6+(-1)3·(22)3·(a2)3 (4)(-2a)6-(-3a2)3+[-(2a)2]3 =64a6+27a6-64a6 =(-2)6·a6-(-3)3·(a2)3+(-1)3· =27a. 口02关键能力提升。 题型1幂的乘方法侧的运用 解析方法一(9”)2=92m,312=(32)6=9, 特别提国 故2n=6,n=3. 使用暴的乘方的运算法则时，注意与同底数暴 方法二(9”)2=[(32)"]2=32x2m=3m, 的乘法运算的区别.这两种运算的共性是底数不改 由(9")2=312知4n=12,n=3. 变，只对指数进行运算，而区别是：同底数幂的乘法 答案B 运算，指数相加；幂的乘方运算，指数相乘.两种运 总结设法使等式两边的底数统一。 算法则都可以逆用.熟记两种运算法则是提高解题 ●变式2若2·8x·162=22,则x= 正确率的保证.运算时，先处理幂的符号，再将底数 化为同底数 题型3积的乘方运算 例5先化简(a3)2·(-a)·a2,当a= 特别提醒 时，求其值， 在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因 解析(a3)2·(一a)·a2=一a3x2·a·a2 式分别乘方，再将所得的结果相乘，不能漏乘任何 =一a6+1+2 一项.在幂的运算中，要注意底数为负数时将底数 =-a9. 的符号看作一1，连同其他底数一起乘方.如果底数 当a=5时，-a9=-(5)9=-125. 是指数幂的形式，先进行积的乘方运算，再进行幂 总结化简时是正用幂的乘方的运算法 的乘方运算。 则，求值时是逆用幂的乘方的运算法则， 例☑计算：[(-x2y)3(-x2y)2门3. ●变式1已知a2m=3,求ar一am的值. 解析原式=(-x2y)3x3·(-x2y)2x3 题型2解幂的乘方的指数方程 =(-x2y)9·(-x2y)6 近几年中考经常涉及指数是参数的幂的 =(-1)9·(x2)9·y9·(-1)6· 运算.用参数表示指数的有关的幂的乘方运 (x2)6·y 算，同样要求能够准确地识别底数，找出相同 的底数.运算时，底数不变，直接根据运算法则 =-x218+12y3+6 对指数进行运算，再利用指数之间的关系，得 =-x30y15. 到关于参数的方程，进而求解参数 总结连同底数符号一同乘方， 例6已知(9)2=32，则n的值为(). 题型4逆用积的乘方运算法则 A.4 B.3 在使用法则时要灵活.积的乘方运算法则也 C.2 D.1 可以反过来使用，即a"b”=(ab)”(n是正整数). 77 重难点手册人年级数学上册则 例⑧计算： 变，只将指数相乘；积的乘方，作为底数的每一项都 ①9×(》”； 要进行乘方.准确地掌握这三个法则是进行整式乘 法运算的关键。 2)0.54040X(-4)2021 例9已知a,b互质，且(amb2·ab")5= 解析①)原式=3×兮)=(3×号)”=1 a15b20,则(3m)”= (2)原式=0.252020X(-4)2020X(-4) 解析，(amb2·ab")5=(am+1b"+2)5= =[0.25×(-4)]2o20X(-4) a15b20=(a3b4)5, =-4. .am+1bm+2=a3b1. ◆变式3计算： a,b互质， (1)48×0.258; m1=3, 得 m=2, n+2=4, n=2. (2(-×(13) 故(3m)”=3”m”=32X22=36. 题型5综合运用幂的三种运算 答案36. 特别提醒 总结先乘方，再乘除，最后算加减 幂的三种运算是进行整式乘法的基础.在实际 ◆变式4请回答下列问题： 的运算中，三种运算往往需要结合起来运用.在解 (1)已知2x+3·3x+3=36x-2,求x的值； 题时，应分清使用的是哪种运算.同底数幂相乘，底 (2)已知n是正整数，且x3m=2,求(3xm)3+ 数不变，只需要进行指数的加法；幂的乘方，底数不 (-2x2m)3的值. 口-03热点考向聚焦。一 考向1幂的乘方运算 考向2积的乘方运算 例10计算： 例12已知2+3X3r+3=36z+1,求x (1)a3·(-a)4·a+(-a2)4; 的值 (2)m·m2·m3+2(m3)2-8(m2)3. 解析，2x+3X3x+3=36x+1, 解析(1)原式=a8+a8=2a8 ∴.(2X3)x+3=62x+1),即6x+3=62x+2 (2)原式=m6+2m6-8m6=-5m, ∴.x十3=2x+2,解得x=1. 例1(2025·武汉硚口区模拟)已知m 例13已知2”=a,3”=b,n是正整数，则 十4n-3=0,求2m·16”的值 用含有a,b的式子表示62m的值为 解析.m+4n一3=0， .m+4n=3. 解析62m=(2X3)2m ∴.2m·16=2m·(24)m =22m·32m =2m·24n =(2)2·(3)2 =2m+4n =a2b2 =23=8. 答案a2b2. 78