26.1.1反比例函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版数学九年级下册

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 26.1.1反比例函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点一 、反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 y=(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）y= (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式. 题型1 反比例函数概念辨析与识别 例1．下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的概念，掌握定义形式是解题的关键． 根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数． 【详解】解：∵ 反比例函数的形式为 （）， 选项 A：，是一次函数，不符合题意； 选项 B：，符合 形式，且 ，符合题意； 选项 C：，是二次函数，不符合题意； 选项 D：，是一次函数，不符合题意． 故选：B 【变式1-1】．在下列函数表达式中，有（    ）个是的反比例函数． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题关键是掌握反比例函数的形式为（为常数，），据此对每个函数进行判断即可． 【详解】满足反比例函数形式，是反比例函数； ，不满足反比例函数形式，不是反比例函数； 是正比例函数，不是反比例函数； ，是的反比例函数，不符合题意； ，满足反比例函数形式，是反比例函数； 所以有2个是的反比例函数． 故选：A． 【变式1-2】．下列图示中，能够正确表示函数、一次函数、正比例函数和反比例函数之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了函数的概念，关键是理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念． 【详解】解：函数包括一次函数和反比例函数， 选项不符合题意， 当一次函数中时， 一次函数包含正比例函数， 选项不符合题意． 故答案选：． 【变式1-3】．下列表达式中，表示y是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题的关键，是基础题，难度不大． 根据反比例函数定义，形如，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、不能表示y是的反比例函数，故本选项不符合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型2利用反比例函数概念求参数 例2．已知． （1）当的值为 时，是的正比例函数． （2）当的值为 时，是的二次函数． （3）当的值为 时，是的反比例函数． 【答案】 1 【知识点】正比例函数的定义、根据二次函数的定义求参数、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 【变式2-1】．已知函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】1 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，也可以写成或．解题的关键是牢记反比例函数的定义．根据反比例函数的定义可得且，由此求的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式2-2】．若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】．已知是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．根据反比例函数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得或且且， ∴． 故答案为：． 知识点二 、反比例函数的解析式 xy=k（定值）、、 （k≠0） 1.反比例函数解析式的特征: 1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. 2）比例系数 3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。 2.待定系数法求反比例函数解析式 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。 题型3用交点求反比例函数解析式 例3．已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数成为解题的关键． 先根据反比例函数的定义求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘结果是的就在此函数图象上，据此即可解答． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上． A、因为，所以该点不在双曲线上，故A选项不符合题意； B、因为，所以该点不在双曲线上，故B选项不符合题意； C、因为，所以该点不在双曲线上，故C选项不符合题意； D、因为，所以该点在双曲线上，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后求出的值即可，解题的关键是正确理解反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】．若反比例函数的图像经过点，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，通过解方程求出的值． 【详解】因为反比例函数的图像经过点， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，即图象上的点满足，也就是， 将代入，可得． 故答案为：． 【变式3-3】．已知如图，反比例函数图象上有两点A、B，坐标如图所示，直线经过A、B两点． (1)求出直线的函数关系式； (2)有一个二次函数顶点在A，经过B点，求这个二次函数的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据反比例函数的定义求参数 【分析】此题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法是关键． （1）根据反比例函数图象经过A、B两点得到，求出，得到B点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的函数关系式； （2）设二次函数的函数关系式为，把B点的坐标代入得到求出，即可得到二次函数的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意可知，A、B两点的坐标分别为，， ∵反比例函数图象经过A、B两点， ∴， 解得， ∴B点的坐标为， 设直线的函数关系式为，把A、B两点的坐标，代入得到 ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （2）∵二次函数顶点在A， ∴可设这个二次函数的函数关系式为， 把B点的坐标代入得到， ， 解得， 解得， ∴二次函数的函数关系式为． 题型4用反比例关系求解析式 例4．已知变量x，y满足(x－2y)2＝(x＋2y)2＋10，问：x，y是否成反比例函数关系？如果不是，请说明理由；如果是，请求出比例系数． 【答案】x，y成反比例关系，比例系数为：． 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【详解】试题分析：直接去括号，进而合并同类项得出y与x的函数关系式即可． 试题解析：∵， ∴， 整理得出：， ∴， ∴x，y成反比例关系，比例系数为：． 【变式4-1】．已知变量x，y满足．问：x，y是否成反比例？请说明理由． 【答案】x，y是成反比例函数关系，理由见详解 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】对进行化简，然后根据反比例函数的定义可进行求解． 【详解】解： ∴， ∴x，y是成反比例函数关系． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【变式4-2】．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 【变式4-3】．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 题型5用表格信息求解析式 例5．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 【答案】(1) (2)反比例关系， (3)见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据表格中，利用长方形面积公式进行计算即可求解； （2）根据长方形面积公式列出函数关系式，即可求解； （3）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解： 长方形的面积为4 （2）x与y是反比例关系，可得 （3）如表所示 【变式5-1】．电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式．已知，填写下表并回答问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）变量R是变量I的函数吗？ （2）变量R是变量I的反比例函数吗？ 【答案】填表见解析，（1）R是I的函数；（2）R不是I的反比例函数 【分析】 ，P=5W，分别将I的值代入计算即可得； （1）根据函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”进行解答即可得； （2）根据反比例函数的定义“一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数”进行解答即可得． 【详解】解：，P=5W，则 I/A 1 2 3 4 5 6 7 8 R/Ω 5 （1）由表格可知，对于I确定的值，就有唯一的R值对应，符合函数的定义，所以变量R是变量I的函数； （2）变量R不是变量I的反比例函数．理由如下： 将P=5代入可得， 所以变量R是变量的反比例函数，不是I的反比例函数． 【点睛】本题考查了函数和反比例函数，解题的关键是熟记函数的定义和反比例函数的定义． 【变式5-2】．已知y是x的反比例函数，下表列出了x与y的一些对应值． x … －4 －3 －2 －1 2 3 … y … 6 －18 … (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)根据表达式完成上表． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设反比例函数的表达式为y=，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可； （2）将x或y的值代入函数解析式求得对应的y或x的值即可． 【详解】解：（1）设反比例函数的表达式为y=， 把代入得， （2）将y=代入得：； 将代入得：y=； 将代入得：y=9； 将代入得：y=18， 将代入得：x=1； 将x=2代入得：， 将x=3代入得：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，求得函数的解析式是解题的关键． 【变式5-3】．北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 【答案】表格见解析，y与x的函数关系式为 【分析】根据路程=速度×时间可进行求解． 【详解】解：当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则； ∴补全表格如下： 12 15 17 19 22 138.4 110.7 97.7 87.4 75.5 ∴y与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及路程=速度×时间是解题的关键． 知识点三 用反比例函数描述数量关系 根据问题中的数量关系，根据数量关系转化为反比例函数 题型6 根据反比例函数描述数量关系 例6．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例，理由见解析 (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； 故表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 （2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 【变式6-1】．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 【变式6-2】．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 【变式6-3】．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 题型7由反比例函数求函数值 例7．已知的三个顶点为、、，将向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值． 【答案】m的值为4或0.5 【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入，求出平移后的横坐标，进而可求出m的值． 【详解】解①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴AB中点坐标为． 在中，当时，， 故； ②∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴AC中点坐标为， 在中，当时，， 故； ③∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴BC中点坐标为， 在中，当时，没有意义． ∴m的值为4或0.5． 【点睛】此题考查了平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，分类讨论是解答本题的关键． 【变式7-1】．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为． (1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果； (2)求小明、小华各取一次小球所确定的点落在反比例函数的图像上的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意用列表法表示出的所有可能出现的结果； （2）由小明、小华各取一次小球所确定的点落在反比例函数的图像上的有，，，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：列表法表示出的所有可能出现的结果，如下表：        则可能出现的结果共有16种情况； （2）由（1）可知，可能出现的结果共有种，它们出现的可能性相等． 满足点落在反比例函数的图像上（记为事件）的结果有种， 即，，，所以． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，反比例函数求值，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为，概率所求情况数与总情况数之比． 【变式7-2】．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm， 即，将代入，求得； ∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm， 即，将代入，求得； 故求第4行、第7行的视力值分别是，． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． 【变式7-3】．如图，直线与双曲线交于、两点．    (1)求直线的解析式； (2)点C为线段上的一个动点（不与A、B重合），作轴于点D，求面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、代入，即可求出、，再利用待定系数法求解即可； （2）设，则，又可求出，进而可利用三角形面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）∵、在双曲线上， ∴， ∴， ∴、． 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：点C为线段上的一个动点，直线AB的解析式为， ∴可设C． ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识．熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 题型8由反比例函数值求自变量 例8．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【变式8-1】．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【变式8-2】．在平面直角坐标系中，设一次函数（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点． (1)若； ①求m，n的值； ②当时，求的取值范围； (2)当点在反比例函数图象上，求的值． 【答案】(1)①，　② (2)20 【分析】（1）①根据题意得到m与n的关系式，再结合，求出m、n的值即可；②分类讨论解不等式即可； （2）根据题意得到mn的值，再结合，利用完全平方公式即可求得的值． 【详解】（1）解： ①（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点， ， ， ， 解得， ，； ②、由①可知， 当时，， 当时，， 解得， ； 当时，， 解得， 无解； 综上所述：当时，求的取值范围为； （2）点在反比例函数图象上， ， 由（1）可知， ， 的值为20． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，反比例函数性质，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式的变形以及反比例函数的性质是解决本题的关键． 【变式8-3】．反比例函数的图像经过、两点. （1）求m，n的值； （2）根据反比例图像写出当时，y的取值范围. 【答案】（1），；（2）当时，． 【分析】（1）将点 , 的坐标分别代入已知函数解析式,列出关于m,n 的方程组,通过解方程=组来求m,n的值即可; （2） 利用（1）中的反比例函数的解析式画出该函数的图象,根据图象直接回答问题. 【详解】(1)根据题意，得 解得m=−2，n=−2，即m，n的值都是−2. (2)由(1)知，反比例函数的解析式为y=−，其图象如图所示： 根据图象知，当−2<x<0时，y>1. 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握计算法则是解题关键. 题型9实际问题中的反比例函数 例9．如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．    (1)点O到直线的距离为 ； (2)求y与x的函数解析式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）连接，与相切于点E，推导出半径，即点O到直线的距离即为圆的半径，据此解答； （2）首先作交于F，可得四边形是矩形；然后根据切线长定理得到，，则；在直角中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】（1）解：如图1，连接，      ∵与相切于点E， ∴半径， ∴即为点O到直线的距离， ∵， ∴， （2）作交于F．如图2，    ∵、与切于点定A、B， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∵切于E， ∴， ， 则， 在中，由勾股定理得：， 整理为， ∴y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长的定理的应用，圆周角定理以及直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，反比例函数的应用等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题． 【变式9-1】．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连． (1)写出B点的坐标； (2)填写下表： 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 的长度 的长度 四边形的面积 ①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值． ②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断； (3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)填写表格见解析，①长度的最小值是；②四边形的面积不会发生变化 (3)存在经过M，N两点的反比例函数 【分析】（1）利用正方形的性质求解即可； （2）①通过写点的坐标，填表，弄清楚本题的基本数量关系，由勾股定理计算出，然后每个量的变化规律，然后进行猜想；②用运动时间，表示线段的长度，运用割补法求四边形的面积， （3）由中位线定理得点，反比例函数图象上点的坐标特点是，利用该等式求值． 【详解】（1）； （2）填表如下： 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 6 5 4 3 2 1 的长度 1 2 3 4 5 6 的长度 5 5 四边形的面积 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 ①线段的长度的变化规律是先减小再增大，长度的最小值是． ②根据所填数据，四边形的面积不会发生变化； ∵， ∴四边形的面积不会发生变化． （3）点， 当时，则， ∴当存在经过两点的反比例函数． 【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点：(定值)等，可有助于提高解题速度和准确率． 【变式9-2】．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值． 【变式9-3】．甲、乙两地相距100 km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t(h)表示为汽车速度v(km/h)的函数，并说明t是v的什么函数． 【答案】t是v的反比例函数 【分析】时间=路程÷速度，把相关数值代入即可求得相关函数，看符合哪类函数的一般形式即可． 【详解】∵路程为100，速度为v， ∴时间t＝，t是v的反比例函数． 【点睛】考查列反比例函数关系式，得到时间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：反比例函数的一般式为y＝（k≠0）． 例10．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)，是正比例函数，比例系数为 (2)，是反比例函数，比例系数为 (3)，是反比例函数，比例系数为 【分析】(1)根据题意即可写出函数关系式； (2)根据题意即可写出函数关系式； (3)根据题意即可写出函数关系式； 【详解】（1）解：由题意可得：，是正比例函数，比例系数为； （2）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为； （3）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为． 【点睛】本题考查了根据题意写函数解析式，理解题意，正确写出函数关系式是解决本题的关键． 【变式10-1】．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 【变式10-2】．若关于的函数，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数的“联合函数”． (1)若函数，当时，求函数y的“联合函数”h的值； (2)若函数，求函数y的“联合函数”h的解析式及h的最大值； (3)若函数，是否存在实数c，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值．若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)； (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键． （1）当时，，当时，，即可求解； （2）由得到，求出，即可求解； （3）当时，即，则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即，则，即可求得；②当时，即可求得；③当时，即可求得，可得h的最小值，进而可得结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 同理可得，， 则； （2）解：因为，，所以y的值随的增大而增大， 即，， ，则， 则， 由即，则， 当时，h的最大值为； （3）解：∵，则函数y的最大值为； ①当时，即， 则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即， 则， 当时，h的最小值为； ②当时，即， 则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即， 则， 当时，h的最小值为； ∴； ③当时，若，则，, ∴； 若，则， ∴； 综上， h的取值为， 故有最小值，为， ∴, ∴． 所以，存在实数，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值． 【变式10-3】．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)理由见解析． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列四个关系中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据形如，则y是x的反比例函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，x的次数为2，不符合反比例函数的定义，故该选项不符合题意； B、，不符合反比例函数的定义，故该选项不符合题意； C、，y是x的一次函数，故该选项不符合题意； D、，符合反比例函数的定义，所以y是x的反比例函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．下列各组变量之间的关系不是反比例函数关系的是(    ) A．压缩一罐质量一定的气体，它的密度与体积． B．小刚参加赛跑时，跑步时间与平均速度v C．当车辆行驶的路程一定时，车轮旋转的圈数与车轮的直径 D．葡萄的售价为每千克元，销售葡萄获得的收入与销售数量x 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，正确表示出各量之间的函数关系是解决本题的关键．先对各选项列出函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】解：A、根据密度公式，为质量且，所以与是反比例函数； B、根据速度和时间的关系式得，，所以与是反比例函数； C、设车轮周长为，行驶的路程，得，所以与是反比例函数； D、根据“收入=售价×销售数量”，已知葡萄的售价为每千克元，所以，这是正比例函数，不是反比例函数． 故选：D． 3．已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，平方差公式应用，根据反比例函数的图象经过点，得出，即可得出，再代入求出结果即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 4．已知点，在同一个函数图象上，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数、正比例函数、二次函数的图象和性质．根据题意，点和点在同一个函数图象上，说明当和时，函数值相等，逐一验证选项，判断是否存在对称性或其他特性使得函数在和处的值相同． 【详解】解：A．，当时，，当时，，此时需同时等于和，矛盾，不符合题意； B．，当时，，当时，，此时需同时等于和，矛盾，不符合题意； C．，当时，，当时，，此时，满足条件，该函数为开口向下的抛物线，对称轴为轴，因此和的函数值相等，符合题意； D．，当时，，当时，，此时需同时等于和，矛盾，不符合题意． 故选：C． 5．若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 6．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 【答案】A 【分析】本题主要考查了列关系式、反比例的定义等知识点，掌握反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数成为解题的关键． 先根据题意列出y与x的关系是可判定甲同学的正误；根据反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数可判断乙同学的正误． 【详解】解：根据题意列出y与x的关系是，即甲同学结论正确； 由，则y与x成反比例关系． 所以甲、乙的都对． 故选A． 7．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 8．中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（   ） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy=−x+18y=2a+1xy=−x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．∵， ∴不是“乾坤点”，故选项A错误； B．∵函数的图象上存在“乾坤点”， ∴， 解得， ∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误； C．若函数是“乾坤函数”， 则，即， ∴， ∴方程无解， ∴函数的图象上不存在“乾坤点”， ∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误； D．∵是“乾坤函数”， ∴， 化简，得， ∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， ∴， ∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确， 故选：D． 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． 故答案为：4． 10．当 时，是反比例函数． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数中常数项为且比例系数不为是解题的关键． 根据反比例函数的定义，确定函数中系数和常数项的条件，进而求出的值． 【详解】解：反比例函数的一般形式为（为常数，）． 对于，需满足 解，得． 解，得． 综上所述，． 故答案为：． 11．反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象经过的点求出的值，再分析反比例函数在给定取值范围时的取值范围．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵ ∴在每个象限内，随的增大而减小 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 12．已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式． 将点，两点分别代入双曲线，可得，，根据题意列不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：将点，两点分别代入双曲线， 得，， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 13．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 15．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是反比例函数，理由见解析 (2)是反比例函数 (3)不是反比例函数，理由见解析 (4)是反比例函数 (5)不是反比例函数，理由见解析 (6)不是反比例函数，理由见解析 【分析】（1）根据反比例函数的定义进行判断即可； （2）根据反比例函数的定义进行判断即可； （3）根据反比例函数的定义进行判断即可； （4）根据反比例函数的定义进行判断即可； （5）根据反比例函数的定义进行判断即可； （6）根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：不是反比例函数；理由如下： ∵中自变量的指数是不是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （3）解：不是反比例函数； ∵中自变量的指数是1不是，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （5）解：不是反比例函数；理由如下： 表示的是于成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． （6）解：不是反比例函数；理由如下： 可变为，因此此解析式表示的是与成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数． 16．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条． (1)写出钢筋条的长L（分米）与横截面S（平方分米）的函数关系式； (2)当钢筋条的横截面的直径是分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留）． 【答案】(1) (2)可拉伸出米长的钢筋 【分析】本题考查了圆柱体积公式的应用以及反比例函数的表达式推导，解题的关键是抓住钢锭拉成钢筋条后体积不变这一核心条件，利用圆柱体积公式建立变量间的关系，再结合横截面尺寸计算具体长度． （1）根据圆柱体积公式（为体积，为横截面面积，为长度），因钢锭体积不变（立方分米），将公式变形可得与的函数关系式； （2）先由横截面直径求出半径，再根据圆的面积公式计算横截面面积，最后将代入（1）中函数关系式求出，并将单位换算为米． 【详解】（1）解：∵ 钢锭拉成钢筋条后体积不变，且圆柱体积公式为，已知立方分米， ∴， 变形得函数关系式：（，横截面面积不为0）． 故答案为： （2）解：横截面直径为0.1分米，故半径分米，由圆的面积公式，得平方分米． 将代入，得分米． ∵1米分米， ∴分米米． 答：可拉伸出米长的钢筋． 17．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量求函数值， （1）设，将，代入求出即可； （2）将代入解析式求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 当时，， ， 与的函数解析式为； （2）当时，． 18．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 19．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．根据正比例与反比例的定义设出函数关系式，再根据待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设，， ， 当时，；当时，， ， ， 故关于的函数解析式为． 20．阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为 (2)时，代数式有最小值，最小值为0 (3)25， 【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解； （2）将原式变形为，根据求解； （3）设，则，，四边形面积，根据即可求解． 本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用． 【详解】（1）解：，时，、的算术平均数为：， ，的几何平均数为：； （2）解：， ，， ，当时，等号成立， 解得，或（舍去）， ， 即时，代数式有最小值，最小值为0； （3）解：如图，设，则，， ，， ，，，， 四边形面积 ， ，当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 四边形面积的最小值，此时，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 26.1.1反比例函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点一 、反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 y=(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）y= (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式. 题型1 反比例函数概念辨析与识别 例1．下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．在下列函数表达式中，有（    ）个是的反比例函数． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】．下列图示中，能够正确表示函数、一次函数、正比例函数和反比例函数之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列表达式中，表示y是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2利用反比例函数概念求参数 例2．已知． （1）当的值为 时，是的正比例函数． （2）当的值为 时，是的二次函数． （3）当的值为 时，是的反比例函数． 【变式2-1】．已知函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【变式2-2】．若函数是反比例函数，则 ． 【变式2-3】．已知是反比例函数，则m的值为 ． 知识点二 、反比例函数的解析式 xy=k（定值）、、 （k≠0） 1.反比例函数解析式的特征: 1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. 2）比例系数 3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。 2.待定系数法求反比例函数解析式 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。 题型3用交点求反比例函数解析式 例3．已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【变式3-2】．若反比例函数的图像经过点，则k的值为 ． 【变式3-3】．已知如图，反比例函数图象上有两点A、B，坐标如图所示，直线经过A、B两点． (1)求出直线的函数关系式； (2)有一个二次函数顶点在A，经过B点，求这个二次函数的函数关系式． 题型4用反比例关系求解析式 例4．已知变量x，y满足(x－2y)2＝(x＋2y)2＋10，问：x，y是否成反比例函数关系？如果不是，请说明理由；如果是，请求出比例系数． 【变式4-1】．已知变量x，y满足．问：x，y是否成反比例？请说明理由． 【变式4-2】．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【变式4-3】．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 题型5用表格信息求解析式 例5．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 【变式5-1】．电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式．已知，填写下表并回答问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）变量R是变量I的函数吗？ （2）变量R是变量I的反比例函数吗？ 【变式5-2】．已知y是x的反比例函数，下表列出了x与y的一些对应值． x … －4 －3 －2 －1 2 3 … y … 6 －18 … (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)根据表达式完成上表． 【变式5-3】．北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 知识点三 用反比例函数描述数量关系 根据问题中的数量关系，根据数量关系转化为反比例函数 题型6 根据反比例函数描述数量关系 例6．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【变式6-1】．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【变式6-2】．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【变式6-3】．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 题型7由反比例函数求函数值 例7．已知的三个顶点为、、，将向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值． 【变式7-1】．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为． (1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果； (2)求小明、小华各取一次小球所确定的点落在反比例函数的图像上的概率． 【变式7-2】．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【变式7-3】．如图，直线与双曲线交于、两点．    (1)求直线的解析式； (2)点C为线段上的一个动点（不与A、B重合），作轴于点D，求面积S的最大值． 题型8由反比例函数值求自变量 例8．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【变式8-1】．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【变式8-2】．在平面直角坐标系中，设一次函数（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点． (1)若； ①求m，n的值； ②当时，求的取值范围； (2)当点在反比例函数图象上，求的值． 【变式8-3】．反比例函数的图像经过、两点. （1）求m，n的值； （2）根据反比例图像写出当时，y的取值范围. 题型9实际问题中的反比例函数 例9．如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．    (1)点O到直线的距离为 ； (2)求y与x的函数解析式． 【变式9-1】．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连． (1)写出B点的坐标； (2)填写下表： 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 的长度 的长度 四边形的面积 ①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值． ②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断； (3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由． 【变式9-2】．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【变式9-3】．甲、乙两地相距100 km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t(h)表示为汽车速度v(km/h)的函数，并说明t是v的什么函数． 例10．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【变式10-1】．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【变式10-2】．若关于的函数，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数的“联合函数”． (1)若函数，当时，求函数y的“联合函数”h的值； (2)若函数，求函数y的“联合函数”h的解析式及h的最大值； (3)若函数，是否存在实数c，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值．若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-3】．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列四个关系中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组变量之间的关系不是反比例函数关系的是(    ) A．压缩一罐质量一定的气体，它的密度与体积． B．小刚参加赛跑时，跑步时间与平均速度v C．当车辆行驶的路程一定时，车轮旋转的圈数与车轮的直径 D．葡萄的售价为每千克元，销售葡萄获得的收入与销售数量x 3．已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知点，在同一个函数图象上，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 5．若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 6．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 7．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 8．中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（   ） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 10．当 时，是反比例函数． 11．反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 12．已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是 ． 13．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 15．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条． (1)写出钢筋条的长L（分米）与横截面S（平方分米）的函数关系式； (2)当钢筋条的横截面的直径是分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留）． 17．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 18．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 19．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 20．阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $