专题一 反比例函数K的几何意义六大模型（解题策略+分类解析+拓展训练）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 专题一 反比例函数K的几何意义六大模型（解题策略+分类解析+拓展训练） 反比例函数中 k 的几何意义是中考的核心考点，它建立了比例系数 k 与几何图形面积之间的桥梁。为了让你能快速掌握各类题型，下面这个表格汇总了最常见的模型、结论和解题要点。 模型分类 核心图形/特点 关键点与技巧 一点一垂线 图象上一点 P 向 x 轴或 y 轴作垂线，与原点/坐标轴一点构成三角形 k｜ 一点两垂线 图象上一点 P 向两坐标轴作垂线，构成矩形 ｜k｜ 两点一垂线（同支） 同一象限内两点分别作坐标轴垂线，与原点构成三角形 k｜ 两曲一平行 两个不同反比例函数图象上的点，且两点连线与坐标轴平行 k_1 - k_2 面积与k的相互求解 已知图形面积求 k 值 ​注意 k 的符号​：图象在一、三象限，k>0；在二、四象限，k<0。 坐标系中的面积分割 一次函数与反比例函数相交，求所围成图形面积 将复杂图形分割为几个易求面积的三角形或四边形，或利用面积和差关系。 模型1 一点一垂线 例1．已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 1．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则的值为 ． 2．如图，设点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴，垂足分别是C、D．连接、，若交于点，且的面积是2011，则梯形的面积是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 3．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 模型2 一点两垂线 例2．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 3．如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ． 模型3两点一垂线 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 1．如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．21 2．如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是 ． 3．如图，反比例函数上两点A，B的横坐标分别为，，则的面积是 ． 模型4两曲一平行 例4．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．双曲线、在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，则的面积是 ． 3．如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为 ． 模型5已知面积求K、已知K求面积 例5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 1．如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为 ； （2）若的面积为3，则的值为 ． 2．如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为． （1）若点是的中点，则 ； （2）若，则的面积为 ． 3．如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B，D均在y轴上，轴，与x 轴交于点E，连接，若的面积为5，则k 的值为 ． 模型6坐标系中的面积分割 例6．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 2．如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 3．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：______；______；______； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 3．一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)求的面积． 4．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点C与点A关于x轴对称，连接，，求的面积． 6．【情景预设】 如图，在平面直角坐标系中(为1个单位长度)，平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为． 【初步解决】 （1）求反比例函数表达式． 【深入探究】 （2）若经过A，C两点的直线表达式为，请直接写出不等式的解集． （3）连接，求的面积． 7．如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 8．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D． (1)点B的坐标为______． (2)点D是的中点吗？请说明理由； (3)连接，求四边形的面积． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若，求的面积； (3)请直接写出当时，不等式解集． 10．如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．若的面积是9． (1)求反比例函数的解析式． (2)点为直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 分 类 解 析 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 拓 展 训 练 模 型 分 类 与 解 题 策 略 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 专题一 反比例函数K的几何意义六大模型（解题策略+分类解析+拓展训练）（解析版） 反比例函数中 k 的几何意义是中考的核心考点，它建立了比例系数 k 与几何图形面积之间的桥梁。为了让你能快速掌握各类题型，下面这个表格汇总了最常见的模型、结论和解题要点。 模型分类 核心图形/特点 关键点与技巧 一点一垂线 图象上一点 P 向 x 轴或 y 轴作垂线，与原点/坐标轴一点构成三角形 k｜ 一点两垂线 图象上一点 P 向两坐标轴作垂线，构成矩形 ｜k｜ 两点一垂线（同支） 同一象限内两点分别作坐标轴垂线，与原点构成三角形 k｜ 两曲一平行 两个不同反比例函数图象上的点，且两点连线与坐标轴平行 k_1 - k_2 面积与k的相互求解 已知图形面积求 k 值 ​注意 k 的符号​：图象在一、三象限，k>0；在二、四象限，k<0。 坐标系中的面积分割 一次函数与反比例函数相交，求所围成图形面积 将复杂图形分割为几个易求面积的三角形或四边形，或利用面积和差关系。 模型1 一点一垂线 例1．已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，依此解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：3． 1．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： ． 2．如图，设点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴，垂足分别是C、D．连接、，若交于点，且的面积是2011，则梯形的面积是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键．利用k的几何意义得到，进而求解即可． 【详解】∵点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 3．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 模型2 一点两垂线 例2．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 2．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据A， B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A， B是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， 故答案为：8． 3．如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点A， 矩形的面积为 故答案为： 模型3两点一垂线 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 1．如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．21 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等知识．证明，可得，再根据反比例函数k的几何意义得出答案． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：A． 2．如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，涉及反比例函数的图象与性质，反比例系数k的几何意义，先根据函数图像上点的坐标特征得出，，于是，再由反比例函数系数k的几何意义可知，那么，进而可求出答案． 【详解】解：、在反比例函数的图象上， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， ， 当时，，随自变量的增大而增大，此时． 3．如图，反比例函数上两点A，B的横坐标分别为，，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是将求不规则三角形的面积的问题转化为几个图形面积的和差的形式求解．过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ，， ． 故答案为：． 模型4两曲一平行 例4．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 2．双曲线、在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积就等于． 根据，列式子求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：3． 3．如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数（）中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积． 设，由在得（矩形面积）；、在上，用的几何意义得、面积均为；矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：设（）． ∵ 在上， ∴ ，即（矩形面积为）． ∵ 在上且在上，横坐标为，纵坐标为， ∴ 面积． 同理，在上且在上，面积 ∴ 四边形面积． 故答案为：． 模型5已知面积求K、已知K求面积 例5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理解题． 通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 设点的坐标为， 是的中点， ， ，点的横坐标与点相同，为， 将代入，可得点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴，垂直于轴方向， 在中，（底，的长度为点的纵坐标（高， 根据三角形面积公式底高，可得： ， ， ， 故选：C． 1．如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为 ； （2）若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，反比例函数的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据题意将点A代入即可得出结果； （2）由（1）得出点坐标，进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：（1）点在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为． （1）若点是的中点，则 ； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意得到点的坐标，然后把它代入反比例函数的解析式求解即可； （2）由反比例函数的几何意义得到的值，再通过三角形的面积公式求出的长度，从而求出的值，最后再用即可求出． 【详解】（1）解：在矩形中， ， ． 点是的中点， ， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ，即， 故答案为：4； （2）解：根据反比例函数中的几何意义知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B，D均在y轴上，轴，与x 轴交于点E，连接，若的面积为5，则k 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式的值，先解出，由中心对称的性质得点和点关于原点对称，可得出，再由可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 连接，如图， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 模型6坐标系中的面积分割 例6．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)2 (2)3 (3)见详解 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中． （1）设点，则点，则； （2）的面积的面积，即可求解； （3）确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：设点，则点， 则， 故答案为： 2 ； （2）解：连接， 则 的面积 的面积； （3）解：设点，则点， ∵点与点关于点对称，故点， 则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得， 解得， 直线的表达式为：， 令，则， 故点， 故，而， 又 ∵， 故四边形为平行四边形． 3．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：______；______；______； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)的面积为； (3)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，求函数解析式，求面积，确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设直线与轴交于点，求出点，然后通过即可求解； （3）由图象即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象过， ∴， 故答案为：，，； （2）解：如图，设直线与轴交于点， 由（1）得，， ∴当时，， ∴， ∴点， ∴， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 即不等式的解集为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 3．一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用反比例函数求出点的坐标，进而利用待定系数法解答即可求解； （）设直线与轴相交于点，求出点坐标，再根据解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设直线与轴相交于点， 把代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 4．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把点的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式； （2）利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度； （3）通过三角形面积公式即可求解． 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数为． （2） ∵过作轴，交过点的一次函数的图象于点， ∴当时；， ∴，， ∴． （3） ∵， ∴， ∴． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点C与点A关于x轴对称，连接，，求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)12 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形变化—轴对称． （1）先根据点B求出m值，再根据反比例函数解析式求出n值，利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）利用轴对称的性质求得C的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴点A的坐标为， 把，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，． ∵点C与点A关于x轴对称， ∴， ∴． ∴． 6．【情景预设】 如图，在平面直角坐标系中(为1个单位长度)，平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为． 【初步解决】 （1）求反比例函数表达式． 【深入探究】 （2）若经过A，C两点的直线表达式为，请直接写出不等式的解集． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）由题意确定出A的坐标，然后将A的坐标代入反比例函数表达式中求出k的值，即可求得反比例函数表达式； （2）先求得点C的横坐标，然后根据图象即可求得解集； （3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，再计算出，然后利用即得． 【详解】解：（1）由题意可知，将A点坐标代入中，得， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）由题意得，， ∴C点的横坐标为4． 由图象可知，不等式的解集是或． （3）把代入，得， ∴． ∵， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形，比例系数的几何意义，求三角形的面积，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【答案】(1)4，8 (2)不变，8 【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得； （2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点， ∵平行y轴，平行y轴， ∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形是矩形，四边形是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， ， ∴， 故答案为：4；8； （2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， 同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形， 则，，，， ∴， ∴， 由（1）可知：． 8．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D． (1)点B的坐标为______． (2)点D是的中点吗？请说明理由； (3)连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)四边形的面积为 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式． （1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标； （2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论； （3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是， ∴， ∴点B的坐标为：； （2）解：把点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为：； 设直线的解析式为：， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 解方程组 得：或 （不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为：， 即点D为的中点； （3）解：如图，连接， 点D为的中点， 的面积平行四边形的面积， ∴四边形的面积平行四边形的面积的面积； 四边形的面积为． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若，求的面积； (3)请直接写出当时，不等式解集． 【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数表达式为 (2)的面积为6 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式， （1）先求出，进而得出及，设点C坐标为，代入求出反比例函数表达式及一次函数表达式； （2）先求出直线表达式为，进而得出，即可求出面积； （3）结合图象即可得出结论． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， 当时，，则， 点A横坐标为2， ， ， ， 设点C坐标为， ， ， ， 当时，，即， 把代入， 解得：， 一次函数表达式，反比例函数表达式为； （2），直线表达式， 直线表达式为， 由题意得：， 解得：， ， 当时，， ， ； （3）由图象可知：在点C左侧，正比例函数值小于反比例函数值， 当时，不等式解集为． 10．如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．若的面积是9． (1)求反比例函数的解析式． (2)点为直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据三角形面积，先求出反比例函数解析式． （1）连接，根据的面积是9，，得出，再根据图象在第二象限，求出，即可得出答案； （2）先求出直线的解析式为，得出，求出，设直线上的点，根据的面积等于面积的2倍，得出，求出m的值即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 的面积是9， ， ， 图象在第二象限， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：点，在的图象上， ， ． 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 轴交轴于点， ， ， 设直线上的点， ， 或， 或 针 对 训 练 分 类 解 析 拓 展 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 模 型 分 类 与 解 题 策 略 针 对 训 练 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