13.3 三角形的内角与外角-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十三章 三角形底 13.3三角形的内角与外角 重点和难点 课标要求 重点：三角形外角的概念及外角的 1.掌握三角形内角和为180°，并运用三角形内角和定理进 性质 行有关计算。 难点：运用所学的结论进行与角有关 2.掌握三角形外角的概念及与外角有关的推论. 的计算。 3.运用三角形内、外角的有关性质，进行与角有关的计算 口-01一以备知识梳理。一 知识点1三角形内角和定理 例①如图，AE,AD分别是△ABC的高 1.定理 和角平分线. 三角形三个内角的和等于180°. 2.定理的证明方法 证明三角形内角和定理的方法有很多.定 理的证明需添加辅助线，通过辅助线将角转移 B DE C 和集中，把隐含的条件显现出来，因此辅助线 (1)若∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的 起牵线搭桥的作用.由180°可联想到平角、邻 度数； 补角、两直线平行，同旁内角互补等相关结论. (2)若∠B=a,∠C=B,且B>a,求 特别提醒 ∠DAE的度数. (1)构造平角：构造平角就是把三个角“移”成 解析(1)，∠B=36°，∠C=76°，∠BAC+ 一个平角，其构造方法如图1. ∠B+∠C=180°， (2)构造邻补角：可延长三角形的任一边，得到 ∴.∠BAC=180°-36°-76°=68° 邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行 .'AD平分∠BAC, 线，如图2 (3)构造同旁内角：过三角形的一个顶，点作平 ∠CD=∠BAC=3E 行于这一点所对边的射线，如图3. ∠CAE+∠C+∠AEC=180°，AE是 △ABC的高， ∴.∠CAE=180°-90°-76°=14°. B C B C入B 图1 图2 ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE=34° 14°=20°. A (2).∠B=a,∠C=B,∠BAC+∠B十 A ∠C=180°， B 图3 .∠BAC=180°-a-B. .AD平分∠BAC, 9 重难点手册人年级数学上册团 ∠CaD=2(180°-a-8)=90 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两 个锐角互余. a+ (2)直角三角形的判定：有两个角互余的 .∠CAE+∠C+∠AEC=180°，AE是 三角形是直角三角形 △ABC的高， 3.直角三角形的三种判定方法 ∴.∠CAE=180°-90°-3=90°-B. (1)证明三角形中有一个内角为90°（或证 '.∠DAE=∠CAD-∠CAE 明三角形的两条边互相垂直)， (2)证明三角形中有两个内角互余， =90°-2a+8)-(90°-) (3)证明三角形中有一个内角与已知的直 -a). 角相等， 例2如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 总结由此例可以得出一个重要结论：从 ∠ACD=∠B.求证：△CDB是直角三角形 三角形的一个顶点作三角形的高和角平分线， A 它们所夹的角等于三角形另外两个角的差的 D 绝对值的一半。 易错点忽略三角形的高在三角形外的情况 例已知AD为△ABC的高，∠BAD= 证明.∠ACB=90°， 70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数. ∴.∠ACD+∠DCB=90° 错解∠BAC=70°+20°=90°. ∠ACD=∠B, 错因未考虑高在△ABC外部的情形. ∴∠B+∠DCB=90° 正解若AD在△ABC的内部，∠BAC ∴.△CDB是直角三角形. =70°+20°=90°；若AD在△ABC的外部， 知识点3三角形的外角 ∠BAC=70°-20°=50°. 1.三角形外角的定义 特别提国 三角形的一边与另一边的延长线组成的 三角形的高可以在三角形的内部、边上、外部 角，叫作三角形的外角.图中的∠ACD为△ABC 三种情况. 的一个外角， 知识点2直角三角形的性质与判定 1.直角三角形可以用符号“Rt△”表示 2.直角三角形的性质与判定 B 一D 如图，在Rt△ABC中，直角所对的边AB 2.三角形外角的性质 叫作斜边，夹直角的两条边CA和CB叫作直 性质1：三角形的外角等于与它不相邻的 角边. 两个内角的和， B 直 斜边 推证：如上图，.'∠ACD+∠ACB=180° 边 (平角的定义)， C 直角边 又∠A十∠B十∠ACB=180°（三角形内 10 第十三章三角形 角和等于180°)， ∴.∠ACD=∠A+∠B (￥) 性质2：三角形的外角大于与它不相邻的 任何一个内角， 0 推证：由上面的()式易知∠ACD> 图3 图4 ∠A,∠ACD>∠B: 注意总结基本图形的结论是为了便于大 例③(2024·武汉月考)如图，在△ABC 家记忆，但真正运用的时候，还是要把结论推 中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC交 理一遍， CA的延长线于点E,交DA的延长线于点F, 例④(2025·安徽合肥梦园中学期中)如 若∠ABC=22°，∠C=34°，求∠F的度数 图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交 解析.∠ABC=22°， 于点O,点D是外角与内角平分线的交点，点 ∠C=34°， E是外角平分线的交点.若∠BOC=120°，求 ∴.∠BAC=124°. ∠D和∠E的度数 B .AD为△ABC的角 平分线， .∠CAD=62°=∠EAF. .BE⊥AC, Q .∠AEF=90°. E ∴.∠F+∠EAF=90°. 解析BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠℉=28. ∴.∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB. 知识点4几种常见的基本图形 .∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴.2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°. 列鱼点 从图中可得到以下信息： ∠0CB+∠0BC=-90-2∠A. (1)在图1中，∠1+∠2=∠3+∠4. .∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°， (2)在图2中，若OB,OC分别平分∠ABC, ∠ACB,则∠B0C=90+7∠A 90-7∠A+∠B0C=180 (3)在图3中，若OB,OC分别平分∠DBC, ∠B0C=90+2∠A. ∠BCB,则∠B0C=90-号∠A 而∠BOC=120°，.∠A=60° (4)在图4中，若OB,OC分别平分∠ABC, .BD平分∠ABC,DC平分∠ACF, ∠ACD,则∠BOC= 2<A ∴.∠ACF=2∠DCF,∠ABC=2∠DBC .∠DCF=∠D+∠DBC,∠ACF= 17 ∠ABC+∠A, .2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A. B 图1 图2 2∠D=∠A,即∠D-3∠A. 11 重难点手册人年级数学上册) .∠A=60°，.∠D=30°， ∠BDO:∠BOC=5:9,直接写出∠BOE: 点E是外角平分线的交点， ∠EOC的值为 ∴.∠E=180°-（∠EBC+∠ECB) 解析(1)①115°；115° =180°- 2∠HBC+∠GCB) ②∠AOC=∠ADO.理由如下： 设∠ABC=a,则∠BAC十∠BCA=180°-a. =180-2(∠A+∠AB+∠A+ .△ABC的三个内角的平分线交于点O, ∠ABC) :LOAC+∠OCA-ZBAC+∠BCA) =18o-1s0+∠0 90°-5a, .∴.∠AOC=180°-（∠OAC+ =90°- =60°. 20cM)=90+20. 例⑤[综合探究]如图，在△ABC中，三个 .OB平分∠ABC, 内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB ∠ABO= 2∠ABC= 2e. 交边AB于点D.探究∠AOC与∠ADO之间 .OD⊥OB,∴.∠BOD=90°， 的数量关系 ∠ADO=∠BOD+∠ABO=90°+ 2, ∴.∠AOC=∠ADO (2)由(1)知，∠ADO=∠AOC, (1)①[特例研究]若∠ABC=50°，则 ∴.180°-∠AD0=180°-∠AOC, ∠AOC的度数为 一，∠ADO的度数为 '.∠BDO=EOC ,∠BDO:∠BOC=5:9, ②[一般结论]猜想∠AOC与∠ADO之间 ∴.∠EOC:∠BOC=5:9. 的数量关系，并说明理由， .'∠BOE+∠EOC=∠BOC, (2)汇拓展延伸]延长AO交BC于点E,若 ∴.∠BOE:∠EOC=4:5. 02关键能力提升。 题型1用方程的思想求角的度数 方程思想是数学中的一个重要的思想，我 解析由题意可列方程组 们可以利用方程将几何问题转化为代数问题 ∠A-∠B=15°， 再进行求解.通过题目中的等量关系，列出相 ∠A+∠B+75°=180°， 关的方程或方程组进行求解. ∠A=60°， 解得 例6在△ABC中，∠A一∠B=15°， ∠B=45°. ∠C=75°，则∠A=,∠B= 答案60°；45°. 12 第十三章三角形么超 总结对于三角形中求角的几何问题，我 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°. 们通常设未知数，使其代数化，利用二元（或一 求∠DAC的度数. 元)一次方程进行求解，达到几何问题代数化、 代数问题方程化的效果. ●变式1已知三角形的第一个角是第二 B2 43C 个角的)倍，第三个角比这两个角的和大30°， 分析∠4是△ABD的外角，得出∠3与 求这三个角的度数， ∠2的关系，再在△ABC中运用三角形内角和 题型2三角形外角的应用 等于180°求出∠3. 特别提国 解析∠4是△ABD的外角， 与三角形的外角有关的结论： .∠4=∠1+∠2. (1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 又∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠3=∠4=2∠2. 的和 (2)三角形的外角与相邻的内角互补. :∠2=3∠3. (3)三角形的外角大于任何一个与它不相邻的 ∠BAC=63°，∠2+∠3+63°=180°， 内角 外角与内角的关系和三角形的内角和定理是求 2∠3=17，印∠378 解三角形角度问题的重要工具，在解题时要灵活运用. :∠4=∠3=78°， 例⑦如图，在△ABC中，点D是BC边 ∴.∠DAC=180°-78°-78°=24°. -03热点考向聚焦。☐ 考向1三角形内角与外角关系的应用 .∠1=∠2+∠ABD,∠3=∠4+∠ACD, 例⑧(2025·江西九江外国语学校期中)如 ∴.∠BDC=∠1+∠3=（∠2+∠4）+ 图1，∠A=40°，∠ABD=∠ACD=20°，则 ∠ABD+∠ACD ∠BDC的度数为 =40°+20°+20°=80° 答案80°. 考向2三角形内角和定理的应用 例9(2024·四川内江中考)如图，在 图1 △ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD, 解析如图2，连接AD并延长交BC于点E 则∠ACB的度数为 A D E 图2 解析.∠DCE=40°， 13 重难点手册人年级数学上册 ∴.∠CDE+∠CED=180°-∠DCE= .∠MNB=90° 140°. .∠2=90°-∠BMN. .AE=AC,BC=BD, .∠1-∠2=∠1-90°+∠BMN= ∴.∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC. ∠CMN+∠BMN-90°=∠BMC-90°. ∴.∠ACE+∠BCD=∠CDE十∠CED= 又∠A=60°， 140°. ∠BMC=90+号∠A=12 '.∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠ACE+ ∠BCD-∠CDE=140°-40°=100. .∠1-∠2=30° 答案100°. (3):∠BBC=∠A+3∠ACB,∠BDC= 考向3三角形的内、外角平分线的应用 例10(2025·湖北武汉七一华源中学模 ∠A+2ABC, 拟)已知在△ABC中，BD平分∠ABC,CE平 分∠ACB,BD与CE交于点M. +y=2A+号☑ABC+∠ACB) (1)如图1，若∠ABC=70°，∠ACB=50°， 求∠BMC的度数； (2)如图2，若MN⊥BC于点N,∠A= 又∠BMc=90+3∠A,∠A- 3(x+ 60°，求图中∠1一∠2的值； y)-60°， (3)若∠BEC=x,∠BDC=y,求∠BMC 的度数 ∴∠BMC=60°+x+y 3 考向4直角三角形的性质与判定的应用 例11(2025·湖北武汉外校模拟)在满 足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 (). 图1 图2 A.∠A-∠B=∠C 解析(1).BD,CE平分∠ABC,∠ACB, B.∠A:∠B:∠C=3:4:7 ∴∠MC-∠Ac,∠B=号∠AcB, C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A=90°，∠B=81° ∴△MBC+∠MCB-☑AC+∠ACB) 解析当∠A=2∠B=3∠C时， -3xas0'-∠A) 设∠A=x,∠B=x,∠C=月x, 又∠A+∠B+∠C=180°， ++3=180, ∴∠BMc-180-(90°-2∠A =90+3∠A=120 解得x=八 ∠A≠90°. (2).MN⊥BC, 答案C 14