专题01：求非点电荷电场强度的五种方法（举一反三专项训练）物理人教版2019必修第三册

专题01：求非点电荷电场强度的五种方法 目录 【方法技巧】 1 方法技巧1：转换法及其的求解思路 1 方法技巧2：填补法及其求解思路 2 方法技巧3：对称法及其求解思路 3 方法技巧4：微元法及其求解思路 3 方法技巧5：极限法及其求解思路 3 【经典题型】 4 题型1 用转换法求电场强度 4 题型2 用填补法求电场强度 4 题型3 用对称法法求电场强度带电粒子在电场中的类平抛运动 8 题型4 用微元法求电场强度带电粒子在径向电场中的运动 14 题型5 用极限法求电场强度带电粒子在周期性变化电场中的运动 20 【巩固训练】 28 【方法技巧】 方法1：转换法 由定义式此式中检验电荷q是为了研究电场力的性质引入．实际上场强的大小跟检验电荷的电量q的大小无关，场强大小反映了电场的强弱，由电场本身的性质决定．这个公式适用于一切电场，包括非匀强电场． 方法2：填补法 求解电场强度，要根据问题给出的条件建立起物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。如图所示将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍 方法3：对称法 对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化． （1）场源分段对称 如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向. （2）电场空间对称 等量同种、等量异种电场强度的对称性 方法4：微元法 微元法是将研究对象或物理过程分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得以求解 求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。 方法5：极限法 极限法是把某个物理量的变化推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．用极限法分析某些物理过程时，可以使问题化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果．该方法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况．物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。 【经典题型】 题型1 转换法的应用题型 1.如图所示，质量为m、电荷量为q的小球用绝缘线悬吊于天花板上，当其下面竖直放置匀均的半圆带电导体杆时，绝缘线的张力恰好为零，已知小球刚好位于半圆的圆心，半圆电荷量为Q、半径为R，绝缘线的长度与半圆的半径相差不大，重力加速度为g，则半圆带电导体杆在圆心处生的场强大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因绝缘线的长度与半圆的半径相差不大，所以不能用公式计算，只能根据公式计算电场强度；已知绝缘线的张力恰好为零，所以,解得，所以C项正确。 2．如图1所示，A为带正电Q的金属板，沿金属板的垂直平分线，在距板L处放一质量为m、电量为q的小球，小球受水平向右的电场力偏转θ角而静止，小球用绝缘细线悬于O点，试求小球所在处的电场强度？θ A Q m ,q L 图1 解析：有的同学：认为带正电Q的金属板是点电荷模型，根据得小球所在处的电场强度为，这显然是错误的，实际上小球到金属板的距离L并不是远大于金属板的长度，所以不能把金属板看作是点电荷模型。 由题意可知，金属板与带电小球到它的距离相差不大，所以不能用点电荷公式计算该处的场强．但可以由定义式求．分析小球的受力如图2所示，θ T mg F电 图2 有平衡条件得 所以小球所在处的电场强度 小球带正电荷，因此电场强度方向水平向右 题型2 填补法的应用题型 3.半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　） A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝ C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝ 【答案】C 【解析】在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的电场强度为零，而取走的A、B处的电荷的电量qA＝qB＝，qA、qB在O点产生的合电场强度为EAB＝＝，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的电场强度大小为，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点电场强度为零，故q在O点产生的电场强度与qA、qB在O点产生的合电场强度相同，所以q为负电荷，即有k＝k，解得q＝，故C正确。 4.均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，O为球心，直线ab是过球壳中心的一条水平线，球壳表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场为 左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则，故选D。 5.（24-25高一下·江苏南通·期中）有一个半径为R、带电量为Q且电荷均匀分布的绝缘球体，在距球心O为2R的位置有一带电量为q的点电荷。现从带电球中挖去半径为的球体，如图所示。则剩余部分对点电荷q的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】没有挖去之前，点电荷所受库仑力为 挖去部分对点电荷的库仑力为 其中 令剩余部分对点电荷的库仑力为，则有 解得，故选A。 解题归纳：解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决．再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O处的场 题型3 对称法的应用题型 6.（24-25高一下·山东德州·期末）硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊等装置构成，如图1所示。工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷，我们可以用图2模拟带电的感光鼓：电荷量均为的点电荷，均匀对称地分布在半径为的圆周上。若某时刻圆周上点的一个点电荷的电荷量突变成，则圆心点处的电场强度为（　　） A．，方向沿半径背离点 B．，方向沿半径指向点 C．，方向沿半径背离点 D．，方向沿半径指向点 【答案】B 【解析】当点的点电荷为时，根据电场的对称性，可得在圆心点处的电场强度为零，当点的点电荷为时，可由和两个电荷等效替代，故圆心点处的电场强度可以看成均匀带电圆环和产生的两个场强叠加，故圆心点处的电场强度为电场方向为在点处的电场方向，即方向沿半径指向点。故选B。 7.如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处点电荷的电荷量为－q外，其余各点处点电荷的电荷量均为＋q，则圆心O处（　　） A．场强大小为，方向沿OA方向 B．场强大小为，方向沿AO方向 C．场强大小为，方向沿OA方向 D．场强大小为，方向沿AO方向 【答案】C 【详解】根据对称性，先假定在A点放上电荷量为＋q的点电荷，O点的场强为零，即B、C、D、E四个点处的点电荷在O点的场强方向沿OA方向，大小为，再与A处的-q在O点的场强叠加，则O点的场强大小为EO=，方向沿OA方向，C正确。 8.如图，电荷量为＋q的点电荷与一正方形均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心O，图中AO＝OB＝d，已知B点的电场强度为零，静电力常量为k。下列说法正确的是（　　） A.薄板带正电，A点的电场强度大小为 B.薄板带正电，A点的电场强度大小为 C.薄板带负电，A点的电场强度大小为 D.薄板带负电，A点的电场强度大小为 【答案】A 【解析】B点的电场强度为零，而电荷量为＋q的点电荷在B点的电场强度方向由B到O，根据矢量合成可知，薄板在B点的电场强度方向由O到B，则薄板带正电，故C、D错误；B点的电场强度为零，则薄板在B点的电场强度大小与电荷量为＋q的点电荷在B点的电场强度大小相等为E＝，根据对称性，薄板在A点的电场强度大小也为E，方向由O到A，而电荷量为＋q的点电荷在A点的电场强度方向由O到A，则A点电场强度大小EA＝E＋＝，故A正确，B错误。 解题归纳：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。 题型4 微元法的应用题型 9． 有一电量分布均匀的球状带电体，此带电体球心处的电场强度是（ ） A．零 B．无穷大 C．无法确定 D．无穷小 【答案】A 【解析】如图所示，将带电球分成若干关于球心对称的小块带电体，其中每一小块均可视作点电荷。现取同一直径上关于对称的两个小块、， 它们在球心处的大小相等，方向相反，其合场强为零。由此推广到球阀体中所有的其他小块带电体。总合场强为零。故选项A正确。 10.如图所示，一半径为R的绝缘环上均匀地带有电荷量为+Q的电荷，在位于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L，则P点的场强为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】绝缘环带电量为Q，单位长度所带电荷量为    如图，画出圆环边缘到P点的距离，单位长度所带电荷量在P点的场强方向沿箭头方向根据几何关系可知    由点电荷的电场强度公式可知P点场强为 ABD错误，C正确。 解题归纳：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型、过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。 题型5 极限法的应用题型 11.如图所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴.现考虑单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆孔，如图所示.则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（ ） A．Oo ro ● x Qo Oo Ro ● x Po B． C． D． 【答案】A 【解析】解当时，=0，则无限大均匀带电平板在Q点产生的电场强度为.由题意知无限大均匀带电平板在Q点产生的场强是半径为r的圆板在Q点的场强和挖去圆孔的无穷大平板在Q点的场强的矢量和 即，所以选项A.正确． 12.物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确．如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q（q＞0），而且电荷均匀分布．两圆环的圆心O1和O2相距为2a，联线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r＜a）．是分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式（式中k为静电力常量）正确的是（　　） A．E＝|| B．E＝|| C．E＝|| D．E＝|| 【答案】D 【解析】与点电荷的场强公式E＝k，比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除AC； 当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误。综上所述，可知D正确。 故选：D。 解题归纳：对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。 【巩固训练】 1.下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘．坐标原点O处电场强度最大的是(　　) 【答案】B 【解析】　由对称原理可知，A、C图中在O点的场强大小相等，D图中在O点场强为0，因此B图中两圆环在O点合场强应最大，选项B正确． 2.如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空．将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z＝处的场强大小为(k为静电力常量)(　 　) A．k B．k C．k D．k 【答案】D 【解析】该电场可等效为分别在z轴h处与－h处的等量异种电荷产生的电场，如图27所示，则在z＝处的场强大小E＝k＋k＝k，故D正确． 3.（如图所示，均匀带正电的半圆环ABC在其圆心O处产生的场强大小为E，方向与直径AC垂直。则AB部分（）所带电荷在O点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】半圆环ABC在其圆心O处产生的场强E，可看作是AB部分和BC部分在O处产生的场强E1和E2的矢量和。由于半圆环ABC均匀带电，所以场强E1和E2的大小相等，且与BO的夹角相等。由于圆弧AB和BC是轴对称图形，所以场强E1和E2的方向沿着圆弧AB和BC的对称轴，即E1和E2的夹角为，则有 解得 故选B。 4.ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图35所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同，E1>E2 B．两处的电场方向相反，E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1<E2 D．两处的电场方向相反，E1<E2 【答案】D 【解析】可从电场叠加角度分析，把均匀带电细杆等效为沿杆放置的无数点电荷．则设c为a关于P1对称的点，则ac间的电荷在P1点产生的电场场强为零，ab杆上电荷在P1处产生的场强可等效为cb段电荷在P1处产生的场强．而P2处场强是ab上所有电荷产生电场的叠加，所以两点场强方向必定相反，由对称性可知，cb段电荷在P1点和P2点产生的场强大小相等，而P2点场强大小等于ac，cb两段电荷在P2点产生场强大小之和．故E1<E2. 5.如图所示，O为半径为R的正六边形外接圆的圆心，在正六边形的一个顶点放置一带电荷量为+q的点电荷，其余顶点分别放置带电荷量均为-q的点电荷。则圆心O处的场强大小为（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】根据点电荷的电场强度公式和对称可知，点电荷2、5在O点的合电场强度等于零，点电荷3、6在O点的合电场强度等于零，点电荷1、4在O点的合电场强度为 则圆心O处的场强大小为。 故选B。 6.把均匀带电的绝缘棒AB弯成如图所示的半圆状，测得圆心O处的电场强度大小为E。C是半圆AB上的二等分点，将沿CO对折，使与重叠，则重叠部分在O点产生的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆弧AC在O点产生的电场强度大小为，根据对称性可知，的方向与弦AC垂直，同理叠加可得 解得 则重叠部分在O点的电场强度大小为 故选C。 7.均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为(　　) A.－E B. C.－E D.＋E 【答案】A 【解析】左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷－q的右半球面的电场的合电场，则E＝－E′，E′为带电荷－q的右半球面在M点产生的场强大小。带电荷－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝－E＝－E，则选项A正确。 8.如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处(　　) A．场强大小为，方向沿OA方向 B．场强大小为，方向沿AO方向 C．场强大小为，方向沿OA方向 D．场强大小为，方向沿AO方向 【答案】C 【解析】本题主要考查点电荷的场强。填补法分析：先将A点处－q换成＋q，这时由对称性可知，O点处场强为零，这个零场强实际上是B、C、D、E四点的电荷的合场强E1与A点处＋q的场强E2的矢量和，由E1+E2=0可知，E1方向向上，大小为；然后将A点处＋q换回成－q，则－q在O点的场强方向向上，大小为，与E1的叠加，得到C答案。 另解：等效对称法分析：将A处的－q看做是＋q和－2q组成，A点处＋q与B、C、D、E四点的＋q在O点处场强为零，这时，只需要考虑－2q在O点处场强，直接选C。 9.如图所示，图甲中MN为足够大的不带电接地薄金属板，在金属板的右侧，距离为d的位置上放入一个电荷量为＋q的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布．P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中两异种点电荷所带电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别对P点的电场强度方向和大小作出以下判断，其中正确的是( ) A．方向沿P点和点电荷O的连线向左，大小为 B．方向沿P点和点电荷O的连线向左，大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 【答案】C 【解析】通过类比分析可知，P点的场强等于点电荷＋q在P点的场强垂直于金属板的分量的2倍，方向垂直金属板向左，大小为EP＝2k·＝，故C正确 10.如图所示，电荷均匀分布的半球，在中心O处的电场强度的大小为E0，现沿图示方向过球心O从半球上切下一瓣，夹角为α＝60°，则切下的一瓣在O点的电场强度大小为(　　) A．E0 B． C． D． 【答案】　B 【解析】将半球体看作是无数点电荷的集合，设均是正电荷，根据对称性可知，半球体未切前在O点产生的电场强度大小为E0，方向竖直向下，切下的一瓣在O点的场强与水平方向夹角为，斜向右下方，剩余的部分在O点的场强与水平方向夹角为，斜向左下方，如图所示，根据平行四边形定则及几何关系可知，切下的一瓣在O点的电场强度大小为E1＝E0sin＝，故选B。 11.已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体均匀分布着电荷量为Q的电荷，AB为球的一条直径，A点恰好位于球的外部。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝，则A点处场强的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】半径为R的均匀带电体在A点产生场强为：E整＝k 割出的小球半径为，因为电荷均匀分布，其带电荷量为：Q′＝＝Q 则割出的小球在未割前在A点产生的场强为：E割＝k＝k 所以挖走一球形空腔后剩余部分电荷在A点产生的场强为：E剩＝E整﹣E割＝k﹣k＝，故B正确，ACD错误。故选：B。 12.如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属圆环均匀带电，带电荷量为Q，一长为L＝2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电荷量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P′（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，若取无穷远处为零势面，下列说法正确的是（　　） A．O点的场强一定为零 B．P′点场强大小为 C．金属小球的电荷量为 D．剪断细线瞬间，小球的加速度水平向右 【答案】C 【解析】A、根据对称性可知，带电荷量为Q的圆环在圆心O点的场强为零，而带电金属小球在O点的场强不为零，所以O点的场强不为零，故A错误；B、设细线与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得，得θ＝60°。由微元法无限划分圆环，设每一极小段圆环带电荷量为Δq，则圆环在P点产生的场强大小满足：，其中∑Δq＝Q，解得，根据对称性可知，带电荷量为Q的圆环在P、P′两点的场强大小相等，方向相反，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′点的电场强度的叠加，所以，故B错误；C、对小球受力分析如图所示，由平衡条件有qEP＝mgtan60°，解得，故C正确；D、剪断细线瞬间，小球受合外力与剪断前拉力F的方向相反，即沿细线方向斜向右下方，所以小球的加速度方向斜向右下方，故D错误。 故选C。 13.如图所示，边长为L的正六边形 ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上正电．现将电荷量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走＋Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为(k为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q之间的相互影响)(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】　由题意，＋Q的点电荷在O点的电场强度大小为E＝＝；那么每根细棒在O点的电场强度大小也为E＝；因此＋Q及AB边上的细棒在O点的合电场强度大小E合＝，其方向如图所示：若移走＋Q及AB边上的细棒，那么其余棒在O点的电场强度大小为E合′＝，故A、B、C错误，D正确． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01：求非点电荷电场强度的五种方法 目录 【方法技巧】 1 方法技巧1：转换法及其的求解思路 1 方法技巧2：填补法及其求解思路 2 方法技巧3：对称法及其求解思路 3 方法技巧4：微元法及其求解思路 3 方法技巧5：极限法及其求解思路 3 【经典题型】 4 题型1 用转换法求电场强度 4 题型2 用填补法求电场强度 4 题型3 用对称法法求电场强度带电粒子在电场中的类平抛运动 8 题型4 用微元法求电场强度带电粒子在径向电场中的运动 14 题型5 用极限法求电场强度带电粒子在周期性变化电场中的运动 20 【巩固训练】 28 【方法技巧】 方法1：转换法 由定义式此式中检验电荷q是为了研究电场力的性质引入．实际上场强的大小跟检验电荷的电量q的大小无关，场强大小反映了电场的强弱，由电场本身的性质决定．这个公式适用于一切电场，包括非匀强电场． 方法2：填补法 求解电场强度，要根据问题给出的条件建立起物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。如图所示将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍 方法3：对称法 对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化． （1）场源分段对称 如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向. （2）电场空间对称 等量同种、等量异种电场强度的对称性 方法4：微元法 微元法是将研究对象或物理过程分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得以求解 求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。 方法5：极限法 极限法是把某个物理量的变化推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．用极限法分析某些物理过程时，可以使问题化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果．该方法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况．物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。 【经典题型】 题型1 转换法的应用题型 1.如图所示，质量为m、电荷量为q的小球用绝缘线悬吊于天花板上，当其下面竖直放置匀均的半圆带电导体杆时，绝缘线的张力恰好为零，已知小球刚好位于半圆的圆心，半圆电荷量为Q、半径为R，绝缘线的长度与半圆的半径相差不大，重力加速度为g，则半圆带电导体杆在圆心处生的场强大小为（　　） A. B. C. D. 2．如图1所示，A为带正电Q的金属板，沿金属板的垂直平分线，在距板L处放一质量为m、电量为q的小球，小球受水平向右的电场力偏转θ角而静止，小球用绝缘细线悬于O点，试求小球所在处的电场强度？θ A Q m ,q L 图1 题型2 填补法的应用题型 3.半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　） A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝ C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝ 4.均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，O为球心，直线ab是过球壳中心的一条水平线，球壳表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·江苏南通·期中）有一个半径为R、带电量为Q且电荷均匀分布的绝缘球体，在距球心O为2R的位置有一带电量为q的点电荷。现从带电球中挖去半径为的球体，如图所示。则剩余部分对点电荷q的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 解题归纳：解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决．再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O处的场 题型3 对称法的应用题型 6.（24-25高一下·山东德州·期末）硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊等装置构成，如图1所示。工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷，我们可以用图2模拟带电的感光鼓：电荷量均为的点电荷，均匀对称地分布在半径为的圆周上。若某时刻圆周上点的一个点电荷的电荷量突变成，则圆心点处的电场强度为（　　） A．，方向沿半径背离点 B．，方向沿半径指向点 C．，方向沿半径背离点 D．，方向沿半径指向点 7.如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处点电荷的电荷量为－q外，其余各点处点电荷的电荷量均为＋q，则圆心O处（　　） A．场强大小为，方向沿OA方向 B．场强大小为，方向沿AO方向 C．场强大小为，方向沿OA方向 D．场强大小为，方向沿AO方向 8.如图，电荷量为＋q的点电荷与一正方形均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心O，图中AO＝OB＝d，已知B点的电场强度为零，静电力常量为k。下列说法正确的是（　　） A.薄板带正电，A点的电场强度大小为 B.薄板带正电，A点的电场强度大小为 C.薄板带负电，A点的电场强度大小为 D.薄板带负电，A点的电场强度大小为 解题归纳：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。 题型4 微元法的应用题型 9． 有一电量分布均匀的球状带电体，此带电体球心处的电场强度是（ ） A．零 B．无穷大 C．无法确定 D．无穷小 10.如图所示，一半径为R的绝缘环上均匀地带有电荷量为+Q的电荷，在位于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L，则P点的场强为（　　） A． B． C． D． 解题归纳：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型、过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。 题型5 极限法的应用题型 11.如图所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴.现考虑单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆孔，如图所示.则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（ ） A．Oo ro ● x Qo Oo Ro ● x Po B． C． D． 12.物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确．如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q（q＞0），而且电荷均匀分布．两圆环的圆心O1和O2相距为2a，联线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r＜a）．是分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式（式中k为静电力常量）正确的是（　　） A．E＝|| B．E＝|| C．E＝|| D．E＝|| 解题归纳：对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。 【巩固训练】 1.下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘．坐标原点O处电场强度最大的是(　　) ，2.如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空．将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z＝处的场强大小为(k为静电力常量)(　 　) A．k B．k C．k D．k 3.（如图所示，均匀带正电的半圆环ABC在其圆心O处产生的场强大小为E，方向与直径AC垂直。则AB部分（）所带电荷在O点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 4.ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图35所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同，E1>E2 B．两处的电场方向相反，E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1<E2 D．两处的电场方向相反，E1<E2 5.如图所示，O为半径为R的正六边形外接圆的圆心，在正六边形的一个顶点放置一带电荷量为+q的点电荷，其余顶点分别放置带电荷量均为-q的点电荷。则圆心O处的场强大小为（　　） A． B． C． D．0 6.把均匀带电的绝缘棒AB弯成如图所示的半圆状，测得圆心O处的电场强度大小为E。C是半圆AB上的二等分点，将沿CO对折，使与重叠，则重叠部分在O点产生的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 7.均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为(　　) A.－E B. C.－E D.＋E 。 8.如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处(　　) A．场强大小为，方向沿OA方向 B．场强大小为，方向沿AO方向 C．场强大小为，方向沿OA方向 D．场强大小为，方向沿AO方向 9.如图所示，图甲中MN为足够大的不带电接地薄金属板，在金属板的右侧，距离为d的位置上放入一个电荷量为＋q的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布．P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中两异种点电荷所带电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别对P点的电场强度方向和大小作出以下判断，其中正确的是( ) A．方向沿P点和点电荷O的连线向左，大小为 B．方向沿P点和点电荷O的连线向左，大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 10.如图所示，电荷均匀分布的半球，在中心O处的电场强度的大小为E0，现沿图示方向过球心O从半球上切下一瓣，夹角为α＝60°，则切下的一瓣在O点的电场强度大小为(　　) A．E0 B． C． D． 11.已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体均匀分布着电荷量为Q的电荷，AB为球的一条直径，A点恰好位于球的外部。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝，则A点处场强的大小为（　　） A． B． C． D． 12.如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属圆环均匀带电，带电荷量为Q，一长为L＝2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电荷量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P′（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，若取无穷远处为零势面，下列说法正确的是（　　） A．O点的场强一定为零 B．P′点场强大小为 C．金属小球的电荷量为 D．剪断细线瞬间，小球的加速度水平向右 13.如图所示，边长为L的正六边形 ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上正电．现将电荷量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走＋Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为(k为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q之间的相互影响)(　　) A. 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