1.6 利用三角函数测高（分层作业）数学北师大版九年级下册

1.6 利用三角函数测高 1．（2025·吉林长春·模拟预测）某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（   ）米. A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 5．（2025·青海西宁·二模）某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 8．（2025·四川绵阳·二模）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是 ，向前走50米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是，则铁塔的高度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（2025·内蒙古包头·模拟预测）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A．34米 B．35米 C．36米 D．37米 10．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（    ）m A．42 B． C．78 D． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是 米． 13．（20-21九年级上·山东菏泽·期末）如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为 ． 14．（2024·广东中山·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 15．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米，米． (1)求 的长； (2)若模拟装置从A点下降到B点的过程中保持匀速下降，所用时间为5秒，求模拟装置从A 点下降到 B点的速度． （参考数据：，，） 16．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 2．（19-20九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，， ） A．米 B．米 C．25米 D．28米 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 4．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 6.（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 8．（2025·贵州·一模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 9．（2025九年级·全国·专题练习）高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，下图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离．一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道人口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内，参考数据：，，，，，，）． (1)求两点之间的距离（结果精确到）． (2)若该隧道限速，则小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． 10．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 3．（2025九年级·全国·专题练习）课本再现 （1）如图①，在锐角三角形中，探究之间的关系（提示：分别作AB和BC边上的高）． 迁移应用 （2）如图②，某数学实践小组想测量塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了207m到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求塔的高度（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 7．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：，斜坡长30米，坡角．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． (1)求坡顶与地面的距离等于多少米？（精确到米） (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿削进到E点处，求至少是多少米？（精确到米） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 利用三角函数测高 1．（2025·吉林长春·模拟预测）某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（   ）米. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 4．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 【答案】C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 5．（2025·青海西宁·二模）某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 6．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 7．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【答案】D 【分析】本题主要考查了仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 8．（2025·四川绵阳·二模）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是 ，向前走50米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是，则铁塔的高度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设，分别解，求出的长，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故铁塔的高度是米； 故选D． 9．（2025·内蒙古包头·模拟预测）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A．34米 B．35米 C．36米 D．37米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，得到四边形是矩形，继而得到，米，得出，得到，即，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，四边形是矩形， ，米， ， ， ， ， 在中，， ， ， 米， 米， 故选：C． 10．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（    ）m A．42 B． C．78 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，过B作于E，过C作于F，根据正切的定义分别求出，，即可求解． 【详解】解：过B作于E，过C作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，． ∴， ∵斜坡的坡角的正切值为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是 米． 【答案】6 【分析】根据坡比的概念解答即可．本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值是解题关键． 【详解】解：根据题意可知， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（20-21九年级上·山东菏泽·期末）如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．作于，则，四边形是矩形，得出，，求出，证出，得出，在中，由直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：作于E，如图所示： 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 故答案为14.4． 14．（2024·广东中山·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 15．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米，米． (1)求 的长； (2)若模拟装置从A点下降到B点的过程中保持匀速下降，所用时间为5秒，求模拟装置从A 点下降到 B点的速度． （参考数据：，，） 【答案】(1)8米 (2)米/秒 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴， 在中，米， ∴（米）， ∴的长约为8米； （2）在中，米， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴模拟装置从A点下降到B点的速度（米/秒）， ∴模拟装置从A点下降到B点的速度约为米/秒． 16．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 2．（19-20九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，， ） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即 ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 【答案】25米/ 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 4．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点C作于点E，过点B作于点F，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点B作于点F， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 故答案为：． 6.（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 【答案】综合楼的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，然后求出的长，在和中，利用正切的定义求出的长，即可求出的高解答即可． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点, 由题意得：，,米， 米， (米), 在中，， (米), ∵点是的中点， 米， 在中， ， (米), (米), ∴综合楼的高度约为米． 8．（2025·贵州·一模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)40米 (2)269米 【分析】（1）作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出的长，根据三角函数求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米），（米）， ∴坡顶平台到地面的距离为40米； （2）解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 9．（2025九年级·全国·专题练习）高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，下图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离．一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道人口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内，参考数据：，，，，，，）． (1)求两点之间的距离（结果精确到）． (2)若该隧道限速，则小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． 【答案】(1)760m (2)小汽车从点行驶到点没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别解，，求得，根据即可求解； （2）根据路程除以速度，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ， ， 两点之间的距离约为760m． （2）解：小汽车从点行驶到点没有超速． 理由：由题意，得． ， 小汽车从点行驶到点没有超速． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 10．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 3．（2025九年级·全国·专题练习）课本再现 （1）如图①，在锐角三角形中，探究之间的关系（提示：分别作AB和BC边上的高）． 迁移应用 （2）如图②，某数学实践小组想测量塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了207m到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求塔的高度（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 【答案】（1）（2）塔的高度约为125.9m 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，根据正弦的定义得到，，则，所以，同理可得，所以； （2）根据题意，，，根据三角形内角和为可得，利用（1）的结论得，则可计算出的长度，然后在中利用正切的定义计算出的长． 【详解】解：（1）过点作于点，过点作于点，如图． 在中，， ． 在中，， ， ． 同理可得， ，即． （2）根据题意，得，， ． 由（1）的结论得，即， ． 在中， ， ． 故塔的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 【答案】(1)不会 (2)平台的长度约为7m 【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据，底层与层平行，得出，再根据正切值求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作于点，过点作于点,设，则，根据段和段的坡度，求出的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，过点作，交于点， ∵，底层与层平行， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴不会碰到头部； 故答案为：不会； （2）解：在中，， ． 如图，过点作于点， 过点作于点． 设，则． 段和段的坡度， ， ， ． 答：平台的长度约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)小开先到达山顶处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； （2）解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 7．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：，斜坡长30米，坡角．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． (1)求坡顶与地面的距离等于多少米？（精确到米） (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿削进到E点处，求至少是多少米？（精确到米） 【答案】(1)米 (2)至少是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，坡度坡比问题(解直角三角形的应用），等腰直角三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，则，再代入数值求出米，即可作答． （2）先证明是等腰直角三角形，再结合三个内角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，然后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，坡角， ∴， ∵斜坡长30米， ∴（米）， ∴（米）， （2）解：由（1）得米，米， 连接，过点作，如图所示： ∵经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． ∴， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 则（米）， ∴至少是米． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $