2025-2026学年人教版九年级数学上册专题复习 专题03 二次函数的图象和性质 讲义

该初中数学讲义以二次函数为核心，通过表格对比不同形式（一般式、顶点式、交点式）的图象性质，系统梳理定义、解析式、平移规律等要点，构建“概念-性质-应用”的知识框架，突出a的符号与开口方向、顶点坐标等重难点的内在联系，培养学生几何直观的数学眼光。 讲义亮点在于分层例题设计，从基础定义判断（如例1-3）到综合探究题（如例21-24），融入“上加下减，左加右减”等口诀指导，通过待定系数法、性质比较大小等方法培养推理能力。每个考点配易错提示，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 二次函数的图象和性质 考点01（★★★）二次函数的定义及应用 9 考点02（★★★）二次函数的顶点坐标、对称轴 11 考点03（★★★）二次函数的图象和性质 12 考点04（★★★）二次函数的平移 14 考点05（★★★）用待定系数法求二次函数的解析式 15 考点06（★★★）利用二次函数的性质比较大小 17 考点07（★★★）二次函数与一次函数的综合 19 考点08（★★★）二次函数的综合探究 22 1．二次函数的概念： （1）概念：一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． （2）二次函数必须同时满足三个条件 ①含有自变量的代数式必须是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 【特别提示】也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式． 2．二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式：（a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）． 【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 3．用描点法画二次函数的图象的一般步骤 （1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y值，列出表格． （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点． （3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸． 【说明】用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的．一般来说，选点越多，图象越精确． 4．二次函数的图象和性质 （1）抛物线：二次函数（a≠0）的图象是一条关于某直线对称的曲线，这条曲线叫做抛物线，它们的开口向上或者向下．该直线叫做抛物线的对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点． （2）二次函数的图象和性质 y=ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小 x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大 最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 （3）二次函数y=a（x－h）2的图象和性质 y=a（x－h）2 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 图像 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 直线 直线 增减性 x>h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值=0 当x= h时，y最大值=0 （4）二次函数y=a（x－h）2+k的图象和性质 y=a（x－h）2+k a>0 a<0 图像 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 x=h x=h 增减性 x>h时，y随x的增大而增大 x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值= k 当x= h时，y最大值= k （5）二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0） 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （，） （，） 对称轴 直线x= 直线x= 增减性 x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小 x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 5．用待定系数法求二次函数的解析式 （1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出． （2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． （3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式． 【注意】已知图象上三点或三对，的值，通常选择一般式．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．已知图象与轴的交点坐标，，通常选用交点式：． 6．二次函数的平移 （1）上下平移 若原函数为 ①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负． （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形． 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负． 1．抛物线中a的重要性： （1）a的符号决定开口方向：a＞0，则开口向上；a＜0，则开口向下． （2）|a|的大小决定抛物线开口程度：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大． 2．二次函数概念的隐含条件：函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意． 3．从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点（h，k），所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 4．待定系数法求函数解析式的步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为（a，b，c是常数，a≠0）． ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为（a，b，c是常数，a≠0）． ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为（a≠0）． （2） 代点：将已知点代入函数解析式建立方程． （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数． （4） 反代：将未知系数反代入函数解析式． 5．二次函数的平移： 解析式 y=a（x+m）2+n（a，m，n都是常数，a≠0） 分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0 变换过程 由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移． 【注意】①上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可．②抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向． 6．比较函数值大小的方法 （1）代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较； （2）性质法，利用函数的增减性比较； （3）距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较． 