21.5.2一元二次方程的应用（4）学案2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦可化为一元二次方程的分式方程应用题，通过行程问题实例导入，引导学生用列表法梳理路程、速度、时间关系，搭建从分式方程解法到实际问题建模的学习支架，衔接前后知识脉络。 以列表法为核心工具，帮助学生抽象问题中的数量关系，培养抽象能力（数学眼光），通过行程与工程问题对比训练，发展推理意识和模型意识（数学思维与语言），分层练习设计兼顾基础与应用，提升解决实际问题的能力。

一元二次方程的应用（4） 一、学习目标 1.掌握可化为一元二次方程的分式方程应用题的一般步骤和注意事项； 2.学会用列表法分析工程问题、行程问题中的数量关系，提升数学建模能力和解决实际问题的能力。 二、课本预习 阅读课本P94-96完成下列任务： 1.在行程问题中，主要是有三个量：_______,_______,______. 它们的关系是： 路程=速度×时间， 即 问题：某市交通部门对一条长15 km的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了3km/h,车辆通过该路段的平均时问比整治前少15min.问：整治后车辆通过该路段的平均时间是多少? 列表分析(表1) 路程km 速度km/h 通行时间h 整治前 15 x 整治后 15 (1) 根据题中“ ”的句子可列数量关系式①__________________________; (2) 根据题中“ ”的句子可列数量关系式②__________________________; (3) （如表1）设整治前的速度是 xkm/h，则根据“关系式①”整治后的速度是_________；根据“路程速度时间”的关系整治前的通行时间是_____，整治后的通行时间是___________；根据“关系式②”可列方程________________________________. 列表分析(表2) 路程km 速度km/h 通行时间h 整治前 15 整治后 15 x (4) 设整治后通行时间为xh，则根据“关系式②整治后的通行时间是___________；根据“路程速度时间”的关系整治前的通行时间是_____，整治后的速度是________.根据“关系式①”可列方程________________________________. 三、课堂学习 例题学习： 例1某市为了美化环境，计划在一定的时间内增加200 km2绿化面积.后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%,而且要提前1年完成任务。经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20 km².求原计划平均每年的绿化面积. 分析： (1)在工程题中，主要的三个量是：_______,_______,______. 它们的关系是： 工作总量=工作效率×工作时间 (2)根据题中“ ”的句子可列数量关系式①__________________________; (3)根据题中“ ”的句子可列数量关系式②__________________________; 列表分析(表1) 绿化面积（km2） 速度（km2/年） 时间（年） 计划 200 x 实际 200（1+20%） x+20 解：设原计划每年绿化面积为xkm2,则实际每年绿化面积为（x+20）km2,根据题意, 得 整理,得 解之，得 ， 经检验：，都是原方程的根，但不合题意，舍去 答：原计划平均每年的绿化面积为40万亩。 思考：本题若设原计划需要x年完成任务，又该如何解答？ 例题总结：列分式方程解应用题的一般步骤 1.审 分析题意，找出研究对象，读题划线 2.设 选择恰当的未知数，注意单位. 3.列根据等量关系正确列出方程. 4.解解出方程，要认真仔细. 5.验①检验是否是原方程的解②检验是否符合题意千万不能忘记哦! 6.答（答句要写完整） 分题型训练——行程问题 1..公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点.两个小队的登山速度各是多少千米小时? 分析：设第二登山队的速度是xkm/h 路程（km） 速度（km/h） 时间（h） 第一队 10 1.2x 第二队 10 x 分题型训练——工程问题 2.某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？ 析：设乙独自施工需要x天 工作总量 工作时间 工作效率 甲乙合作 1 12 甲独干 1 x-10 乙独干 1 x 四、课堂练习 1.某校组织学生步行到科技展览馆参观.学校与展览馆相距6km,返回时，由于步行速度比去时平均每小时少1 km,结果时间比去时多用了半小时.求学生返回时步行的速度. 2.小华到一文具店用12元买某款练习本若干本.隔了一段时间再去该店，发现这种练习本正在“让利销售”中，每本降价0.2元，这样用12元可以比上次多买3本.问：小华第一次买了多少本这款练习本? 3. 为了落实“十分珍惜、合理利用土地和切实保护耕地”的基本国策，某地区计划若干年内经开发改造后可利用土地的面积达到360 km².实际改造中，第一年比原计划每年开发的土地面积多2km²,如果按此进度继续开发，预计可提前6年完成任务.求实际改造中每年开发土地的面积. 五、课后练习 1.将方程 =1去分母后所得的方程是 ( ) A.x-3+2x=1; B.x-3+2=x²-x; C.x-3+2x=x²-x; D.x(x-3)+2x=x-1. 2.甲、乙两组志愿者参加植树造林.已知甲组每天比乙组多种5棵树，且甲组种120棵树所用的天数比乙组种70棵树所用的天数多1.如果设乙组每天种树x棵，那么列出的方程是 A. B. C. D. 3.一列火车到某站已经晚点6min,如果将速度每小时加快10 km,那么继续行驶20km刚好正点到达下一站.设这列火车原来行驶的速度为x km/h,则所列出的方程是( ) A. B. C. D. 4.为迎接世博会，切实推进城市人性化设施建设，市政府计划在某道路改造中，为盲人修建了一条长为3000米的盲道。根据规划设计和要求，市政府工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了15米，结果提前10天完成全部施工任务，那么实际每天修建盲道多少米？ 5.某教育设备厂原计划用6m³的木材为希望小学制作学生使用的课桌椅若干套.由于改进了技术，每套课桌椅可以节约55m³的木材，因此多做了3套.问：实际做了多少套? 3 学科网（北京）股份有限公司 $