15.1 图形的轴对称-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

15 第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 重点和难点 课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形.通过对比，了解 重点：轴对称图形、图形的对称轴的概 轴对称图形和图形的对称轴的区别和联系. 念，轴对称的基本性质 2.根据轴对称的定义，通过折叠探究，理解轴对称的基本性质. 难点：线段的垂直平分线的性质。 3.通过测量、猜想、证明，理解线段垂直平分线的性质 口01必备知识梳理。 知识点1轴对称图形与轴对称的概念 续表 1.轴对称图形 轴对称图形 轴对称 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 1.都是沿某条直线翻折后能够互 两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴 相重合； 对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，也 2.如果把成轴对称的两个图形看 说这个图形关于这条直线（成轴）对称， 成一个整体，那么它就是一个轴 联系 2.轴对称 对称图形； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它 3.如果把一个轴对称图形沿对称 能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 轴分成两个图形，那么这两个图 形成轴对称 关于这条直线对称，称这两个图形成轴对称， 这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应 例1如图，判断下列图形是不是轴对称 点，叫作对称点. 图形，如果是，请画出它们所有的对称轴： 特别提醒 轴对称图形和轴对称的区别与联系 ① 轴对称图形 轴对称 ② ④ 一个构造特殊两个图形之间的特 意义不同 的图形 殊位置关系 对象不同 ⑥ ⑦ ⑧ 一个图形 两个图形 解析图①②④⑤⑥是轴对称图形，对称 可能在两个图形的 轴如图所示. 别对称轴的 定经过这个外部，也可能经过 位置不同图形的内部 两个图形的内部或 它们的公共边（点） 对称轴的 一条或多条 只有一条 3条 4条 6条 数量不同 ① ② ④ 43 重难点手册人年级数学上册团 2.线段的垂直平分线的作法（尺规作图） (1)如图，分别以线段两端点A,B为圆 2条 1条 ⑤ ⑥ 心，以大于2AB的长为半径作弧，两弧相交于 易错点忽略轴对称图形对折后两部分互相重合 C,D两点 例下列图形中是轴对称图形的有 (2)作直线CD,则CD就是所要作的垂直 ① ① ④ 平分线： A1个B.2个 C3个 D.4个 例2如图，△ABC和△A'BC'关于直线 错解C 错因误认为③沿直线折叠后，上下两 1对称. 个全等图形会重合，错选答案C (1)若∠A=30°，∠B'=40°，则∠C的度 正解由轴对称图形的概念知②④为 数为 轴对称图形.故选B. (2)若AC=5,BC=3,则A'B'的取值范 围为 知识点2轴对称图形的基本性质 1.垂直平分线的定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直 线，叫作这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 依线段的垂直平分线的定义可得到轴对 答案(1)110°.(2)2<AB'<8. 称图形的性质： 例3如图1，已知△ABC和△DEF关于 (1)轴对称图形的对称轴是任何一对对应 某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 点所连线段的垂直平分线： M (2)如果两个图形关于某条直线对称，那 么其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线 特别提醒 图1 图2 确定对称轴的方法 解析如图2. (1)对于成轴对称的两个图形，只要找到一对 (1)连接AD. 对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可 以得到这两个图形的对称轴， (②)分别以A,D为圆心，以大于AD的 (2)对于轴对称图形，只要找到任意一对对应 长为半径作孤，两孤分别交于M,N两点 点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就可以得 (3)作直线MN,MN即为所求的对称轴. 到此图形的对称轴 总结成轴对称的两个图形的对称轴与轴 44 第十五章釉对称么出 对称图形的对称轴的画法相同.作出一对对应 证明，AD平分∠BAC,DE⊥AB, 点所连线段的垂直平分线即可 DF⊥AC,垂足分别为点E,F, 知识点3线段的垂直平分线的性质 'DE=DF(角平分线上的点到角两边的 1.线段的垂直平分线的性质定理 距离相等) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个 .点D在线段EF的垂直平分线上（到线 端点的距离相等」 段两个端，点距离相等的，点在这条线段的垂直 2.线段的垂直平分线的性质的逆定理 平分线上) 与一条线段两个端点距离相等的点，在这 AD-AD, 在Rt△ADE和Rt△ADF中， 条线段的垂直平分线上 DE=DF, 3.线段的垂直平分线的相关知识 ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). 文字 图示 符号 ∴.AE=AF .OA=OB,1⊥ '.点A也在线段EF的垂直平分线上（到 AB,.∴.l是AB 经过线段的中 线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 的垂直平分线. 定 点并且垂直于 直平分线上)： 文 ,L是AB的垂 这条线段的直 A B 直平分线， 两点确定一条直线， 线 ∴.OA=OB,L1 ∴.直线AD就是线段EF的垂直平分线， AB 即AD垂直平分EF. 线 的 易错点扩大线段的垂直平分线性质 线段垂直平分 ,L是线段AB 垂 线上的点与这 的垂直平分线，点 逆定理的作用 质 条线段两个端 ⊙ 分 P在l上， 例如图，直线1与线段AB交于点O, 线 点的距离相等 ∴.PA=PB 点P在直线L上，且PA=PB,则下列结论 中正确的有(). 与一条线段两 ①AO=BO; .PA=PB, 个端点距离相 ②PO⊥AB; 判 点P在线段 等的点，在这 AB的垂直平分 ③∠APO=∠BPO; B 条线段的垂直 A 线上 ④点P在线段AB的垂直平分线上. 平分线上 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 例④如图，已知AD是△ABC的角平分 错解D 线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.求 错因误认为点P到线段AB两端点 证：AD垂直平分EF. 的距离相等，则过点P的直线就是线段AB 的垂直平分线，从而选D 正解由条件只能得到，点P在线段AB 的垂直平分线上，不能说明L是线段AB的 垂直平分线，故选A. 45 重难点手册人年级数学上册) 02一关键能力提升。 题型1利用轴对称的性质解题 的度数为 1.轴对称图形的对称轴两侧的部分全等， 例6如图，在△ABC中，AB=8cm, 对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段 BC=6cm,AC=5cm,沿着过△ABC的顶，点 被对称轴垂直平分 B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边 2.成轴对称的两个图形全等，对应线段相 上的点E处，折痕为BD,则△AED的周长为 等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂 cm, 直平分. 特别提醒 利用轴对称的性质解决折叠问题 在折叠问题中，解题的关键是理解折痕所在的 直线是折叠前后的两个图形的对称轴，折叠前后的 解析.'DC=DE,BE=BC=6cm,AB 两个图形是全等图形，利用对应边相等、对应角相 =8cm, 等进行条件的转化，将题目中的已知条件与要求的 ∴.AE=AB-BE=2cm, 结论联系起来。 ∴.△AED的周长=AD+DE+AE=AD 例5图中的两个四边形关于某直线对 +DC+AE=AC+AE=5+2=7(cm). 称，根据图形提供的条件求x,y的值. 答案7. D H ●变式2（经典·山东聊城中考）如图，把 A E 21200 100° 100° 1202 一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落 6 G 在CD边上的点A'处，点B落在点B'处.若 解析.AB=EF=2,∠A=∠E=120°， ∠2=40°，则图中∠1的度数为( .∠F=∠B,即x=70° 又.∠D=∠H=100°， ∴D与H,C与G是对称点 2 ∴.GF=BC,即y=6. 总结关于直线对称的两个图形全等，根 A.115° B.120° 据条件确定对称点，从而确定对应线段、对 C.130° D.140° 应角 ●变式1(2025·湖 题型2线段的垂直平分线性质的应用 北黄石十四中月考)如图， 1.线段的垂直平分线的性质是证明线段 在Rt△ACB中，∠BAC 相等的重要方法。 B B =90°，AD⊥BC,垂足为 2.根据线段的垂直平分线是线段的对称 点D.△ABD与△AB'D关于直线AD对称， 轴，从而得到轴对称图形，进而解决角度和线 点B的对称点是点B',若∠BAC=14°，则∠B 段的问题 46 第十五章 轴对称么 例7如图1，在四边形ABCD中，AG, AH分别垂直平分DC,CB,垂足分别为G, H,∠GAH=75°，∠DBC=25°，求∠ADC的 度数 例8如图，在△ABC中，点D,E分别是 D AC,BC的垂直平分线与边AB的交点.若 ∠ACB=100°，求∠DCE的度数. 图1 解析如图2，连接AC A DE B 解析，∠ACB=100°， B ∴.∠A+∠B=180°-100°=80° 点D,E分别是AC,BC的垂直平分线 H 与AB的交点， 图2 ∴.∠DCA=∠A,∠ECB=∠B .AG垂直平分CD,AH垂直平分BC, ∴.∠ACD+∠BCE=∠A+∠B=80°. ∴.AD=AC=AB,∠DAG=∠CAG, ∴.∠DCE=∠ACB-(∠ACD+∠BCE) =100°-80°=20°. ∠CAH=∠BAH. 总结线段的垂直平分线是线段的对称 ∴.∠DAB=2∠GAH=150°. 轴，从而对称轴两边的三角形全等，进而得到 .∠ADB=∠ABD=15°. 角相等来解决角度问题. ∴.∠ABH=40°=∠ACH. ●变式4如图，在△ABC中，∠C=31°， .∠AGC+∠AHC=180°， ∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE ∴.∠GCH=180°-∠GAH=105°. 垂直平分BC,那么∠A= ∴.∠ADC=∠ACG=105°-40°=65°. ◆变式3如图，AB=AC,DB=DC,点E 是线段AD上任意一点，求证：BE=CE. 门03热点考向聚焦。 考向1识别轴对称图形 答案C 例9(2024·湖北武汉中考)现实世界 考向2利用轴对称的性质求线段的长度 中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也 例10（经典·山东聊城中考）如图，点P 具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是( 是∠AOB外的一点，点M,N分别是∠AOB A国B.家C.昌D盛 两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落 47 重难点手册人年级教学上册？) 在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在 的对称点，若△ABC的内角∠BAC=70°， MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm, ∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠ADB+ MN=4cm,则线段QR的长为()cm. ∠BEC+∠CFA=( ）. A.180° B.270° C.360° D.480° D R A.4.5 B.5.5C.6.5 D.7 E 解析点P关于OA的对称，点Q恰好落 图1 在线段MN上，点P关于OB的对称，点R落 解析如图2，连接AP,BP,CP. 在MN的延长线上， ∴.PM=MQ,PN=NR. '.'PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm, B .'.RN=3 cm,MQ=2.5 cm,NQ=MN- E MQ=4-2.5=1.5(cm). 图2 则线段QR的长为RN+NQ=3+1.5 .点D,E,F是点P分别以AB,BC,AC 4.5(cm). 为对称轴的对称，点， 答案A ∴.∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC, 考向3利用轴对称的性质求角度 ∠CFA=∠APC. 例11(2025·湖北武汉武珞路实验中学 ∴.∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+ 检测)如图1，△ABC的内部有一点P,且点 ∠BPC+∠APC=360°. D,E,F是点P分别以AB,BC,AC为对称轴 答案C 48