精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

高三数学期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集和并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由， 所以，. 故选：D. 2. 已知复数满足（其中是虚数单位），且复数的实部和虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用题中条件可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由，得， 因为复数的实部和虚部互为相反数，所以，解得， 故选：A． 3. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用，即可求解. 【详解】，故. 故选：B. 4. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设双曲线方程为，根据题意可得，即，从而求出离心率. 【详解】不妨设双曲线方程为， 不妨取，，， 因为为直角三角形，且，则为等腰直角三角形， 所以，所以，则，所以， 双曲线的离心率. 故选：A 5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图像恒过定点，即，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选：D. 7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量把异面直线与直线所成的角，平面与平面所成的角，直线到平面距离，异面直线，之间的距离均求出来，看是否随着M，N的运动而变化 【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，则，，，，，，，因为M，N分别是线段上的动点（不含端点），故设，，所以， 会随着M，N的运动而变化，故A选项正确； 设平面的法向量为，则 ，解得： 设平面的法向量为，则，解得： 所以，故平面与平面所成的角的大小为，不随着M，N的运动而变化； 设平面的法向量为，则，解得：， 则，即与平面平行，故直线到平面距离不变，不随着M，N的运动而变化. 设异面直线，的公共法向量为，则，解得：，设异面直线，之间的距离为，夹角为，则，所以异面直线，之间的距离的不随着M，N的运动而变化. 故选：A 8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与有4个交点，数形结合即可求解． 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据对数的运算性质可判断AB，利用作商法可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】令，则，，，. A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故；，故；从而，故C正确； D选项：由A知，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量判断B，利用向量的夹角公式判断C，设，求出平面的法向量，利用求出的轨迹方程，进而得到与六个面的交线判断D. 【详解】选项A：因为四棱柱是正四棱柱，且底面边长为， 所以， 又因为是等腰三角形，， 所以底边上的高为， 设点B到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点B到平面的距离是，A说法正确； 选项B：以为坐标原点，分别为轴建立如题所示坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 取，， 因为，所以平面与平面垂直，B说法正确； 选项C：底面中心，则， 又，所以， ，， 所以直线与直线所成角的余弦值，C说法错误； 选项D：若为线段的中点，则， 因为，，， 设平面的法向量，则，取平面的法向量， 设，则， 若平面，则， 整理得的轨迹方程为， 因为点在正四棱柱表面上运动， ，，， 所以6个表面方程及交线如下： ①下底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ②上底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ③后面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ④前面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑤左侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑥右侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； 由图象可得依次连接，形成一个闭合的六边形，D说法正确； 故选：ABD 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可. 【详解】因为函数的定义域为R， 又，所以函数为偶函数， 由恒成立，可知函数的定义域为， 又 ， 所以，即函数为奇函数， 对于A，因为， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，又， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立； 所以函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，令，则函数的定义域为，又， 所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误. 故选：BC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导后取，即可求得，则有，再代入，计算即得. 【详解】由求导得， 令，可得，解得， 则，故. 故答案为：. 13. 已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】对两个方程进行变形，根据互为反函数的函数图像关于对称，画出函数图像，根据方程的根就是函数图像的交点的横坐标，设出交点坐标，根据对称性，列出方程，求出结果. 【详解】是方程的一个根，也是的一个根， 是方程的一个根，也是的一个根， 设函数，画出函数图像，如下图： 由图形可知与的交点为，设，同理设， 因为与图像关于对称，且直线互相垂直， 所以与关于对称，所以， 因为都在上，所以， 所以. 故答案为：8. 14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，再利用裂项相消法求出表达式，分离参数，转化为求一个递减数列的最大值问题. 【详解】易知，由题意知，即，因为，所以，，所以等差数列的公差为， 所以， 则 ． 所以原不等式等价于存在，使得成立， 即存在，使得成立． 设数列，则是递减数列， 所以数列的最大项是，所以． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 【答案】（1）； （2）当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再根据导函数意义得到方程，解出即可； （2）对分和 讨论即可. 【小问1详解】 ，因为在点处的切线与直线l：垂直， 则，解得. 【小问2详解】 ，当时，，此时的单调增区间为，无单调减区间； 当 时，令，解得， 令，解得. 则此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 已知数列中，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 【答案】（1）证明：，， 又，则是首项为1，公差为1的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明； （2）根据第1问求出数列的通项公式，再利用导数公式求出，最后利用错位相减即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， ，， 令， 则， 两式相减可得， . 17. 在中，内角的对边分别是，若，且． （1）求和； （2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，求出，由余弦定理及正弦定理得到方程，求出； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又，故，则； 因为，， 由余弦定理及正弦定理得：， 所以，解得； 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 18. 已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，． （1）求的值； （2）若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义，将问题转化为恒成立问题即可求出，利用得出，再利用奇函数的定义检验； （2）先化简，令，则转化为， （ⅰ）先求出，再按照、、三种情况讨论，结合单调性求最值； （ⅱ）将问题转化为不等式的解集为，利用是方程的两根即可求解. 【小问1详解】 因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即， 所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； 【小问2详解】 因为， 则 ， 令，则， （ⅰ）因为，且是关于的增函数，所以， ，对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以， 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为； （ⅱ）因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且， 所以有，且， 解得， 所以当时，不等式的解集为． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）当，时，证明：． 【答案】（1）极大值为，没有极小值． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数单调性，即可求解； （2）不等式等价于在上恒成立，构造函数，先通过得，．再证明当时，在上恒成立，即可； （3）等价于，令，由，分，，三段逐个说明即可. 【小问1详解】 当时，的定义域为． ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此的极大值为，没有极小值． 【小问2详解】 ，等价于在上恒成立， 令，由得，． 下面证明当时，在上恒成立． 当时，， 令，则， 当时，令，则， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减， 所以成立，即在上恒成立． 当时，因为，，， 所以， 所以在上单调递增，则，即在上恒成立． 综上可知，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 要证明，只需证明， 设， 当时，， 由（1）可知，，即，当且仅当时取得等号， 又，所以，因此． 当时，，所以在上单调递增， 所以． 当时，， 综上可知，， 故当，时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中是虚数单位），且复数的实部和虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 13. 已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______. 14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 16. 已知数列中，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 17. 在中，内角的对边分别是，若，且． （1）求和； （2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，． （1）求的值； （2）若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）当，时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $