专题27.1 图形的相似（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题27.1 图形的相似 教学目标 1. 了解比例的基本性质。 2. 了解线段的比、成比例线段的概念，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段的长度。 3. 了解黄金分割。 4. 了解相似图形、相似多边形和相似比的概念，认识现实生活中一些物体的相似关系。 5. 知道相似多边形的两个基本性质。 教学重难点 重点：比例性质，相似多边形的概念，性质 难点：黄金分割，比例性质的应用，多边形性质的而英勇 知识点01 比例线段 1.成比例线段 像这样 ，对于四条线段 ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比_____，如 （即 ），那么这四条线段 叫做__________ ，简称比例线段．也称这四条线段成比例． 2. 判断四条线段是否是成比例线段的方法： （1） 先将线段长度的单位统一并按长度的大小排序． （2） 判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；或判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等． （3） 若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段． （4） 可简记为： “一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否是成比例线段) ”．  3. 比例性质 （ ）比例的基本性质： ________； （ ）反比定理： ； （ ）更比定理： （或 ）； （ ）合比定理： ； （ ）分比定理： ； （ ）合分比定理： ; （ ）等比定理： 【即学即练】 1．如果，那么下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 黄金分割 1.比例的项 在比例式 （ ）中， 称为_________， 称为_______． 三条线段 （ 也即 ）中， 叫做 和 的_________． 在比例式中，内项积=外项积，即 ________． 2.黄金分割 如图，若线段 上一点 把线段 分成两条线段和 （ ），且使 是 和 的比例中项即 __________ （也即 ）则称线段 被点 _________，点 叫线段 的__________，较长线段 与原线段 的比叫做___________． 可以简单记忆成： __________． 2． 黄金分割比 你可以把任意一条线段黄金分割吗？如果可以的话，那么黄金分割比是多少呢？ 证明过程： 设线段 的长度为1个单位， 的长度为 个单位，则 为 个单位． 列方程为： _________________． 整理得到： _______________________， 解得 _________， ． 所以 ______________ ． 所以 黄金分割比为： __________________． 【即学即练】 2．如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ， ． 知识点03  图形的相似 观察下列2组物体的照片，你发现了什么？             1.相似图形概念 我们把_______________叫做相似图形．   【注意】 ①相似图形的大小不一定相同． ②形状和大小都相同的图形称为全等图形，全等图形是特殊的相似图形． 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．如下图，每对图形中的两个图形相似，其中较大的图形可以看成是由较小的图形放大得到的，或者其中较小的图形可以看成是由较大的图形缩小得到． 【即学即练】 3．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） A．    B．    C.   D.   知识点04  相似多边形 1.相似多边形的概念： 两个____________的多边形，如果它们的_______分别相等,_____成比例,那么这两个多边形叫做__________．相似多边形对应边的比叫做________． 2.相似多边形的性质： 相似多边形的_____________，_____________．  例如，下图中两个大小不同的四边形 和四边形 中， , , , , , 因此，四边形 和四边形 相似．   【即学即练】 4．如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 题型01 判断成比例线段 【典例1】下列线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】已知、、m、n是成比例线段，其中，，，则线段n的长是 ． 【变式3】已知，，，四条线段成比例，其中、，，则 ____ ． 题型02 利用比例性质求值 【典例1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果，那么 ． 【变式2】若，则 ． 【变式3】段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 题型03 利用比例性质判断等式成立 【典例1】已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则下列各式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 根据黄金分割比求线段长 【典例1】如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 【变式1】《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【变式3】如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 题型05 判断相似图形 【典例1】中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【变式3】下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 题型06 根据相似多边形的性质求角求边 【典例1】如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，五边形五边形，它们的相似比为．已知，则 ． 【变式2】已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为 ． 【变式3】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 5．如果线段x、y满足，那么下列四个选项中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 7．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 9．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 10．如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 11．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 12．如果，那么 ． 14．如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 15．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 16． 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 17．如图，五边形五边形，它们的相似比为．已知，则 ． 18．如图，四边形四边形，若，则 ． 19．如图，四边形四边形，则 ． 三、解答题 20．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 21．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 22．如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 ( 2 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 图形的相似 教学目标 1. 了解比例的基本性质。 2. 了解线段的比、成比例线段的概念，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段的长度。 3. 了解黄金分割。 4. 了解相似图形、相似多边形和相似比的概念，认识现实生活中一些物体的相似关系。 5. 知道相似多边形的两个基本性质。 教学重难点 重点：比例性质，相似多边形的概念，性质 难点：黄金分割，比例性质的应用，多边形性质的而英勇 知识点01 比例线段 1.成比例线段 像这样 ，对于四条线段 ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即 ），那么这四条线段 叫做成比例线段 ，简称比例线段．也称这四条线段成比例． 2. 判断四条线段是否是成比例线段的方法： （1） 先将线段长度的单位统一并按长度的大小排序． （2） 判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；或判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等． （3） 若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段． （4） 可简记为： “一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否是成比例线段) ”．  3. 比例性质 （ ）比例的基本性质： ； （ ）反比定理： ； （ ）更比定理： （或 ）； （ ）合比定理： ； （ ）分比定理： ； （ ）合分比定理： ； （ ）等比定理： 【即学即练】 1．如果，那么下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】A.变成等积式是：，故不符合题意； B.变成等积式是：，故符合题意； C.变成等积式是：，故不符合题意； D.变成等积式是：，故不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 知识点02 黄金分割 1.比例的项 在比例式 （ ）中， 称为比例外项， 称为比例内项． 三条线段 （ 也即 ）中， 叫做 和 的比例中项． 在比例式中，内项积=外项积，即 ． 2.黄金分割 如图，若线段 上一点 把线段 分成两条线段 和 （ ），且使 是 和 的比例中项即 （也即 ）则称线段 被点 黄金分割，点 叫线段 的 黄金分割点 ，较长线段 与原线段 的比叫做 黄金分割比． 可以简单记忆成： ． 2． 黄金分割比 你可以把任意一条线段黄金分割吗？如果可以的话，那么黄金分割比是多少呢？ 证明过程： 设线段 的长度为1个单位， 的长度为 个单位，则 为 个单位． 列方程为： ． 整理得到： ， 解得 (舍）， ． 所以 ． 所以 黄金分割比为： ． 【即学即练】 2．如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意及黄金分割比直接进行求解即可． 【详解】解：由题意及得： （cm）； （cm）， （cm）； 故答案为；． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 知识点03  图形的相似 观察下列2组物体的照片，你发现了什么？               【答】上图引入的两个例子，都给我们以形状相同的形象 1.相似图形概念 我们把形状相同的图形叫做 相似图形．   【注意】 ①相似图形的大小不一定相同． ②形状和大小都相同的图形称为全等图形，全等图形是特殊的相似图形． 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．如下图，每对图形中的两个图形相似，其中较大的图形可以看成是由较小的图形放大得到的，或者其中较小的图形可以看成是由较大的图形缩小得到． 【即学即练】 3．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） A．    B．    C.   D.   【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 知识点04  相似多边形 1.相似多边形的概念： 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比． 2.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例．  例如，下图中两个大小不同的四边形 和四边形 中， , , , , , 因此，四边形 和四边形 相似．   3. 相似多边形的判定： 如果两个多边形对应边成比例、对应角相等，那么这两个多边形相似． 【即学即练】 4．如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 题型01 判断成比例线段 【典例1】下列线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的判断．根据成比例线段的定义，如果四条线段中，其中两条的乘积等于另外两条的乘积，则它们成比例．通常，将线段排序后，检查最小与最大的乘积是否等于中间两个的乘积． 【详解】解：选项A：，，，故不成比例． 选项B：，，，故不成比例． 选项C：，，，故不成比例． 选项D：，，，故成比例． 故选D． 【变式1】已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的基本性质，由可得，进而推导其他选项，发现选项D不成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 【变式2】已知、、m、n是成比例线段，其中，，，则线段n的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了成比例线段的定义， 根据成比例线段的定义，线段 、、、满足比例关系 ，代入已知数值求解即可． 【详解】解：∵ 、、、 是成比例线段， ∴ ． 将 ，， 代入，得 ， 即 ， 解得 ． 故答案为3． 【变式3】已知，，，四条线段成比例，其中、，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查成比例线段．根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵，，，四条线段成比例， ∴， ∵、，， ∴ 故答案为：． 题型02 利用比例性质求值 【典例1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【变式1】．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质得到a和b的关系是解题的关键．由，得 ，再代入式子求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式3】线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 题型03 利用比例性质判断等式成立 【典例1】已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：A. 由得，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意；     C. 由得，即，故该选项正确，符合题意；     D. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，运用设参法，解题关键是准确应用比例性质设参，易错点是设参后计算或比例变形失误，解题思路是通过设，（）代入各选项分析． 【详解】解：∵， ∴设 ，（）． A．，不成立； B．，成立； C．，不成立； D．（当 时），且当 时分式无意义，不成立； 故选：B． 【变式2】2已知，则下列各式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．由已知条件，可设，（其中），代入各选项逐一验证是否成立． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于A：，成立． 对于B：，成立． 对于C：，不成立． 对于D：，成立． ∴不成立的是C． 【变式3】已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：A. 由得，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意；     C. 由得，即，故该选项正确，符合题意；     D. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型04 根据黄金分割比求线段长 【典例1】如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 【变式2】如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故答案为：． 【变式3】如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割并能运用求解． 根据黄金分割的定义分别求得，，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 题型05 判断相似图形 【典例1】中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的定义，相似图形是指形状相同，大小不相等的图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，与题干的图形相似， 故选：C 【变式1】下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的定义，掌握相似图形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形”是解题的关键． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是相似图形， 故选：C． 【变式2】下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式3】下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形是相似多边形，在判定两个多边形是否相似时，一定要对应角相等、对应边成比例同时成立，缺一不可． 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型06 根据相似多边形的性质求角求边 【典例1】如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】18．如图，五边形五边形，它们的相似比为．已知，则 ． 【答案】6.4 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形五边形，它们的相似比为，， ∴， 解得 故答案为：． 【变式2】已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴周长比为， ∵四边形的周长为4， 则四边形的周长为． 故答案为：14． 【变式3】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查了相似多边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得或． 当时，， ∵， ∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似． 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 2．已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵、、，是成比例线段， ∴ ∵，，， ∴ 故选：A． 3．若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，运用设参法，解题关键是准确应用比例性质设参，易错点是设参后计算或比例变形失误，解题思路是通过设，（）代入各选项分析． 【详解】解：∵， ∴设 ，（）． A．，不成立； B．，成立； C．，不成立； D．（当 时），且当 时分式无意义，不成立； 故选：B． 4．已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的基本性质，由可得，进而推导其他选项，发现选项D不成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 5．如果线段x、y满足，那么下列四个选项中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，由条件得，代入四个选项中左边的式子里计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，，，而， 故选项A、B、D都正确，选项C不一定正确； 故选：C． 6．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割、黄金比的定义解答. 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 7．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 8．下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的定义，掌握相似图形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形”是解题的关键． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是相似图形， 故选：C． 9．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 10．如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．先根据题意可得矩形与矩形相似，再根据相似多边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵矩形纸片的长，宽，分别为两边的中点， ∴，四边形是矩形， ∵将矩形纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似， ∴矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 又∵均为正数， ∴， 故选：D． 11．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 二、填空题 12．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知，则 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简求值，解题的关键掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质，假设，则，然后代数求值即可． 【详解】解：假设，则， ∴ ， 故答案为：． 14．如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故答案为：． 15．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 16．如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点的定义，正确理解黄金分割点是解题的关键． 根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将代入计算即可． 【详解】解：根据已知条件，画图分析： 点是线段的黄金分割点，且， 即 ． 故答案为：． 17．如图，五边形五边形，它们的相似比为．已知，则 ． 【答案】6.4 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形五边形，它们的相似比为，， ∴， 解得 故答案为：． 18．如图，四边形四边形，若，则 ． 【答案】130 【分析】本题考查四边形的内角和及相似的性质．根据四边形的内角和为求出的度数，再根据图形相似的性质即可求出． 【详解】解：在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， 故答案为：130． 19．如图，四边形四边形，则 ． 【答案】/83度 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理． 根据相似多边形对应角相等以及内角和为计算即可． 【详解】四边形四边形， ， 四边形内角和为， ， 故答案为：． 三、解答题 20．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 【答案】(1)12，8，24 (2)24 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 21．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）令，则，，，代入计算即可得； （2）令，则，，，代入计算可求出的值，从而可得，，的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：令， ，，， ； （2）解：令， ，，， ， ， ， ，，． 22．如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【答案】纵向木质边框的宽度为． 【分析】本题考查了相似图形的性质． 设纵向木质边框的宽度为，根据相似图形的性质列等式求解即可． 【详解】解：设纵向木质边框的宽度为， 边框的内外边缘所成的矩形相似， ， 解得， 答：纵向木质边框的宽度为． ( 2 / 28 ) 学科网（北京）股份有限公司 $