15.3.1等腰三角形-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十五章 釉对称 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 重点和难点 课标要求 1.通过剪等腰三角形，体会等腰三角形是轴对称图形，并借 助轴对称来研究等腰三角形的性质. 重点：等腰三角形的定义 2.学会运用等腰三角形的性质和判定证明一些线段和角的 难点：等腰三角形的性质和判定， 几何问题，从而体会等腰三角形的性质和判定在线段和角的互 相转化中的作用. 01一必备知识梳理。 知识点1等腰三角形的概念和性质 这时的已知条件是“∠B=∠C”,结论是 1.等腰三角形的相关概念 “AB=AC”.证明的方法同样有三种，即三种 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形， 添加辅助线的方法.请读者自己证明. 相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两 由此可见： 腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角 等腰三角形器器 两角相等 (如图). 二者的题设与结论正好相反， 顶角 特别提醒 腰 腰 1.一般情况下，若问题中涉及等腰三角形的边 底角底角》 与角，则要考虑两种情况（边分腰与底边，角分顶角 底边 与底角). 2.等腰三角形的性质定理 2.一般情况下，若问题中涉及三角形腰上的 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边 高，则要考虑三角形的高是在三角形的外部还是在 对等角”)，可利用三角形全等来证明，但需要 三角形的内部，分两种情况讨论， 添加辅助线。 证法一作底边的中线，证法见教材. 例①等腰三角形一腰上的高与另一腰所 证法二 作底边上的高，证明 成的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角的 全等（如图） 大小为 证法三作顶角的平分线，请 解析如图1，当一腰上的高在三角形的内 读者自己证明 B 部时，∠ACD=40°，∴.∠A=50°， 3.等腰三角形的判定定理 ∠B=∠ACB=180°50 =65° 如果一个三角形有两个角相等，那么这两 2 个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 如图2，当一腰上的高在三角形的外部时， 53 重难点手册人年级数学上册团 ∠ACD=40°，∠DAC=50°， 解析(1)如图3，过点A作AF'⊥BC于 ∴.∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B, 点F. .∠B=∠ACB=25°. 图3 A D .AB=AC,AD=AE, 图1 图2 ..BF'=CF',DF'=EF'. 答案65°或25°. ∴.BF-DF=CF-EF.∴.BD=CE 知识点2等腰三角形中的“三线合一” (2).BD=CE,F为DE的中点， ∴BD+DF=CE+EF..BF=CF 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 :AB=AC,∴AF⊥BC 线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）. ∴.∠B=90°-70°=20°. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC. ∴.∠C=∠B=20° 总结在等腰三角形中，顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合，三者可以 互相转化. B D 易错点忽略“三线合一”的前提是等腰三角形 (1)若AD平分∠BAC,则AD⊥BC且 例如图，在△ABC中，AD是BC边上 BD=DC. 的中线，AD是BC边上的高.求证：AD是 [证明△ABD≌△ACD(SAS)即得] ∠BAC的角平分线. (2)若AD⊥BC,则AD平分∠BAC且 BD=DC. [证明△ABD≌△ACD(HL)即得] (3)若BD=DC,则AD平分∠BAC且 B D AD⊥BC 错解'AD⊥BC,BD=CD, [证明△ABD≌△ACD(SSS)即得] 'AD是∠BAC的角平分线. 例②如图1，点D,E在△ABC的边BC 错因忽略“三线合一”的前提是等腰三 上，AB=AC. 角形，片面地认为AD是中线、高线，直接得 (1)若AD=AE,求证：BD=CE; 到AD是∠BAC的角平分线. (2)如图2，若BD=CE,F为DE的中点， 正解.AD⊥BC,BD=CD, ∠BAF=70°，求∠C的度数. ∴AD是BC的垂直平分线 ∴.AB=AC. ,AD是BC边上的中线， B D CB D F ∴AD是∠BAC的角平分线. 图1 图2 54 第十五章 釉对称 02一关键能力提升。 题型1作平行于等腰三角形一边的直线 ,点F,则∠AFD=∠BCE 已知在等腰△ABC中，AB=AC,D为直 .·∠ABC+∠BCE=180°，∠AFD+ 线AB上一点. ∠AFB=180°， 如图1、图2，过点D作DE∥腰AC,则 .∠AFB=∠ABC,.AB=AF DB=DE. .AB=CE,..AF=CE. 如图3、图4，过点D作DE∥底BC,则 又.∠AFD=∠BCE,∠ADF=∠EDC, AD=AE. ∴.△AFD≌△ECD(AAS),∴.AD=ED. ◆变式1如图，在△ABC中，AB=AC,D 为AB的延长线上一点，DE⊥AC交AC的延 E 图1 图2 图3 长线于点E,若∠DCE=∠ACB,求证：BD= E--7D D 2CE. E B E 图4 图5 图6 如图5，过顶角顶点A作AE∥底BC,则 题型2巧用“三线合一”解题 ∠1=∠2.反之，在△ABC中，若AE∥底BC, 在学习中要理清等腰三角形的性质与判 ∠1=∠2，则AB=AC 定的关系，分清它们的作用.要重点掌握等腰 如图6，过底角顶点B作BE∥AC,则 三角形“三线合一”的性质.在学习过程中，要 ∠2=∠C=∠1；若已知∠1=∠2，则由∠2= 反复训练，达到能熟练运用的效果. ∠1=∠C,可得BE∥AC. 例④如图1，在△ABC中，AC=2AB, 特别提醒 等腰三角形、角平分线、平行关系常在同一问 AD平分∠BAC,E是AD上一点，且EA= 题中出现，即若出现任意二者，可推得第三者. EC.求证：EB⊥AB. B ⊙ 例3如图，AE,BC交于点D,且AB= 、D CE,∠ABC+∠DCE=180°，求证：AD=DE. 图1 图2 证明如图2，过，点E作EF⊥AC于点F. 证明如图，过点A作AF∥CE交BC于 AE-EC.AF-AC. 55 重难点手册人年级数学上册) 又AB-吉AC,六AF=AB, .AD平分∠BAC, ∴.△AEF≌△AEB(SAS). ∴.∠ABE=∠AFE=90°. 图1 图2 ∴.EB⊥AB. 总结在等腰三角形的问题中，作出等腰 证明如图2，延长EA至点F,使AF= 三角形底边上的高，也就同时得到了等腰三角 AB,连接BF. 形顶角的角平分线和底边上的中线，这样可以 .'AF-AB, 得到更多解决问题的条件 ∴.∠F=∠ABF ◆变式2如图，在△ABC中，AB=AC,E ∴.∠BAC=∠F+∠ABF=2∠F. 为△ABC外一点，∠E=90°，∠EAB=∠C. .∠BAC=2∠DCE, 求证：BC=2AE. ∴.∠F=∠DCE .'∠FEB=∠CED,BE=DE, ∴.△EFB≌△ECD(AAS), ..CE=EF-AE+AF=AE+AB ◆变式3在△ABC中，∠ACB=2∠A, B AC=2BC,求证：∠B=90°. 题型3折半或加倍构造等腰三角形 题型445°角的用法 基本图形：在△ABC中，∠ABC=2∠C. 已知等腰Rt△ABC,AB=AC 如图1，作∠ABC的角平分线，构造等腰 如图1、图2，当点D为直线AC上一点 △BDC. 时，过点D作DE⊥BC于点E,可得新的等腰 如图2，延长CB到点D,使BD=BA,构 Rt△DEC,DE=EC. 造等腰△ABD A D 45 459 六E D B D B 图1 图2 图1 图2 如图3，当点D为△ABC外一点时， 如图3，作AC的垂直平分线交BC于点 ∠BDC=90°，∠ADC=45°，点D,A在BC同 D,连接AD,则CD=AD=AB, 侧，过点A作AE⊥AD交DC于点E,可得新 的等腰Rt△ADE,AD=AE且△ABD≌ △ACE. B D 图3 如图4，过点A分别作AE⊥CD于点E, 例5如图1，AC与BD交于点E,BE= AF⊥BD于点F,得等腰Rt△ADF和等腰 DE,∠BAC=2∠DCE.求证：CE=AE+AB.Rt△ADE,且△ACE≌△ABF. 56 第十五章 釉对称 ∴.△ABF≌△ACE(SAS). ∴.AE=AF,∠4=∠5. ∴.∠FAE=∠BAC=90° 图3 图4 ∴.∠AEB=45° 如图5，作CD⊥BC,交BA的延长线于 (2)如图2，过点A作AF⊥AE,交BE于点F. 点D,得等腰Rt△ACD .∠AEB=45°， D ∴.∠AFE=45°=∠AEB. ..AE=AF. A 又∠BAC=∠FAE=90°， 45 .∠1=∠2 图5 .△ABF≌△ACE(SAS). 例6△ABC为等腰直角三角形，∠BAC= .∠3=∠4 90°，AB=AC,D是AC边上一点 又∠5=∠3+∠BAC=∠4+∠BEC, (1)如图1，若CE⊥BD交BD的延长线 ∴.∠BEC=∠BAC=90° 于点E,连接AE,求证：∠AEB=45°； .CE⊥BD (2)如图2，若∠AEB=45°，求证：CE⊥BD. ●变式4已知△ABC为等腰直角三角 形，∠BAC=90°，AB=AC,点E为△ABC外 一点 D (1)如图1，当点A,E在直线BC同侧时， 图1 图2 若∠AEC=135°，求证：CE⊥BE; 证明(1)如图1，在线段BE上截取BF= (2)如图2，当点A,E在直线BC异侧时， CE,连接AF. 若∠AEC=45°，求证：BE⊥CE. .CE⊥BD,∴.∠BEC=90° 又∠BAC=90°，.∴.∠BEC=∠BAC 又∠1=∠2+∠BAD=∠3+∠BEC, ∠2=∠3. 又AB=AC, 图 图2 03热点考向聚焦。 考向1等腰三角形中边角等量关系的 转换 例7(2024·四川内江中考)如图，在 B △ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD, 解析.∠DCE=40°， 则∠ACB的度数为 ∴.∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=140°， 57 重难点手册人年级数学上册划 .'AE=AC,BC=BD, .∠CBD=∠CAF. ∴.∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC. .BC=AC, ∴.∠ACE+∠BCD=∠CDE+∠CED ∴.△CBD≌△CAF(ASA). =140°. ∴.BD=AF .∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠ACE+ .BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD ∠BCD-∠DCE=140°-40°=100°. .BE=BE,∴.△ABE≌△FBE(ASA). 答案100°. 考向2等腰三角形中“三线合一”的 AF-EF-TAF. 应用 AE-BD.÷BD=2AE. 例8(2025·湖北武汉江夏区统考)如 例9(2025·湖北武汉武珞路中学检测)如 图1，已知在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， 图1，在四边形ABCD中，AC=BC=BD,AC BD平分∠ABC,且AE⊥BD交BD的延长线 ⊥BD于点E. 于点E.求证：BD=2AE. (1)求证：∠ACB=2∠ABD; (2)若AB=6,求△ABD的面积. M D B 图1 图2 图1 图2 分析BE既是角平分线又有垂直关系，与 分析作底边的垂线，构造“三线合一”」 等腰三角形中的“三线合一”联系.延长AE与 解析(1)如图2，过点C作CF⊥AB于点F. BC的延长线交于，点F,构造等腰△AFB.结合 .'AC=BC, 等腰三角形的性质及三角形全等可证明BD= ∴.∠ACB=2∠ACF=2∠BCF. 2AE. 'AC⊥BD于点E,∠AEB=90°， 证明如图2，延长AE交BC的延长线于 ∴.∠ABD+∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°. 点F .∠ABD=∠ACF,∠ACB=2∠ACF= .∠ACB=90°， 2∠ABD: ∴.∠ACF=∠ACB=90°，∠CBD+∠CDB (2)如图2，过，点D作DM⊥BA交BA的 =90°. 延长线于点M. .∠ADE=∠CDB,， .BD=AC,∠ABD=∠ACF, ∴.∠CBD+∠ADE=90°. ∴.△ACF≌△DBM(AAS). .AE⊥BE, :.DM-AF-zAB-3. ∴.∠BEA=∠BEF=90° ∴.∠CAF+∠ADE=90°. :SA-号AB·DM=9. 58 第十五章轴对称么超 考向3构造等腰三角形 ④以C为圆心，BC长为半径画孤，交AB 例10(2025·湖北武汉汉阳区质检)如 于点K,△BCK就是等腰三角形（图5）； 图1，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC ⑤作AB的垂直平分线交AC于点G,则 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶 △AGB是等腰三角形（图6）； 点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的 ⑥作BC(AC)的垂直平分线交AB于点 等腰三角形的个数最多为(). I(M),则△BCI和△ACI是等腰三角形（图7、图 8中，M,I两点重合，是同一个图) A.4B.5 C.6 D.7 A B 图2 图3 图4 图5 图1 解析①以B为圆心，BC长为半径画孤，交 AB于点D,△BCD就是等腰三角形（图2）； ②以A为圆心，AC长为半径画孤，交AB 于点E,△ACE就是等腰三角形（图3）； ③以C为圆心，BC长为半径画孤，交AC 图6 图7 图8 于点F,△BCF就是等腰三角形（图4）； 答案D 59