7．抛物线的轴对称问题 表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式． 思路方法：抛物线y=ax²+bx+c． （1）关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc（a，b，c都变为相反数）； （2）关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c（b变为相反数） 8．已知增减性求二次函数字母取值范围． 第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴； 第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解． 9．二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为（0，c）． 拓展：在二次函数中： 是自变量为1的函数值，是自变量为﹣1的函数值． 是自变量为2的函数值，是自变量为﹣2的函数值． 是自变量为3的函数值，是自变量为﹣3的函数值． 10．二次函数的图象与性质的对比： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边．简称左同右异． ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边． 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为．若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴． ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小． ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称． ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）二次函数的定义及应用 1．判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式． 2．函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意． 【例1】　　（2025秋•包河区校级月考）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝（x﹣1）（x﹣2）﹣x2 D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：A． ，分母有未知数，不是二次函数，不符合题意； B． ，不是整式，不是二次函数，不符合题意； C．y＝（x﹣1）（x﹣2）﹣x2＝﹣3x+2，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； D． ，是二次函数，符合题意； 故选：D． 【例2】　　（2025秋•中山市月考）若y＝（a+1）x2﹣2x﹣3是y关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠﹣1 B．a＞0 C．a＞﹣1 D．a≠0 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：由条件可知a+1≠0， ∴a≠﹣1， 故选：A． 【例3】　　（2024秋•石门县期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【解答】解：A、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确； B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误； C、y＝3x﹣1是一次函数，故C错误； D、y＝x2不是二次函数，故D错误； 故选：A． 考点02（★★★）二次函数的顶点坐标、对称轴 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点（h，k），所以我们称为顶点式．求二次函数的顶点坐标、对称轴时，可以先将二次函数化为顶点式． 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【例4】　　（2025秋•中山市月考）二次函数y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】A 【分析】将一般式化为顶点式即可求出顶点坐标． 【解答】解：将一般式化为顶点式可得： y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）， 故选：A． 【例5】　　（2024秋•沙河口区期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】B 【分析】由二次函数顶点式求解． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线顶点坐标为（2，1）， 故选：B． 【例6】　　（2025秋•鼓楼区校级月考）抛物线y＝﹣x2+2的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上、y轴、（0，2） B．向下、y轴、（0，2） C．向上、y轴、（2，0） D．向下、直线x＝2、（2，0） 【答案】B 【分析】根据y＝ax2+c型二次函数的图象性质即可求解． 【解答】解：∵a＝﹣1＜0， ∴其开口向下；对称轴为y轴； 当x＝0时，y＝2，故顶点坐标为（0，2）； 故选：B． 考点03（★★★）二次函数的图象和性质 1．在二次函数中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大． 2．在规定范围内求二次函数最值的策略 若自变量的取值范围是，则需分情况讨论： （1）若顶点的横坐标在所给的范围内，则要从顶点、两个界点中确定二次函数的最大值和最小值； （2）若顶点的横坐标不在所给的范围内，则从两个界点中确定二次函数的最大值和最小值． 3．可利用抛物线的对称性解题． 【例7】　　（2025秋•牡丹区校级月考）已知二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣3下列说法正确的是（　　） A．对称轴为：直线x＝2 B．当x＞2时，y随x的增大而减小 C．函数的最小值是﹣3 D．顶点坐标为（2，﹣3） 【答案】B 【分析】利用二次函数的顶点式解析式的图象和性质，逐项进行判断即可． 【解答】解：根据二次函数的顶点式解析式的图象和性质逐项分析判断如下： 由y＝﹣3（x+2）2﹣3得，y＝﹣3[x﹣（﹣2）]2+（﹣3）， ∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣3）， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵a＝﹣3＜0， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为﹣3， 故选项C错误，不符合题意； 当x＞2时，y随x的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 【例8】　　（2025秋•蜀山区校级月考）下列四条抛物线中，开口最大的是（　　） A．y＝3x2+4x B．y＝﹣5x2+6 C．y＝（x+3）2 D．y＝﹣0.1x2+2x﹣3 【答案】D 【分析】二次函数图象的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大． 【解答】解：根据二次函数图象的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大可得： ∵|﹣5|＞|3|＞|1|＞|﹣0.1|， ∴y＝﹣0.1x2+2x﹣3开口最大， 故选：D． 【例9】　　（2025秋•大兴区校级月考）对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的个数是（　　） ①抛物线开口向上； ②图象的对称轴为直线x＝1； ③当x＜1时，y随x的增大而增大； ④当x＝1时，y有最小值﹣3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由y＝（x﹣1）2﹣3可得出开口方向、对称轴、增减性、最小值，据此判断即可． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣3中a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最小值﹣3， ∴①②④3个正确， 故选：C． 考点04（★★★）二次函数的平移 上加下减，左加右减． 【例10】　　（2025秋•长沙月考）把抛物线y＝8x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝8（x﹣1）2+3 B．y＝8（x+1）2﹣3 C．y＝8（x+1）2+3 D．y＝8（x﹣1）2﹣3 【答案】A 【分析】解题时，根据“左加右减，上加下减”的平移原则，对抛物线y＝8x2，向右平移1个单位，x变为x﹣1，得到y＝8（x﹣1）2；再向上平移3个单位，在表达式后加3，得到y＝8（x﹣1）2+3，进而确定选项． 【解答】解：抛物线y＝8x2向右平移1个单位，得y＝8（x﹣1）2；再向上平移3个单位，得y＝8（x﹣1）2+3． 故选：A． 【例11】　　（2025秋•蓟州区校级月考）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝x2+7 D．y＝x2+3 【答案】A 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x﹣1﹣1）2+2+5，即y＝（x﹣2）2+7， 故选：A． 【例12】　　（2025秋•广东校级月考）将抛物线y＝﹣2x2+4先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+7 B．y＝﹣2（x+2）2+1 C．y＝﹣2（x﹣3）2+2 D．y＝﹣2（x﹣2）2+7 【答案】B 【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2+4先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是y＝﹣2（x+2）2+4﹣3，即y＝﹣2（x+2）2+1． 故选：B． 考点05（★★★）用待定系数法求二次函数的解析式 1．设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出． 2．设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3．设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式． 4．如果题目要求顶点式，但更方便求出一般式，可先求出函数的一般式，再利用配方法，将y=ax2+bx+c转化为顶点式． 【例13】　　（2025秋•武清区校级月考）一条抛物线形状与y＝﹣2x2+3形状相同，顶点为（﹣3，3），则抛物线解析式为　　． 【答案】y＝2（x+3）2+3或y＝﹣2（x+3）2+3． 【分析】根据两抛物线形状相同，可得a的值，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式． 【解答】解：∵所求抛物线形状与y＝﹣2x2+3形状相同， ∴新抛物线a＝±2． ∵顶点为（﹣3，3）， ∴当a＝2时，所求抛物线的解析式为y＝2（x+3）2+3； 当a＝﹣2时，所求抛物线的解析式为y＝﹣2（x+3）2+3． 故答案为：y＝2（x+3）2+3或y＝﹣2（x+3）2+3． 【例14】　　（2024秋•三河市期末）已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【答案】D 【分析】设顶点式为y＝a（x﹣2）2+3，然后根据二次函数的性质确定a的值，从而得到抛物线C1的解析式． 【解答】解：∵抛物线C1的顶点坐标为（2，3）， ∴抛物线C1的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3， ∴抛物线C1与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴a＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3． 故选：D． 【例15】　　（2025秋•昆山市校级月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为（﹣3，2）即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x+3）2+2， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， 则a， 则抛物线解析式为：y（x+3）2+2， 故选：B． 考点06（★★★）利用二次函数的性质比较大小 比较二次函数值大小的方法 （1）代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小． （2）增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小． （3）根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小． （4）图象比较法：先画出二次函数的图象，再描出对应的点，最后结合图象比较函数值的大小． 【例16】　　（2025秋•东西湖区校级月考）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象经过A（﹣1，y1）、B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【答案】B 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远，对应的函数值越大，据此即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+k， ∴抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远，对应的函数值越大， ∵1﹣1＜1﹣（﹣1）＜4﹣1， ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 【例17】　　（2025•威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 【例18】　　（2025春•长沙期末）已知二次函数y＝x2﹣4x的图象过点A（3，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y1），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【答案】C 【分析】首先找到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧，根据抛物线的性质判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 抛物线的对称轴为， 根据对称性可得点A（3，y1）的对称点为（1，y1）， ∵a＝1＞0， ∴当x＜2时，y随x增大而减小， ∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y3＞y2＞y1， 故选：C． 考点07（★★★）二次函数与一次函数的综合 【例19】　　（2025秋•太和县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可． 【解答】解：A项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误，不符合题意； B项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，故选项B错误，不符合题意； C项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项C正确，符合题意； D项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【例20】　　（2025秋•南平校级月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+a与二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数的图象与性质逐一判断即可． 【解答】解：A、根据图像可得一次函数y＝﹣x+a中a＞0，由此判断需经过第一、二、四象限，不符合题意；二次函数y＝ax2﹣a中a＜0，﹣a＞0，不符合题意； B、根据图像可得一次函数y＝﹣x+a中a＞0，经过第一、二、四象限；二次函数y＝ax2﹣a中a＜0，﹣a＞0，不符合题意； C、根据图像可得一次函数y＝﹣x+a中a＜0，经过第二、三、四象限；二次函数y＝ax2﹣a中a＞0，﹣a＜0，不符合题意； D、根据图像可得一次函数y＝﹣x+a中a＞0，经过第一、二、四象限；二次函数y＝ax2﹣a中a＞0，﹣a＜0，符合题意； 故选：D． 【例21】　　（2024秋•惠州期末）如图，抛物线y＝x2+m的图象与一次函数y＝x+1的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． （1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； （2）连接A、B、C三点，求△ABC的面积； （3）直接写出不等式x2+m＜x+1的解集． 【答案】（1）y＝x2﹣1；B（2，3）； （2）S△ABC＝3； （3）﹣1＜x＜2． 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1， 解得：x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， 把A（﹣1，0）代入y＝x2+m得：0＝（﹣1）2+m， 解得：m＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣1， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为（2，3）； （2）把x＝0代入y＝x2﹣1得y＝﹣1， ∴点C的坐标为（0，﹣1）， 把x＝0代入y＝x+1得y＝1， ∴点D的坐标为（0，1）， ∴CD＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD2×12×2＝3． （3）不等式x2+m＜x+1的解集为﹣1＜x＜2；理由如下： 根据函数图象可知：当﹣1＜x＜2时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴不等式x2+m＜x+1的解集为﹣1＜x＜2． 考点08（★★★）二次函数的综合探究 【例22】　　（2025•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO＝2AO，CO＝BO，AB＝3．则下列判断中正确的是（　　） A．此抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2 B．当x＞0时，y随着x的增大而增大 C．此抛物线与直线y只有一个交点 D．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个 【答案】C 【分析】利用CO＝2AO，而CO＝BO，AB＝3，可得出AO＝1，BO＝OC＝2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为，可得此抛物线与直线y只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案． 【解答】解：∵CO＝2AO，而CO＝BO，AB＝3， ∴AO＝1，BO＝OC＝2，即A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2，故A错误． ∵二次函数的对称轴为x， ∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误． ∵此二次函数的最小值为， ∴此抛物线与直线y只有一个交点，C正确． ∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故D错误． 故选：C． 【例23】　　（2025•邯郸模拟）如图，抛物线L：（b为常数），当抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m）时． （1）抛物线L的顶点坐标为 　　 ． （2）若0≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 　　 ． 【答案】（1）（1，）； （2）1≤n≤2． 【分析】（1）利用点M（﹣4，m），N（6，m）两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m）， ∴抛物线L的对称轴为直线x1， ∴b， ∴L1的函数表达式为yx2x﹣3， 当x＝1时，y3， ∴抛物线L的顶点坐标为（1，）， 故答案为：（1，）； （2）∵yx2x﹣3与y轴交于点D（0，﹣3）， 则点D关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3）， ∵抛物线L的开口向上， ∴当0≤x≤2时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是﹣3， 最低点总是（1，），两个点的竖直距离总为， ∴当1≤n≤2时，函数（1，）的最大值与最小值的差总为． 故答案为：1≤n≤2． 【例24】　　（2025秋•武汉校级月考）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线对应的二次函数表达式； （2）点P在抛物线对称轴上，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标　　 ． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）P（1，﹣1）； （3）点Q的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设P（1，m），根据PB＝PC列出方程，进而求得点P坐标； （3）过点Q作QF⊥x轴于点F，交BC于点E，求得直线BC的解析式为y＝x﹣3，设点Q的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点E的坐标为（m，m﹣3），根据题意得到S△ECQ+S△EBQ＝3，列方程求出m的值即可． 【解答】解：（1）解由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣3＝﹣3a， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设P（1，m）， ∵PB2＝PC2， ∴（3﹣1）2+m2＝1+（m+3）2， ∴m＝﹣1， ∴P（1，﹣1）； （3）过点Q作QF⊥x轴于点F，交BC于点E，如图所示， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣3， ∴0＝3k﹣3， 解得k＝1， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 设点Q的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点E的坐标为（m，m﹣3）， ∵， ∴S△ECQ+S△EBQ＝3， ∴，即|m2﹣2m﹣3﹣m+3|×3＝6， 整理得m2﹣3m±2＝0， 当m2﹣3m+2＝0， 解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，m2﹣2m﹣3＝﹣4， 当m＝2时，m2﹣2m﹣3＝﹣3， ∴点Q的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）； 当m2﹣3m﹣2＝0， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）或或． 学科网（北京）股份有限公司 $