专题2.3-2.4 有理数的乘法与除法（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共64题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题2.3-2.4 有理数的乘法与除法 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共64题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点1 有理数乘法法则 2 知识点2 倒数的概念与求法 2 知识点3 有理数的乘法运算律 3 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点5 有理数除法法则 3 知识点6 有理数的乘除混合运算 4 知识点7 有理数的四则运算 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：两个有理数的乘法运算 5 考点2：多个有理数的乘法运算 5 考点3：有理数乘法的实际应用 5 考点4：倒数 6 考点5：有理数乘法运算律 6 考点6：有理数的除法运算 7 考点7：有理数除法的应用 7 考点8：有理数乘除混合运算 8 考点9：有理数乘除中的简便运算 9 考点10：有理数四则混合运算 9 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 10 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 10 考点13：数轴上的翻折 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 15 知识点1 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为 正数 ；正数乘负数，积为 负数 ；负数乘正数，积为 负数 ；负数乘负数，积为 正数 ，积的绝对值等于各乘数的 绝对值 的积。 2.两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的 积 ；任何数与0相乘，都得 0 。 3.有理数乘法法则也可以表示如下: 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×( +b)=a×b， (-a)×(-b)= a×b； (-a)×(+b)= -（a×b） ， (+a)×(-b)=-(a×b)； c×0=0， 0×c=0。 注意： (1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来。 (2)两数相乘,根据有理数乘法法则,先确定积的符号,再把绝对值相乘。 (3)遇到含带分数的乘法运算时,要先把带分数化成假分数，再计算。 (4)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数。 知识点2 倒数的概念与求法 1.倒数的概念:乘积是 1 的两个数互为倒数.即若a与b互为倒数,则 a×b=1。 2.互为负倒数:乘积是 -1 的两个数互为负倒数.即若a与b互为负倒数,则 a×b=-1。如：2与- 注意： (1)0没有倒数,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。 (2)倒数是相互的,即若ab=1,则a是b的倒数,b也是a的倒数,a与b互为倒数。 (3)倒数等于它本身的数是±1。 (4)互为倒数的两个数一定同号。 3.倒数的求法: 类型 方法 示例 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 2的倒数是 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 0.4的倒数：1÷0.4=2.5 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 0.3的倒数：0.3=，倒数 带分数的倒数 先把带分数化为 假分数 ，然后将分子分母调换位置 ，倒数为 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的 位置 ， 积 不变 ab = b a 乘法结合律 三个数相乘，先把 前两个 相乘，或者先把 后两个 相乘， 积 不变 (ab)c = a(b c) 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数 相乘 ，再把积 相加 a(b+c) =ab+ac 注意： 运用乘法分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和。 例如:-2(-a+b)=(-2)×(-a)+(-2)×b=2a-2b；-2(-a-b)=(-2)×(-a)+(-2)×(-b)=2a+2b. 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是 2.几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为 0 注意： (1)几个不为0的有理数相乘,先根据负乘数的个数确定积的符号,然后把绝对值相乘。 (2)如果几个数相乘积为0,那么至少有一个乘数为 0. 知识点5 有理数除法法则 1.有理数除法法则 (1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的 倒数 。即a÷b= (2)两数相除,同号得 正 ,异号得 负 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的 商 。若ab>0，则 > 0；若ab<0，则 < 0。 (3)0除以任何一个不等于0的数,都得 0 。 注意： (1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号。 (2)两个数相除,若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数。 (3)在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为 0。 (4)有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律。 2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 (1)对于除法的两个法则,在计算时可根据具体情况选用,一般在不能整除的情况下选用法则(1)比较简便,在能整除的情况下,选用法则(2)比较简便. (2)如果被除数和除数都是整数,且不能整除,或者如果被除数和除数中有小数或分数,一般选用法则(1)进行计算. 知识点6 有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将 除法 转化为 乘法 然后按照乘法法则，确定积的 符号 ,最后求出结果。 注意：(1)乘除混合运算中，积的符号由负乘数的个数确定。 (2)结果能化简的要化简。 (3)两个原则:①变除为乘;②从左到右。 知识点7 有理数的四则运算 1.有理数的四则运算:先算 乘除 ,后算 加减 ,有括号先算括号里面的(先小括号，再中括号，最后大括号)，同级运算，按照 从左往右顺序 进行计算。 注意：在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式： 一是把乘积形式a(b+c)化成和的形式 ab+ac； 二是把和的形式ab+ac化成乘积的形式a(b+c),注意灵活应用。 考点1：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期中）如果 ，且 ，那么一定有(      ) A． ， B． ， C． ， D． ， 【变式训练01】（25-26七年级上·吉林·期中）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)______；______； (2)求的值． 考点2：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·天津和平·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段练习）大于且小于的所有整数之积是 ． 【变式训练02】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在数5，，3，，2中，任意取3个不同的数相乘，其中积最大是 ． 考点3：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）糖果厂生产一批水果糖，如果把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数之间的关系如下表所示： 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … (1)这批水果糖共有多少颗？ (2)总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ 【变式训练01】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）某茶叶加工厂计划平均每天生产，由于各种原因实际每天产量与计划量相比有出入，某周七天的生产情况记录如下（超产为正、减产为负）：． (1)该厂星期日生产茶叶 ： (2)产量最高日比最低日多生产茶叶 ； (3)这一周的实际产量是多少？ 【变式训练02】（25-26七年级上·天津蓟州·阶段练习）水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 考点4：倒数 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练01】（24-25七年级下·重庆渝中·开学考试）的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 【变式训练02】（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是 . 考点5：有理数乘法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·广东中山·期中）计算： 【变式训练01】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【变式训练02】（25-26七年级上·吉林·期中）用简便方法计算： 考点6：有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练01】（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练02】（25-26七年级上·天津和平·阶段练习）（1）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． ①求和的值； ②填空：_____0；_____0；_____0；_____0； （2）若与互为相反数，求的值． 考点7：有理数除法的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）水文站记录某河流一周的水位变化情况（单位：米），规定以10米为警戒水位，实际水位高于10米的部分记为“”，低于10米的部分记为“”，具体记录如下： 星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化 a b 已知：周三上游降雨，河流当天实际水位22米；周六水利设施调节，河流当天实际水位3米． (1)___，____; (2)若将每天实际水位与警戒水位的差值相加，得到的总和能反映一周水位整体偏离程度，这个总和是多少米？ (3)本周平均实际水位是多少米？ 【变式训练01】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）一项工程，若甲工程队单独做，每工作2天休息1天，14天可以完工，若乙工程队单独做，每工作3天休息1天，15天可以完工，若丙工程队单独做，一直不休息，也要15天才能完工，现在让甲、乙、丙三队共同合作，且每工作1天休息1天，共需要 天完工． 【变式训练02】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点8：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： ． 考点9：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算 【变式训练01】（25-26七年级上·河南安阳·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【变式训练02】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）( )，( ) 考点10：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式训练01】（24-25七年级上·天津南开·阶段练习）已知a，b，c都是有理数，且满足，那么 ． 【变式训练02】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）计算：． 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）某种金属丝，当温度每上升时，伸长；当温度每下降时，缩短，如果把这种金属丝从加热到，再使它冷却到，最后的长度是伸长了还是缩短了？伸长或缩短了多少？ 【变式训练01】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）河源火蒜色泽金黄，体大粒饱满，质量好，在国内外享有盛誉，产量居全省第一位.下表是某时间段河源火蒜净蒜的市场价格： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 涨跌情况/元 （注：“”表示价格相比元上升，“”表示价格相比元下降） (1)与月日相比，月日净蒜的价格是上升还是下降？上升或下降了多少元？ (2)某大蒜经销商于月日购进吨净蒜，于月日售出；月日再次购进吨净蒜，于月日售出，该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损？请计算盈利或亏损的金额. 【变式训练02】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）一件商品进价是100元，卖出后亏损，则该商品的售价为 元． 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知点在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是和，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练02】（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）有理数a、b在数轴上对应的点如图所示：用“”“”或“”填空： 0， 0． 考点13：数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·山西吕梁·阶段练习）在下面给出的数轴中，点表示，点表示，回答下面的问题： (1)、之间的距离是_________； (2)观察数轴，与点的距离为的点表示的数是_________； (3)若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示_________的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：_________；：_________． 【变式训练01】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8 (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为： ； (2)若以点B为原点，求点A，B，C所对应的数的和． (3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 【变式训练02】（25-26七年级上·全国·期中）如图为白纸上的一条数轴，，是数轴上的两个点，点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4． (1)点表示的数是 ． 提示：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4，所以，所以点表示的数是1． (2)，，，是数轴上不同于，的四个点，把数轴折叠，使，两点重合，此时，两点也重合． ①若点在原点的右边，到原点的距离为6，求点表示的数． ②若点，在数轴上原点的两侧，点到点的距离是100，折叠后，点到点，的距离相等，求点表示的数． 1．（2024·云南曲靖·中考真题）某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边？距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油多少升？ 2．（2024·全国·中考真题）已知，为有理数，下列条件：① ；②；③；④．其中一定能够推理出 ， 异号的条件是 (填序号)． 3．（2024·广东广州·中考真题）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是( ) 账号： 密码 A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江佳木斯·中考真题）若数轴上点A、B表示的数分别为、，且 ，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数， ，，则的结果是 ． 基础夯实 1．（25-26七年级上·北京·阶段练习）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26七年级上·山西吕梁·阶段练习）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，高空某处温度为，求此处的高度是 千米？ 5．（25-26七年级上·吉林·期中）把一条数轴在数处对折，使表示和两数的点恰好互相重合，则表示的点与表示 的点重合． 6．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点对应的数为，点对应的数为，且是最大的负整数，是的倒数，则线段的长为 ． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）除0外绝对值小于3的所有整数的积是 ． 8．（25-26七年级上·广东中山·期中）某科技公司研发了人工智能机器人，为了测试其稳定性，技术人员设置机器人从某定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，． (1)通过计算说明机器人是否能回到起点．若不能，请说明机器人此时是前进了还是后退了； (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得2分，则本次机器人一共得到多少分？ 9．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某出租车司机一天上午以鼓楼为出发点，在东西方向的公路上运营．向东记为正，向西记为负，行车里程（单位：km）记录如下：，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，司机在出发点的哪个方向？距离多远？ (2)若每千米耗油0.1升，出租车共耗油多少升？ 10．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）数学老师布置了一道思考题计算：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以 (1)请你判断小明的解答是否正确？答 ；并说明理由： ． (2)请你运用小明的解法解答问题．计算： 培优拔高 11．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数在数轴上对应点的位置如图所示，正确的为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）下列说法： 的相反数是；如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和可能是；两个正数中，较大数的倒数反而小；一个数和它的相反数可能相等； 若为正数， ，， 则，， ． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数中，任取三个数相乘，所得的最大的积是 ． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值是5，则的值为 ． 16．（25-26七年级上·上海·阶段练习）现定义一种新运算：．若，则，所以．若，则 ． 17．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①②③④，⑤.其中正确的个数有 个． 18．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）简便计算． (1)； (2)． 19．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）黄河口大闸蟹是东营的一大特产，现有20箱大闸蟹，以每箱3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 箱数 1 1 4 5 8 1 (1)与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过或不足多少千克？ (2)若大闸蟹的成本为每千克60元，每箱售价200元（按箱出售）．这20箱大闸蟹全部售出，共盈利（或亏损）多少元？ 20．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）北京，作为一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多著名的旅游景点，吸引了众多游客慕名而来．下表是国庆10月1日到7日七天某景点每天旅游人数与前一天相比的变化情况： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） 已知该景点9月30日的游客人数为万人，根据图表可求出10月1日的游客人数是（万人） (1)10月2日该景点的游客人数为________； (2)10月1日到10月7日中该景点游客最多的一天比最少的一天多_______万人； (3)如果每一万人带来的经济收入为300万元，则10月1日到10月4日的总收入是多少？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3-2.4 有理数的乘法与除法 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共64题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点1 有理数乘法法则 2 知识点2 倒数的概念与求法 2 知识点3 有理数的乘法运算律 3 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点5 有理数除法法则 3 知识点6 有理数的乘除混合运算 4 知识点7 有理数的四则运算 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：两个有理数的乘法运算 5 考点2：多个有理数的乘法运算 6 考点3：有理数乘法的实际应用 7 考点4：倒数 8 考点5：有理数乘法运算律 9 考点6：有理数的除法运算 10 考点7：有理数除法的应用 12 考点8：有理数乘除混合运算 15 考点9：有理数乘除中的简便运算 16 考点10：有理数四则混合运算 17 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 19 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 20 考点13：数轴上的翻折 21 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 27 基础夯实 27 培优拔高 32 知识点1 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为 正数 ；正数乘负数，积为 负数 ；负数乘正数，积为 负数 ；负数乘负数，积为 正数 ，积的绝对值等于各乘数的 绝对值 的积。 2.两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的 积 ；任何数与0相乘，都得 0 。 3.有理数乘法法则也可以表示如下: 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×( +b)=a×b， (-a)×(-b)= a×b； (-a)×(+b)= -（a×b） ， (+a)×(-b)=-(a×b)； c×0=0， 0×c=0。 注意： (1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来。 (2)两数相乘,根据有理数乘法法则,先确定积的符号,再把绝对值相乘。 (3)遇到含带分数的乘法运算时,要先把带分数化成假分数，再计算。 (4)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数。 知识点2 倒数的概念与求法 1.倒数的概念:乘积是 1 的两个数互为倒数.即若a与b互为倒数,则 a×b=1。 2.互为负倒数:乘积是 -1 的两个数互为负倒数.即若a与b互为负倒数,则 a×b=-1。如：2与- 注意： (1)0没有倒数,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。 (2)倒数是相互的,即若ab=1,则a是b的倒数,b也是a的倒数,a与b互为倒数。 (3)倒数等于它本身的数是±1。 (4)互为倒数的两个数一定同号。 3.倒数的求法: 类型 方法 示例 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 2的倒数是 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 0.4的倒数：1÷0.4=2.5 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 0.3的倒数：0.3=，倒数 带分数的倒数 先把带分数化为 假分数 ，然后将分子分母调换位置 ，倒数为 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的 位置 ， 积 不变 ab = b a 乘法结合律 三个数相乘，先把 前两个 相乘，或者先把 后两个 相乘， 积 不变 (ab)c = a(b c) 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数 相乘 ，再把积 相加 a(b+c) =ab+ac 注意： 运用乘法分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和。 例如:-2(-a+b)=(-2)×(-a)+(-2)×b=2a-2b；-2(-a-b)=(-2)×(-a)+(-2)×(-b)=2a+2b. 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是 2.几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为 0 注意： (1)几个不为0的有理数相乘,先根据负乘数的个数确定积的符号,然后把绝对值相乘。 (2)如果几个数相乘积为0,那么至少有一个乘数为 0. 知识点5 有理数除法法则 1.有理数除法法则 (1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的 倒数 。即a÷b= (2)两数相除,同号得 正 ,异号得 负 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的 商 。若ab>0，则 > 0；若ab<0，则 < 0。 (3)0除以任何一个不等于0的数,都得 0 。 注意： (1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号。 (2)两个数相除,若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数。 (3)在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为 0。 (4)有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律。 2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 (1)对于除法的两个法则,在计算时可根据具体情况选用,一般在不能整除的情况下选用法则(1)比较简便,在能整除的情况下,选用法则(2)比较简便. (2)如果被除数和除数都是整数,且不能整除,或者如果被除数和除数中有小数或分数,一般选用法则(1)进行计算. 知识点6 有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将 除法 转化为 乘法 然后按照乘法法则，确定积的 符号 ,最后求出结果。 注意：(1)乘除混合运算中，积的符号由负乘数的个数确定。 (2)结果能化简的要化简。 (3)两个原则:①变除为乘;②从左到右。 知识点7 有理数的四则运算 1.有理数的四则运算:先算 乘除 ,后算 加减 ,有括号先算括号里面的(先小括号，再中括号，最后大括号)，同级运算，按照 从左往右顺序 进行计算。 注意：在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式： 一是把乘积形式a(b+c)化成和的形式 ab+ac； 二是把和的形式ab+ac化成乘积的形式a(b+c),注意灵活应用。 考点1：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期中）如果 ，且 ，那么一定有(      ) A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的乘法，由可知与异号，再结合判断具体符号． 【规范解答】解：∵， ∴与异号． ∵， ∴，． 故选：B． 【变式训练01】（25-26七年级上·吉林·期中）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则进行计算是解决本题的关键．根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得0，逐项进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：A、，积为正数，不符合题意； B、，积为正数，不符合题意； C、，积为零，既不是正数也不是负数，不符合题意； D、，积为负数，符合题意； 故选：D． 【变式训练02】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)______；______； (2)求的值． 【答案】(1)29；23 (2) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算， 对于（1），根据新定义可知两个数进行新运算等于这两个数的乘积的2倍减去1，计算即可； 对于（2），根据新定义的运算要求计算即可. 【规范解答】（1）解：原式；原式； 故答案为：29；23； （2）解：原式. 考点2：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·天津和平·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法法则，计算各选项的积，判断其符号即可. 【规范解答】解： A、，不是负数，不符合题意； B、，不是负数，不符合题意； C、，是负数，符合题意； D、 ，不是负数，不符合题意； 故选C. 【变式训练01】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段练习）大于且小于的所有整数之积是 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先找出大于且小于的所有整数，再计算这些整数的积即可． 【规范解答】解：大于且小于的所有整数是，，0，1，2，3， 所以， 故答案为： 【变式训练02】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在数5，，3，，2中，任意取3个不同的数相乘，其中积最大是 ． 【答案】60 【思路点拨】本题考查有理数的乘法．熟练掌握符号法则以及运算法则是解题的关键．根据正数大于0，大于负数，以及几个有理数相乘，负号的个数为奇数个时，积为负，负号的个数为偶数个时，积为正，进行求解即可． 【规范解答】解：乘积最大一定为正数，当三个因数都为正数时，积为， 当有两个因数为负数，另一个为最大的正数时，积为， ∵， ∴乘积最大是60． 故答案为：60． 考点3：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）糖果厂生产一批水果糖，如果把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数之间的关系如下表所示： 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … (1)这批水果糖共有多少颗？ (2)总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ 【答案】(1)3600颗 (2)总袋数随着每袋装的颗数的增加而减少 【思路点拨】本题考查了列代数式，解题的关键是找到题中的数量关系进行解答． （1）用每袋装的颗数乘总袋数即可得到答案； （2）根据表格中的数据得出答案即可． 【规范解答】（1）解：（颗）， 答：这批水果糖共有3600颗． （2）解：从表中可知，总袋数随着每袋装的颗数的增加而减少． 【变式训练01】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）某茶叶加工厂计划平均每天生产，由于各种原因实际每天产量与计划量相比有出入，某周七天的生产情况记录如下（超产为正、减产为负）：． (1)该厂星期日生产茶叶 ： (2)产量最高日比最低日多生产茶叶 ； (3)这一周的实际产量是多少？ 【答案】(1)21 (2)11 (3)这一周的实际产量是 【思路点拨】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用计划量加上减产情况，即可得出结果； （2）用记录数据中的最大数减去最小数即可； （3）用每天的计划数乘以天数，再加上记录的数据之和，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：21； （2）； 故答案为：11； （3）； 答：这一周的实际产量是． 【变式训练02】（25-26七年级上·天津蓟州·阶段练习）水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，每天变化为-4 cm，3天后水位变化为每天变化与天数的乘积，据此求解即可． 【规范解答】解：∵水位下降为负， ∴每天变化为． ∵经过3天， ∴总变化为， 故选：C． 考点4：倒数 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【规范解答】解：的倒数是， 故选：． 【变式训练01】（24-25七年级下·重庆渝中·开学考试）的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据倒数的定义，来判断选项． 【规范解答】解：根据倒数的定义，求的倒数，即找一个数与相乘等于． A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【变式训练02】（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是 . 【答案】 【思路点拨】此题考查的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法是解题的关键．根据倒数的定义，一个数的倒数是指与这个数相乘等于1的数． 【规范解答】解：设的倒数为，则根据倒数的定义有， 解得， 所以的倒数为． 故答案为：． 考点5：有理数乘法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·广东中山·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算．根据乘法分配律计算． 【规范解答】解： ． 【变式训练01】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 7 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘法运算律， 根据有理数乘法分配律计算即可. 【规范解答】解：原式 . 【变式训练02】（25-26七年级上·吉林·期中）用简便方法计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法运算律，将看作，再利用乘法分配律求解即可． 【规范解答】解： ． 考点6：有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的基本运算，需熟练掌握运算规则，如减去负数等于加正数、负数相加取负号绝对值相加、负数相乘得正、除以分数等于乘以倒数等．通过逐一验证每个选项的计算是否正确，基于有理数的加减乘除法则． 【规范解答】解：A选项：根据有理数的减法法则可得：，故A选项计算错误； B选项：根据有理数的加法法则可得：，故B选项计算正确； C选项：根据有理数的乘法法则可得：，故C选项计算错误； D选项：根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：，故D选项计算错误． 故选：B． 【变式训练01】（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数轴与有理数的加减乘除运算，由数轴可得，据此即可判断求解． 【规范解答】解：由数轴可得，， ， ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：A． 【变式训练02】（25-26七年级上·天津和平·阶段练习）（1）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． ①求和的值； ②填空：_____0；_____0；_____0；_____0； （2）若与互为相反数，求的值． 【答案】（1）①；②（2）1 【思路点拨】本题考查有理数和数轴，有理数的运算，绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①根据点在数轴上的位置结合绝对值的意义，得到互为相反数，即可得出结果； ②根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可； （2）根据互为相反数的两数之和为0，结合绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可． 【规范解答】解：（1）①由数轴可知，在原点的两侧， ∵， ∴互为相反数， ∴； ②由数轴可知：， ∴，，； 故答案为：； （2）由题意，， ∴， ∴， ∴． 考点7：有理数除法的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）水文站记录某河流一周的水位变化情况（单位：米），规定以10米为警戒水位，实际水位高于10米的部分记为“”，低于10米的部分记为“”，具体记录如下： 星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化 a b 已知：周三上游降雨，河流当天实际水位22米；周六水利设施调节，河流当天实际水位3米． (1)___，____; (2)若将每天实际水位与警戒水位的差值相加，得到的总和能反映一周水位整体偏离程度，这个总和是多少米？ (3)本周平均实际水位是多少米？ 【答案】(1)， (2)14米 (3)12米 【思路点拨】本题考查了正负数的应用，熟练掌握有理数的加减法运算法则以及正、负数的认识是解题的关键． （1）根据水位变化等于实际水位减去警戒水位即可解答； （2）将一周的水位变化相加即可解答； （3）根据表格先求得本周每天的实际水位，再求平均数即可解答． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：（米）， 答：这个总和是14米． （3）解：每天实际水位为： 周一：（米）， 周二：（米）， 周三：（米）， 周四：（米）， 周五：（米）， 周六：（米）， 周日：（米）， 总和：（米）， 平均水位：（米）， 答：本周平均实际水位是12米． 【变式训练01】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）一项工程，若甲工程队单独做，每工作2天休息1天，14天可以完工，若乙工程队单独做，每工作3天休息1天，15天可以完工，若丙工程队单独做，一直不休息，也要15天才能完工，现在让甲、乙、丙三队共同合作，且每工作1天休息1天，共需要 天完工． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了有理数的运算，单位1的应用，先求出甲、乙、丙三队的工作效率．甲队工作2天休息1天，14天完工，实际工作10天，工作效率为；乙队工作3天休息1天，15天完工，实际工作12天，工作效率为；丙队一直工作，15天完工，工作效率为．三队合作时，每工作1天休息1天，工作一天的工作量为，进而即可解题． 【规范解答】解：甲队周期为3天（2天工作天休息），又， 即4周期工作8天，余2天为工作天，总工作10天，效率为． 乙队周期为4天（3天工作天休息），又， 即3周期工作9天，余3天为工作天，总工作12天，效率为， 丙队一直工作，15天完工，效率为， 三队合作工作一天的工作量为． 则需要4个工作日完成工程，由于每工作1天休息1天，总天数为（天）． 故答案为：7． 【变式训练02】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察数轴，可得到，的取值范围，利用有理数运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：，， ①，计算正确，故①符合题意； ②，原计算错误，故②不符合题意； ③，，，计算正确，故③符合题意； ④，，，计算正确，故④符合题意； 故选：B． 考点8：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序计算，并注意负号的处理．乘除为同级运算，应依次进行．按照从左至右的顺序计算即可． 【规范解答】解： ， ． ∴ 最终结果为 9． 故选： D． 【变式训练01】（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【规范解答】解： ． 故选：D． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 考点9：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算 【答案】 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练01】（25-26七年级上·河南安阳·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【规范解答】（1）解：原式 （2） 【变式训练02】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）( )，( ) 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了单位换算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，进行换算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：； 考点10：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)38 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算． （1）先把减法转化为加法，再按加法则求解即可； （2）先把除法转化为乘法，再计算乘法，然后计算减法即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式训练01】（24-25七年级上·天津南开·阶段练习）已知a，b，c都是有理数，且满足，那么 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查绝对值的意义，有理数的运算，根据绝对值的性质， 的值为1或，取决于的正负，同理于和．由条件，可知， ， 中有两个正数和一个负数，因此 ，故 ，再进行计算即可． 【规范解答】解：∵ ， ， 都是有理数，且 ， 又 ∵ 的值为1或， 同理：和也为1或， ∴ ，， 中必有两个1和一个， 即 ， ， 中有两个正数和一个负数， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：7． 【变式训练02】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握有理数的四则混合运算法则．先算乘除，再算加法即可． 【规范解答】解： ． 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）某种金属丝，当温度每上升时，伸长；当温度每下降时，缩短，如果把这种金属丝从加热到，再使它冷却到，最后的长度是伸长了还是缩短了？伸长或缩短了多少？ 【答案】长度缩短了，缩短了 【思路点拨】本题考查正数和负数及有理数混合运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算，再根据正数和负数的实际意义判定即可． 【规范解答】金属丝初始温度为，先加热到，此阶段温度上升，金属丝伸长； 再冷却到10℃，此阶段温度下降，金属丝缩短． 加热阶段：温度从上升到，伸长量为； 冷却阶段：温度从下降到，缩短量为； 总长度变化：伸长量与缩短量的代数和为，负号表示最终长度比原来缩短了． 答：金属丝最后的长度缩短了，缩短了. 【变式训练01】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）河源火蒜色泽金黄，体大粒饱满，质量好，在国内外享有盛誉，产量居全省第一位.下表是某时间段河源火蒜净蒜的市场价格： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 涨跌情况/元 （注：“”表示价格相比元上升，“”表示价格相比元下降） (1)与月日相比，月日净蒜的价格是上升还是下降？上升或下降了多少元？ (2)某大蒜经销商于月日购进吨净蒜，于月日售出；月日再次购进吨净蒜，于月日售出，该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损？请计算盈利或亏损的金额. 【答案】(1)下降，下降了元 (2)盈利，盈利元 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）用月日的涨跌减去月日的涨跌即可； （2）把两次的盈亏情况相加即可． 【规范解答】（1）解：（元）， 答：与月日相比，月日净蒜的价格下降了，下降了元； （2）（元）， 答：该大蒜经销商在该段时间内盈利了，盈利元． 【变式训练02】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）一件商品进价是100元，卖出后亏损，则该商品的售价为 元． 【答案】75 【思路点拨】本题考查有理数运算的应用，亏损表示售价是进价的，因此用进价乘以即可得到售价． 【规范解答】解：（元）， ∴该商品的售价为75元． 故答案为：75． 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了根据数轴判断式子正负． 根据数轴求出的取值范围，进而逐一判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， ∴，，，． 故选：D． 【变式训练01】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知点在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是和，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，根据有理数的运算法则判断结果的符号，观察数轴上点A，B的位置，得出，，，再对每个结论进行判断． 【规范解答】解：∵观察数轴上点A，B的位置，得出，，， ，，， ∴②③正确，共2个． 故选：B． 【变式训练02】（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）有理数a、b在数轴上对应的点如图所示：用“”“”或“”填空： 0， 0． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用数轴判断式子正负，有理数的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键．由数轴可知，，且，再根据有理数的加法和减法法则计算即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，且， 则，， 故答案为：；． 考点13：数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·山西吕梁·阶段练习）在下面给出的数轴中，点表示，点表示，回答下面的问题： (1)、之间的距离是_________； (2)观察数轴，与点的距离为的点表示的数是_________； (3)若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示_________的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：_________；：_________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)， 【思路点拨】本题考查了数轴的相关知识，利用数轴上两点之间的距离、注意分类思想与数形结合思想是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分别求在点的左边和右边两种情况； （3）设点对应的数是，然后根据中心对称列式计算； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算． 【规范解答】（1）解：、之间的距离是． （2）解：观察数轴可知：点表示， 与点的距离为的点表示的数是或． （3）解：点与表示的点重合， 对称点是表示的点， 设点对应的数是， 则， 解得：， 点与表示的点重合． （4）解：、两点之间的距离为且、两点经过（3）中折叠后互相重合， ， 由（3）得对称点是表示的点， 点表示的数为， 点表示的数为． 【变式训练01】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8 (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为： ； (2)若以点B为原点，求点A，B，C所对应的数的和． (3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 【答案】(1) (2)5 (3)1 【思路点拨】本题考查数轴与有理数，两点中点的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点在数轴上所表示的数以及点与点的位置和距离进行解答即可； （2）根据数轴表示数的方法以及绝对值的定义确定、、的值，再代入求和即可； （3）求出长度，则可求中点与的距离，则长可求，因为按相同方式折叠，重合，所以，进而可求，则题目可解． 【规范解答】（1）解：， ∴数轴上点所表示的数为； 故答案为：； （2）解：∵点表示原点，点在点的左边，且，点在点的右边，且， ∴点表示的数为， 点表示的数为，点所表示的数为， ， ∴点，，所对应的数的和为； （3）解：∵点到点的距离为，点到点的距离为，表示的数是， ， ∴点、、分别表示数、、， ， ∴折痕处表示的数为， ， ， ∴折叠后与点重合的点表示的数为． 【变式训练02】（25-26七年级上·全国·期中）如图为白纸上的一条数轴，，是数轴上的两个点，点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4． (1)点表示的数是 ． 提示：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4，所以，所以点表示的数是1． (2)，，，是数轴上不同于，的四个点，把数轴折叠，使，两点重合，此时，两点也重合． ①若点在原点的右边，到原点的距离为6，求点表示的数． ②若点，在数轴上原点的两侧，点到点的距离是100，折叠后，点到点，的距离相等，求点表示的数． 【答案】(1)1 (2)①点表示的数为；②点表示的数为201或 【思路点拨】本题主要考查数轴上的点表示有理数及两点之间的距离公式，熟练掌握利用数轴上两点之间的距离求解是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①先求出对折点表示的数，然后利用两点之间的距离求解即可；②分两种情况分析：点M在原点左侧，点M在原点右侧，然后利用两点之间的距离公式求解分析即可 【规范解答】（1）解：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4， 所以， 故答案为：1． （2）①解：对折点表示的数为 所以点到对折点的距离为， 所以点表示的数为． ②若点在原点左侧，折叠后，，两点重合，点到点的距离等于折叠前点到点的距离，所以折叠后点表示的数为． 因为折叠后点到点，的距离相等，所以点表示的数为． 若点在原点右侧，同理可得，折叠后点表示的数为． 所以点表示的数为． 综上，点表示的数为201或． 1．（2024·云南曲靖·中考真题）某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边？距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)在A地南边，距A地千米； (2)千米； (3)升． 【思路点拨】本题主要考查了正负数的应用，有理数运算的应用，绝对值的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把所给的路程记录相加，如果结果为正，则在地南边，如果结果为负则在地北边，如果为则在地，据此求解即可； （）把每次所走的路程相加即可得到答案； （）根据“油耗每千米油耗路程”进行求解即可． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：收工时，检修队在地南边，距地千米． （2）解：（千米）， 答：从出发到收工时，汽车共行驶千米； （3）解：（升）， 答：汽车共耗油升． 2．（2024·全国·中考真题）已知，为有理数，下列条件：① ；②；③；④．其中一定能够推理出 ， 异号的条件是 (填序号)． 【答案】①②/②① 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘法，相反数和绝对值，熟练掌握上述定义与法则是解题的关键．利用有理数的乘法法则和绝对值的意义对每个条件进行逐一判断即可． 【规范解答】解： ， 异号． ①符合要求； ， 异号． ②符合要求； ， 互为相反数，但不一定异号， ③不符合要求； ， ， 不一定能够推理出异号． 一定能够推理出异号的条件是：①②． 故答案为：①②． 3．（2024·广东广州·中考真题）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是( ) 账号： 密码 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，理解题意并总结出规律是解题的关键． 根据题意总结出数的规律，然后列式计算即可． 【规范解答】解：由第一组数可得，，， 由第二组数可得，，， 则，，， 那么密码为， 故选：D． 4．（2024·黑龙江佳木斯·中考真题）若数轴上点A、B表示的数分别为、，且 ，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查有理数的加、减、乘、除运算，根据数轴上的位置，，，利用有理数的加减法和乘法法则判断各选项的正负． 【规范解答】解：∵，， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误． 故选：A． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数， ，，则的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【规范解答】解：根据题中的新定义得： ，， 则 ． 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26七年级上·北京·阶段练习）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查绝对值的非负性，有理数乘法，加法，根据有理数的乘法，加法运算和绝对值的性质，判断各选项是否恒为正数． 【规范解答】解：∵是有理数， A、若，则，不一定为正数； B、若，则，不一定为正数； C、若，则，不是正数； D、∵ ， ∴，恒为正数． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数的绝对值、乘法和加法运算．根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数；乘法法则：同号得正，异号得负；加法法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加，逐项判断即可． 【规范解答】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题考查数轴上点的特征、利用数轴确定式子的符号，绝对值的意义，有理数运算，根据数轴得出，，即可判断①，根据绝对值的意义，即可判断②，根据两数相乘，同号得正，异号得负，即可判断③，根据有理数运算法则，即可判断④，根据两数相除，同号得正，异号得负，即可判断⑤． 【规范解答】解：由题知，， ，即①错误； ，即③正确；，即⑤错误； 离原点远，离原点近， ，即②错误； ，， ，即④错误； 综上所述，正确的有③，共1个． 故选：A． 4．（25-26七年级上·山西吕梁·阶段练习）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，高空某处温度为，求此处的高度是 千米？ 【答案】12 【思路点拨】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，高度每增加1千米，气温降低，温度差为地面温度与高空温度之差，再除以每千米降低的温度即可得到高度． 【规范解答】解：由题意，此处的高度为：（千米）． 故答案为∶12． 5．（25-26七年级上·吉林·期中）把一条数轴在数处对折，使表示和两数的点恰好互相重合，则表示的点与表示 的点重合． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的特征，利用数轴对折时折痕点所对应的数为，然后列出算式即可求解，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【规范解答】解：∵和两数的点恰好互相重合， ∴折痕点所对应的数为， ∴表示的点与表示的点重合． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点对应的数为，点对应的数为，且是最大的负整数，是的倒数，则线段的长为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了最大的负整数，倒数的含义，数轴上两点之间的距离，根据题意得到a、b的值是解题的关键．根据最大的负整数，倒数的含义得到，，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【规范解答】解：∵是最大的负整数，是的倒数， ∴，， ∴线段的长为． 故答案为：3． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）除0外绝对值小于3的所有整数的积是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查绝对值，有理数的乘法．找出除0外绝对值小于3的所有整数，并计算它们的乘积即可． 【规范解答】解：绝对值小于3的整数有、、0、1、2，除0外，剩余整数为、、1、2． 它们的乘积为． 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·广东中山·期中）某科技公司研发了人工智能机器人，为了测试其稳定性，技术人员设置机器人从某定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，． (1)通过计算说明机器人是否能回到起点．若不能，请说明机器人此时是前进了还是后退了； (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得2分，则本次机器人一共得到多少分？ 【答案】(1)机器人没有能回到起点O，此时机器人前进了2米 (2)本次机器人一共得到108分 【思路点拨】本题主要考查了正数和负数的意义及有理数的加减法，掌握正数和负数的意义和有理数加减法法则是解题的关键． （1）将题中给的数据分别相加，看是否为0，为0则回到起点； （2）计算绝对值的和，就是总路程，再乘以2，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：， 答：机器人没能回到起点，此时机器人前进了2米； （2）解：（米）， （分）， 答：本次机器人一共得到108分． 9．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某出租车司机一天上午以鼓楼为出发点，在东西方向的公路上运营．向东记为正，向西记为负，行车里程（单位：km）记录如下：，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，司机在出发点的哪个方向？距离多远？ (2)若每千米耗油0.1升，出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)司机回到出发点 (2)耗油量升 【思路点拨】（1）把行车里程相加，然后根据正数和负数的意义解答即可； （2）求出行驶的总路程，再乘每千米耗油升数即可． 本题主要考查了正数和负数的应用，有理数混合运算的实际应用，熟练掌握正数和负数表示具有相反意义的量，根据题意列出算式求解是解题的关键． 【规范解答】（1）解： （）， 答：司机回到出发点，距离出发点． （2）解： （）， （升）， 答：出租车共耗油升． 10．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）数学老师布置了一道思考题计算：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以 (1)请你判断小明的解答是否正确？答 ；并说明理由： ． (2)请你运用小明的解法解答问题．计算： 【答案】(1)正确；一个数的倒数的倒数等于它本身 (2) 【思路点拨】此题主要考查了倒数以及有理数除法的知识，熟练掌握一个非零数的倒数的求解是关键． （1）小明的解答正确，因为一个数的倒数的倒数等于它本身； （2计算原式的倒数，再求倒数即可． 【规范解答】（1）解：正确；理由：一个数的倒数的倒数等于它本身． （2） ． 培优拔高 11．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数轴上表示有理数，根据点在数轴的位置判断式子的正负，越在数轴的右边的数越大，据此逐项分析，即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、根据数轴可知，，，， ∴，原选项符合题意； 、根据数轴可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，， ∴原选项不符合题意； 故选：． 12．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数在数轴上对应点的位置如图所示，正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查根据数轴判断式子的符号，由数轴可得，且，再逐项判断即可． 【规范解答】解：由数轴可得，且，故： ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 13．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）下列说法： 的相反数是；如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和可能是；两个正数中，较大数的倒数反而小；一个数和它的相反数可能相等； 若为正数， ，， 则，， ． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，倒数，以及有理数的乘法法则，根据相反数的定义可判断和；根据绝对值的定义可判断；根据倒数的定义可判断；根据多个有理数的乘法法则可判断；掌握相关知识的应用是解题的关键． 【规范解答】解： 的相反数是，正确； 如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和不可能是，故不正确； 两个正数中，较大数的倒数反而小，正确； 一个数和它的相反数可能相等，正确； 若为正数，，，则，，，不正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数中，任取三个数相乘，所得的最大的积是 ． 【答案】50 【思路点拨】本题考查有理数的乘法，有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 要使乘积最大，需保证积为正数且绝对值尽可能大．因此应选择偶数个负数和绝对值较大的正数． 【规范解答】解：在数中，有两个负数（）和三个正数（1，3，5）．为得到最大积，需选择偶数个负数，即0个或2个负数． 若选0个负数，则选三个正数1，3，5，积为． 若选2个负数，则需选一个正数．负数选绝对值较大的，正数选最大的5，积为． 其他组合如选负数和正数3，积为30；选正数1，3，5，积为15，均小于50． 故最大积为50． 故答案为50． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值是5，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，有理数的加减混合运算． 根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义求出，，，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵和互为相反数，和互为倒数，的绝对值是5， ∴，，， ∴或． 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·上海·阶段练习）现定义一种新运算：．若，则，所以．若，则 ． 【答案】27 【思路点拨】题目主要考查新定义运算，理解题意是解题关键． 根据新运算的定义 （其中 ），利用已知 ，通过代入减法的形式逐步求解即可． 【规范解答】解：根据题意得：， ∵， ∴，即 ， 同理，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 17．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①②③④，⑤.其中正确的个数有 个． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的运算法则，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据数轴确定的正负，以及绝对值的大小，结合有理数的加法和乘法运算法则进行判断即可． 【规范解答】解：①根据绝对值的几何意义和数轴得，， 故①正确，符合题意； ②由数轴得， ∴， 故②错误，不符合题意； ③由①②得 ， ∴， 故③正确，符合题意； ④由得，， 故④错误，不符合题意； ⑤由得，， ∴， 故⑤错误，不符合题意； 综上，正确的选项有①③， 故答案为：2． 18．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5.25 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘法运算，有理数四则混合运算． （1）把拆成，再利用乘法运算律计算即可． （2）逆用乘法运算律计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 19．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）黄河口大闸蟹是东营的一大特产，现有20箱大闸蟹，以每箱3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 箱数 1 1 4 5 8 1 (1)与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过或不足多少千克？ (2)若大闸蟹的成本为每千克60元，每箱售价200元（按箱出售）．这20箱大闸蟹全部售出，共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)超过0.1千克； (2)盈利394元 【思路点拨】本题考查了正负数的实际意义和有理数的四则混合运算，正确理解题意，并熟练掌握有理数的四则混合运算是解题的关键． （1）将与标准重量的差值对应箱数的值全部相加即可求解； （2）根据“总利润每箱的售价 每千克的成本价箱的总质量”的数量关系，将相应数据代入即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得， 答：与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过千克； （2）由题意得， 答：这20箱大闸蟹全部售出，共盈利元． 20．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）北京，作为一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多著名的旅游景点，吸引了众多游客慕名而来．下表是国庆10月1日到7日七天某景点每天旅游人数与前一天相比的变化情况： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） 已知该景点9月30日的游客人数为万人，根据图表可求出10月1日的游客人数是（万人） (1)10月2日该景点的游客人数为________； (2)10月1日到10月7日中该景点游客最多的一天比最少的一天多_______万人； (3)如果每一万人带来的经济收入为300万元，则10月1日到10月4日的总收入是多少？ 【答案】(1)万人 (2) (3)1890万元 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加法、有理数乘法运算的应用、正负数的实际应用等知识点，理解题意、正确列式计算是解题的关键． （1）先根据题意列出算式计算出10月2日的游客人数即可； （2）先求出10月1日到10月7日每天的学生人数，然后找出游客人数最多的一天的人数和最少的一天的人数，求出它们的差即可； （3）先求出10月1日到10月4日每天的游客的总人数，再乘以300万即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 10月2日的游客人数为：（万人）． 故答案为：万人． （2）解：10月3日的游客人数为：（万人）， 10月4日的游客人数为：（万人）， 10月5日的游客人数为：（万人）， 10月6日的游客人数为：（万人）， 10月7日的游客人数为：（万人）． 所以，10月1日的游客人数最多，10月7日的游客人数最少， 所以万人，即10月1日到7日中该景点旅客人数最多的一天比最少的一天多万人． 故答案为： （3）解：由（1）可得：10月1日到4日中游客总人数为：（万人）， 所以10月1日到7日的旅游总收入约为万元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $